數學科試卷單元：1-4 外積、體積與行列式班級：

(1)

數學科試卷單元： 1-4 外積、體積與行列式

班級：座號：______ 姓名：__________

一、填充題：

1. (1)

32 30 27 51 51 50 24 24 23

 ________ (2)

50 51 52 49 48 47 19 21 23

    ________ (3)

1 6 21 2 15 28 4 32 35

 ________.

答案：54；0；-35 解析：

2 3 27 0 1 50 0 1 23

 1 50

21 23

  2 (23 50)   2 ( 27)  54

解析：

3 2

7 7( 21 16) 35 8 7

      



2. 若 6

a d g b e h c f i

 ，則

2 6 2

3 3

a b c

d e f

g h i



 



________.

答案：36

解析：

2 6 2

3 3

a b c

d e f

g h i



3

2 3

3 a b c d e f g h i



 



6

a b c d e f g h i

  6

a d g b e h c f i

  _{  }_{6 6} _{ }₃₆

3. 方程式 2

2 2

1 1 1

1 1 log 0

1 log log x

x x

 的解為________.

答案：2 解析：x0

log2x 1

   x 2

4. 不等式

2 2

2

log log 1

log 1 1 0

2 1 1

x x

x  的解為________.

答案：2 x 4

(2)

2

2 2

0 1 log 2 log 1 log

x

x x

 

 

2 2

(2 log )(1 log )x x

  

2 2

(log x 1)(log x 2) 0

   

1 log2x 2

   log 2 log₂  ₂xlog 4₂   2 x 4

5. 設0   180，且

4 cos2 2cos 1

3 3 1 0

25 5 1

 

 ，則 之範圍為________.

答案：30   180

解析：

2 2

4 cos 2cos 1 1 2cos 4cos

3 3 1 1 3 3 0

25 5 1 1 5 25

   

  

1 2cos 4cos2

1 3 3 0

1 5 25

 

 

(5 2cos )(5 3)( 3 2cos ) 0

    

3 2 cos 0

  

cos 3

 2

 

30  180

    

6. 三次方程式

1 2 3

1 2 3 0

1 2 3

x x

x



  

 

，則x________.

答案：0, 0, 4 解析：

1 2 3 ( 4) 0 0 0

0 0

x x

x

   _₍_x_{ }₄₎ _x² _₀ x 0,0, 4

7. 若 6

a x b y m c z n

 l

，則

4 4 4 3 3 3

y b m z c n x a

 l

________.

答案：72

解析：所求 12

y b m z c n x a



l

12

b y m c z n a x

 

l 12

a x c z n b y m



l

12 a x b y m c z n

 

l

  12 6 72

a b c b c c a  a b

(3)

2

c b a r q p z y x



 



2

c b a r q p z y x

  2

a b c p q r x y z

  2 8 16

9.

2 2 2

1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 cos

 

 

 

 ________.

答案：0 解析：

10. 方程式

2 1

9 3 1 0 16 4 1

x x

 ，則x________.

答案：3，4 解析：

2 1

9 3 1 0 16 4 1

x x



2 2

2

1

9 3 0 0

16 4 0

x x

   

 

2 2

9 3

16 4 0

x x

 

 

 

3 1

(3 )(4 ) 0

4 1

x x x x

    

 ^⁽^x^⁴⁾⁽^x^^{3)( 1) 0}^{ } 3, 4

 x

11.

2 3

a a a b b b c c c

 ________.

答案：abc c a c b b a(  )(  )(  ) 解析：

2 2

b a b a abcc a c a

 

  

( )( )1 1 abc b a c a b a

c a

   



( )( )( )

abc b a c a c b

   

12.

1 1 1

ac bc ad bd ae be

 

  

 

________.

答案：0 解析：

(4)

13. 空間中三向量



a (2,5,8),



b (2 ,5 ,8 ),² ² ²



_c __{(2 ,5 ,8 )}³ ³ ³ 為相鄰三邊所成平行六面體的體積為________.

答案：4320

解析： ² ² ²

3 3 3

2 5 8

| 2 5 8 | 2 5 8 V 

2 2 2

1 1 1 2 5 8 2 5 8 2 5 8

   

80 (8 2)(8 5)(5 2)

    

80 6 3 3

   

4320

14. 已知直線L的方程式為

1 2 3 4 0 3 1 5 x y

 



，則_L之斜率為________.

答案：11 2

解析：

1 2 3 4 0 3 1 5 x y

 



15x 12y 2 9 4x 10y 0

       

11x 2y 7 0

    

2y 11x 7

  

11 7 2 2

y x

  

11 m 2

 

15. 若a b c x y z^{, , , , ,}  ¡ ，且a²b²c² 1,x²y²z² 4，則

2 3 6 a b c

x y z 的最大值為________.

答案：14

解析：所求即以( , , ),( , , ),(2,3,6)a b c x y z 所圍之平行六面體的體積故當此三個向量兩兩垂直時有最大值

2 2 2 2 2 2 4 9 36

V  a b c  x y z     1 4 49 14

16. 若a  ，且三向量



a (2,3,1),



b (2 ,1,0),a



c (1, ,6)a 不共面，則由此三向量所張之平行六面體的體積最大值為_

_______.

答案：151 解析：V 

2 3 1

| 2 1 0 |

1 6

a a

12 2a2 1 36a

   

2a2 36a 11

  

2(a2 18a 81) 151

   

2(a 9)2 151

  

當a9時，V 有最大值 151

        

(5)

解析：80

2 5

| |

2 a b

b c

 





^

2

| | 2

a b

c



^{4 |} ^|

a b c





^| ^|

a b c





^²⁰

V 

2 3

| 2 | 3 4

a c b b c





 



 

2 3

2 | |

3 4 a c

b b c







 



 

2 3

2 | |

4 a c

b c







 



2 3

8 | |

a c b c





 



2 8 | |

a b c





16 | | a b c





^{ }^{16 20 320}^

18. 已知平面上兩點^A^(2,1), ^B^{(0, 3)}^ ，而C點在直線_L︰x y 5上，若rABC之面積為 10，則C點坐標為________.

