第壹部分：選擇題（占60分） 一

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單選題（占 30 分）

說 明 ： 第 1 題 至 第 6 題 ， 每 題 有 5 個 選 項 ， 其 中 只 有 一 個 是 正 確 或 最 適 當 的 選 項 ， 請 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」。 各 題 答 對 者 ， 得 5 分 ； 答 錯 、 未 作 答 或 畫 記 多 於 一 個 選 項 者 ， 該 題 以 零 分 計 算 。

1. 已 知 x 為 有 理 數 ， 則 滿 足 方 程 式 2

1 1

( )(2 )(log ) 0

2 2 2

 ^x   

x x  x

的 相 異 解 x 有 幾 個 ？ (1) 0

(2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4

2. 下 列 各 組 資 料 ， 何 者 的 標 準 差 最 大 ？ A： 1, 2 , 3 , 4 , 5

B： 2011, 2012 , 2013 , 2014 , 2015 C： 1, 3 , 5 , 7 , 9

D： 10 , 20 , 30 , 40 , 50     E： 501, 502 , 503 , 504 , 505     (1) A

(2) B (3) C (4) D (5) E

3. 已 知 實 數 α、 β 為 實 係 數 方 程 式 x²ax b 0的 兩 根 ， 且 滿 足 以 下 兩 個 條 件 ： (Ⅰ ) loglog log6_{； (Ⅱ ) 2}^2^ 256。

則 a b值 為 ？ (1) 14

(2) 2 (3) 0 (4) 2 (5) 14

4. 已 知 實 數 a、 b 滿 足 2 2 2 2

  

a b

a b ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) a b ， 且 a、 b 均 不 為 0

(2) a b ， 且 a、 b 均 為 正 實 數 (3) (a²b²)(1²1 ) (²  a b  )² (4) log 2 log 2

log 2 log 2

  

a b

a b

(5) 方 程 式 x²ax b 0必 定 有 實 數 解

5. 已 知 二 次 實 係 數 多 項 式 f x( )x²2x m ， g x( )  x² 2x n ， 若 y f x g x( ) ( )的 圖 形 與 x 軸 恰 有 兩 個 相 異 交 點 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) m 值 可 能 等 於 1 (2) n 值 可 能 等 於 1

(3) 若m2， 則 n 有 可 能 等 於 2 (4) 若m 1， 則 n 有 可 能 等 於 0 (5) 若m0， 則 n 有 可 能 等 於 0

6. 設(2i)⁶ a bi， 其 中 a、 b 為 整 數 ， i  ， 請 問 b 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 。 1 (1) 2⁶C₀⁶2²C ₄⁶

(2) 2⁵C₁⁶2³C₃⁶2C ₅⁶ (3) 2⁶C₀⁶2⁴C₂⁶2²C₄⁶C ₆⁶ (4) 2⁶C₀⁶2⁴C₂⁶2²C₄⁶C ₆⁶

(5) 2C₁⁶2²C₂⁶2³C₃⁶2⁴C₄⁶2⁵C₅⁶2⁶C ₆⁶

二、多選題（占 30 分）

說 明 ： 第 7 題 至 第 12 題 ， 每 題 有 5 個 選 項 ， 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 項 ， 請 將 正 確 選 項 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇 （ 填 ）題 答 案 區 」。 各 題 之 選 項 獨 立 判 定 ， 所 有 選 項 均 答 對 者 ， 得 5 分 ； 答 錯 1 個 選 項 者 ， 得 3 分 ； 答 錯 2 個 選 項 者 ， 得 1 分 ； 答 錯 多 於 2 個 選 項 或 所 有 選 項 均 未 作 答 者 ， 該 題 以 零 分 計 算 。 7. 下 列 各 式 的 大 小 關 係 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) 2014 2013 2013 2012 (2) 2²⁰¹⁴2²⁰¹³ 2²⁰¹³2²⁰¹²

(3) (0.5)²⁰¹⁴(0.5)²⁰¹³(0.5)²⁰¹³(0.5)²⁰¹² (4) log 2014 log 2013 log 2013 log 2012   (5) C₁₄²⁰C₁₃²⁰C₁₃²⁰C₁₂²⁰

8. 某 次 考 試 結 束 後 ， 至 少 有 2 人 分 數 不 同 ， 平 均 成 績 為 40 分 ， 老 師 決 定 調 整 成 績 ， 考 慮 兩 種 不 同 的 分 數 調 整 方 法 。 以 X 表 示 原 來 的 成 績 ， 且 每 位 學 生 的 成 績 用 0 至 100 評 分 。 若 兩 種 新 成 績 的 計 算 方 式 分 別 為 4

