第 第
第 第 2 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練
一一
一一、單選題單選題單選題單選題
1. 已知指數函數 y＝0.5x＋1，則下列哪個選項可以是此函數的圖形？
(A) (B) (C) (D) (E)
解 解 解
解 因為底數小於 1，圖形會逐漸下降，因此刪去(D)(E) 令 x＝0 代入得 y＝2，故刪去(A)
對數函數的定義域為 ，即 x 可以是任意實數，故刪去(C) (B)的定義域是 ，且 y 截距大於 1，可以是 y＝0.5x＋1 的圖形 故選(B)
2. 下列各選項中，有一個對數的尾數與其他選項不同，請選出這個選項：
(A) log 4131 (B) log 0.00004131 (C) log 4131000
(D) log（4.131×1012） (E) log 4.13110
解 解 解
解 (A) log 4131＝3＋log 4.131 ≈ 3＋0.616055195 (B) log 0.00004131＝−5＋log 4.131
(C) log 4131000＝6＋log 4.131
(D) log（4.131×1012）＝12＋log4.131
(E) log 4.13110＝10 log4.131 ≈ 6.16055195＝6＋0.16055195 故選(E)
二 二 二
二、多選題多選題多選題多選題
3. 右圖 4 個曲線 Γ1、Γ2、Γ3、Γ4 分別為函數 y＝ax、y＝bx、 y＝cx、y＝dx 的圖形，請選出正確的選項：
(A) a＞1 (B) c＞1 (C) a＜b (D) b＞c (E) c＞d
解 解 解
解 (A) ○：因為 Γ1 由左而右上升，底數大於 1，所以 a >1 (B) ×：因為 Γ3 由左而右下降，底數小於 1，所以 c＜1 (C) ○：因為 Γ2 上升的速度比 Γ1 快，所以 b＞a，即 a＜b (D) ○：由(A)(C)，b＞1，由(B)，c＜1，所以 b＞c
(E) ×：因為 Γ3 下降的速度比 Γ4 快，所以 c＜d 故選(A)(C)(D)
4. 對數式的底數、真數不滿足特定條件時，我們稱它無意義，請選出無意義的選項：
(A) log5（−2）
(B) log2 5 (C) log（−2）2 (D) log17 (E) log 3 1− 2 解
解 解
解 (A) log5（−2）：真數不可小於 0，故無意義 (C) log（−2）2：底數不可小於 0，故無意義 (D) log17：底數不可等於 1，故無意義 其他(B)、(E)符合對數的定義
故選(A)(C)(D)
三 三 三
三、填充題填充題填充題填充題
5. 用科學記號表示 12365，係數部分取五位有效數字，可得 解
解 解
解 先取對數，按計算機得 log 12365＝365 log 12 ≈ 393.9011548 故知 12365＝100.9011548×10393
其中 100.9011548 ≈ 7.964431842 ≈ 7.9644 故 12365 ≈ 7.9644×10393
6. (1)解指數方程式 310x＝104，得 x＝ 。（四捨五入至小數點後第二位）
(2) 解對數方程式 logx＋log（x＋3）＝1，得 x＝ 。 解
解 解
解 (1) 兩邊取常用對數，得 10x log 3＝4
4
10 log 3
x =
兩邊取常用對數，得 4
log 0.923431227 0.92 log 3
x= ≈ ≈
(2) ① 真數大於 0
因此，x＞0 且 x＋3＞0，故得 x＞0
② 化簡方程式，得 logx（x＋3）＝1
故 x（x＋3）＝10，展開整理得 x2＋3x＝10
x2＋3x－10＝0
（x＋5）（x－2）＝0 故得 x＝−5 或 2 由①、②得 x＝2
7. 蒲福風級（Beaufort scale）是由英國海軍上將蒲福（Francis Beaufort）於 1805 年發明，用風力等 級來表示風的強弱程度。經過多次修正，目前使用的經驗關係式為
3
0.836 2
V = ×B ，其中 B 為蒲福 風級，V 為風速（公尺／秒）。某次颱風來襲，氣象局預測海上風力可達 10 級（稱為狂風 storm），
則利用上述經驗關係式推算，風速可達 公尺／秒。（四捨五入至小數點後第一位）（資料來 源：交通部中央氣象局）
解 解 解
解 由經驗關係式得
3 3
2 2
0.836 0.836 10 26.43664124 26.4
V = ×B = × ≈ ≈ （公尺／秒）
8. 初入社會的小倫，每月薪水 30000 元，由於表現優異，公司每滿一年就調高待遇一次，5 年後已 達每月 36000 元。假設每年調薪的比率都相同，則這個比率為 %。（四捨五入至小數點後 第一位）
解解
解解 設每年調薪的比率是 r 則 30000（1＋r）5＝36000
