習題 2.1

(1)

2-1

習題 2.1-1

如圖 2.1-14，在△ABC 中，D、E 兩點分別在、上，且交於 F 點。則圖中可找出個三角形。

圖 2.1-14

想法：三個線段，兩兩相連於三點，則此三線段所圍成的圖形叫做三角形 解：

敘述理由

(1) △ABC 為三角形 (2) △ABE 為三角形 (3) △ACD 為三角形 (4) △BCD 為三角形 (5) △BCE 為三角形 (6) △BCF 為三角形 (7) △BDF 為三角形 (8) △CEF 為三角形

三角形的定義三角形的定義三角形的定義三角形的定義三角形的定義三角形的定義三角形的定義三角形的定義

(2)

2-2

△ABC 中，若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝120°，則△ABC 為下列何種三角形？

(A) 銳角三角形 (B) 直角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 不能確定想法：(1) 三角形三內角皆小於 90°為銳角三角形

(2) 三角形中，有一個角等於 90°為直角三角形 (3) 三角形中，有一個角大於 90°為鈍角三角形 (4) 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形 (5) 三角形中若三個邊都相等，為正三角形

解：

敘述理由

(1) △ABC 為鈍角三角形

(2) 所以此題答案選 (C) 鈍角三角形

已知∠C＝120° ＆鈍角三角形的性質

習題 2.1-3

若三角形中有三個內角為銳角，則此三角形為何種三角形？

想法：(1) 三角形三內角皆小於 90°為銳角三角形 (2) 三角形中，有一個角等於 90°為直角三角形 (3) 三角形中，有一個角大於 90°為鈍角三角形 (4) 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形 (5) 三角形中若三個邊都相等，為正三角形

解：

敘述理由

(1) 此三角形為銳角三角形銳角三角形定義

(3)

2-3

三角形的三個內角中，最多可以有個鈍角。

想法：(1) 三角形三內角皆小於 90°為銳角三角形 (2) 三角形中，有一個角等於 90°為直角三角形 (3) 三角形中，有一個角大於 90°為鈍角三角形 (4) 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形 (5) 三角形中若三個邊都相等，為正三角形

解：

敘述理由

(1) 三角形最多只有一個鈍角鈍角三角形的性質

習題 2.1-5

下列何者為等腰三角形的三個邊？

(A) 2，3，4 (B) 11，15，23 (C) 5，10，11 (D) 10，10，15 想法：(1) 三角形三內角皆小於 90°為銳角三角形

(2) 三角形中，有一個角等於 90°為直角三角形 (3) 三角形中，有一個角大於 90°為鈍角三角形 (4) 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形 (5) 三角形中若三個邊都相等，為正三角形

解：

敘述理由

(1) 答案選 (D) 10，10，15 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形

＆ 10＝10

(4)

2-4

已知△ABC，則可作出幾個與△ABC 的三內角對應相等的三角形？

(A) 一個 (B) 兩個 (C) 無限多個 (D) 不能作三角形想法：移形定理

解：

敘述理由

(1) △ABC 的三內角為∠A、∠B、∠C (2) 可做出無限多個與∠A 相等的角 (3) 可做出無限多個與∠B 相等的角 (4) 可做出無限多個與∠C 相等的角

(5) 可作出無限多個與△ABC 的三內角對應相等的三角形

(6) 所以此題答案選 (C) 無限多個

三角形有三個內角移形定理

移形定理移形定理由(2)＆(3)＆(4)

習題 2.1-7

圖 2.1-15 中，△ABC 及△DEF 為兩全等三角形，試述∠B 及∠C 的對應角

各為何角？及的對應邊各為何邊？

F

E D

C B

A

圖 2.1-15 解：

敘述理由

(1) ∠B 的對應角為∠E (2) ∠C 的對應角為∠F (3) 的對應邊為 (4) 的對應邊為

已知△ABC △DEF 已知△ABC △DEF 已知△ABC △DEF 已知△ABC △DEF

(5)

2-5

圖 2.1-16 中，△ABC 及△DEF 為兩全等三角形，試述∠B 及∠E 的對邊各為何？及的對角各為何角？

F

E D

C B

A

圖 2.1-16 解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠B 的對邊為 (2) △DEF 中，∠E 的對邊為 (3) △ABC 中，的對角為∠A (4) △DEF 中，的對角為∠F

對邊的定義對邊的定義對角的定義對角的定義

(6)

2-6

圖 2.1-17 中，已知△ABC △DEF，且 A、B、C 的對應頂點分別是 D、

E、F。若＝6，＝8，＝10，∠A＝37°，∠F＝90°，∠B＝53°

則： (1) ＝？ (2) ＝？ (3) ＝？

(4) ∠D＝？ (5) ∠E＝？ (6) ∠C＝？

圖 2.1-17 想法：兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等解：

敘述理由

(1) ＝＝10

(2) ＝＝6

(3) ＝＝8

(4) ∠D＝∠A＝37°

(5) ∠E＝∠B＝53°

(6) ∠C＝∠F＝90°

已知△ABC △DEF ＆對應邊與相等

＆已知＝10

＆已知＝6

＆已知＝8

已知△ABC △DEF ＆對應角∠D 與∠A 相等

＆已知∠A＝37°

已知△ABC △DEF ＆對應角∠E 與∠B 相等

＆已知∠B＝53°

已知△ABC △DEF ＆對應角∠C 與∠F 相等

＆已知∠F＝90°

(7)

