物理學
能量
Chapter 5
第5章 能量
本章大綱
5.1 功
5.2 動能與功-能定理
5.3 重力位能
5.4 彈簧位能
5.5 系統與能量守恆
5.6 功率
5.7 變力所做的功
第5章 能量
能量的形式
力學能(機械能)
截至目前為止
它可以是動能(伴隨著運動)，或是位能(伴隨著 與位置的關係)。化學能
電磁能
核能
第5章 能量
一些有關能量的 思考
能量可以由一種形式轉換成另外一種形
式。
能量的探討主要是運用在物理學、化學、生物 學、地質學，以及天文學上。可用來取代牛頓定律，以簡化求解某些問
題。第5章 能量
5.1
功
第5章 能量
功
此物理量將力與能量 相互連結。
由定力對物體所做的 功，可以定義為：力 沿物體位移方向的分 量與物體位移大小的 相乘積。第5章 能量
功 (續)
F 為作用力的大小。
Δx 為物體位移的大 小。x F
W ≡ ( cos θ ) Δ
θ
為力 與位移 間的夾角。F r
x r
Δ
第5章 能量
功 (續)
它無法提供下述訊息：
物體產生這段位移共花了多少時間。
物體的速度與加速度。功為純量。
第5章 能量
功的單位
SI 國際標準單位
牛頓 × 公尺 = 焦耳• N‧m = J
• J = kg‧m
2/s
2美國慣用單位
呎‧磅• ft‧lb
– 它沒有一個特殊的稱呼。
第5章 能量
有關功的進一步說明
當作用力與物體的位移垂直時，所做的功
為零。 cos 90° = 0
若有好幾個力同時作用在一個物體上，對
物體所做的總功為每一個力分別對物體做 功的代數和。功可以為正也可以為負。
若力與位移方向相同時，功為正。
若力與位移方向相反時，功為負。第5章 能量
下列情形時不做功
位移為水平的。
力是鉛直的。
cos 90° = 0
第5章 能量
功可以為正 也可以為負
當抬起一物時，施
力作正功。將物體慢慢放下
時，功為負。所施的力仍然向
上，但此時的位移 是朝下的。第5章 能量
第5章 能量
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5.5
第5章 能量
第5章 能量
功及損耗力
摩擦力也可以做功。
物體的能量會由於摩擦而 損耗，這些能量會加熱物 體與週遭環境。 有時候，能量會轉變為聲 音
。
到目前為止，“摩擦力所做摩擦力所做 的功”這句話僅是指摩擦過的功 程對力學能的影響而已。第5章 能量
第5章 能量
例題5.2
第5章 能量
動能
這是伴隨一個運動中物體所具有的能量。
它是純量，其單位與功相同。
功和動能有關。
2
2
1 mv KE ≡
第5章 能量
功－動能理論
淨力對物體所做的功，只能使物體的速率
發生改變，淨力做功等於物體的動能表 現。net f i
W = KE − KE = Δ KE
若功為正時，物體速率會 增加。
若功為負時，物體速率會 減少。第5章 能量
5.2
動能與功-能定理
第5章 能量
第5章 能量
功與動能
物體的動能可以看作是
一個運動的物體，它由 運動到完全靜止所能做 的總功。
圖中運動中的鐵鎚具有 動能，它可以對鐵釘做 功。第5章 能量
例題 5.3
第5章 能量
例題 5.3
第5章 能量
例題 5.3
第5章 能量
力的類型
力通常可分為兩種型態：
保守力• 力所做的功及其所轉換成的能量，兩者可以互換。
非保守力• 通常這種力是屬於耗損力，由這種力所做的功無法
輕易地再轉回原來的能量。
第5章 能量
保守力
施力使物體在兩點間移動，若所做的功與
該物體在此兩點間的移動路徑無關時，該 力即稱為保守力。
保守力做的功只和物體的最初位置與最後位置 有關。
任何一個保守力都會伴隨著一個位能函數。第5章 能量
關於保守力的進 一步說明
保守力有下列幾種：
重力
彈力
庫侖力位能變化是另一種計算保守力做功的方
法。第5章 能量
第5章 能量
非保守力
若力所做的功與物體自初位置到末位置的
移動路徑有關時，此力即稱為非保守力。非保守力的例子
動摩擦力
空氣阻力
推進力第5章 能量
摩擦力即為非保 守力
摩擦力會將物體的動能轉換成另一種與溫
