楚。在這部分的討論中我們仍是取

第十章 數值結果與重定尺度

前面曾經提到，取慢滾近似可以幫我們把計算做很大程度的化 簡，但卻會同時增加理論的誤差。如果要處理沒取近似的情況，卻又 往往不容易得到解析解，如同魚與熊掌不可兼得，這時就需要數值計 算來幫我們。在數值計算中我們可看到次要項（如 H 、H ）的影響，

並且告訴我們原先所取近似的適用範圍。不過做數值計算前，我們必 須將訂為一的

楚。在這部分的討論中我們仍是取

，因此長度、時間（包含 哈伯時間1/ H ） 、質量都視為是能量[ ]

坦方程應為

8 /

G_μν

= π

=

。 (10.1) 只要是由(10.1)所得到的方程式，式子的右手邊必須加上係數 1/ M

。簡單的說，這些式子中的變數 ρ 、 p 、 K 、V 、 δϕ

的前方都要加 上 1/

2 2

3 /

H

+

=

、 1

2

ϕ δϕ

Φ + Φ =

^{、 3 4 4}

⁰

B HB BdV M H

+ +

+ = 。 在分析作用量(4.1)時我們有提到 [ ] [ L = E

] ，又V 與 L 是相同的 量綱，故在具有質量的位能

=

中， [ ]

= [

] ，即[ ] [ ϕ

= δϕ

] [ ] =

。另外，我們可從(5.2)看出度規微擾 Φ 是無量綱的物理量，所以再

由(5.20)、(5.26)便可得知[

] [ ] =

、 [ ] [ κ = E

] 、 [ ] [

=

] 。在瞭解

相關物理量的量綱後，我們可以開始重定尺度（Rescale）的工作。

我們知道在粒子物理中普朗克質量是相當大的能量尺度，用以標 定重力的量子效應的尺度，也提醒了我們在宇宙的初期哈伯時間 1/ H

大約是普朗克質量的數量級，如此大的數量級出現在數值計算 中容易引起很大的誤差。同時，我們也希望理論不會受到物理單位變 換的影響，因此重定尺度可說是勢在必行。選擇適當的物理量來重定 尺度要靠的是觀察與經驗，我們選的是 H

，這可從兩個基本動機來 解釋：1.暴漲宇宙模型是處理初期宇宙的模型，此時期兩個重要的參 數 M

∼ 1/ H

。2. 要處理的方程式都與對時間的微分有關。

（一）背景的數值計算

從之前的討論可知，所要分析的微分方程分成背景與微擾兩部 分。我們先看背景的部分的兩個式子(4.12)與(7.3)。重定尺度後我 們得到了幾個新的變數，分別是

tH

τ = 、 ( )

( )

ini

h H t

τ = H 、 ( )

( )

ini

b B t

τ = H 。 (10.2) 需注意在接下來的討論中我們定 A =

A ，而不是對物理時間的微 分，因此我們把(4.12)、(7.3)分別同除 H

、 H

後得到

2

2

1

3 2

h h m b

M

⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ， (10.3)

2 2

3 2 4

0

ini ini

m M

b hb b h

H H

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 (10.4)

要對上面兩式作數值分析有四個要定下來的參數，分別是三個初 始條件 h (0) 、 b (0) 、 b (0) 及位能質量 m 。由於我們取了 H

，所以

(0) 1

h = 。在上一節中我們令 m = m H / ，在慢滾條件下 H 就是 H

（不 隨時間改變） ，因此我們設 m = m H /

。為了方便假設暴漲子的演化初 速 b (0) 0 ，同時，假設暴漲宇宙一開始很接近慢滾條件，即 h (0) 0 ， 後面再考慮不同 h (0) 的影響。由(10.3)我們可得到

2 2

2 2

2

6 (0)

(0) 6

6

Pl Pl Pl

ini ini

M M M b m

b m m H H

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 (10.5) 這時可將(10.3)、(10.4)改成

2

3

3 (0)

h h b

+ =

， (10.6)

2 2

2 (0)

3 2 0

3 b m

b + hb + m b + h = 。 (10.7)