2-7

圖 2.1-18 中，已知△ABC △DEF，且 A、B、C 的對應頂點分別是 D、E、

F。若＝3x＋6，＝14，＝9，＝6y＋2，＝18，則 x－y＝。

敘述理由

(1) ＝ (2) 3x＋6＝18 (3) x＝(18－6)÷3＝4 (4) ＝

(5) 6y＋2＝14 (6) y＝(14－2)÷6＝2 (7) x－y＝4－2＝2

已知△ABC △DEF ＆對應邊與相等將已知＝3x＋6，＝18 代入(1)

由(2)解一元一次方程式

已知△ABC △DEF ＆對應邊與相等將已知＝6y＋2，＝14 代入(4)

由(5)解一元一次方程式由(3)＆(6)

(8)

2-8

圖 2.1-19 中，已知△ABC △PQR，若＝2x＋3，＝4x－2，＝3x，

＝x＋8，則 x＝。

敘述理由

(1) ＝

(2) 2x＋3＝x＋8 (3) x＝8－3＝5

已知△ABC △PQR ＆對應邊與相等將已知＝2x＋3，＝x＋8 代入(1)

由(2)解一元一次方程式

(9)

2-9

圖 2.1-20 中，若△ABC △DEF，且∠A＝( 3x－4 )°，∠B＝( 6y＋10 )°，

∠D＝56°，∠E＝64°，則 x＋y＝？

敘述理由

(1) ∠A＝∠D (2) ( 3x－4 )°＝56°

(3) x＝(56＋4)÷3＝20 (4) ∠B＝∠E

(5) ( 6y＋10 )°＝64°

(6) y＝(64－10)÷6＝9 (7) x＋y＝20＋9＝29

已知△ABC △DEF ＆對應角∠D 與∠A 相等將已知∠A＝( 3x－4 )° ＆ ∠D ＝56° 代入(1) 由(2) 解一元一次方程式

已知△ABC △DEF ＆對應角∠E 與∠B 相等將已知∠B＝( 6y＋10 )° ＆ ∠E ＝64° 代入(4) 由(5) 解一元一次方程式

由(3)式＋ (6)式

(10)

2-10

習題 2.2

習題 2.2-1

2 1

D A

B C

圖 2.2-23 已知：圖 2.2-23 中， ⊥ ，＝

試證：△ABC 為一等腰三角形。且∠1＝∠2。

想法：(1) 若證得＝，則可證得△ABC 為一等腰三角形 (2) 若證得△ABD △ACD，則可證得＝、∠1＝∠2 (3) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) 在△ABD 與△ACD 中＝

∠ADB＝∠ADC＝90°

＝

(2) △ABD △ACD (3)∠1＝∠2

(4) ＝

(5) △ABC 為等腰三角形

如圖 2.2-23 所示已知＝

已知 ⊥ 共同邊

由(1) S.A.S.三角形全等定理由(2) 對應角相等

由(2) 對應邊相等

由(4) ＝＆兩腰等長為等腰三角形

(11)

2-11

D E

A

B C

圖 2.2-24

已知：圖 2.2-24 中， ⊥ ， ⊥ ，＝，＝

試證：＝

想法：(1) 若證得△AEB △ADC，則可證得＝

(2) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) 在△AEB 與△ADC 中＝

∠AEB＝∠ADC＝90°

＝

(2) △AEB △ADC (3) ＝

已知 ⊥ ， ⊥

已知＝

由(1) S.A.S.三角形全等定理由(2) 對應邊相等

(12)

2-12

2 1

C A

D

B

圖 2.2-25 已知：圖 2.2-25 中，∠1＝∠2，＝

試證：＝

想法：(1) 若證得△ABD △ACD，則可證得＝

(2) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理

證明：

敘述理由

∠1＝∠2 ＝

(2) △ABD △ACD (3) ＝

已知∠1＝∠2 共同邊

(13)

2-13

2 1

D

B C

A

圖 2.2-26 已知：圖 2.2-26 中，∠1＝∠2，＝

試證：＝

想法：(1) 若證得△ABC △DBC，則可證得＝

敘述理由

(1) 在△ABC 與△DBC 中＝

∠1＝∠2 ＝

(2) △ABC △DBC (3) ＝

(14)

2-14

4 1 3

2

D A

C B

圖 2.2-27

已知：圖 2.2-27 中，＝，＝，∠A＝∠D 試證：∠1＝∠2，∠3＝∠4

想法：(1) 若證得△ABC △DBC，則可證得∠1＝∠2，∠3＝∠4 (2) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

