103年公務人員特種考試司法人員、法務部調查 局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海 岸 巡 防 人 員 及 移 民 行 政 人 員 考 試 試 題
代號：30960
考 試 別：國家安全情報人員 等 別：三等考試
類 科 組：數理組 科 目：線性代數
考試時間：2 小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
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一、在 R
3空間，找一正交基底（orthogonal basis）含向量
v =[1,2,3]T。（20 分）
二、設線性方程組
x1
-
x2+ 2x
3+
x4= 2 3x
1+ 2x
2+
x4= 1 4x
1+ x
2+ 2x
3+ 2x
4= 3
利用此方程組的增廣矩陣（augmented matrix），以 elementary row operations，
求此線性方程組的一般解。（15 分）
此解集合最多有幾個線性獨立解？（5 分）
三、設向量空間 P
n為次方小於或等於 n 之實多項式。另設函數 T：P
2→ P
3定為
T (p(x)) = (x + 1) p (x – 1)。證明 T 為線性映射（linear transformation）。（5 分）
若 P
2, P
3的有序基底（ordered basis）分別為{1, x, x
2}, {1, x, x
2, x
3}，求線性映射 T 對此有序基底的矩陣表示（matrix representation）。（10 分）
若 q (x) = 3x
2- 5x + 8，利用，求 T (q(x)) =？（5 分）
四、設 A, B 為 n 階方陣，σ(H)表方陣 H 的所有固有值（eigenvalue）的集合。證明 σ (AB) = σ (BA)。（20 分）
五、設二次方程式 ax
2+ 2bxy + cy
2+ 2dx + 2ey + f = 0 為兩直線。證明
0 )
det( =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
f e d
e c b
d b a
