形态多样性：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

形态多样性：

• 最简单动力学系统可以表示为(  为控制参数)：

y  ( , )f



• 1838年，生物学家 Verhulst 在研究生物种群演化时提出平方映 射演化方程，也即logistic map：

) ,

1 ( n

n f x

x _ ^ 

) 1

1 n ( n

n x x

x _ 



• 数学物理学家 R. May 于1971年发现了这一单参量方程竟然具有 不同寻常的行为。 微分形式(与迭代方程稍有不同)：

) 1

( x dt x

dx   

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 该微分方程的解为：

• 此解只是一个平凡解，而映射过 程却非常复杂，它能表达出一个 动力学系统是如何从规则运动步 入混沌运动的。

• 上述映射的迭代轨迹如右。根据 不同初始值 x₀ 其规律可以很不相 同。

)]

1 ( 1

/[

)

(t x₀e ^t x₀ e ^t

x  ^   ^

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 定常态与稳定性：

• 根据定常态定义，有：

• 定常态的图解轨迹为：

x_i 









 



 1 0

xi

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 当  值增大时，迭代先出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数 值。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 在定常态附近进行稳定性分析：

• 在定常态 x* 处施加微扰 _n^，则：

) ,

1

(

n

f x

x

 



)

* ,

(

* _{n 1} f x _n

x  _   

 



 







 n

x x

n x

x x f

f

x    

* 1

) ,

*) ( ,

(

*

*

1 ( , )

x n x

n

x x m f







 

 





• 稳定不动点应该满足：  _n+1   _n m  1

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 0<m<1：迭代单调的趋近 x*，m>1表示迭代指数增长发散。

• -1<m<0：迭代经过几次上下起伏趋近于 x*， m<-1表示迭代指数 振荡增长发散。

• 周期解：

• 按照上述稳定性分析，从初值 x₀ 出发，迭代过程要么发散，要么 收敛到两个定常态之一。然而，在合适的  ^{值情况下，迭代过程} 表现为：x₂=f(x₁)，x₁=f(x₂)，循环往复，出现倍周期解。

• 周期2解应该满足：x=f(f(x)) ^{f 2(x)，周期4解满足} x=f(f(f(f(x)))) f ⁴(x)。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 以 x=f ² (x)为例，方程变为：

• 方程 x=f (x)的两个定常解依然是上述方程的两个根，从而求得另 外两个根：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 实根 x_1,2 要求  >3，也就是说，只要满足此条件，周期2解一定存 在。如  =3.2，有 x₁=0.513，x₂=0.799。

• 周期4、周期8、及至周期 2ⁿ 的根可以依此类推求解出来，剔除掉 低倍周期的全部根，剩余的实根数目就是2ⁿ，对应于周期2ⁿ解。

• 在  =3.57时，n趋向无穷，即混沌解！

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 倍周期的图形解：

• 再演示一下倍周期分叉过程。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

驱动与耗散的竞争：

• 从物理本质上看，分岔是非线性系统驱动力和耗散力竞争达到临 界状态而对应的演化行为转变。再以平方映射为例：

) 1

1 n ( n

n x x

x _ 



• 显然，x_n是驱动力，-x_n²是耗散力，两者之间竞争导致状态的 丰富多样。在定常态附近判断两力相对大小依赖于：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 如果：

• 驱动力小于耗散力，定常态稳定；反之则定常态失稳，驱动力大 于耗散力，系统转变到另一状态。=1是相持临界状态。

• 对定常态 x*=0，有：

• 一旦 >1，系统离开 x*=0 而选择其它状态。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 对于另一个定常态 x*=1-1/^，有：

• 一旦 >1，系统离开 x*=0 而转向 x*=1-1/。很显然， x*=1-1/ 在 >3时也出现驱动力大于耗散力，会转向其它定常态，我们知 道就是周期2的状态。

• 这一判据适合于高维体系：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 映射的变化写成：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 依据标准线性代数，设 x_n=Aⁿ，y_n=B^{n，得到：}

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 特征值<1，耗散力大于驱动力；反之驱动力大于耗散力。导 致分叉。

• 注意到，上述处理只是针对每个定常态附近，不是广域的，因此 演化特征也是局域的。

• 混沌要求局域失温，广域稳定。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =0.5： x_f =0.0

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =1.0： x_f =0.0

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =1.5： x_f =0.3555

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =2.5：x_f =0.62963

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =2.5：x_f =0.6

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =2.7：x_f =0.62963

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =2.9：x_f =0.65517

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =3.0：x_f =0.6582902878, 0.6748325544

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =3.0：x_f =0.6582902878, 0.6748325544

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =3.2：x_f =0.5130445095, 0.7994554905

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =3.5：x_f =0.382, 0.500, 0.826, 0.8749

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

x₀=0.25, =3.75：所谓的x_f =很多值

非线性物理：

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x₀=0.25, =3.85：x_f =0.1431, 0.4723, 0.9613