∠A＝∠D ＝

(2) △ABC △DBC (3) ∠1＝∠2，∠3＝∠4

已知∠A＝∠D 已知＝

(15)

2-15

1 2

D B C

圖 2.2-28 已知：圖 2.2-28 中，＝，∠1＝∠2 試證：∠A＝∠D

想法：(1) 若證得△ABC △DBC，則可證得∠A＝∠D

敘述理由

∠1＝∠2 ＝

(2) △ABC △DBC (3) ∠A＝∠D

(16)

2-16

1

2

D

B C

A

圖 2.2-29 已知：圖 2.2-29 中，∠1＝∠2，＝

試證：∠A＝∠D

想法：(1) 若證得△ABC △DCB，則可證得∠A＝∠D

(2) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理

證明：

敘述理由

(1) 在△ABC 與△DCB 中＝

∠1＝∠2 ＝

(2) △ABC △DCB (3) ∠A＝∠D

(17)

2-17

D A

B C

圖 2.2-30 已知：圖 2.2-30 中， ⊥ ， ⊥ ，＝

試證：＝

想法：(1) 若證得△ABC △DCB，則可證得＝

敘述理由

∠ABC＝∠DCB ＝

(2) △ABC △DCB (3) ＝

已知 ⊥ ， ⊥

共同邊

(18)

2-18

B C

A D

圖 2.2-31 已知：圖 2.2-31 中，∠DAB＝∠DAC，＝

試證：＝

想法：(1) 若證得△ABD △ACD，則可證得＝

敘述理由

∠DAB＝∠DAC ＝

(2) △ABD △ACD (3) ＝

已知∠DAB＝∠DAC 共同邊

(19)

2-19

如圖 2.2-32，已知與相交於 E 點，＝，＝。若∠1＝32°，

∠A＝78°，則∠B＝_______度。

圖 2.2-32

想法：(1) 若證得△ACE △BDE，則可證得∠B＝∠A

敘述理由

(1) 在△ACE 與△BDE 中＝

∠AEC＝∠BED ＝

(2) △ACE △BDE (3) ∠B＝∠A＝78°

對頂角相等已知＝

由(1) S.A.S.三角形全等定理

由(2) 對應角相等＆已知∠A＝78°

(20)

2-20

如圖 2.2-33，△ABC 是等腰三角形，＝，且是∠BAC 的角平分線，

若＝10，則：

(1) ∠ADC＝？ (2) ＝？

圖 2.2-33 想法：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊解：

敘述理由

(1) ∠BAC 為等腰三角形 ABC 的頂角 (2) ⊥ ＆＝

(3) 所以∠ADC＝90°

(4) 所以＝10

已知△ABC 是等腰三角形，＝由(1) ＆已知是∠BAC 的角平分線

＆等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊由(2) ⊥

由(2) ＝＆已知＝10

(21)

2-21

如圖 2.2-34，L 為的垂直平分線(中垂線)，A、D 為 L 上任意之兩點，

若＝7，＝5，則：

(1) ＝？ (2) ＝？

圖 2.2-34 想法：中垂線上任一點，到線段的兩端點等距離解：

敘述理由

(1) ＝＝7

(2) ＝＝5

已知 L 為的垂直平分線(中垂線)，A 為 L 上任意之點＆中垂線上任一點，到線段的兩端點等距離＆已知＝7

已知 L 為的垂直平分線(中垂線)，D 為 L 上任意之點＆中垂線上任一點，到線段的兩端點等距離＆已知＝5

(22)

2-22

習題 2.3

習題 2.3-1

1 2 A

B C

D

圖 2.3-10

已知：圖 2.3-10 中， ⊥ ， ⊥ ，∠1＝∠2

試證：＝

想法：(1) 若可證得△ABC △DCB，即可得知＝ (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) 在△ABC 與△DCB 中

∠2＝∠1

＝

∠ABC＝∠DCB＝90°

(2) △ABC △DCB (3) ＝

如圖 2.3-10 所示已知∠1＝∠2 共同邊

已知 ⊥ ， ⊥

由(1) A.S.A.三角形全等定理由(2) 對應邊相等

(23)

2-23

4 1 3

2

D C

A B

圖 2.3-11 已知：圖 2.3-11 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4 試證：△ACB △ADB

想法：已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ACB 與△ADB 中

∠1＝∠2

＝

∠3＝∠4

(2) △A CB △ADB

如圖 2.3-11 所示已知∠1＝∠2 共同邊

已知∠3＝∠4

由(1) A.S.A.三角形全等定理

(24)

2-24

4 3

1 2

C A

O

B

圖 2.3-12

已知：圖 2.3-12 中，＝，∠1＝∠2，∠3＝∠4 試證：△OBC 為一等腰三角形

想法：(1) 若可證得＝，即可得知△OBC 為一等腰三角形 (2) 若可證得△ABO △ACO，即可得知＝

(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ABO 與△ACO 中

∠1＝∠2

＝

∠3＝∠4

(2) △A BO △ACO (3) ＝

(4) △OBC 為一等腰三角形

如圖 2.3-12 所示已知∠1＝∠2 共同邊

已知∠3＝∠4

由(3)已證＆兩腰等長為等腰三角形

(25)

