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台南二中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科
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一、單一選擇題(每題 5 分)( )1. 已知 a b c d
是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為3
8，則 a b− = _________
(A) 3
−8 (B)3
8 (C)5
8 (D)11
8 (E)13 8 ( )2. 已知矩陣 a b
c d
的乘法反矩陣為 e f g h
，請選出 2 2 2 2 c d a b
的乘法反矩陣
(A) 4 4 4 4 g h
e f
(B) 4 4 4 4 e g
f h
(C) 4 4 4 4 f e
h g
(D) 2 2 2 2 g h
e f
(E) 2 2 2 2 f e
h g
( )3. 已知二階方陣 a b A c d
=
滿足 1 2
2 1
A −
= −
， 2 3 3 2 A
=
。請選出方程組 1 2 ax by cx dy
+ =
+ =
的解
( , )x y =_________
(A)( 2, 1)− − (B)(10,17) (C)( 10, 17)− − (D)(14,11) (E)( 14, 11)− − ( )4. 如圖所示，平面上點P a b( , )及點Q c d( , )。若矩陣 A 滿足 a c
A b d
=
， 則矩陣 A 最可能為下列哪個矩陣？
(A) 1 0 0 0
(B) 0 1 2 0
(C) 1 0 1 1
−
(D) 1 3
3 0
−
(E)
1 3
2 2
3 1
2 2
−
二、多重選擇題(每題 6 分，錯 1 選項得 4 分：錯 2 個得 2 分；錯 3 個以上得 0 分) ( )1. 已知矩陣 1 3 1
2 1 3
A − −
=
−
， 1
B 0
=
，C
[
0 1]
。設 n 為正整數，符號A 代表矩陣n A 自乘 n 次。令 n n nn n
a b A c d
=
。請選出正確的選項
(A)存在矩陣X 使用 AX = (B)存在矩陣Y 使得 AY CB = (C)若矩陣AD= AE，則矩陣 D= (D)E A2 =2A
(E)滿足 1 0 0 1 An
=
的最小正整數n=12
( )2. 設三個相異平面
0 0 0 ax y z x ay z x y az
+ + =
+ + =
+ + =
相交於直線 L ，現在考慮三元一次聯立方程式
(＊)
3 3 ax y z x ay z k x y az
+ + =
+ + =
+ + = −
，已知( , , )x y z =(1, 2, 3)是方程式(＊)的解，請選出正確的選項
(A)a> (B)向量0 (1, 2, 3)是直線 L 的方向向量
(C)k = (D)0 ( , , )x y z = − − −( 1, 2, 3)也是方程式(＊)的解 (E)( , , )x y z = − − −( 3, 2, 1)也是方程式(＊)的解
x y
Q P
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( )3. 設一礦物內含A 、 B 、 C 三種放射性物質，放射出同一種輻射。已知 A 、 B 、 C 每公克 分別會釋放出 1 單位，1 單位，2 單位的輻射強度，又知 A 、 B 、C 每過半年其質量分別 變為原來質量的1
4、1 3、1
2倍。於一年前測得此礦物的輻射強度為 66 單位，而半年前測 得此礦物的輻射強度為 22 單位，且目前此礦物的輻射強度為 8 單位，則目前此礦物中 A 、
B 、 C 物質之質量分別為 x 、 y 、 z 公克。請選出正確的選項 (A)x+ +y 2z=8 (B) 22
4 3 x y
+ + =z (C) x> (D) y zy = (E)目前時間的半年後此礦物的輻射強度將低於 3 單位
( )4. 使用圓球和甲、乙兩球袋做機率實驗。每次做如下操作：先自甲袋隨機取一球放入乙袋﹐
再自乙袋隨機取一球放入甲袋。每次操作可能會改變甲袋中球的狀態。已知開始時甲袋 有 1 白球 1 黑球，乙袋有 1 白球，因此甲袋中球只有二種可能情況：把一白球一黑球稱 為狀態 1，雙白球稱為狀態 2。把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為p ，ij 由此構成一 2 2× 矩陣 P 。請選出正確的選項
(A)第一次操作後，袋中會變成兩顆白球(狀態 2)的機率是1 2 (B)矩陣P 滿足pij = pji (C)P 的行列式值為正
