數學科試卷 單元: 1-4 外積、體積與行列式
班級: 座號:______ 姓名:__________
一、填充題:
1. (1)
32 30 27 51 51 50 24 24 23
________ (2)
50 51 52 49 48 47 19 21 23
________ (3)
1 6 21 2 15 28 4 32 35
________.
答案:54;0;-35 解析:
2 3 27 0 1 50 0 1 23
1 50
21 23
2 (23 50) 2 ( 27) 54
解析:
3 2
7 7( 21 16) 35 8 7
2. 若 6
a d g b e h c f i
,則
2 6 2
3 3
a b c
d e f
g h i
________.
答案:36
解析:
2 6 2
3 3
a b c
d e f
g h i
3
2 3
3 a b c d e f g h i
6
a b c d e f g h i
6
a d g b e h c f i
6 6 36
3. 方程式 2
2 2
1 1 1
1 1 log 0
1 log log x
x x
的解為________.
答案:2 解析:x0
log2x 1
x 2
4. 不等式
2 2
2
log log 1
log 1 1 0
2 1 1
x x
x 的解為________.
答案:2 x 4
2
2 2
0 1 log 2 log 1 log
x
x x
2 2
(2 log )(1 log )x x
2 2
(log x 1)(log x 2) 0
1 log2x 2
log 2 log2 2xlog 42 2 x 4
5. 設0 180,且
4 cos2 2cos 1
3 3 1 0
25 5 1
,則 之範圍為________.
答案:30 180
解析:
2 2
4 cos 2cos 1 1 2cos 4cos
3 3 1 1 3 3 0
25 5 1 1 5 25
1 2cos 4cos2
1 3 3 0
1 5 25
(5 2cos )(5 3)( 3 2cos ) 0
3 2 cos 0
cos 3
2
30 180
6. 三次方程式
1 2 3
1 2 3 0
1 2 3
x x
x
,則x________.
答案:0, 0, 4 解析:
1 2 3 ( 4) 0 0 0
0 0
x x
x
(x 4) x2 0 x 0,0, 4
7. 若 6
a x b y m c z n
l
,則
4 4 4 3 3 3
y b m z c n x a
l
________.
答案:72
解析:所求 12
y b m z c n x a
l
12
b y m c z n a x
l 12
a x c z n b y m
l
12 a x b y m c z n
l
12 6 72
a b c b c c a a b
2
c b a r q p z y x
2
c b a r q p z y x
2
a b c p q r x y z
2 8 16
9.
2 2 2
1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 cos
________.
答案:0 解析:
10. 方程式
2 1
9 3 1 0 16 4 1
x x
,則x________.
答案:3,4 解析:
2 1
9 3 1 0 16 4 1
x x
2 2
2
1
9 3 0 0
16 4 0
x x
x x
x x
2 2
9 3
16 4 0
x x
x x
3 1
(3 )(4 ) 0
4 1
x x x x
(x4)(x3)( 1) 0 3, 4
x
11.
2 3
2 3
2 3
a a a b b b c c c
________.
答案:abc c a c b b a( )( )( ) 解析:
2 2
2 2
b a b a abcc a c a
( )( )1 1 abc b a c a b a
c a
( )( )( )
abc b a c a c b
12.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ac bc ad bd ae be
________.
答案:0 解析:
13. 空間中三向量
a (2,5,8),
b (2 ,5 ,8 ),2 2 2
c (2 ,5 ,8 )3 3 3 為相鄰三邊所成平行六面體的體積為________.答案:4320
解析: 2 2 2
3 3 3
2 5 8
| 2 5 8 | 2 5 8 V
2 2 2
1 1 1 2 5 8 2 5 8 2 5 8
80 (8 2)(8 5)(5 2)
80 6 3 3
4320
14. 已知直線L的方程式為
1 2 3 4 0 3 1 5 x y
,則L之斜率為________.
答案:11 2
解析:
1 2 3 4 0 3 1 5 x y
15x 12y 2 9 4x 10y 0
11x 2y 7 0
2y 11x 7
11 7 2 2
y x
11 m 2
15. 若a b c x y z, , , , , ¡ ,且a2b2c2 1,x2y2z2 4,則
2 3 6 a b c
x y z 的最大值為________.
答案:14
解析:所求即以( , , ),( , , ),(2,3,6)a b c x y z 所圍之平行六面體的體積 故當此三個向量兩兩垂直時有最大值
2 2 2 2 2 2 4 9 36
V a b c x y z 1 4 49 14
16. 若a ,且三向量
a (2,3,1),
b (2 ,1,0),a
c (1, ,6)a 不共面,則由此三向量所張之平行六面體的體積最大值為________.