2-25

4 3

2 1

D B

C A

圖 2.3-13 已知：圖 2.3-13 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4

試證：＝

想法：(1) 若可證得△ABC △DCB，即可得知＝ (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ABC 與△DCB 中

∠1＝∠2

＝

∠3＝∠4

(2) △ABC △DCB (3) ＝

如圖 2.3-13 所示已知∠1＝∠2 共同邊

已知∠3＝∠4

(26)

2-26

2 1

D E

A

B C

圖 2.3-14 已知：圖 2.3-14 中，＝，∠1＝∠2

求證：＝

想法：(1) 若可證得△ABE △ACD，即可得知＝ (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ABE 與△ACD 中

∠1＝∠2

＝

∠A＝∠A

(2) △ABE △ACD (3) ＝

如圖 2.3-14 所示已知∠1＝∠2 已知＝共同角

(27)

2-27 1 2

E D

A

B C

圖 2.3-15 已知：圖 2.3-15 中， ⊥ ， ⊥ ，＝試證：△AEC △ADB

想法：已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△AEC 與△ADB 中

∠AEC＝∠ADB＝90°

＝

∠A＝∠A

(2) △AEC △ADB

如圖 2.3-15 所示

已知 ⊥ ， ⊥

已知＝共同角

由(1) A.S.A.三角形全等定理

(28)

2-28

4 3

1 2

F E

B A

C D

圖 2.3-16

已知：圖 2.3-16 中， ⊥ ，∠1＝∠2，∠3＝∠4

試證：＝

想法：(1) 若可證得△ABE △ABF，即可得知＝ (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) ∠ABC＝∠ABD＝90°

(2) ∠ABE＝∠ABD－∠1 (3) ∠ABF＝∠ABC－∠2 ＝∠ABD－∠1 ＝∠ABE (4) 在△ABE 與△ABF 中

∠ABE＝∠ABF

＝

∠3＝∠4

(5) △ABE △ABF (6) ＝

已知 ⊥

如圖 2.3-16 所示如圖 2.3-16 所示

將(1) ∠ABC＝∠ABD ＆已知∠2＝∠1 代入由(2) ∠ABD－∠1＝∠ABE

如圖 2.3-16 所示由(3) 已證共同邊

已知∠3＝∠4

(29)

2-29

1 2

D

B C

A

習題 2.4-1

圖 2.4-11 已知：圖 2.4-11 中，＝，＝

求證：∠1＝∠2

想法：(1) 若可證得△ABC △DCB，即可得知∠1＝∠2 (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

＝＝

(2) △ABC △DCB (3) ∠1＝∠2

如圖 2.4-11 已知＝已知＝共同邊

由(1) S.S.S.三角形全等定理由(2) 對應角相等

(30)

2-30

2 1

D

A C

B

圖 2.4-12 已知：圖 2.4-12 中，＝，＝

求證：∠1＝∠2

想法：(1) 若可證得△ABC △ADC，即可得知∠1＝∠2 (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ABC 與△ADC 中＝

＝＝

(2) △ABC △ADC (3) ∠1＝∠2

(31)

2-31

1 2

E D

A

B C

圖 2.4-13 已知：圖 2.4-13 中，＝，＝，＝求證：∠1＝∠2

想法：(1) 若可證得△ABD △ACE，即可得知∠1＝∠2 (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ABD 與△ACE 中＝

＝＝

(2) △ABD △ACE (3) ∠1＝∠2

如圖 2.4-13 已知＝已知＝已知＝

(32)

2-32

D B

A

C

圖 2.4-14 已知：圖 2.4-14 中，＝，＝

求證：∠A＝∠D

想法：(1) 若可證得△ABC △DBC，即可得知∠A＝∠D (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

＝＝

(2) △ABC △DBC (3) ∠A＝∠D

(33)

2-33

圖 2.4-15 已知：圖 2.4-15 中，＝，＝

求證：∠ACB＝∠DBC

想法：(1) 若可證得△ABC △DCB，即可得知∠ACB＝∠DBC (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

＝＝

(2) △ABC △DCB (3) ∠ACB＝∠DBC

(34)

2-34

圖 2.4-16

已知：圖 2.4-16 中，圓 O 上有 A、B、C、D 四點，若＝。求證：∠AOC＝∠DOB

想法：(1) 若可證得△AOC △DOB，即可得知∠AOC＝∠DOB (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△AOC 與△DOB 中＝

＝＝

(2) △AOC △DOB (3) ∠AOC＝∠DOB

如圖 2.4-16

已知＝圓半徑等長已知＝圓半徑等長已知＝

(35)

2-35

圖 2.4-17

已知：圖 2.4-17，△ABC 中，是的垂直平分線。

求證：△ACQ △BCQ

想法：(1) 中垂線上任一點到線段的兩端點等距離(例題 2.2-7 已證) (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△ACQ 與△BCQ 中＝