5 20

 

Y X 、 5

4 10

 

Z X 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) Y 的 平 均 分 數 小 於 Z 的 平 均 分 數

(2) Y 的 標 準 差 小 於 Z 的 標 準 差 (3) X 與 Y 的 相 關 係 數 為 0.8 (4) Y 與 Z 的 相 關 係 數 為 1 (5) 若 '  ^X

X

X X 

 ^{、 '}

  ^Y

Y

Y Y 

 ^{， 其 中} ^X_、_Y 分 別 為 X、 Y 的 平 均 數 ，X_、_{Y分 別 為} X、 Y 的 標 準 差 ， 則 以 最 小 平 方 法 求 得 'Y 對 X'的 迴 歸 直 線 為 4

' '

5

Y X

9. 某 公 司 共 有 4 個 工 廠 ， 第 k 個 工 廠 的 產 量 占 全 部 的 10

k ， 其 中 k1, 2 , 3 , 4， 且 所 生 產 的

產 品 都 放 進 同 一 倉 庫 中。由 過 去 的 經 驗 知 道，第 1 及 第 2 工 廠 的 產 品 不 良 率 分 別 為 1 50、 2

50， 第 3 及 第 4 工 廠 的 產 品 不 良 率 分 別 為 3

100、 4

100， 為 了 檢 驗 倉 庫 中 這 一 批 產 品 的 品 質 ， 從 倉 庫 中 任 意 抽 出 一 件 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) 抽 出 第 2 個 工 廠 的 產 品 機 率 為 0.2 (2) 抽 出 不 良 品 的 機 率 小 於 0.04

(3) 抽 出 第 2 個 工 廠 的 產 品 且 為 不 良 品 的 機 率 為 0.04

(4) 若 抽 出 不 良 品 ， 則 這 個 不 良 品 來 自 第 2 個 工 廠 的 條 件 機 率 為 0.2

(5) 若 抽 出 不 良 品 ， 則 這 個 不 良 品 來 自 第 4 個 工 廠 的 條 件 機 率 為 來 自 第 2 個 工 廠 的 條 件 機 率 的 2 倍

10. 將 數 字 1、 2、 3、 4、 5、 6 填 入 圖 (1)空 格 中 ， 每 格 填 入 一 個 數 字 ， 數 字 不 重 複 使 用 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) 任 意 填 入 有 720 種 不 同 的 填 法

(2) 若 第 一 列 都 是 偶 數 ， 第 二 列 都 是 奇 數 ， 有 72 種 不 同 的 填 法 (3) 若 每 一 直 行 上 方 數 字 小 於 下 方 數 字 ， 有 90 種 不 同 的 填 法 (4) 若 每 一 橫 列 都 是 由 左 而 右 愈 來 愈 大 ， 有 120 種 不 同 的 填 法 (5) 若 每 一 直 行 的 數 字 和 均 相 等 ， 有 48 種 不 同 的 填 法

11. 已 知 實 係 數 多 項 式 f x( )  x⁴ ax³bx²cx d g x h x( ) ( )， ( )g x 、 ( )h x 均 為 實 係 數 二 次 多 項 式 ， 且 ( )g x 的 二 次 項 係 數 為 1， (2 1) 0g i  。 若 平 面 上 y g x ( )和 y h x ( )圖 形 有 相 同 的 頂 點 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) (2g i 1) 0 (2) a b c d   0

(3) ( ) 0f x  恰 有 兩 個 有 理 數 解 (4) 若 1  x 1， 則 ( )h x 有 最 小 值 4 (5) 若 ( ) 0f x  ， 則 x 3或 x1

圖(1)

12. 小 明 在 數 線 上 從 原 點 出 發 ， 每 次 投 擲 公 正 硬 幣 一 枚 ， 若 出 現 正 面 則 往 正 向 走 一 步 ， 反 面 則 往 正 向 走 兩 步 。 若 連 續 投 擲 n 次 後 ， 用 ak表 示 過 程 中 小 明 位 於 座 標 k 的 機 率 ( k 為 正 整 數 ， n k 2n)。 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) a₁a₂ (2) a₂a₃