(D)第 3 次操作後，變成一黑一白的機率是變成雙白的機率的兩倍以上
(E)經過k 次操作後，變成任何一種狀態的機率，會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於1 2 三、填充題(答案若為矩陣，請使用[ ]表示)
答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 7 14 20 26 32 37 42 47 52 56
1. 已知三元一次聯立方程組
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
恰有一組解( , , )x y z =(1, 6,8)− ，若
1 1 1
2 2 2
3 3 3
8 b c d b c d b c d
= − ，求
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b d a b d a b d
之值為__________
2. 某人利用矩陣列運算在紙上解一個三元一次聯立方程組如下：
1 1 1 5 1 0 4 7
2 1 8 0 1 2
0 2 0 2 0 0 1
a b
c
− −
→ → → −
− −
若數字 a ， b ， c 不慎汙損，試求出序對
( , , )a b c =__________
3. 設二階方陣 2 2 3
8 2 4
x
A − x
= − 沒有乘法反矩陣，求實數 x 的值為__________
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4. 設
ij 4 3
A= a × ，
ij 3 4
B= b × ，aij = − ，2i j bij = −i2 j，若
ij 4 4
C= c × = AB，求c32 = __________
5. 已知 3 2 2 x u v y u v
= +
= −
且 2 3
2 a x y b x y
= −
= +
，若矩陣 M 滿足 a u
b M v
=
，求方陣 M = __________
6. 設P 、Q、 R 為二階方陣，已知 2 1 PQ 1 2
= − ， 1 3 QR 4 1
=
且 1 2 Q 1 3
=
，則方陣 P+ = __________ R
7. 已知矩陣A ， B 滿足 3 5 4 0 A B
+ =
， 1 1
2 4 A B −
− = − ，則A2−B2 = __________
8. 設 0 1 A 0 1
=
， 1 0 I 0 1
=
，若矩陣 1 1 11
0 2 xI yA
= +
，則序對( , )x y =__________
9. 設有A 、 B 兩支大瓶子，開始時， A 瓶裝有 a 公升的純酒精， B 瓶裝有 b 公升的礦泉水。每一輪 操作都是先將 A 瓶的溶液倒出一半到 B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A 瓶(不考慮酒精與 水混合後體積的縮小)。設 n 輪操作後， A 瓶有an公升的溶液， B 瓶有bn公升的溶液。已知二階 方陣 11 12
21 22
a a
a a
滿足 11 12
21 22
n n
n
a a a a
b = a a b
。求二階方陣 11 12
21 22
a a
a a
=
__________
10.已知點P(1, 4)與Q(3, 5)經過二階方陣 A 做線性變換後所對應的點分別為P′( 1, 3)− − 與Q′(4, 5)，求 二階方陣 A= __________
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台南二中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科簡答
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一、單一選擇題(每題 5 分)1. 2. 3. 4.
(B) (E) (B) (D)
二、多重選擇題(每題 6 分，錯 1 選項得 4 分：錯 2 個得 2 分；錯 3 個以上得 0 分)
1. 2. 3. 4.
(A)(C)(E) (C)(E) (A)(D) (C)(D)
三、填充題(答案若為矩陣，請使用[ ]表示)
答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 7 14 20 26 32 37 42 47 52 56
1. 2. 3. 4. 5.
− 64 (3, 3, 1)− 3 24 0 7
7 0
6. 7. 8. 9. 10.
0 4 2 2
−
4 11 7 7
−
−
(1, 2047)
43 42 21 22
3 1 5 2
−
−