答案:151 解析:V
2 3 1
| 2 1 0 |
1 6
a a
12 2a2 1 36a
2a2 36a 11
2(a2 18a 81) 151
2(a 9)2 151
當a9時,V 有最大值 151
解析:80
2 5
| |
2 a b
b c
2
| | 2
a b
c
4 | |a b c
| |a b c
20V
2 3
| 2 | 3 4
a c b b c
2 3
2 | |
3 4 a c
b b c
2 3
2 | |
4 a c
b c
2 3
8 | |
a c b c
2 8 | |
a b c
16 | | a b c
16 20 32018. 已知平面上兩點A(2,1), B(0, 3) ,而C點在直線L︰x y 5上,若rABC之面積為 10,則C點坐標為________.
答案:(8,3)或( 12, 17) 解析:設C t t( , 5) L
1 5 1
10 2 1 1 2 0 3 1
t t
∣∣
20 t 6 3t 2t 10 2t 4
2 10
t 8, 12
t (8,3)
C 或( 12, 17)
19. 若三線段OA,OB OC, 兩兩互相垂直,而OA4,OB6,OC6,則ABC 之面積為________.
答案:6 17
解析:取A(4,0,0), (0,6, 0), (0,0,6)B C
( 4,6,0),
AB
AC
( 4,0,6)6 0 0 4 4 6
( , , )
0 6 6 4 4 0
AB AC
(36, 24, 24)1
ABC 2 AB AC
r 1 2 2 2
36 24 24
2 1
12 9 4 4
2 6 17 20. 已知A(2,1,1), (1, 4, 2), ( 1, 2, 4)B C ,則:
(1)rABC 之面積為________ (2)點 A 到BC之距為________.
答案:(1)4 2(2)4 6 3
解析:(1)AB
( 1,3,1),AC
( 3,1,3) 3 1 1 1 1 3( , , )
1 3 3 3 3 1
AB AC
(8,0,8)1
ABC 2AB AC
r 1
64 64
2 4 2 (2)
2 2 2
2 2 2
BC 2 3 4 2 1 2 3 ABC 2 d
r 4 2 4 6
3 3
d
21. 已知空間中兩向量
a 和
b ,且
a b (2, 3,6),
a b 7,
a 和
b 的夾角為 ,則sin ________.答案:1 7
解析:
a b
a b sin4 9 36 7 7sin 7 49sin
sin 1
7
22. 空間中一點P(4, 3, 2) 在 x 軸、y 軸、z 軸之正射影分別為 Q, R, S,則:
(1)rQRS 之面積為________.
(2)rQRS 在 xy 平面之正射影所得之三角形面積為________.
答案:(1) 61(2)6
解析:(1)Q(4, 0, 0), (0, 3, 0), (0,0, 2)R S , QR
( 4, 3,0),QS
( 4,0, 2) 3 0 0 4 4 3( , , )
0 2 2 4 4 0
QR QS
( 6,8, 12)1
QRS 2QR QS
r 1
36 64 144
2 9 16 36 61 (2)所求即 1
4 3 6 OQR 2 r
23. 由三直線L1: 2x y 4, L x2: 2y14, L3: 2x y 8圍成一個三角形,則此三角形的面積為________.
答案:30
解析: 2 4 2
( 2,8)
2 14 8
x y x
x y y A
2 14 6
(6, 4)
2 8 4
x y x
x y y B
2 8 3
(3, 2)
2 4 2
x y x
x y y C
2 8 1 1| 6 4 1 | 2 3 2 1
r 1
8 24 12 12 4 48
2 30
24. 若k為實數,空間中四個點A(0,1,0), B(3, 1, 2), C(2,3, 1), D(0, 2, )k ,則rABC的面積為________;若四面體 ABCD的體積為 2,則k________.
答案:3 17 2 ;1
2或 19 10
解析:AB
(3, 2, 2), AC
(2, 2, 1) 2 2 2 3 3 2
(0,1, ) AD
k3 2 2 2 1 2 2 1
6 0 1 k
∣∣
12 6k 4 3 4k
10k 7 1210k 5或19 1
k 2
或 19
10
25. 若a為實數,
3 2 4 11 2 3 21 5 3 20 7
x y a
x y a
x y a
有共同解,則a________,又其解為________.
答案:2;(1,3)
解析:方程組有解三線共點
9 0 29 10 7 0 16 39 3 1 20 7
a a
a
9 29 10 7 16 39
a a
(144a351 203 70 ) a (74a 148)
148 74 a0 2
a
得 3 2 3 2 3 11
x y x y
x 1,y 3 (1,3)
26. 已知L x1: 2y k 0,L2: 2x ky 1 0, L x y3: 2 0為平面上互不平行的相異三直線,若L L L1, ,2 3三線共點,則 k .
答案:k 3或3
解析:∵L L L1, ,2 3三線共點
∴ 2
1 2
0 2 1 9 3
1 1 2 k
k k k
或3
27. 已知L x1: 2y 3 x L x, 2: 2y 3 y L x, 3: 2y 3 ,若L1, L2, L3交於一點,則 之值為________.
答案:0, 0, 6
解析:L1: (1)x2y 3 0, L x2: (2 )y 3 0, L x3: 2y (3 ) 0
1 2 3 (6 ) 0 0 0
0 0
(6 ) 2 0
0,0,6