5 積分

5 ^積分

5.2 _定積分

定積分

這樣的極限

在我們討論 f 函數曲線下的面積，或者討論給定速度的情況 下求位移的距離，都會考慮到這樣的極限。

我們還會遇到更多這樣的情況，在更一般的情況下，甚至 f(x) 也不一定是正值的函數，但是我們也是有一樣的概念。

在下一頁我們定義所謂的「定積分」。

定積分

左邊的積分符號 ∫ 是 Leibniz 使用表示加總 (Sum) 的極限。左邊的積分 有意義，若且惟若右邊的極限存在，此時我們稱 f(x) 為可積函數。

積分符號內的 f(x) 稱為被積函數 (integrand) ，a 、 b 分別稱為積分的上、

定積分

備註 1. 定積分 本身是一個數字，不是 x 的函數。

事實上這個數值也與積分變數無關，積分變數可以任意代換：

備註 2. 這個和

一般稱為黎曼和 (Riemann sum) ，是為了紀念數學家黎曼。

這樣定義出來的積分也稱為黎曼積分 (Riemann integral) 。

定積分

因此，定積分的定義也就是說：

任意可積函數 f(x) 的定積分，可以利用黎曼和來逼近。

若 f(x) 為正值函數，黎曼和也 就是我們前面常用到的長方塊 的面積總和，如右圖所示。

定積分

在上一節提起積分時，我們之所以開始討論積分，一個原因 是要處理面積的問題：當 f(x) 為正值函數時，求範圍內的面 積，即

圖二

定積分

但若在積分範圍內， f(x) 同時有正值與負值之時，其積分的 黎曼和就會變成：

「屬於正值的長方塊面積」減去「屬於負值的長方塊面積」

如下圖所示：

定積分

接著我們若對黎曼和曲極限，便會得到如下圖四的情況：

定積分也就是圖中的正負面積的淨值 (net area) ，也就是

其中 A1 是 f(x) 圖形在 x 軸 上方部分的面積， A2 是 f(x) 圖形在 x 軸下方部分的面積

。

圗四

定積分

備註 3: 雖然我們一開始定義定積分 的值是將區間 [a, b] 切分成等長的區段，每一段長

x = (b-a)/n ，在計算黎

但事實上我們切分的時候可以分割成不同寬度的區間，定義 分割點 a = x₀ < x₁ < … < x_n = b ，區間 [x_i-1, x_i] 長度為

x

但我們只要能夠保證這些區間長度

x

定積分

備註 5: 雖然我們定義函數的積分如果存在，則稱為可積函 數。但具體上來說，什麼樣的函數會是積分函數？最常見的 例子其實就是連續函數，任意的連續函數在閉區間上都是可 積分的。我們寫成一個定理，證明會在更深入的課程中解釋。

另外，若 f(x) 為可積，表示這個積分值，與在取極限過程中，

在各個小區間內的取樣點是怎麼取的無關。

因此在計算黎曼和時，可以盡量選擇方便計算的值。

範例一

將此黎曼和的極限

寫成在 [0, ] 的上積分。

解:

我們觀察面積加總是取 x³ + x sin x 在一個取樣點 x_i 上的高 度 x_i³+x_i sin x_i ，因此這個極限是 x³ + x sinx 的積分。

再來，我們取上下界分別為 0 跟



定積分

現在再回頭過來看 萊布尼茲 挑的積分符號，其實意義就是 便是：黎曼積分就是黎曼和的極限，

萊布尼茲將加總 sum 的符號的 S 拉長成積分符號，而小段 區間的寬度

x 使用 dx 來示意。

計算定積分值

計算定積分值

接著我們來計算定積分值，在沒有其他定理的輔助下，我們 要計算一個函數的定積分，便只有從定義 －－ 黎曼和的極 限來著手。

以下三個常見的加總公式可以幫助我們計算簡單的多項式積 分：

計算定積分值

為了方便我們也整理一些常見的加總公式：包括常數的加總，

數列的加總，兩個數列加總的相加，可以先取數列相加再加 總。

範例二

(a) 計算 f(x) = x³ – 6x 在 a = 0, b = 3 上的黎曼和，其中將區 間分割成 6 段，取樣點皆為各個小區間的右端點。

(b) 計算積分值

解:

(a) 當 n = 6 時，區間長度為

此時可計算出分割點： x₁ = 0.5, x₂ = 1.0 , x₃ = 1.5, x = 2.0, x = 2.5, 以及 x = 3.0 。

範例二 / 解

計算黎曼和：

R₆ = f(x_i) x

= f(0.5) x + f(1.0) x + f(1.5) x + f(2.0) x + f(2.5) x + f(3.0) x

= (–2.875 – 5 – 5.625 – 4 + 0.625 + 9)

cont’d

範例二 / 解

(b) 考慮等分割成 n 區間，區間寬度為

計算分割點 x₀ = 0, x₁ = 3/n, x₂ = 6/n, 一般點 x_i = 3i/n 。 我們使用右端點計算黎曼和。由於 x³ – 6x 是連續函數，

因此是可積函數。

cont’d

範例二 / 解

(代入數值)

(常數提出)

cont’d

範例二 / 解

範例二 / 解

下面的圖表，表列了在不同 n 值所計算出來的黎曼和。

也大致上驗證了我們前面的極限。

cont’d

中點法

中點法

我們在計算黎曼和時為了方便，取樣點大多取在端點。

在利用電腦計算的時候，這樣取點也比較方便。

不過若我們考慮要找到最佳的取樣點，使得在該點的取值剛 好貼近在該區間上的平均值，那麼通常取在端點不會是很好 的選擇。取而代之的是，取在中點可能比較平均。

中點法

以中點為取樣點的黎曼和估計，我們稱為中點法 (midpoint rule) ：

範例五

利用中點法 n = 5 估計積分

解:

考慮 [1,2] 中分割成五段的分割點為: 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 以 及 2.0 ，各自的中點為 1.1, 1.3, 1.5, 1.7 及 1.9

區間長度為

x = (2 – 1)/5 = 利用中點法估計得

範例五 / 解

≈ 0.691908

中點法計算的黎曼和即右圖的 長方塊面積。

圗十一

cont’d

定積分的性質

定積分的性質

我們定義定積分時，我們預設定積分 的上、下 界 a, b 滿足 a < b 。

但為了讓黎曼和極限的定義適用在 a > b 的情況，我們可以 考慮在計算黎曼和時，

x 從 (b – a)/n 看成是 – (a – b)/n

定積分的性質

若當 a = b 之時，

x = 0 ，則有

接著我們可以從黎曼和的定義、加總的公式，可以推得下列 的積分性質：

積分的性質

其中 c 為任意常數

定積分的性質

我們簡短說明一下這四個性質。

第一個性質，我們可以用下圖直接解釋：

若 c > 0, a < b 的時候，

對 c 的定積分便是圖中的 矩形面積 c(b – a)

圗十三

定積分的性質

性質二則表示兩個函數的積分相加可以先相加再積分。

若 f, g 均為正值如右圖所示，

則 f 的面積加上 g 的面積，也 就是淺色加上直線的總面積。

而 f + g 的高度，就剛好是圖 中高度最高的地方，因此 f + g 的面積也同樣是淺色加上直線

定積分的性質

對一般的可積函數 f(x), g(x) ，利用加總的公式，我們可以證 明如下：

定積分的性質

幾乎一樣的方法我們可以證明性質三與性質四：

範例六

利用積分的性質，計算 解:

由性質二，可得到

從性質一，可計算得

範例六 / 解

同時，在前面章節中我們已經先計算得

因此，

cont’d

定積分的性質

接下來的這個性質，是針對同一個函數 f(x) 的積分，我們可 以分開積分區域分別積分：

定積分的性質

我們可以先從圖看出這件事是對的，如下圖：

「 a ~ c 的面積」加上「 c ~ b 」的面積，也就等於「 a ~ b 的面積」。

定積分的性質

前面的性質 1 ~ 5 ，不管是 a < b, a = b, a > b 均會成立。

接下來的性質，主要是利用函數的大小比較積分，因此只有 考慮 a



定積分的性質

定積分的性質

性質八則可利用下圖圖解說明，先考慮 f(x)  0 ，則我們可 以直接看出 f(x) 圖形底下的面積，介於 m(b – a) 以及 M(b – a) 之間。

一般來說，當 f 為連續函數 的時候，我們想要粗略估計 f(x) 的積分大概範圍時，便 可以取到 f 的最大值 M 以及 最小值 m 來估計積分。

若我們想估計中點法的誤差，也可以利用小區間上的最大值 跟最小值來估計誤差。

圗十六