第3章綜合演練詳解符號＊為難題。1.

第 3 章 綜合演練詳解

符號＊為難題。

1. 如下圖，兩組兩兩平行的直線所構成的圖形中，每個小格都是邊長為 1 的菱形。

(1) 試以 av

， bv

表示向量uuuvAB

， CDuuuv

，EFuuuv

。

(2) 若 EFuuuv

＝xuuuvAB

＋y CDuuuv

，求數對（x，y）。

解 (1) ^{2 3}

3 2

AB= − a+ b

uuuv v v

， ¹ 2

CDuuuv=3av+ bv

，EFuuuv= −av 3bv

。

(2) ^{2 3 1} 2

3 2 3

EF =x AB+yCD=x− a+ b+y a+ b

uuuv uuuv uuuv v v v v

＝ ^{2 1 3} 2

3x 3y a 2x y b

− +  + + 

   

   

v v

＝ av

－3 bv

。 2 1

3 3 1 3 2 3 2

x y

x y

− + =



 + = −





18 11 3 11 x

y

 = −



 = −



，故數對（x，y）＝ ¹⁸, ³

11 11

− − 

 

 。

2. 若兩平面向量 av 與 bv

的夾角是 180°，已知 av

＝（1，－2），∣ bv

∣＝ 2 5 ，試求 bv

的坐標 表示。

解 因為平面向量 av 與 bv

的夾角是 180°，即 av 與 bv

反向。

設 bv

＝t av

＝t（1，－2）＝（t，－2t），t＜0，

因為∣ bv

∣＝ 2 5 ，所以 ^{t2+ −}

( )

故 bv

＝－2（1，－2）＝（－2，4）。

3. 平面上三點 A，B，C，已知 A（5，8），B（1，1），C（9，5），若 D 為 A 在 BC 上的垂 足，試求 uuuvAD

。 解 〔解法一〕

BAuuuv

＝（4，7）， BCuuuv

＝（8，4），則uuuvBA

在 BCuuuv

的正射影為 BDuuuv

，得

BDuuuv

＝ ^{BA BC}₂ BC BC

 ⋅ 

 

 

 

 