接著我們只要設定 m 、 b (0) 這兩個變數的值即可。我們分成兩部 分來討論，一個是改變 m ，另一個則是改變 b (0) ：

1.改變 m ：

在經過數值計算後，我們得到了圖一的結果。在這部分計算裡我 們定 b (0) 1 = ，而黑色的線表示 m = 10

、藍色的線表示 m = 10

、綠 色的線表示 m = 10

、紅色的線表示 m = 10

。暴漲宇宙模型假設宇 宙在初期時經過了急速且急遽的膨脹，用以解釋現在所觀測的 CMB。

因此我們需要尺度因子有 e

的膨脹等級（60 e-fold） ，即 ∫

= 60 ^。

若是在慢滾條件下 H 為定值，我們便可直接用 H t Δ = 60 來估計。這 時也可看出定 H

作為重定尺度工具的另一個好處，就是 Hdt = hd τ 。 因此只要圖一中的任一條曲線，曲線下的面積等於 60 即可。如果我 們希望圖一中黑色與藍色的曲線下面積等於 60，那

要取到相當大才 有可能，如此宇宙暴漲的急速性就消失了。綠色曲線在 τ = 70 附近就 足夠，而紅色曲線的更是 τ = 60 就達到了。另外紅色曲線滿足慢滾條 件，綠色曲線接近慢滾條件，藍色與黑色曲線則是完全不符合。所以 我們可以這樣說，越滿足慢滾條件也就越容易達成 60 e-fold，如此 慢滾條件在暴漲模型的地位可想而知。會使得這些曲線有如此大的差 異，當然是我們取的不同 m 值所導致，所以這部分的結論是， m 的值 越小，就越容易滿足慢滾條件，同時也越容易有暴漲宇宙。這也說明 了在前一節中，我們為何只討論不同模在 m 1 極限下的解析解。不 過，有一點需要補充，(6.3)也代表著慢滾條件，但是如果 m 越小會 不會違反(6.3)呢？其實是不會的，因為 m 是重定尺度後的質量，因 此 m 1 其實是說 m H

，我們由(4.12)與(9.1)可得到

2 2

2 2

2

1 2

2

Pl ini

Pl Pl ini

V m m M

H B

M M H B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^，

所以條件 m H

滿足的同時也保證

m 減少則 B

增加， V 維持不變，故(6.3)仍成立。

圖一 2.改變 b (0)

在經過數值計算後，我們得到了圖二的結果。在這部分計算裡我 們定 m = × 5 10

，這已經接近慢滾條件。圖中藍色的線表示

(0) 10

b = 、綠色的線表示 b (0) = 10 、紅色的線表示 b (0) = 10

。圖

中的線寬度不一，不是因為計算結果振盪很快，而是算出來三種狀況

幾乎重疊，所以我們用不同粗細的線來區別。所取的 b (0) 值相差了九

個數量級後，各色線仍重疊在一起，表示不同的 b (0) 對於結果影響不

大[12,13]。總和我們對背景部分的討論結果，可知在具質量的自由

場中，

的取值比 b (0) 來的重要，而且要有 60 e-fold 還必須取 m 1 。

圖二

上面所給的圖都是 h ( ) τ 的函數圖形，圖三則是將 b ( ) τ 取了對數。

三種不同顏色的曲線與圖二的三種情況相同。很容易發現背景的暴漲 子都是隨著時間的增加而遞減，我們可以這樣說，暴漲子可能經過某 種再加熱（Reheating）的機制將位能釋放了出來，因而離開了高能 的尺度。所釋放出來的熱提供了宇宙作為大霹靂發生的來源。當然，

這只是猜想，對於中間的途徑仍然是需要再深入的研討。下面我們要 看微擾的部分，既然背景的部分是遞減的，我們希望微擾也在隨時間 演化後能減少。

圖三

前面的討論描述了當宇宙初始狀態接近慢滾近似（ h (0) = 0 ）時，

( )

h τ 的演化情形。但是，如果初始時不取慢滾條件，整個問題的結果 是否會完全改變？為了回答這問題，緊接著開始討論改變 h (0) 的情 況。此時(10.5)改寫成

( ) ( )

2 2

2 (0)

3 (0)

(0) 2 3 (0)

Pl

Pl ini

m M b m

M b h H h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = + ⇒ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = + ^。

我們取 m = 10

以及 b (0) 1 = ，計算後得到圖四，其中黑色線表示 (0) 10

h = 、藍色線表示 h (0) 10 =

、綠色線 h (0) = 0 表示、紅色線表示 (0) 1

h = − 。圖中顯示即使初始狀態不同，經過些許時間後，斜率仍然 被拉至接近水平。圖五是把時間軸再拉長，可清楚的看見各色線幾乎 平行，由於 m = 10

可知道不完全滿足慢滾條件，因此會有 h ( ) τ < 0 。

圖四

圖五

接著我們取 b (0) 1 = 、 h (0) 10 =

，然後改變 m ，所得圖六很類似 圖一，且各色線的 m 值和圖一相同。由於 h (0) 10 =

> 0 ，因此在圖六 中，慢滾條件大約是在 h ( ) τ = 2 時發生。另外，圖六所得結論與圖一 相同， m 值越小慢滾近似越容易成立。

圖六

為了要和圖二做比較，最後我們再取 m = × 5 10

和 h (0) 1 = ，得

到結果為圖七，若改取 h (0) = − 1 則得到圖八。圖七與圖八中的各色線 (0)