兩邊除以 30000，得（1＋r）5＝1.2 兩邊取常用對數，5 log（1＋r）＝log1.2
log1.2
log (1 ) r 5 + =
log1.2
1+ =r 10 5 ≈1.037137289 1.037≈ 得 r ≈ 0.037＝3.7 %
9. 當溶液的氫離子濃度為 r 莫耳／升 時，此溶液的 pH 值為 −logr。假設有一杯酸性溶液 pH 值 為 3.2，則此溶液的氫離子濃度為 莫耳／升。（以科學記號表示的係數部分取二位有效數字）
解 解 解
解 設此氫離子濃度為 r 莫耳／升 則由已知條件知 −logr＝3.2
得 logr＝−3.2 r＝10−3.2＝10−4 + 0.8＝100.8×10−4 按計算機可得 100.8 ≈ 6.309573445 ≈ 6.3 故知此溶液的氫離子濃度為 6.3×10−4 莫耳／升
10. (1) 假設服用某種藥物以後，每 8 小時身體可以代謝掉三分之一，則服用此藥物 120 毫克以 後，經過 小時體內的藥物殘留量才會少於 20 毫克。（四捨五入至小數點後第一位）
(2) 碳-14 是碳元素的一種同位素，半衰期約為 5700 年。通常生物體內的碳-14 含量與大氣相同，
但生命停止後就開始衰減，因此，科學家檢測古生物的碳-14 相對於正常含量的比例，就可以 推算此古生物的年代。假設某人類學家挖出一個人類的頭蓋骨，其碳-14 含量相對於正常含量 為 12 %，則據此可以推算其年代距今約為 年。（四捨五入至百位數）
解 解 解
解 (1) 每 8 小時身體可以代謝掉三分之一，所以殘留三分之二
設經過 t 小時，令 2 8 2 8 1
120 20
3 3 6
t t
＜ ＜
兩邊取常用對數，
log1
2 1 6
log log 8
8 3 6 2
log3
t t
×
＜ ＞
log 2 0 3
因為 ＜ ，所以移項時“＜”要改為“＞” 即 t＞35.35218066 ≈ 35.4（小時）
(2) 設年代距今 x 年，則 1 5700 12
2 100
x
=
兩邊取常用對數，得 1 3
log log
5700 2 25
x =
log 3
5700 25 17435.69403 17400 log1
2
x= × ≈ ≈ （年）
四四
四四、計算題計算題計算題計算題（每題 16 分，共 32 分）
11. 在音樂裡，由 Do 到 Do（即 Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si、
Do） 稱為八度音程。如果把經過的半音也算進來，共有 12 個 音階，我們稱為一組八度。其中較高音的 Do，頻率恰為較低音 Do 的 2 倍。以鋼琴為例，一組八度含 7 個白鍵與 5 個黑鍵。
音樂史上，為了解決一些問題，規定由較低音往較高音上升時，
相鄰兩個音階的頻率保持固定的比率，這就是「十二平均律」。試問：
(1) 相鄰兩音階的頻率比為多少？用小數表示為多少？（四捨五入至小數點後第二位）
(2) 標準 A 音（唱 La）頻率是 440 Hz，試求升高 2 個半音的 B 音（唱 Si 或 Ti）的頻率。
（四捨五入至整數位）
解 解 解
解 (1) 設較低的 Do 頻率為 f，相鄰兩個半音頻率變為 r 倍 因為較高音的 Do 與較低音 Do 相差 12 個半音 所以 f×r12＝2f，得 r12＝2
故得 r=122 ≈1.059463094 1.06≈
(2) B 音的頻率為 440 ( 2 )× 12 2 ≈493.8833013≈494（Hz）
12. 日常生活裡，我們常用分貝（dB）數的大小來描述聲音的強度 I（單位：瓦特／平方公尺， W/m2）， 它們之間的關係為
0
dB ( ) 10 log I
I = × I ，其中 I0 是一個定值。已知棒球場上啦啦隊用的汽笛獨鳴 的噪音為 72 分貝，試回答下列問題：
(1) 假設定值 I0＝10−12 W/m2，試求這種汽笛的聲音強度。（以科學記號表示，係數部分取三位有 效數字）
(2) 如果 100 支這種汽笛合鳴，噪音可達多少分貝？
解 解 解
解 (1) 假設 72 分貝的聲音強度為 I 由公式，
0
10 log I 72
× I =
0
log I 7.2 I =
0
I
I ＝107.2 I＝I0×107.2＝10−12×107.2＝10−4.8＝100.2×10−5 按計算機得 I ≈ 1.584893192×10−5 ≈ 1.58×10−5（W/m2）
(2) 由(1)，I＝I0×107.2 得 100 I＝100×I0×107.2 故 100 支汽笛的分貝數為
dB（100 I）＝
0
10 log100I
× I
＝
7.2 0
0
100 10 10 log I
I
× × ×
＝10（7.2＋log100）
＝92（分貝）