＝＝

(2) △ACQ △BCQ

如圖 2.4-17

已知是的垂直平分線＆中垂線性質已知是的垂直平分線＆中垂線性質共同邊

由(1) S.S.S.三角形全等定理

(36)

2-36

習題 2-5

習題 2.5-1

下列哪一組不能成為三角形的三邊長？

(A) 2 ，1，1 (B) 1，2， 3 (C) 2，5，2 (D) 0.6，0.9，1.4 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊

(2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(A) 2 ，1，1 可作為三角形的三邊長

(B) 1，2， 3 可作為三角形的三邊長

(C) 2，5，2 不可作為三角形的三邊長 (D) 0.6，0.9，1.4 可作為三角形的三邊長

所以本題答案選(C) 2，5，2

1＋1＞ 2 ＞1－1 2 ＋1＞1＞ 2 －1 2 ＋1＞1＞ 2 －1 2＋1＞ 3 ＞2－1

3 ＋1＞2＞ 3 －1 2＋ 3 ＞1＞2－ 3 2＋2＜5

0.9＋0.6＞1.4＞0.9－0.6 1.4＋0.6＞0.9＞1.4－0.6 1.4＋0.9＞0.6＞1.4－0.9

習題 2.5-2

已知某三角形的三邊長分別為 x＋4、5 與 9，則 x 的範圍為____________。

想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(1) 9＋5＞x＋4＞9－5 (2) 10＞x＞0

x＋4、5 與 9 為三角形的三邊長由(1)

(37)

2-37

已知三角形的三邊長分別是 6 公分、10 公分、a 公分。若 a 是整數，則滿足此條件的 a，共有多少個？

敘述理由

(1) 10＋6＞a＞10－6 (2) 16＞a＞4

(3) a＝5、6、7、8、9、10、11、

12、13、14、15 共 11 個

6 公分、10 公分、a 公分為三角形的三邊長由(1)

已知 a 是整數

(38)

2-38

如圖 2.5-26，用四支螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序為 4、5、7、10，且相鄰兩木條的夾角均可調整。若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲的最大距離為。

圖 2.5-26 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊

敘述理由

我們將情形分為圖 2.5-26(a)與圖 2.5-26(b)兩種情況來做討論

(1) 如圖 2.5-26(a)所示，△ABC 中，

10＋4 > > 10－4 14 > > 6

(2) 如圖 2.5-26(a)所示，△ADC 中，

7＋5 > > 7－5 12 > > 2

(3) 所以圖 2.5-26(a)中，12 > > 6 (4) 如圖 2.5-26(b)所示，△ABD 中，

5＋4 > > 5－4 9 > > 1

圖 2.5-26(a) 圖 2.5-26(b) 三角形任兩邊和大於第三邊

三角形任兩邊差小於第三邊

三角形任兩邊和大於第三邊三角形任兩邊差小於第三邊由(1) ＆ (2)求交集

三角形任兩邊和大於第三邊三角形任兩邊差小於第三邊

(39)

2-39

10＋7 > > 10－7 17 > > 3

(6) 所以圖 2.5-26(b)中，9 > > 3 (7) 所以當 A、D、C 三點共線時，

＝12 為兩螺絲間的最大距離

三角形任兩邊和大於第三邊三角形任兩邊差小於第三邊由(4) ＆ (5)求共同範圍

由(3) ＆ (6) 其中 12 為最大值，

如圖 2.5-26(c)所示

圖 2.5-26(c)

(40)

2-40

如圖 2.5-27 所示，已知＋＋＋＝30，與為對角線，求

＋之範圍。

圖 2.5-27 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(1) △ABD 中，

＋＞

(2) △ACD 中，

＋＞

(3) △BCD 中，

＋＞

(4) △ABC 中，

＋＞

(5) 2( ＋＋＋ )＞2( ＋ ) (6) 所以＋＋＋＞＋

(即 30＞＋ ) (7) △AOB 中，

＋＞

(8) △AOD 中，

＋＞

(9) △COD 中，

＋＞

如圖 2.5-27，

三角形兩邊和大於第三邊如圖 2.5-27，

三角形兩邊和大於第三邊由(1)式＋(2)式＋(3)式＋(4)式由(5) 等量除法公理

(已知＋＋＋＝30) 如圖 2.5-27，

三角形兩邊和大於第三邊如圖 2.5-27，

三角形兩邊和大於第三邊

(41)

2-41

＋＞

(11) 2( ＋＋＋ )

＞＋＋＋＝30

(12) ＋＋＋＞1

2×30＝15 (13) 所以( ＋ )＋( ＋ )＞15

(即＋＞15) (14) 30＞＋＞15

三角形兩邊和大於第三邊由(7)式＋(8)式＋(9)式＋(10)式將已知＋＋＋＝30 代入由(11) 等量除法公理

由(12)加法交換律＆

( ＋＝、＋＝ )

由(6) 30＞＋＆

(13) ＋＞15 求共同範圍

(42)

