5.1 向量及其线性运算

作业: 一周一次(每周一交).(作业纸)

平时成绩(50%)+期末卷面成绩(50%)=最终成绩.

高等数学A2

学习建议: (1)多看书(利用导学预习和课后温习).

(2)多做习题(不是题海战),多总结与抽象.

平时考核：考勤10%，互动20%，作业30%，测验40%

考勤不设基础分 ，缺课一次扣5分；

作业设基础分18分，缺交作业一次扣2分，合格不扣分，

不合格（如不写解题过程，无自批改等）扣2分，优秀 加1分；

互动设基础分12分（若缺课同时扣互动分2分），按小 组完成导学、参与课堂互动，每次加2分-5分；

测验4次，每次按百分制得分后除以10即为所得分数，

满分10分/次。

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第5章 空间解析几何

高等数学A2

5.1 向量及其线性运算

5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示

这一章，我们为学习多元函数微积分 学作准备，介绍空间解析几何和向量代数。

这是两部分相互关联的内容。用代数的方法

研究空间图形就是空间解析几何，它是平面

解析几何的推广。向量代数则是研究空间解

析几何的有力工具。这部分内容在自然科学

和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同

时也是一种很重要的数学工具。

• 解析几何的基本思想：

用代数的方法来研究几何.

• 解析几何的基本方法：

建立几何上的对象与代数对象之间的一一对应. 用代数 的方法研究几何图形.

解析几何:几何学方法论的学科.

(1)建立向量与几何对象(向量与有向线段)建立一一对应.

(2)建立坐标系，空间的几何对象(点)就可以用代数对象 (有序数对)表示.

本章先介绍向量概念、然后引入空间直角坐标 系，接着以向量代数为工具，把点和有序数组、空 间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给 数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数 方法研究空间图形的性质和相互关系。重点讨论空 间基本图类——平面，直线，常用的二次曲面和曲 线。

重点

向量及其坐标表示

向量的数量积，向量积 直线与平面方程

5.1 向量及其线性运算

5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示

5.2.2 向量的坐标

5.2.1 空间直角坐标系 5.1.3 向量的线性运算 5.1.2 向量的概念

5.1.1 引 例

定义

向量的表示

向量的模、单位向量与零向量等 向量的加减法及运算规律

向量的数乘法及运算规律

5.1.4 向量线性运算举例

向量的坐标表示与运算 向量的模、方向角、投影 向量

线性 运算 及其 坐标

表示 例3

例4 例5 例7

例1、2

例6

引 例：如图所示，一质量为m的物体受到外力F的作用 做直线运动，不计摩擦力.

（1）物体的加速度是多少？方向如何？

（2）物体在t时刻的速度是多少？方向如何？

（3）经过t时间物体的位移等于多少？方向如何？

答案：（1）a=F/m, 方向向右；

（2）v=v₀+at, 方向向右；

（3）s=v₀t+at²/2, 向右移动。

F F

m m

向量的定义:

向量的定义

注意：向量除了与标量一样有大小以外，还有方向.

M1

M2

 定义5.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）. 

常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量.

有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向 量的方向.

以M₁为起点、M₂为终点的有向线段所表示的向量记作

向量的表示

2 1M M

也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量.

向量的相关概念

2. 单位向量：模为1的向量， 或 . 1. 向量的模：向量的大小或长短， 或 _|

a0 M₁M₂⁰ 3. 零向量：模为0的向量， . 0

|

| a



4. 自由向量：不考虑起点位置的向量.

5. 相等向量：大小相等且方向相同的向量.

a

b

6. 负向量：大小相等但方向相反的向量.

a

 a

向径：起点在原点的向量.

规定: 零向量与任何向量平行 ;

若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ;

记作

6. 共线向量：

因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .

若 k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上, 则称此k

个向量共面 .

1 加法： a  b  c

a b

c



（平行四边形法则）

特殊地：若 a



// b



 c



分为同向和反向

b

a ^c

^

|

|

|

|

|

| c







（平行四边形法则有时也称为三角形法则）

向量的加减法

向量的加减法

a b a 

b

向量的加法符合下列运算规律：

（1）交换律： a









（2）结合律： a  b  c  (a  b)  c a  (b  c).

（3） a  (a)  0.

2 减法： a  b  a  ( b ) _b^ a b

 b

c



b a

b a

c

 

 











 ( ) b

a   b

a   a



b



三角形法则可推广到多个向量相加 .

s a3

a4 a₅

a2

a1

5 4

3 2

1 a a a a

a

s     

向量与数的乘法

a

, 0 )

1

(



 a 

a 

同向，|





0 )

2

(









0 )

3

(



 a 

a 

反向，|





a

2 a

2

 1

向量的数乘法

设 是一个数，向量 与数 的乘积规定为

a  



同方向的单位向量，

表示与非零向量 设a₀ a

按照向量与数的乘积的规定，

| 0

| a a

a    .

|

|

a0

a

a 



 

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.