b 條件都和圖二相同，差別只是取不同的 h (0) 值。我們可清楚的看 見在改變 b (0) 後， h ( ) τ 演化的重合性並沒有被不同的 h (0) 破壞，這結 果顯示背景的非線性微分方程存在吸引子（attractor） ，而這吸引子 會使得宇宙可以發生暴漲。定性上，吸引子主要和 m 有關，不受 b (0) 以及 h (0) 的影響，另外，不變的是只要 m 夠小，吸引子都能將宇宙的 演化拉進慢滾條件。

圖七

圖八

（二）微擾的數值計算

如同背景的數值計算，我們先將兩個微擾演化方程(8.6)與(8.7) 重定尺度。由前面提過的量綱分析我們知道可將

3

( ) ( )

ini

t

α τ =

H ， ( )

( )

ini

t

β τ =

H 。 (10.8) 此時(7.6)可改寫為

2

2 2

9 3 18 2 h

h 2 6 2 h 0

h h h h

h h h

α + α + ^⎛ ⎜ + + − + ^⎞ ⎟ α + β + ^⎛ ⎜ − ^⎞ ⎟ β =

⎝ k ⎠ ⎝ ⎠ ， (10.9) 其中

= ^/

是重定尺度後的波數（wave number） ，跟背景部分 相同，此處 A =

A 。在改寫(8.7)前我們先利用兩個關係來降低其複 雜性，由(4.12)我們可得到

2 2

2

3 1

Pl

2

V m

H H B

M M

⎛ ⎞

+ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^，

2

2

6 1

Pl

2

V m

H HH B

M M

⎛ ⎞

+ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^。

利用上面兩個式子，再讓(8.7)經過代入(9.1)、重定尺度等步驟後，

可得到

( )

2 2

2

2 3 (0) 3 (0)

3 6 2 6 0

(0) (0)

h h b h bb

h h m m h

h b h b h

β

β

β

α

α

⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎪⎭

。

(10.10) 在這裡我們必須先將背景的部分的 h 和 b 解出後，再代回(10.9)

、(10.10)來數值解 α 、 β 。不過，由於 h (0) 的取值不影響背景發生

慢滾條件，因此我們先取 h (0) = 0 ，等我們瞭解微擾的主要演化特性

後，再看 h (0) 對微擾的影響。我們希望能看到 α 與 β 在暴漲過程中的 演化情形，為了方便我們將(10.9)與(10.10)中的四個初始條件訂為

(0) 10

α =

、 β (0) 10 =

、 (0) 0 α = 、 (0) 0 β = 。跟上一節相同我們的

討論也是對於 H

H

h

與 h

1. h

在這極限下(10.9)與(10.10)可改寫成

2

2 0

α +

α + β = ， (10.11)

2

0

β +

β = 。 (10.12)

很容易看出這部分的解對應到(7.6)、(7.7)，因此我們就不在這多加 著墨，我們的注意力放在下面一種極限。

2. h

在這極限下(10.9)與(10.10)可改成

2 2

9 3 18 2 h

h 2 6 2 h 0

h h h h

h h h

α + α + ^⎛ ⎜ + − + ^⎞ ⎟ α + β + ^⎛ ⎜ − ^⎞ ⎟ β =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， (10.13)

2 2

2 2

2

6 3

3 6 2 6 0

(0) (0)

h m b bb

h h m m h

h b h b h

β + β + ^⎛ ⎜ + ^⎞ ⎟ β − α − ^{⎧ ⎪} ⎨ − − ^⎛ ⎜ ^⎞ ⎟ ^{⎫ ⎪} ⎬ α =

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ^。

(10.14) 這部分主是為了看高階項（如 h 、 h ）對於慢滾條件的所產生的影響，

並且最後會把數值計算拿來和上一章得到的近似解析結果作比較。和

背景的部分相同，我們仍然分成改變 m 與改變 b (0) ，同時觀察 m 與 (0)

