文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-1 平面向量的表示法
3-1 平面向量的表示法 重點一 向量的幾何表示法與坐標表示法
例題
1
正六邊形 ABCDEF 中，若
AB
＝ a， BC
＝ b
， CD
＝ c
，則：
(1) 以 a
， b
， c
表示下列向量：
AF
＝ 。
DE
＝ 。 DO
＝ 。
(2) 所有邊可以決定 種不同的向量（不含對角線）。
解 (1)
AF
＝ CD＝ c
；
DE
＝BA
＝－ a； DO
＝ CB
＝－ b (2)
AB
＝ED
＝ a；
BA
＝ DE
＝－ a；
AF
＝ CD＝ c
FA
＝ DC＝－ c
； BC
＝
FE
＝ b；CB
＝
EF
＝－ b 故所有邊可以決定 6 種不同的向量例題
2
給定平面上三點，已知 A（1 2﹐ ），B（3 1﹐ ），C（－2 0﹐ ），
(1)
AB
＝ ， BC＝ 。
(2) M 為 A，B 之中點，則 M 點坐標為 。
(3) 若 ABCD 為一平行四邊形，試求 D 點坐標為 。 解 (1)
AB
＝（3－1 1﹐ －2）＝（2﹐－1）
BC
＝（－2－3 0﹐ －1）＝（－5﹐－1）
(2)M 點坐標為
1 3 2 1
2 2
＋＋ ，
＝
2 3
2
，
(3)設 D 點坐標為（x﹐y）∵
AD
＝ BC則（x－1﹐y－2）＝（－5﹐－1）
∴x＝－4，y＝1
故 D 點坐標為（－4 1﹐ ）
重點二 向量的加減法與係數乘法 例題
3
對於圖中的平行六面體，下列敘述何者正確？
(A) HG
＝
AB
(B)
AE
＋EH
＋
HD
＋
DA
＝ 0
(C)
AB
＋ BC＝ AC
(D)
AF
＋ BC＝
AD
＋ DG＝
AH
＋ AB
(E) AH
＋ GB＝ 0
。
文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-1 平面向量的表示法
解 (A)○： HG
＝
AB
(B)○：
AE
＋EH
＋ HD
＋DA
＝ AA
＝ 0 (C)○： AB
＋ BC＝ AC
(D)○：
AF
＋ BC＝
AF
＋ FG＝ AG
＝
AD
＋ DG…………
又
AB
＝ HG∴
AH
＋ AB
＝ AH
＋ HG＝ AG
……
由、知
AF
＋ BC＝
AD
＋ DG＝
AH
＋ AB
(E)○： AH
＝－ GB∴
AH
＋ GB＝ 0 故選(A)(B)(C)(D)(E)
例題
4
A（－4 1
﹐ ），B（1 4﹐ ），C（－2﹐－3）， AB
＝ CD，則：
(1) D 點坐標為 。 (2) 2
AB
－3 BC＝ 。 (3) │
AB
＋2 BC│＝ 。 解 (1)設 D 點坐標為（x﹐y）
利用 CD
＝
AB
（x＋2﹐y＋3）＝（1＋4 4﹐ －1）∴x＝3，y＝0 D 點坐標為（3 0﹐ ） (2)∵
AB
＝（1＋4 4﹐ －1）＝（5 3﹐ ）， BC＝（－2－1﹐－3－4）＝（－3﹐－7）
2
AB
－3 BC＝2（5 3﹐ ）－3（－3﹐－7）＝（19 27﹐ ） (3)
AB
＋2 BC＝（5 3﹐ ）＋2（－3﹐－7）＝（－1﹐－11）
│
AB
＋2 BC│＝ （ ）＋（－） ＝ 1221 2 11 2 例題
5
給定平面上三向量 u
＝（1﹐－1）， v
＝（－1 2﹐ ）， w
＝（2 1﹐ ），試求：
(1) 2 u
＋3 v
－2 w
＝ 。 (2) │2 u
＋3 v
－2 w
│＝ 。 解 (1)2 u
＋3 v
－2 w
＝2（1﹐－1）＋3（－1 2﹐ ）－2（2 1﹐ ）
＝（2－3－4﹐－2＋6－2）＝（－5 2﹐ ） (2)│2 u
＋3 v
－2 w
│＝（－）＋5 2 22 ＝ 29
重點三 向量的線性組合 例題
6
下圖格線為互相平行且等距離的平行線組合，試以 a 和 b
表示下列向量：
(1)
AB
＝ 。 (2) CD＝ 。 (3)
EF
＝ 。文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-1 平面向量的表示法
解 令 a
＝（3 0﹐ ），b
＝（0 2﹐ ）
(1)
AB
＝（2 4﹐ ）＝2
3
（3 0﹐ ）＋2（0 2﹐ ）＝2 3 a
＋2 b
(2)CD
＝（－7 3﹐ ）＝－
7
3
（3 0﹐ ）＋3
2
（0 2﹐ ）＝－7 3 a
＋
3 2 b
(3)
EF
＝（－4 8﹐ ）＝－4
3
（3 0﹐ ）＋4（0 2﹐ ）＝－4 3 a
＋4 b 例題
7
如下圖，D 在△ABC 之 BC 邊，且 CD ＝2
BD
，G 為 AC 之中點，若將GD向量寫為 GD
＝r
AB
＋s AC
，其中 r 及 s 為實數，則 r＋s 之值等於
(A)
1 2
(B)2 3
(C)1
3
(D)－1
3
(E)－4 3
。解
GD
＝ GA
＋
AB
＋BD
＝－
1 2
AC
＋
AB
＋1 3 BC
＝－
1 2
AC
＋
AB
＋1 3
（ AC－
AB
）＝
2 3 AB
－
1 6
AC
∴r＋s＝
2 3
＋1 6
－
＝
1 2
故選(A)例題
8
設△ABC 中，
(1) BC 上的點 D 滿足
BD
： CD ＝3：2，將 AD
表示成 x AB
＋y AC。 (2)
AD
上的點 E 滿足AE
：DE
＝2：1，將 AE
表示成 α AB
＋β AC。
解 (1)
AD
＝2 5 AB
＋
3
5
AC
文興高中 高中數學第三冊習作甲 3-1 平面向量的表示法
(2)
AE
＝2 5 AD
＝
2 3
2 3
5 AB 5 AC
＋
＝
4 15 AB
＋
2 5
AC
例題9
△ABC 中，點 M 在
AB
上且AM
：BM
＝2：3，點 P 在CM 上且CP ： MP＝4：1，若 AP
＝x AB
＋y AC
，則數對（x﹐y）＝ 。
解
AP
＝4 5 AM
＋
1 5
AC
＝
4 5
×2 5 AB
＋
1 5
AC
＝
8 25 AB
＋
1 5
AC
∴數對（x﹐y）＝
8 1 25 5
，
例題
10（三點共線的判別法）
如下圖，設 A，B，C 三點不共線。P 點與 A，B，C 三點在同一平面上且
AP
＝3 AB
＋2 AC。 令
AP
與 BC 交於 M，試將 AM
寫成 r AB
＋s AC之形式。
解 ∵
AM
// AP
令 AM
＝t AP
∴
AM
＝t AP
＝3t AB
＋2t AC………（*）
又 B，M，C 三點共線，因此令 3t＋2t＝1 ∴t＝
1
5
代入（*）所以
AM
＝3 5 AB
＋