uuuv uuuv uuuv

uuuv ＝⁶⁰

80（8，4）＝（6，3），

故 uuuvAD

＝uuuvBD

－BAuuuv

＝（6，3）－（4，7）＝（2，－4）。

〔解法二〕

依題意可得

直線 BC：x－2y＝－1，直線 AD：2x＋y＝18，

因 D 為直線 AD 與直線 BC 的交點，

2 1 2 18 x y

x y

− = −

 + =

  7

4 x y

 =

 = 得 D（7，4），故 uuuvAD

＝（7，4）－（5，8）＝（2，－4）。

4. 設 uuuvAB

＝（6，2）， ACuuuv

＝（4，k），若△ABC 為直角三角形，則 k 值可能為何？

解 BCuuuv

＝ ACuuuv

－uuuvAB

＝（－2，k－2）。

(1) 若∠A 為直角，則 uuuvAB

‧ ACuuuv

＝（6，2）‧（4，k）＝0  k＝－12；

(2) 若∠B 為直角，則 uuuvAB

‧ BCuuuv

＝（6，2）‧（－2，k－2）＝0  k＝8；

(3) 若∠C 為直角，則uuuvAC

‧ BCuuuv

＝（4，k）‧（－2，k－2）＝0  k＝4 或－2。

故 k 值可能為 4，8，－2，－12。

5. 設平面上三點 A（－5，1），B（－1，3），C（－2，5），若 uuuvAP

＝xuuuvAB

＋y ACuuuv

且 1 ≤ x ≤ 5，

－2 ≤ y ≤ 1 且 x，y 為實數，試求所有 P 點所形成區域的面積。

解 〔解法一〕

uuuvAB

＝（4，2）， ACuuuv

＝（3，4）。

(1) 當 x＝1，y＝－2 時，uuuvAP

＝（－2，－6），即 E（－2，－6）；

(2) 當 x＝1，y＝1 時，uuuvAP

＝（7，6），即 F（7，6）；

(3) 當 x＝5，y＝1 時，uuuvAP

＝（23，14），即 G（23，14）；

(4) 當 x＝5，y＝－2 時，uuuvAP

＝（14，2），即 H（14，2）。

所以 P 點所形成區域的面積恰為平行四邊形

EFGH 的面積為 EF EH uuuv

uuuv ＝ 9 12

16 8 ＝120。

〔解法二〕

P 點所形成區域的面積恰為 uuuvAB

， ACuuuv

所張成的平行四邊形面積的（5－1）（1－（－2））

＝12 倍，

故所求為 12 AB AC uuuv

 uuuv ＝12‧ 4 2

3 4 ＝120。

6. 已知兩點 A（2，3），B（4，2），點 P（x，y）在線段 AB 上，試求：

(1) 3x－2y＋2 之最大值。

(2) xy 之最大值與最小值。

解 2 2

: 3

x t

AB y t

 = +

 = −

 ，0 ≤ t ≤ 1。

(1) 3x－2y＋2＝3（2＋2t）－2（3－t）＋2＝8t＋2，0 ≤ t ≤ 1。

當 t＝1 時，3x－2y＋2 有最大值 10。

(2) xy＝（2＋2t）（3－t）＝－2t²＋4t＋6＝－2（t－1）²＋8，0 ≤ t ≤ 1。

當 t＝1 時，xy 有最大值 8；當 t＝0 時，xy 有最小值 6。

7. 設二元一次聯立方程式 ^{1 1 1}

2 2 2

a x b y c a x b y c

+ =

 + =

 恰有一組解且解為 x＝－3，y＝3，試求

方程組 ^{1 1 1}

2 2 2

3 2

3 2

b x a y c b x a y c

+ = −

 + = −

 的解。

解 原方程組的解依克拉瑪公式可得

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

3, 3

c b a c

c b a c

a b a b

a b a b

= − = ，

新方程組的解依克拉瑪公式可得

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 6

2 6

3 3

3

x

c a a c a c

c a a c a c

x b a a b a b

b a a b a b

−

∆ −

= = = = − = −

∆ −

，

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2

2 3

3 2 2

3 3

y

b c c b c b

b c c b c b

y b a a b a b

b a a b a b

−

∆ −

= = = = − =

∆ −

，

故此方程組的解為 x＝－6，y＝2。

8. 如右圖所示，令 T 為平面上一點，且 OTuuuv

＝α OPuuuv

＋βOQuuuv

，試問：

若 T 點位於 A 區（不含邊界），則 α，β 須滿足什麼條件？

解 設 T 點位於 A 區。

將 T 點與 O 點連線，

設 OT 與 PQ 交於 R 點。

由內分點公式，知道 ORuuuv

＝a OPuuuv

＋bOQuuuv

， 其中 a，b＞0，a＋b＝1。

由於 O，R，T 三點共線且 R 位於 O，T 之間，

所以 OTuuuv

＝r ORuuuv

，其中 r＞1。

與題設比較知 α＝ra＞0，β＝rb＞0，

且 α＋β＝r（a＋b）＝r＞1。

這三個條件（α＞0，β＞0，α＋β＞1）就是 α，β 須滿足的條件。

9. 右圖為全等之正六角形所形成的蜂巢，圖形上有 uuuvAB

，ACuuuv

，uuuvAD

三個向量，將 uuuvAD

寫成 uuuvAB 和 ACuuuv

的線性組合。

解 如右圖所示，

BEuuuv

＝uuuvBF

＋uuuvFE

＝uuuvAB

＋ ACuuuv

。

又正六角形為六個小正三角形所構成，

所以BDuuuv

＝3BEuuuv

＝3（uuuvAB

＋ ACuuuv

），uuuvAD

＝uuuvAB

＋BDuuuv

＝4uuuvAB

＋3 ACuuuv

。

1

＊

0. 下圖△ABC 中， AB＝4， BC ＝5， CA ＝6，且 P，Q 為 BC 的三等分點，試求下列 各值：

(1) uuuvAB

‧ ACuuuv

。

(2) uuuvAP

‧uuuvAQ

。

（提示：先將 uuuvAP

，uuuvAQ

寫成 uuuvAB

， ACuuuv

的線性組合）

解 (1) uuuvAB

‧ ACuuuv

＝∣uuuvAB

∣∣ ACuuuv

∣cos A＝4‧6‧

2 2 2

4 6 5 27 2 4 6 2 + − =

⋅ ⋅ 。

(2) uuuvAP

‧uuuvAQ

＝ ^{2 1 1 2}

3 AB 3AC 3AB 3AC

 +  ⋅ + 

   

   

uuuv uuuv uuuv uuuv

＝^{2 2 5 2 2}

9 uuuvAB +9uuuv uuuvAB AC⋅ +9 uuuvAC

＝² 4^{2 5 27 2} 6^{2 343} 9⋅ + ⋅9 2 + ⋅9 = 18 。