2-42

如圖 2.5-28，已知＝10，＝14，＝9，＝7，＝x，則 x 的範圍為？

圖 2.5-28 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(1) △ACD 中，

＋ > > － 14＋9 > x > 14－9 23 > x > 5 (2) △ABD 中，

＋ > > － 10＋7 > x > 10－7 17 > x > 3 (3) 所以 17 > x > 5

如圖 2.5-28 所示

三角形兩邊和大於第三邊、兩邊差小於第三邊將已知＝14，＝9，＝x 代入

如圖 2.5-28 所示

三角形兩邊和大於第三邊、兩邊差小於第三邊將已知＝10，＝7，＝x 代入

由(2) ＆ (3)求共同範圍

(43)

2-43

如圖 2.5-29，△ABC 中，C、D 在上，F 在上，G 在上。

求∠1 和∠B 的大小關係。

圖 2.5-29 想法：三角形的外角大於任一內對角

解：

敘述理由

(1) △CDF 中，∠1＞∠2 (2) △ABC 中，∠2＞∠B (3) ∠1＞∠B

三角形的外角大於任一內對角定理三角形的外角大於任一內對角定理由(1)＆(2)遞移律

習題 2.5-8：

如圖 2.5-30，試比較∠P、∠Q、∠R 的大小關係。

圖 2.5-30 想法：三角形大邊對大角定理

解：

敘述理由

(1) Q＞P＞R 如圖 2.5-30 所示，，大邊對大角定理

(44)

2-44

如圖 2.5-31，△ABC 中，＝9，＝9，＝10，則△ABC 的最大角是。

圖 2.5-31 想法：三角形大邊對大角定理

解：

敘述理由

(1) A＝C (2) B＞A＝C (3) 最大角為B

已知

已知，大邊對大角定理

由(2)

習題 2.5-10

△ABC 中，已知∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°則下列四個選項中，哪一個是正確的？

(A) ＞ (B) ＞ (C) ＝ (D) ＝想法：三角形大角對大邊定理

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠A＝∠C >∠B (2) ＝ >

(3) 所以答案選(A) ＞

已知∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°

由(1) 三角形大角對大邊定理由(2)

(45)

2-45

△ABC 中，若＝10，＝4，且∠A 為最大角，則可能為多少？

(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 想法：(1) 三角形大角對大邊定理

(2) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (3) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(1) △ABC 中，為最大邊 (2) > 10

(3) 10＋4 > > 10－4 14 > > 6

(4) 所以 14 > > 10

已知∠A 為最大角＆三角形大角對大邊定理由(1) ＆已知＝10，＝4

三角形任意兩邊長的和大於第三邊＆三角形任意兩邊長的差小於第三邊由(2) ＆ (3)求共同範圍

習題 2.5-12

△ABC 中，∠A 的外角＜∠B 的外角＜∠C 的外角，則下列何者正確？

(A) ＞＞ (B) ＞＞ (C) ＞＞ (D) ＞＞想法：(1) 外角定義

(2) 三角形大角對大邊定理 解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠A > ∠B > ∠C

(2) ＞＞

(3) 答案選(A) ＞＞

已知∠A 的外角＜∠B 的外角＜∠C 的外角外角定義

由(1) ＆三角形大角對大邊定理由(2)

(46)

2-46

如圖 2.5-32，O 為圓心，、為圓上兩條弦，若∠AOB＜∠COD，

試比較與的大小。

圖 2.5-32

想法：(1) 因為圓的半徑相等，△AOB 與△COD 中，＝、＝； (2) 所以利用樞紐定理，可比較出與的大小

解：

敘述理由

(1) △AOB 與△COD 中，

＝、＝ ∠AOB＜∠COD (2) <

如圖 2.5-32 所示圓半徑皆相等

已知∠AOB＜∠COD 由(1) ＆樞紐定理

(47)

2-47

如圖 2.5-33，O 為圓心，、為圓上兩條弦，若＝5、＝10，

試比較∠AOB 與∠COD 的大小。

圖 2.5-33

想法：(1) 因為圓的半徑相等，△AOB 與△COD 中，＝、＝； (2) 所以利用逆樞紐定理，可比較出∠AOB 與∠COD 的大小

解：

敘述理由

(1) 在△AOB 與△COD 中，

、且

(2) ∠AOB＜∠COD

如圖 2.5-33

、、、為半徑

已知＝5、＝10 由(1) ＆逆樞紐定理

(48)

2-48

進階思考題

1：已知△ABC △PQR，若＝x＋4，＝2x－2，＝3y＋1，

＝y＋7，＝12，則△PQR 的三邊和為多少？

想法：全等三角形之對應邊相等解：

敘述理由

(1) △ABC △PQR

＝

x＋4＝3y＋1 (2) △ABC △PQR

＝

2x－2＝y＋7 (3) x＝6 且 y＝3

(4) ＝3y＋1＝3×3＋1＝10

＝y＋7＝3＋7＝10 (5) △ABC △PQR

＝＝12 (6) △PQR 的三邊和為

＋＋

＝10＋10＋12＝32

已知

對應邊相等

將已知＝x＋4，＝3y＋1 代入已知

對應邊相等

將已知＝2x－2，＝y＋7 代入由(1) ＆ (2)解二元一次聯立方程式將(3) y＝3 代入已知＝3y＋1 將(3) y＝3 代入已知＝y＋7 已知

對應邊相等＆已知＝12

△PQR 的三邊和為＋＋將(4) ＆ (5) 代入

(49)