度有關的能量。
物體會變得較移動前更為溫暖。
內能是用來描述伴隨著物體溫度所具有的能 量。第5章 能量
和移動路徑有關 的摩擦
圖中的藍色路徑較
紅色路徑短。書本沿藍色路徑移
動所需的功，較沿 紅色路徑少。摩擦和移動路徑有
關，因此摩擦力為 非保守力。第5章 能量
5.3
重力位能
第5章 能量
位能
在某一系統中，物體於不同的位置，均對
應著一特定的位能。
位能為系統中的一種性質，它並不是一個物 體。
系統是一堆物體的集合，這些物體透過系統內 部的力或過程而相互作用。第5章 能量
功與位能
任何一個保守力都有一個位能與之對應。
計算物體移動路徑中任意兩點間的位能
差，即為保守力在這兩點間對物體做功的 負值。第5章 能量
重力位能
重力位能是在地球表面附近，物體於相對
位置所具有的能量。
物體與地球之間透過重力相互作用。
實際上，位能是地球－物體所構成系統中的能 量。第5章 能量
功與重力位能
PE = mgy
f
i PE
PE
W
重力= −
重力位能的單位與
功或動能的單位相 同。第5章 能量
第5章 能量
功－能定理 推廣
功－能定理可以擴展到包含位能在內的形
式。( ) ( )
nc f i f i
W = KE − KE + PE − PE
若尚有其他保守力存在，另一種位能的形
式可由此保守力獲得，此時這種位能的變 化可以另外加在上式的等號右側。第5章 能量
重力位能的零參 考位置
對任何一個問題，都必須選擇一個零位能
面。
至於零位能面的選擇並沒有特殊的規定，可以 任意選，重要的是位能的變化。
零位能面以最方便的位置來選取。• 通常是選地球表面。
• 也有可能題目中會建議選擇某處為零位能面。
一旦零位能面選定後，在整個題目的處理過程 中，它就必須固定下來。第5章 能量
第5章 能量
例題 5.4
第5章 能量
例題 5.4
第5章 能量
例題 5.4
第5章 能量
力學能守恆
廣義的守恆
若說某一物理量是守恆的，意指這一物理量的 數值在經過物理過程後仍會保持不變。對能量守恆來說，是指總力學能保持不
變。
在一孤立系統中，系統內物體間的相互作用力 僅為保守力時，系統的總力學能守恆。第5章 能量
力學能守恆 (續)
系統的總力學能是系統中的動能與位能的
和。f f
i i
f i
PE KE
PE KE
E E
+
= +
=
此一關係式的位能部分，若系統尚有其他形式 的位能，可以再加進來。第5章 能量
第5章 能量
第5章 能量
第5章 能量
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5.15
第5章 能量
利用能量守恆來 解題
先將系統定義出來
選擇重力位能的零位能位置。
在解題過程中，此一零位能位置不要再變動。確認物體要改變的前後兩個位置。
其中一個位置的資訊是已知的。
另一個位置則為題目要我們求的未知量所在的 地方。第5章 能量
利用能量守恆來 解題 (續)
先行確認系統中只有保守力的作用。
將力學能守恆方程式用在此系統上。
立即將為零的項目去掉，在已知的各量代入之 前，先依代數規則加以運算。最後解出各項未知量。
第5章 能量
例題 5.5
第5章 能量
例題 5.5
第5章 能量
例題 5.6
第5章 能量
例題 5.6
第5章 能量
含非保守力作用 的功－能定理
若系統中出現非保守力，這時就要用完整
的功－能定理來替代力學能守恆式。通常在解題過程中，有需要運用到前一章
的解題技巧。第5章 能量
例題 5.7
第5章 能量
第5章 能量
例題 5.8
第5章 能量
例題 5.8
第5章 能量
5.4
彈簧位能
第5章 能量
儲存於彈簧中的 位能
它包含彈簧的力常數 k 。
以虎克定律描述彈力。
F = - k x• F 代表彈簧的恢復力。
• F 的方向和彈簧的位移 x 相反。
• 彈簧力常數受彈簧的製造過程、材質、彈簧線的粗
細影響。
第5章 能量
第5章 能量
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5.20
第5章 能量
彈簧中的位能