注：

数与向量的乘积符合下列运算规律：

（1）结合律：













（2）分配律： (









b

a 







向量的加法及数与向量的乘法这两种运算称为 向量的线性运算.

两个向量的平行关系：

. 0

a b

a b

a  

 





 



，使 一的实数

分必要条件是：存在唯

的充 平行于

，那末向量 设向量

定理

证 充分性显然；

必要性 _‖ a



b

设 ,

a b



  取 取正值，

同向时 与

当 b a 

取负值，

反向时 与

当 b a 

. a b 



 即有

同向. 与

此时 b a

  且 a   a a a b 



 ^{ b .}

的唯一性.

 ^设 b a^，



 又设 b a，





两式相减，得 (   )a  0， ^即  ^  ^{a  0，} 0，

a 

 故     0， 即 _  _.

说明：以上定理是建立数轴的理论依据。

P

① 给定一个点、一个方向及单位长度可以确定一条数轴；

O

1

i x

② 给定一个点、一个单位向量可以确定一条数轴.

OP  xi

Ox轴上点P的坐标为x的充分必要条件是

OP xi x

P   

点 向量 实数

向量线性运算举例

例1. 化简 



 



   



 5

3 2

5 1 b a

b b

a

 



 

例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四 边形必是平行四边形.

例1. 化简 



 



   



 5

3 2

5 1 b a

b b

a

 



 

解. 



 



   



 5

3 2

5 1 b a

b b

a

 



 

b

a

 



 



    





 5

5 1 2

1 5 )

3 1

(

2 . 2a  5 b





向量线性运算举例

例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.

证 AM ^ MC BM  MD

AD  AM  MD ^ MC ^ BM ^ BC AD 与 平行且相等, BC ^{结论得证.}





A B

D C

M

a b

三个坐标轴的正方向 符合右手系.

即以右手握住z ^轴，

当右手的四个手指 从正向x 轴以

2

 角

度转向正向y ^轴

时，大拇指的指向 就是z _{轴的正向.}

一、空间直角坐标系

空间直角坐标系

z

x

O y

z

x y

O' x

y

O z

Ⅶ

Ⅲ Ⅱ

x Ⅵ

y z

Ⅷ Ⅴ

Ⅳ

由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.

x轴(横轴)

y轴(纵轴) z 轴(竖轴)

过空间一定点 o ,

oxoy

面

面

Ⅰ 在空间直角坐标系中，有

三条轴：x 轴、y 轴、z 轴 三个坐标面：xOy 平面、

yOz 平面、zOx 平面

八个卦限：第 I － VIII 卦限

空间直角坐标系

练习1

, ) 3 , 2 , 1 ( 

A B(2,3,4), ,

) 4 , 3 , 2

(  

C D(2,3,1).

解答： A:Ⅳ;

z

IV

VI V

VII 0

x

y

VIII

III II

I 空间直角坐标系

B:Ⅴ;

C:Ⅷ; D:Ⅲ .

x

y z

o

向径 在直角坐标系下



 

^11

坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

点 M

特殊点的坐标 :

有序数组

( x , y , z )

) 0 , 0 , (x P

) 0 , , 0 ( y Q

) , 0 , 0

( z R

) 0 , , (x y A

) , , 0

(

) , ,

(x o z C

(称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ;

r

r ^M

空间直角坐标系

坐标轴 :

坐标面 :

x

y z

o

空间直角坐标系

向量的坐标表示与运算 二. 向量的坐标表示

在空间直角坐标系下,

设点 M

, ) , ,

(

M _则

沿三个坐标轴方向的分向量.

k z j

y i

x

r       

(

,

,

)

x

o y

z

M

N

B C

i

 



A

, ,

, ,

, 分别表示 轴上的单位向量

以

 



的坐标为

此式称为向量 r 的坐标分解式 ,

r



任意向量 r 可用向径 OM 表示.

NM ON

OM    OA  OB  OC

运算 代数的方法讨论向量的

可用 借助向量的坐标分解式

说明: ,

设 a



(

,

,

),

, ) ,

,

(



则



 b a

 

) ,

,

(





⁽

^,

^,

⁾ ,

当



0 时 

y

y a

b  

z

z a

b  



x x

a

b 

y y

a b

z z

a b 平行向量对应坐标成比例:

，



为实数

向量的坐标表示与运算

两向量平行的充要条件.