2-49

(1) 第三邊長的長度為。

(2) 若此三角形的三邊和為偶數，則第三邊長為。想法：(1) 等腰三角形兩腰相等

(2) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (3) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(1) 若此等腰三角形的腰為 8，

則三邊為 8、8 和 13

(2) 8、8 和 13 可為等腰三角形三邊長

(3) 若此等腰三角形的腰為 13，

則三邊為 13、13 和 8

(4) 13、13 和 8 可為等腰三角形三邊長

(5) 所以此等腰三角形的第三邊長為 8 或 13

(6) 若三邊為 8、8 和 13，

則三邊和為 8＋8＋13＝29 為奇數 (7) 若三邊為 13、13 和 8，

則三邊和為 13＋13＋8＝34 為偶數 (8) 若此三角形的三邊和為偶數，

則第三邊長為 13

假設

假設腰為 8 ＆已知另兩邊為 8 和 13 8＋8＞13 ＞8－8

13＋8＞8＞13－8 假設

假設腰為 13 ＆已知另兩邊為 8 和 13 13＋13＞8 ＞13－13

13＋8＞13＞13－8 由(2) ＆ (4)

由(2) 基本加法由(4) 基本加法題目條件限制由(7)

(50)

2-50

三角形的三邊長為。想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊

敘述理由

(1) 假設此三角形另外兩邊長為 (2＋d)、(2＋2d)；其中 d 為正整數此三角形三邊長為 2、(2＋d)、(2＋2d) (2) (2＋2d)＋(2＋d) ＞2＞(2＋2d)－(2＋d) 其中 d 為正整數

(3) 3d＋4＞2＞d ；其中 d 為正整數 (4) 3d＋4＞2 且 2＞d ；其中 d 為正整數 (5) 2＞d＞ 2

− ；其中 d 為正整數 3 (6) d＝1

(7) 此三角形三邊長為 2、3、4

已知三角形的三邊長成等差數列且皆為整數，且最小邊長為 2

三角形兩邊長的和大於第三邊三角形兩邊長的差小於第三邊由(2)化簡

由(3)化簡由(4)化簡由(5)

將(6)代入(1)

(51)

2-51

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊解：

敘述理由

(1) 12＋5＞3x＋2＞12－5

(2) 17＞3x＋2＞7 (3) 15＞3x＞5 (4) 5＞x＞5

3

(5) 所以 x 不可能為 5，答案選(D) 5

已知三角形的三邊長為 5、12、3x＋2 三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊由(1)化簡

由(2)化簡由(3)化簡由(4)

(52)

2-52

a 1 1 1 2 2 b 2 3 4 3 4 c 8 7 6 6 5

此條件的三角形邊長，分別是多少公分？

敘述理由

(1) 假設三角形的三邊長為 a、b、c 其中 a≠b≠c；a、b、c 皆為正整數且 a＋b＋c＝11

(2) 滿足(1)條件的 a、b、c 如下表所示

(3) 檢查第一種情況，a＝1、b＝2、c＝8 所以 a＝1、b＝2、c＝8 不符合條件 (4) 檢查第二種情況，a＝1、b＝3、c＝7 所以 a＝1、b＝3、c＝7 不符合條件 (5) 檢查第三種情況，a＝1、b＝4、c＝6 所以 a＝1、b＝4、c＝6 不符合條件 (6) 檢查第四種情況，a＝2、b＝3、c＝6 所以 a＝2、b＝3、c＝6 不符合條件 (7) 檢查第五種情況，a＝2、b＝4、c＝5 所以 a＝2、b＝4、c＝5 符合以下條件三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊 (8) 所以此三角形的三邊長分別為 2 公分、4 公分、5 公分。

假設

已知三邊長皆不相等，且皆為整數已知三邊之和為 11

由(1)

由(2)

1＋2＜8；不符合兩邊和大於第三邊由(2)

4＋2＞5＞4－2 5＋2＞4＞5－2 5＋4＞2＞5－4 由(7)

(53)

2-53

(1) 共可排出幾種不同的三角形？

(2) 承(1)，其中等腰三角形有幾種？

敘述理由

(1) 假設三角形的三邊長為 a 根、b 根、c 根其中 a、b、c 皆為正整數

且 a＋b＋c＝21

(2) 滿足(1)條件的 a、b、c 如下表(一~五) (表一)

a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

(表二)

a 2 2 2 2 2 2 2 2

b 2 3 4 5 6 7 8 9

c 17 16 15 14 13 12 11 10

(表三)

a 3 3 3 3 3 3 3

b 3 4 5 6 7 8 9

c 15 14 13 12 11 10 9

(表四)

a 4 4 4 4 4

b 4 5 6 7 8

c 13 12 11 10 9

假設

已知三邊長皆為整數根已知每次 21 根全部用完由(1)