b 的取值對於微擾的演化有何影響。

（1）改變 m ：

圖九～圖十二是數值計算所得到的結果。其中紅色線為 5 10

m = ×

、綠色線為 m = 10

、藍色線為 m = × 2 10

而在這三種情況 下 b (0) 10 =

。我們先看圖九與圖十，兩個圖都是定 m = 10

，可清楚 的看到在 τ = 300 之前微擾大小與都在增加，但幅度不大。直到 τ = 300 ，這時不論是 α τ ( ) 或是 β τ ( ) 都在此時有劇烈的振盪，隨後振 盪減小。我們大致上可以分析為何會得到這樣的結果。當 τ < 300 ，那 時慢滾條件還算成立（即 h 不大） ，但到了 τ = 300 附近，高階項的效 應開始明顯，因此開始劇烈振盪，不過振盪是隨著 τ 增加而減小，符 合我們先前的期待，當背景的暴漲子減小時，其微擾項也跟著下降。

圖九

圖五

接著再看圖十一與圖十二，為了將三種不同 m 的情況放在一起討論，

圖十一和圖十二的時間軸我們取了對數。不同色線的演化方式都相 同，差別只是在不同的時間點，同上面的分析原因， m 越大慢滾條件 就越早失效，因此振盪也就越早發生。另外，在分析 α τ ( ) 的圖十一裡 可看到 m 越小微擾振盪的幅度越大。雖然其後會隨而減小，但是如果 m 夠小那微擾在振盪時將會超過背景值，因此微擾理論不再適用。這 時我們需要去考慮連背景部分都會隨空間位置而變的多重純量場。與 圖十一不同的是，圖十二中 β τ ( ) 的振盪幅度不會隨 m 變小。

圖十一

圖十二

（2）改變 b (0) ：

圖十三、圖十四是數值計算所得到的結果，時間軸的刻度上我們 也取了對數。其中紅色線為 b (0) = 10

、綠色線為 b (0) = 10

、藍色 線為 b (0) = 10

，而在這三種情況下

= 10

。可知綠色線的取值條件 與上面的綠色線是相同的。從這兩個圖我們可清楚的發現，和背景部 分討論 b (0) 取值的結果一樣，不同色線在對時間的演化上完全重疊，

所以我們也用不同粗細的線來區別。我們將 b (0) 的值取到相差七個數

量級後，振動幅度仍不隨著 b (0) 的增加而改變，這結果呼應了我們先

前的兩個分析： （1）在背景部分的討論，我們發現只有

的值會影響

慢滾條件是否成立，而完全與 b (0) 值無關。 （2）在改變 m 的部分，我

們所得到的結論為：振盪是由於慢滾條件的失效而造成。由這兩點我

們自然會得到圖十三與圖十四的結果。除此之外，可知

= 10

的條

件導致不同色線的振盪都是在 τ = 300 附近開始。

圖十三

圖十四

接著討論 h (0) 對微擾造成的影響，為了比較圖十一與十三，我們

將 b (0) 和 m 的條件取成和這兩個圖相同，只是重新定 h (0) 10 = 。得到

，而這兩個圖與圖十一及圖十三的差異在於振盪發生的時間延後了。

這是因為取了 h (0) 10 = 後，必須先經過一段時間， h ( ) τ 才會被拉至近 似慢滾條件（即 h ( ) τ 0 ） ，再等到慢滾條件失效振盪才會發生。由此 可知，一開始選擇 h (0) = 0 ，並不會對於我們瞭解微擾的演化產生太 大影響。 h (0) 對 β τ ( ) 演化的影響類似 α τ ( ) ，因此我們省略。

最後，我們把數值計算的結果和(9.9)來比較。只是必須先經過 一些繁複的手續來將(9.9=)重定尺度（詳細推導參見[附錄 B.8]）來，

並且找出(9.9)中的積分常數與數值計算的初始條件的關係。 （ β 的比 較也是類似，因此省略）

比較後我們得到了圖十五與圖十六，其中，為了看到一定時間的 演化過程，因此我們把時間軸上的刻度取了對數。圖中紅色線是由 (9.9)得到，藍色線則是數值計算的結果。圖十五是取

= 10

，因此，

數值部分的慢滾條件適用相當長的時間，故紅色線與藍色線重合。而 圖十六則是取 m = 1 ，這條件會使得數值部分的慢滾條件很快失效，

所以我們看到在 τ = 2 附近藍色的線就開始振盪了，而在 τ = 2 之前兩

種色線是重合在一起。這樣的結果是很自然的，因為(9.9)是在取了

慢滾條件的近似下才成立，一旦慢滾條件失效，(9.9)也就不再適用。

圖十五

圖十六