答案：(8,3)或( 12, 17)  解析：設C t t( ,  5) L

1 5 1

10 2 1 1 2 0 3 1

t t





∣∣

20 t 6 3t 2t 10 2t 4

       

2 10

   t 8, 12

  t (8,3)

C 或( 12, 17) 

19. 若三線段OA,OB OC, 兩兩互相垂直，而_OA__4,_OB__6,_OC_₆，則ABC 之面積為________.

答案：_{6 17}

解析：取A(4,0,0), (0,6, 0), (0,0,6)B C

( 4,6,0),

AB



  _AC



_{ }_{( 4,0,6)}

6 0 0 4 4 6

( , , )

0 6 6 4 4 0

AB AC  

 

 

 

(36, 24, 24)

1

ABC  2 AB AC

 



r 1 ² ² ²

36 24 24

2   1

12 9 4 4

 2   __{6 17} 20. 已知A(2,1,1), (1, 4, 2), ( 1, 2, 4)B C  ，則：

(1)rABC 之面積為________ (2)點 A 到_BC^之距為________.

答案：(1)_{4 2}(2)4 6 3

解析：(1)AB



 ( 1,3,1),AC



 ( 3,1,3) 3 1 1 1 1 3

( , , )

1 3 3 3 3 1

AB AC  

 

 

 

__(8,0,8)

(6)

1

ABC  2AB AC

 



r 1

64 64

2  __{4 2} (2)

2 2 2

BC   2 3 4 2 1 2 3 ABC  2 d

r 4 2 4 6

3 3

 d 

21. 已知空間中兩向量



_a ^和



_b ^，且

 

a b (2, 3,6), _{  }

 

_a _b ₇^，



a ^和



_b ^{的夾角為 ，則}^sin^ ^^________.

答案：1 7

解析：    

 

a b

 

a b sin

4 9 36 7 7sin 7 49sin

      

sin 1

 7

 

22. 空間中一點^P^{(4, 3, 2)}^ 在 x 軸、y 軸、z 軸之正射影分別為 Q, R, S，則：

(1)rQRS 之面積為________.

(2)rQRS 在 xy 平面之正射影所得之三角形面積為________.

答案：(1) 61(2)6

解析：(1)Q(4, 0, 0), (0, 3, 0), (0,0, 2)R  S , QR



  ( 4, 3,0),QS



 ( 4,0, 2) 3 0 0 4 4 3

( , , )

0 2 2 4 4 0

QR QS    

 

 

 

_{ }_{( 6,8, 12)}_

1

QRS    2QR QS

 

r 1

36 64 144

 2   _ _{9 16 36}_ _ _ ₆₁ (2)所求即 1

4 3 6 OQR   2 r

23. 由三直線L1: 2x y 4, L x₂: 2y14, L₃: 2x y 8圍成一個三角形，則此三角形的面積為________.

答案：30

解析： 2 4 2

( 2,8)

2 14 8

x y x

x y y A

   

 

  

    

 

2 14 6

(6, 4)

2 8 4

x y x

x y y B

  

 

 

    

 

2 8 3

(3, 2)

2 4 2

x y x

x y y C

  

 

  

     

 

2 8 1 1| 6 4 1 | 2 3 2 1







r 1

8 24 12 12 4 48

  2     _₃₀

24. 若k為實數，空間中四個點A(0,1,0), B(3, 1, 2), C(2,3, 1), D(0, 2, )k ，則rABC的面積為________；若四面體 ABCD的體積為 2，則k________.

答案：3 17 2 ；1

2或 19 10



解析：AB



(3, 2, 2), AC



(2, 2, 1) 2 2 2 3 3 2

 

 

(7)

(0,1, ) AD



 k

3 2 2 2 1 2 2 1

6 0 1 k



 ∣∣ 

12 6k 4 3 4k

     10k  7 1210k 5或19 1

k 2

  或 19

10

25. 若^a為實數，

3 2 4 11 2 3 21 5 3 20 7

x y a

x y a

  

   

   



有共同解，則a________，又其解為________.

答案：2；(1,3)

解析：方程組有解三線共點

9 0 29 10 7 0 16 39 3 1 20 7

a a

a



  



9 29 10 7 16 39

a a

  

   ⁽¹⁴⁴a351 203 70 )  a (74a 148)

   148 74 a0 2

 a

得 3 2 3 2 3 11

x y x y

  

  

 ^{ }^x ^1,^y^{ }³ ^(1,3)

26. 已知L x₁: 2y k 0,L₂: 2x ky  1 0, L x y₃:   2 0為平面上互不平行的相異三直線，若L L L₁, ,₂ ₃三線共點，則 k 　　　　．

答案：k 3或3

解析：∵L L L1, ,2 3三線共點

∴ ²

1 2

0 2 1 9 3

1 1 2 k

k k k

     



或3

27. 已知L x1: 2y 3 x L x, 2: 2y 3 y L x, 3: 2y 3 ，若L₁, L₂, L₃交於一點，則 之值為________.

答案：0, 0, 6

解析：L1: (1)x2y 3 0, L x₂:  (2 )y 3 0, L x₃: 2y (3 ) 0

1 2 3 (6 ) 0 0 0

0 0

 



   



(6  ) 2 0

   

0,0,6



 

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