设非零向量 a =(a_x , a_y , a_z), b =(b_x , b_y , b_z),

即a_x =b_x, a_y =b_y, a_z =b_z, 于是

注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应 的分子也为零.

a // b



z z y

y x

x

b a b

a b

a  

a // b



则 (为常数)

例如：(4, 0, 6) // (2, 0, 3)

向量的坐标表示与运算

例3. 已知两点

在AB直线上求一点 M , 使

解: 设 M 的坐标为 如图所示 A

B M

o



 1

1

M A

B

及实数   

1 ,

得



1

1

(

,

,

)

即

AM   MB



AM OM  OA



MB OB  OM A

O

OM   

(

)



OM

⁽



向量的坐标表示与运算

说明: 由

得定比分点公式:

1

,

2 1 



 x

x ^y1₁^_^_^y2

,





 1

2

1 z

z

,

当

1时

2

,

2 1 x x 

2

,

2 1 y y 

2

2 1 z z 

A

B M

o

M A

B



 1

1

(

,

,

)

中点公式:

向量的坐标表示与运算

向量的模、方向角、投影 三. 向量的模与两点间的距离公式

2 2

2 y z

x  



),

, ,

(



设

OM

r



o y

z

M

N Q R

由勾股定理得 P

因

得两点间的距离公式:

2 1 2

2 1 2

2 1

2

) ( ) ( )

(



对两点 与

,

 作

OM r



OR OQ

OP  



例4

例 3 求平行于向量a i j k 6 7

6  

 ^的单位向

量的分解式.

解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 a



2 2

2 7 ( 6)

6

|

| a





| |

a

 a

11 6 11

7 11

( 6 i j k









例4

向量的模、方向角、投影

空间两向量的夹角的概念：

, 0





a





 b

a







向量a



与向量b



的夹角

) , (a b



类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 



  0

( )

向量的模、方向角、投影

O u

u u a (a) Prj 或

记作

M  向量在轴上的投影

O u

a

则 a 在轴 u 上的投影为

设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,

 M

, 即



cos )

(a _u  a



 cos a

M  M

向量的模、方向角、投影

例如, a 

( , , )

在坐标轴上的投影分别为

Pr j a

 x , Pr j a

 y , Pr j a

 z

说明：

投影为正；

投影为负；

投影为零；

u

a

b

c

(4)



  0

) 1

( _,

2





 



) 2 2

( ,

  ) 3

( ,

2



x

 ^

向量的模、方向角、投影

o y

z

x

与三坐标轴正向的夹角

r

 

 ,  ,  为其方向角.

方向角的余弦称为其方向余弦.

由向量在坐标轴上的投影的性质，



cos r

x

 2 2 2

z y

x

x



 

( , , ), r  x y z

若

| | cos x  Prj r

 r 



o y z

x

r

 



cos r

x

 2 2 2

z y

x

x



 



cos

y

 2 2 2

z y

x

y



 



cos

r

z

 2 2 2

z y

x

z



 

方向余弦的性质:

向量的模、方向角、投影

例5

例5. 已知两点 和

的模 、方向余弦、方向角及同其方向的单位向量 . 解:

1

2 , 3

2

0

2 )

计算向量

) 2 ,

1 , 1

(



2 2

2

1 ( 2 )

) 1

(

2

2 , cos

1

2 cos   2

3 , 2

3 ,



4 3

2

(

1M  M

0

1 2

1 1 2 ( , , )

2 2 2 M M   e 

向量的模、方向角、投影

例6

例7. 设点 A 位于第一卦限,

解: 已知

角依次为 ₃^π

,

,

4 , , π

3

π

 

 ^则





 ^{2 2}

2 1 cos cos

cos   

4

 1 因点 A 在第一卦限 , 故 ,

2

cos  1 ^于是



 6 cos





^ 

) 3 , 2 3

, 3



(

故点 A 的坐标为

( 3 , 3 2 , 3 ) .

向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹

,



6

且

OA  OA e_OA



 6

, 2

1 ,

2

2 

2 1

向量的模、方向角、投影

3.向量 在向量 上的投影为

 ^







 | | cos

Pr  



 O A   j

 ^

O

 ^

 ^



A 向量的模、方向角、投影

例7.

例7. 设正方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 ,

a

OA  求OA 在 OM 方向上的投影.

解: 如图所示, 记 ∠MOA =  ,

  cos

A O

M

OM 

OA

3

 1

3

 a

a



cos Prj



2 2

3

OM  OA

向量的模、方向角、投影

作业提示：

• 对求一个向量坐标表示，其基本要素是大 小及方向，若已知向量的模及向量方向的 几何刻画（见例题7），则只需求出向量的 同方向的单位向量

即可求得该向量的坐标表示:

练习：

解: 因 设

求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分 向量.



13

在 y 轴上的分向量为 故在 x 轴上的投影为

3 5 8 ,

m  i  j  k

n  2 i  4 j  7 , k

⁵

⁴

4 3

a    m n p

4 3

a  m  n  p

13 i 7 j 15 k

  

y 7

a j  j