非线性物理：

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分叉的概念：

• 分岔的本义是一种力学状态在临 界点处发生的转变。

• 数学上，分岔就是研究非线性微 分方程当某一参数变化时，其解 发生突变的临界点附近的行为。

• 数学分岔在分析复杂的非线性动 力学中具有重要意义。

非线性物理：

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• 切分叉：

• 切分叉的最简单数学形式是







 x² dt

dx

• 其定常态是 x₀=^1/2， ^{<0时不存在} 定常态， >0时有两个定常态，但是 其稳定性不同。

• 看看>0时两个定常态的稳定性。=x-x₀为小量，则得到：



 _{ }  _{ 2 }

0) ( x dt

d

2 x0

dt

d _{ }  _{ }

( )t  ₀ exp(2x t₀ )

非线性物理：

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• x₀=^1/2是定常态是稳定的结点，而x₀=-^{1/2是不稳定的鞍点。}

• 这种切分叉对应的相空间稳定性图是

• 转换键分叉：

dx

dt  x  x^{2 x}

x

0 0

 0

 



 

非线性物理：

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• x₀=和x₀=0是定常态，在上式右边取负值时的稳定性图如下所 示：稳定的结点和不稳定的鞍点。

• 叉式分叉：

x3

dt x

dx   













0 

0 0

x x

非线性物理：

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• 当 <0时，一个定常态 x₀=0，稳定结点。当 >0时，有三个定常 态，x₀=0是不稳定的，x=^{1/2是稳定的。}

• Hopf分叉：

dx

dt y x x y

dy

dt x y x y

    

   







[ ( )]

[ ( )]





2 2

2 2

非线性物理：

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• 经过极坐标变换，方程可以写成：

• 当 <0时，相空间各点都趋向于(x, y)=(0, 0)；当 ^{>0，相空间各} 点都趋向于=^1/2，形成极限环，称为C极限环。即Hopf分叉。

dx dt

d dt dy

dt

d dt

  

  







    

     cos  sin cos  cos

d

dt    



 



( )



2

1

• 积分后得到方程的解：

0 )

2

(  ¹ 

 ^ 

 t C _{  }(1_ Ce^2t )^1 _{ } 0

t0

t 

 

非线性物理：

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非线性物理：

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倍周期分叉的功率谱：

• 为表示非线性系统运动状态，除时域和相图表示外，频域表示也 是常用方法。随着参数值增加，平方映射出现了轨道周期成倍加 长的倍周期分岔现象。频谱表示每一次分岔在频谱图中出现一批 对应的新的频率分量。

非线性物理：

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• 对平方映射 1P 不动点，功率谱中只有基频 f，以及可能出现的 倍频峰：2f，3f，…；当 1P→2P 分岔后，会出现 1/2f 分频，以 及可能出现 1/2f 分频的倍频峰：3/2，5/2，…；而在2P→4P的分 岔中，应出现的是 1/4f 和 3/4f 的分频以及它们的谐波。下图是 平方映射在4P→8P分岔后的各分频峰的功率谱 。

非线性物理：

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• 随着  ^{逼近混沌临界值} _c，功率谱从分立谱过渡到不可分的连 续谱。因此从功率谱角度来看，如考虑到可能存在的噪声，混沌 运动的特征是具有噪声背景的宽谱带。

• 为了在实验上获得功率谱，通常对轨道上的点作大量取样，然后 作快速傅立叶分析。设我们按等时间间隔  ^{得到时间序列：}

xN

x x

x₁, ₂, ₃,, x_Nj  x_j



 ^N

i

j i i

j x x

c N

1

1 

 

 



 

 ^N

i

j

k N

c kj p

1

1 exp 2

非线性物理：

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• 右图为Libchaber研究组对于液氦的 Rayleigh-Bernard对流实验的分叉功 率谱，Rc为雷诺数。

• 十分漂亮的结果。

非线性物理：

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李雅普洛夫指数：

• 非线性系统能量耗散导致状态最后演化到定常态而不再与时间相 关，这种定常态称为正常吸引子。

• 奇怪吸引子是相对于正常吸引子而言的，它们的特点之一是终态 值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性。

• 初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子 毫无周期可言，转变成所谓的奇怪吸引子。

• 稍微从数学上分析一下这一问题。

非线性物理：

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• 考虑一非线性系统的两个不同初值演化：

x f x

y f y

n 1 n

n 1 n













( ) ( )

• 其初始值有微小差别x₀-y₀，经过一次迭代有：

x y f x f y f x f y

x y x y df

dx x y

1 1 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0

    

   

( ) ( ) ( ) ( )

x

0 0

0 0

y x x

) ( )

lim (

0 0

0 x y

y f x

f dx

df



 



• 经过n次迭代有：

0 0

x 1

- n

0

= n

, n

n

n

)

( x y

dx x y df

x    ^{n } 

非线性物理：

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• 我们对于多重导数相乘定义一个几何均值和指数：李雅普洛夫指 数来表征其大小和符号：