彈力位能
這種能量和將彈簧自平衡位置壓縮到其任一位 置 x 所需做的功有關。2
2
1 kx
PE
s=
第5章 能量
含彈簧在內的 功－能定理
Wnc = (KE f – KE i ) + (PE gf – PE gi ) + (PE sf – PE si )
PE g
為重力位能。
PEs
為彈力位能。
這時功能理論中的 PE 代表系統中所有的位 能。第5章 能量
含有彈簧的 能量守恆
彈簧初、末的彈力位能分別加到力學能守
恆式的兩側。(KE + PE g
+ PEs
)i
= (KE + PEg
+ PEs
)f
接下來就依前面介紹過的解題步驟來處
理。第5章 能量
例題 5.9
第5章 能量
例題 5.9
第5章 能量
例題 5.9
第5章 能量
例題 5.10
第5章 能量
例題 5.10
第5章 能量
例題 5.11
第5章 能量
第5章 能量
5.5
系統與能量守恆
第5章 能量
利用能量觀點 處理非保守力
若有非保守力作用時，系統的總力學能不
會守恆。作用於系統上所有非保守力做的功，等於
此系統的力學能變化。E
能量W nc = Δ
第5章 能量
非保守力與能量
能量可以經由系統的邊界進出系統，亦可
轉變成如熱能之類的非力學能。( ) ( )
( ) ( )
nc f i i f
nc f f i i
W KE KE PE PE or W KE PE KE PE
= − + −
= + − +
第5章 能量
能量轉移(傳遞)
藉由功來傳遞。
施力於物體上。
使系統或系統產生 位移。第5章 能量
能量轉移(傳遞)
熱
藉由物質中分子的 相互碰撞來傳遞。
例如：放入熱咖啡 中的湯匙會逐漸變 熱，這是由於咖啡 分子的一部份動能 轉移到湯子的方子 上，成為湯匙的內 能。第5章 能量
能量轉移(傳遞)
力學波
擾動可以經由介質傳 遞出去。
這類力學波包括聲 波、水波、地震波。藉由電力來轉移
利用電流傳送能量。
這就是能量進入任何 一種電器裝置的方 式。第5章 能量
能量轉移(傳遞)
利用電磁輻射來傳遞。
任何形式的電磁輻射都 能傳送能量。• 光、微波、無線電波等
都是電磁輻射。
第5章 能量
能量守恆的一些 注意事項
對於能量，我們無法無中生有，也不可能
讓它憑空消失。
這是能量守恆的另一種說法。
如果一系統的能量不守恆，那麼能量必然會藉 由機械方式穿越過系統的邊界。
這種情形在物理之外的其他領域也適用。第5章 能量
第5章 能量
第5章 能量
5.6
功率
第5章 能量
功率
功率是單位時間的能量轉移率。
W Fv
℘ = t =
其SI單位為瓦特 ( W )。
2
2
s
m kg
s
W J •
=
=
第5章 能量
功率 (續)
美國慣用單位為馬力(hp)。
須利用單位轉換。s W lb
hp 550 ft 746
1 = =
功或能量的單位可以利用功率的單位來表示。• 千瓦小時(kWh)通常用在電費帳單上。
• 千瓦小時是能量而非功率的單位。
第5章 能量
例題 5.12
第5章 能量
例題 5.12
第5章 能量
例題 5.13
第5章 能量
例題 5.14
第5章 能量
例題 5.14
第5章 能量
質量中心(質心)
質心可以看作是物體或系統上所有質量集
中的一點。
當考慮力學能時，位能的變化與質心高度的改 變有關。第5章 能量
第5章 能量
5.7
變力所做的功
第5章 能量
變力做功
當力對物體在一般位移過程所做的功，等
於 F 隨位移變化函數曲線下方的面積。第5章 能量
第5章 能量
彈簧例題
彈簧被緩慢地從 0 拉到 x max
。W = ½kx²
= kx
−
=
恢復力拉力
F F r r
第5章 能量
彈簧例題 (續)
功為F－x 圖中曲線
下方的面積。在本例中功為三角
形的面積。面積= ½底
╳ 高，是故W = ½kx² 。
第5章 能量
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5.29
第5章 能量
例題 5.15
第5章 能量
例題 5.15
第5章 能量
例題 5.16
物理學
