考 試 別:國家安全情報人員 等 別:三等考試

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103年公務人員特種考試司法人員、法務部調查 局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、

海 岸 巡 防 人 員 及 移 民 行 政 人 員 考 試 試 題

代號:30960

考 試 別:國家安全情報人員 等 別:三等考試

類 科 組:數理組 科 目:線性代數

考試時間:2 小時 座號:

※注意: 禁止使用電子計算器。

不必抄題,作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上,於本試題上作答者,不予計分。

全一頁

一、在 R

3

空間,找一正交基底(orthogonal basis)含向量

v =[1,2,3]T

。(20 分)

二、設線性方程組

x1

-

x2

+ 2x

3

+

x4

= 2 3x

1

+ 2x

2

+

x4

= 1 4x

1

+ x

2

+ 2x

3

+ 2x

4

= 3

利用此方程組的增廣矩陣(augmented matrix),以 elementary row operations,

求此線性方程組的一般解。(15 分)

此解集合最多有幾個線性獨立解?(5 分)

三、設向量空間 P

n

為次方小於或等於 n 之實多項式。另設函數 T:P

2

→ P

3

定為

T (p(x)) = (x + 1) p (x – 1)。

證明 T 為線性映射(linear transformation)。(5 分)

若 P

2

, P

3

的有序基底(ordered basis)分別為{1, x, x

2

}, {1, x, x

2

, x

3

},求線性映射 T 對此有序基底的矩陣表示(matrix representation)。(10 分)

若 q (x) = 3x

2

- 5x + 8,利用,求 T (q(x)) =?(5 分)

四、設 A, B 為 n 階方陣,σ(H)表方陣 H 的所有固有值(eigenvalue)的集合。證明 σ (AB) = σ (BA)。(20 分)

五、設二次方程式 ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ 2dx + 2ey + f = 0 為兩直線。證明

0 )

det( =

f e d

e c b

d b a

此處 det 表矩陣之 determinant。(20 分)

(提示:將此二次式表示成兩個一次式的乘積,計算此矩陣的 8 倍 det)

數據

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參考文獻

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