第八章 参数假设检验

 假设检验的思想假设检验的思想

 假设检验的思想假设检验的思想

 正态总体均值的检验正态总体均值的检验

 正态总体均值的检验正态总体均值的检验

 正态总体方差的检验正态总体方差的检验

 正态总体方差的检验正态总体方差的检验

第八章 参数假设检验

第八章 参数假设检验 第八章 参数假设检验

第八章 参数假设检验

参数估计的方法是通过分析样本而估计总体参数

的取值 ( 点估计 ) 或总体参数落在什么范围 ( 区间估计 )

，

而有些实际问题中，我们不一定要了解总体参数的取 值或范围，而只想知道总体的参数有无明显变化总体的参数有无明显变化，或 是否达到既定的要求，或两个总体的某个参数有无明 显差异等。这类问题就是参数的假设检验问题。

【例【例 11 】质量检测 用包装机包装糖果 , 每袋重量为】质量检测 服从正态分布的随机变量 . 当机器正常时 , 其均值为 0.

5

公斤 , 标准差为 0.015 公斤 . 为检验包装机工作是否 正常 ,

随机抽 9 袋 , 称得重量 ( 单位 : 公斤 ) 为 : 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512

问该包装机工作是否正常 ? 先看一个例子。

问题问题 已知总体 ( 袋装糖重量 )x~N(μ,0.015 ²), 其 中

μ 未知 , 根据样本值来判断 μ=0.5 还是 μ≠0.5?

答案答案 认为 μ=0.5[ 接受 μ=0.5], 或认为 μ≠0.5[ 拒 绝 μ=0.5]

理论依据 理论依据 统计推断原理——小概率事件在一次统计推断原理——

试

验中几乎不发生 . 解决步骤解决步骤

5 . 0

: ₀

0    

H

H

:



(1) 提出假设

(2) 给定检验法则 , 利用样本值依统计推断原理 作

出判断 :

接受 H₀( 即拒绝 H₁) —— 认为包装机工作 正常 拒绝 H₀( 即接受 H₁) —— 认为包装机工作不

正常  如何给定检验法则？如何给定检验法则？

由于待检验的是总体均值 μ ，故自然想到能否 用统计量样本均值 来进行判断。

x

因为 是 μ 的无偏估计，所以观察值 在一定程 度上反映了 μ 的大小。从而

x

x

|

| x  

) 1 , 0 ( / ~

0 0

N

n

u x





 

当假设假设 HH₀₀ 为真时 , 观察值 与的 偏差一为真 般不

应太大，即

x

较小 注意到：

故应有

n x

/

0







由此可得判定法则判定法则：选定一适当正数 k ，使得 当

样本值满足

由于作出判断的依据仅为一个样本值，所以我 们

会犯两种类型的错误两种类型的错误：

n k

x   /

0





n k

x   /

0





接受 H

0

拒绝 H

 0

 如何确定正数如何确定正数 kk ？？

第一类错误 [ 弃真弃真 ]——H₀ 实际为真而作出拒 绝 H₀

第二类错误 [ 取伪取伪 ]——H₀ 实际为假而作出拒 绝 H₀

犯两类错误的概率分别为



H



^

P 



^

P

尽管主观上希望犯两类错误的概率都很小。但 在样本容量一定的情况下，不能同时控制犯两类错误 的概率。



 }

|

{拒绝

H

H

P

一般，称控制犯第一类错误概率的检验问题为 显著性检验问题

显著性检验问题。为此 , 给定一个较小较小的正数 α(0<

α<1), 使有

在此条件下确定 k 的值 .

小概率事件 小概率事件

在例例 11 中 , 当假设 H₀ 为真时 , 统计量

  ^





 ⁰ } 拒绝 ₀ | ₀为真

{

k P H H

n P x

) 1 , 0 (

~

0

N

n u x





 

由 得

 2

U k  U

k 

至此，在显著性水平显著性水平 α 下 , 根据所给一个一个样本 值

按统计推断原理统计推断原理作出最终判断：

2 0 /

/





U n

x  

2 / 0

/





U n

x  

接受 H

0

拒绝 H

0

小概率事件 小概率事件

在例例 11 中 , 取显著性水平 α=0.05, 由样本值

0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511

0.520 0.515 0.512

经计算得

x  0 . 511 ,

而

n  9 ,   0 . 015

查表得

z

 z

 1 . 96

计算检验统计量观察值为

2 . 9 2

/ 015 .

0

5 . 0 511

. 0 /

0

 

 

 n

u x





由

| u |  2 . 2  1 . 96  z

作出拒绝 H₀, 即认为包装机工作不正常 .

现在在一次实验中 , 小 概率事件 {|u|≥k} 竟然发

生 , 根据统计推断原理 有理由怀疑假设的正确

性 , 从而拒绝假设 H0. 现在在一次实验中 , 小 概率事件 {|u|≥k} 竟然发

生 , 根据统计推断原理 有理由怀疑假设的正确

性 , 从而拒绝假设 H0.

基 本 概 念 基 本 概 念

0 0 :    H

n u x



₀

 

统计量 _{检验统计量}

假设 原假设

0 1 :   

H _{( 双边 ) 备择假设}

 



 _{  }

 ⁰ } 拒绝 ₀ | ₀为真

{ k P H H

n P x

正小数 α ^{显著性水平}

区域

C :| u |  k

在显著性水平 α 下 , 检验假 设

拒绝域 拒绝域

拒绝域的边界点U_ ²,U_ ² _临界点

 2

 z z_{ 2}

临界点

u

u u

拒绝 H₀ 拒绝 H₀

接受 H₀ 接受 H₀

拒绝 H₀ 拒绝 H₀ 检验问题提法

检验问题提法 :

0 1

0

0 :    ; H :   

H 双边检验双边检验

0 1

0

0 :    ; H :   

H 左边检验左边检验

0 1

0

0 :    ; H :   

H 右边检验右边检验

由例 1 得 : 单正态总体方差已知单正态总体方差已知时均值时均值的 双边检验拒绝域

双边检验拒绝域

| U |  U

左边检验拒绝域 左边检验拒绝域

右边检验拒绝域 右边检验拒绝域

U

U  

U

U

  ^





  



 

为真 拒绝 _{0 0}

0 } |

{ z P H H

n P x

类似可得 :

  ^





  

 

为真 拒绝 _{0 0}

0 } |

{ z P H H

n P x

参数的显著性检验问题显著性检验问题的步骤步骤 :

1 、根据题意提出原假设原假设 H₀ 与备择假设备择假设 H₁; 2 、给定显著性水平显著性水平 α(=0.01,0.05) 和容量容量 n;

3 、根据 H₀ 构造检验统计量检验统计量 U, 当 H₀ 为真时 ,U 的

分布已知且与未知参数无关 ;

4 、确定拒绝域的形式 , 并由



 }

|

{ 拒绝 H

H

为真 P

确定 H₀ 的拒绝域拒绝域 C;C

5 、抽样 , 根据样本观察值计算检验统计量 U 的 观

察值 . 若 , 则拒绝 H

u

^u

^C

^u

^C

说说 明明

在方差已知时均值的下列两种检验问题

0 1

0

0 :    ; H :    H

0 1

0

0 :    ; H :    H

虽然形式和意义均不同 , 但在相同的显著性水平下其拒绝 域是相同的 .

因此 , 后者可转化为前者来处理 .

下节讨论的各种检验也有类似情形 , 不再一一说明 .