3 函數的導數

3 ^{函數的導數}

3.3 ^{三角函數的導數}

三角函數的導數

在之前定義三角函數時，我們將函數的定義域擴大到整個實 數。例如我們假設

f(x) = sin x

此時角度 x 的單位我們是用弧度 (radian) 來度量的。同樣其 他的三角函數 cos x, tan x 等等也是如此。

另外我們前面也證明過，所有的三角函數在其定義域上均為 連續。

三角函數的導數

利用電腦繪圖或者描點，我們藉由計算 f(x) = sin x 各點的切 線斜率，可以得到 f‘(x) 的大致圖形如下：

三角函數的導數

看起來 f‘(x) 的圖形也會是週期函數，現在讓我們直接來計算 這件事情：

三角函數的導數

以上，我們仍需要驗證每一項各自的極限存在。其中 x 是與 h 獨立的變數，在取 h 的極限過程中視為常數。於是有

三角函數的導數

比較麻煩的是剩下兩個極限。

先看 lim_h->0(sin h)/h ，這個極限值其實也不是很明顯，但透 過代入一些數值計算過後，可以猜：

三角函數的導數

我們利用幾何的方式來推導上述的極限。

不失一般性我們可以先假設







做垂線 BC 垂直 OA ，此時其長度

| BC | = | OB| sin







三角函數的導數

從圖我們可以觀察到以下的關係

| BC | < | AB | < AB弧長 因此 sin





另外我們經過 A, B 做圓的切線，如右 圖二(b) ，可以觀察到以下關係

AB弧長 < | AE | + | EB |.

三角函數的導數

將線段長以三角函數表示：



< | AE | + |ED |

= | AD | = | OA| tan



= tan



移項可以得到

三角函數的導數

我們已知 lim

_

_



由於 sin(-) = - sin  ，於是對於

 < 0 ，將負號提出後可以

三角函數的導數

另外我們還剩下一個極限，但這個極限可以透過三角函數的 運算簡化如下：

三角函數的導數

將前述的極限合併，我們可以得到 f‘(x) 如下：

三角函數的導數

因此我們得到第一個三角函數的微分公式：

範例一

試微分 y = x² sin x.

解:

利用 sin x 的微分以及乘法的微分法則

三角函數的導數

與 sin x 的微分一樣，利用合角公式我們可以推得

再來利用函數分式的微分，我們可以計算 tan x 的微分：

三角函數的導數

三角函數的導數

於是有

剩下的三角函數 sec x, cot x, csc x 則可同樣利用分式微分得

三角函數的導數

經計算過後，我們得到以下這個三角函數的微分公式表：

三角函數的導數

三角函數的導數

三角函數是我們在建模時很常使用的函數，例如弦的震動、

波的運動等牽涉到某些變量具有週期性時，我們會利用三角 函數來描述。

其中一個例子，便是接下來我們要討論的簡諧運動。

範例三

假設我們在一條垂直方向上的彈簧懸掛物體，拉長彈簧(含物 體位置)至 4 公分處，如右圖。

假設我們在時間 t = 0 時放開物體，此時物體的針對時間 t 的 位置函數為

s = f(t) = 4 cos t

試求物體運動的速度及加速度，並預測

範例三 / 解

我們直接微分可以得到速度：

範例三 / 解

再做一次微分得到加速度：

cont’d

範例三 / 解

其運動速率為 |v| = 4 |sin t| ，最快為當 |sin t| = 1 之時，也 就是當物體位置在 cos t = 0 之時。也就是說，物體運動速度 最快之時在原先懸掛無外力干擾的平衡點 (s = 0) 。

其速率最低為 0 ，也就是 sin t = 0 之時，也剛好即最高、最 低點。

加速度為 a = –4 cos t ，可以發現 在原先平衡點 s = 0 ，加速度為 0 而在最高與最低點之處，分別有 用量值最大的加速度，如圖右。

cont’d