• 利用李雅普诺夫指数，相空间内初始时刻的两点距离x₀-y₀将随 时间(迭代次数)作指数分离：

df

n=0 dx

n-1

x

n

n

 











1/











 

xn

1 - n

0

= n

, ) ln (

1

dx x df n

n 





 

  ¹

0

, ) ln (

lim 1

n

n

n

n dx

x df n

 

)

0 exp(

0 n

n  y  x  y  n  

x

非线性物理：

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• 对于多维迭代，则有多个李雅普洛夫指数 _i^{，沿不同方向标度体} 系的局域发散程度：

• 稳定体系的相轨线相应于趋向某个定常态，如果越来越远离定常 态，则体系是不稳定的。正的 _i 正是描述了这种不稳定性。研 究表明一个系统只要有一个正的 _i 就可出现混沌运动，从而出 现奇异吸引子。

非线性物理：

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• 对于三维系统，两个轨迹的初始点差别为x(0), y(0), (z)，则 t 时刻有：

• x(t)=x(0)exp(₁t) y(t)=y(0)exp(₂t) z(t)=z(0)exp(₃t)

• v(t)=v(0)exp[(₁+₂+₃)t]

• ₁⁺₂⁺₃^{=t -1ln[}^v(t)/^v(0)]。

• 因为div(v)=V ^-1dV/dt，所以ln[V(t)/V(0)]= ₁⁺₂⁺₃^=div(v)。

• 可以看到长时间的李雅普洛夫指数和与定常态局域涨落的特征根 和是相等的，但是其物理意义却不同。

非线性物理：

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• 对耗散系统而言，定常态附近的特征根只是反映局域定常态的稳 定性，可以为正可以为负，可以是实数也可以是虚数。

• 李雅普洛夫指数反映的是两个轨道长时间演化的平均关联特征，

一般都是实数，表示整体上耗散使轨道收缩到一个有限区域。由 此产生不同的吸引子种类：

• ⑴当 _1,2,3 均为负值，相点收缩到一点，即不动点。

• ⑵当 _1,2,3 有一个为零另外两个为负值，收缩在一个极限环。

• ⑶三个指数中两个为零一个为负值，相点收缩在一个二维的环面 上，这是二维环面吸引子。

非线性物理：

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• ⑷三个指数中有一个为正值

，另外对于三维相流要求相 应于相流方向的指数为零，

于是最后那个指数必定为负

，而且(₁+₂+₃)<0必须满足

，这是系统出现奇异吸引子 的情形。

• 不可以出现两个以上指数为 正的情况，这时就没有局域 吸引子，系统很快发散。

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• 几个例子

• 一维平方映射的情况：

• 二维Henon映射的情况：













n 1

+ n

n 2

1 +

n 1

bx y

y x

x  _n

• b=1时是保守系统，b<1时是耗散系统。

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• 计算其两个李雅普洛夫指数：必须 有一个为正才能混沌。

• d₁=d₀exp(₁t)，在整个空间进行不同初始值但是相同d₀的计算，

得到一系列 _x,y，然后求平均值，得到最后的结果。

• 比较大的那个指数与参数的依赖关系如下图(b=0.3)：

• 右图对应于 =1.4, b=0.3。

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• 三维Lorentz映射：取Pr=10, b=8/3，

当Ra=24.74时，C_1,2变成鞍-焦点，出 现Hopf分岔， O与C₁和O与C₂间形成 同宿轨道，混沌出现。

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• 一方面C₁与C₂是不稳定焦点，当相轨线 接近其中一个中心时会被其排斥，以发 散的螺旋线由内向外扩展；另一方面系 统整体上是耗散系统，相空间要收缩。

于是相轨线扩展到一定程度时会因相空 间收缩而返回到其中的一个平衡点附近

，并围绕该中心由内向外扩展，等到扩 展到一定程度时又突然随机地进入到其 中的一个平衡点附近。结果相点在两个 中心之间永无休止地行走着。

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• 计算一下李雅普洛夫指数： Pr==10, b=8/3, Ra=28时，

) 1

1 (

3 2

1 b

dt dV

V    





   

 ₁  ₂  ₃  13.667

• 三个指数之和为负说明相体积收缩，系统是耗散系统。然而吸引 子要成为奇异吸引子，它的最大李雅普诺夫指数必为正值，在奇 异吸引子沿正指数描述的方向上相邻轨线应指数地分离。

• 计算结果为：

) 572 .

14 ,

0 , 906 .

0 ( )

, ,

(₁ ₂ ₃  

非线性物理：

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• 罗斯勒吸引子：

• 罗斯勒系统是三维的，罗 斯勒系统有一个不稳定的 平衡点，即不稳定焦点。

• 考察相轨线在平面投影。































z c x dt b

dz

ay dt x

dy

z dt y

dx

) (

) (

a

ab c

z c

2

2 4

2 , 1



 

非线性物理：

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• 罗斯勒吸引子：