(3) ₂ 1 ₁ 1

2 2

   

k k k

a a a

(4) 若b_k a_k1a_k， 則 數 列 b_k 為 公 比 1

2的 等 比 數 列 (5) ₁₀ 683

1024 a

第貳部分：選填題（占 40 分）

說 明 ： 1.第 A 至 H 題 ， 將 答 案 畫 記 在 答 案 卡 之「 選 擇（ 填 ）題 答 案 區 」所 標 示 的 列 號 (13–30)。

2.每 題 完 全 答 對 得 5 分 ， 答 錯 不 倒 扣 ， 未 完 全 答 對 不 給 分 。

A. 已 知 n 為 正 整 數 ， 若 1 1

20 2 96  8 28 16 3

 

n ， 且

8

n為 最 簡 分 數 ， 則 n 。

B. 已 知 兩 變 量 X、 Y 的 數 據 如 右 表 ， 設 以 最 小 平 方 法 求 得 Y 對 X 的 迴 歸 直 線 為 1

2 2

 

y x ， 則  a b 。

C. 已 知 A、 B、 C 為 相 異 三 事 件 ， 且 A、 B 為 獨 立 事 件 ， A、 C 為 互 斥 事 件 。 若 2 ( )3

P B ，

( ) 1

2

P C ， 且 (P AB)P A C(  )， 則 ( ) P A 。 (化 為 最 簡 分 數 )

13 14

X 1 3 2 4

Y 2 a b 3

15

16 17

D. 已 知 a0， 若 不 等 式 2x a 1及 ² 3 4 0

  

x ax 有 相 同 的 實 數 解 集 合 ， 則 a 。

E. 若 將(1.5)⁶⁰化 成 有 限 小 數 ， 其 整 數 部 分 有 a 個 數 字 ， 小 數 點 後 有 b 個 數 字 ， 則 數 對 ( , ) (a b  , )。

F. 設 數 列 a_n首 項 為 1， 且 為 公 差 不 是 0 的 等 差 數 列 ， 其 中 a3、 、a6 a10三 數 恰 成 等 比 數 列 。 若 前 n 項 和 S_na1a2 " a_n， 則 使 得 S_n10的 最 小 正 整 數 n 為 。

G. 座 標 平 面 上 ， 甲 、 乙 兩 人 從 原 點 出 發 ， 分 別 投 擲 一 枚 公 正 骰 子 兩 次 。 若 兩 次 出 現 的 點 數 依 序 為 a、 b， 則 走 到 點 ( , )a b 的 位 置 。 則 兩 人 所 走 到 的 點 位 置 相 異 ， 且 與 原 點 三 點 共 線 的 機 率 為 。 (化 為 最 簡 分 數 )

H. 如 圖 (2)， 有 k 個 相 鄰 的 正 方 形 ， k 為 正 整 數 。 若 用 3 種 不 同 的 顏 色 塗 滿 所 有 正 方 形 ， 顏 色 可 重 複 使 用 ， 但 相 鄰 不 可 同 色 ， 將 所 有 可 能 的 不 同 的 塗 法 數 記 為 ak ， 則 滿 足 ⁴

1

10





k

a 的 最 小

正 整 數 n 為 。

18

23 19 20 21 22

24 25 26 27 28

圖(2) 29 30

參考公式及可能用到的數值

1. 首 項 為 a1， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為 ( ¹ ) (2 ¹ ( 1) )

2 2

  

 ⁿ 

n

n a a n a n d S

首 項 為 a1， 公 比 為 (r r1)的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為 ¹(1 ) 1

 



n n

a r

S r

2. 一 維 數 據 X x x: 1, 2,…,x_n， 算 術 平 均 數 1 2

1

1 1

( )



     



X n i

i

x x x x

n n



標 準 差 ^{2 2 2}

1 1

1 1

( ) (( ) )

 

 ⁿ   ⁿ 

X i X i X

i i

x x n

n n

  

3. 二 維 數 據( , ) ( , ) , (X Y ： x y1 1 x2,y2) ,…, (x_n,y_n)， 相 關 係 數 , ¹

( )( )



 





X Y i

X Y

x y

r n

 

  則 Y 對 X 的 迴 歸 直 線 (最 適 合 直 線 )方 程 式  _Y  _{X Y}, ^Y (  _X)

X

y  r  x 

 4. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,     3.142 5. 對 數 值 ：log 2 0.3010 , log 3 0.4771, log 5 0.6990 , log 7 0.845110  10  10  10 