(54)

2-54

a 5 5 5 5 6 6 7

b 5 6 7 8 6 7 7

c 11 10 9 8 9 8 7

(3) 表一中只有 a＝1、b＝10、c＝10 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 1 根、10 根、10 根可排成三角形 (4) 表二中只有 a＝2、b＝9、c＝10 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 2 根、9 根、10 根可排成三角形 (5) 表三中有 a＝3、b＝8、c＝10 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 3 根、8 根、10 根可排成三角形 (6) 表三中有 a＝3、b＝9、c＝9 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 3 根、9 根、9 根可排成三角形 (7) 表四中有 a＝4、b＝7、c＝10 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 4 根、7 根、10 根可排成三角形 (8) 表四中有 a＝4、b＝8、c＝9 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 4 根、8 根、9 根可排成三角形 (9) 表五中有 a＝5、b＝6、c＝10 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 5 根、6 根、10 根可排成三角形

逐一檢查表一 10＋1＞10＞10－1 10＋10＞1＞10－10

逐一檢查表二 10＋9＞2＞10－9 10＋2＞9＞10－2 9＋2＞10＞9－2 逐一檢查表三 10＋8＞3＞10－8 10＋3＞8＞10－3 8＋3＞10＞8－3 逐一檢查表三 9＋9＞3＞9－9 9＋3＞9＞9－3

逐一檢查表四 7＋4＞10＞7－4 10＋7＞4＞10－7 10＋4＞7＞10－4 逐一檢查表四 9＋8＞4＞9－8 9＋4＞8＞9－4 8＋4＞9＞8－4 逐一檢查表五 6＋5＞10＞6－5 10＋5＞6＞10－5 10＋6＞5＞10－6

(55)

2-55

三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 5 根、7 根、9 根可排成三角形

(11) 表五中有 a＝5、b＝8、c＝8 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 5 根、8 根、8 根可排成三角形 (12) 表五中有 a＝6、b＝6、c＝9 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 6 根、6 根、9 根可排成三角形 (13) 表五中有 a＝6、b＝7、c＝8 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 6 根、7 根、8 根可排成三角形 (14) 表五中有 a＝7、b＝7、c＝7 符合三角形任意兩邊長的和大於第三邊三角形任意兩邊長的差小於第三邊所以 7 根、7 根、7 根可排成三角形 (15) 所以 21 根竹筷共可排出 12 種三角形 (16) 其中有 5 種等腰三角形

7＋5＞9＞7－5 9＋5＞7＞9－5 9＋7＞5＞9－7

逐一檢查表五 8＋5＞8＞8－5 8＋8＞5＞8－8

逐一檢查表五 6＋6＞9＞6－6 9＋6＞6＞9－6

逐一檢查表五 7＋6＞8＞7－6 8＋6＞7＞8－6 8＋7＞6＞8－7 逐一檢查表五 7＋7＞7＞7－7

由(3)~(14)

由(3)(6)(11)(12)(14)

(56)

2-56

的中點，則△BPC 三邊和、△BQC 三邊和、△BMC 三邊和的大小關係為何？

圖 2.1 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 (3) 判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理解：

敘述理由

(1) 延長與，且兩線交於 E 點連接、，如圖 2.1(a)

(2) 在△AME 與△DMC 中，

∠EAM＝∠CDM＝90°

＝

∠AME＝∠DMC (3) 所以△AME △DMC

兩條不互相平行的直線必相交於一點；

兩點可決定一直線。

圖 2.1(a) 如圖 2.1(a)所示

已知 ABCD 為長方形＆ (1)作圖已知 M 為的中點

對頂角相等

由(2) ＆ A.S.A.三角形全等定理

(57)

2-57

(5) ＝ (6) 所以＝

(7) 在△APB 與△APE 中，

＝

∠BAP＝∠EAP＝90°

＝

(8) 所以△APB △APE (9) ＝

(10) 同理可證，在△AQE 與△AQB 中，

＝

(11) 同理可證，在△AME 與△AMB 中，

＝ (12) △EPC 中，

＋＞＋＞＋ (13) ＋＞＋＞＋

(14) ＋＋＞＋＋＞＋＋

(15) 所以△BPC 三邊和＞

△BQC 三邊和＞

△BMC 三邊和

已知 ABCD 為長方形

由(4) ＝＆ (5) ＝遞移律如圖 2.1(a)所示

由(6) ＝已證已知 ABCD 為長方形共同邊

由(7) ＆ S.A.S.三角形全等定理由(8) 對應邊相等

由(7)~(9)

如圖 2.1(a)

Q 為△EPC 內部一點

將(9) ＝＆(10) ＝＆ (11) ＝代入(12)

由(13)同加

由(14) ＆

△BPC 三邊和＝＋＋；

△BQC 三邊和＝＋＋；

△BMC 三邊和＝＋＋