二元一次方程式的圖形

(1)

二元一次方程式的圖形

(1) 一個二元一次方程式的任意一組解，

可以記錄成數對的形式，此時這一組解在坐標平面上的圖形就是一個點。

(2) 二元一次方程式的圖形都是一條直線

，因此二元一次方程式又稱為直線方程式。

1. 二元一次方程式的圖形與畫法：

搭配頁數

P.25

(2)

a≠0 ， b≠0 條件

圖形

搭配頁數

P.25 不垂直兩軸的直線

(3) 畫出二元一次方程式圖形的方法，須先找出此二元一次方程式中，兩組不同的解，然後在坐標平面上標示出此兩點，並畫一條直線通過這兩點，即為此方程式的圖形。

2. 直線方程式 ax ＋ by ＝ c 的圖形：

a ＝ 0 ， b≠0 a≠0 ， b = 0 垂直 y 軸

的直線垂直 x 軸

的直線

x – 3y ＝ 4 y ＝ – 5 x ＝ 4

(3)

圖形

搭配頁數

P.25 兩條直線交於一點

二元一次聯立方程式的解就是這兩個方程式的圖形的交點坐標；兩條直線的交點坐標就是這兩條直線所代表的兩個方程式的共同解。

3. 「二元一次聯立方程式的解」與

「兩條直線的交點坐標」：

無解無限多組解

4. 二元一次聯立方程式的圖形：

兩條直線互相平行

兩條直線互相重合只有一組解

解的情形

(4)

已知 A( –3 , 2) 在 ax ＋ y ＝ 5 的圖形上，求 a 的值。

因為 A( –3 , 2) 在直線 ax ＋ y ＝ 5 上，

故 a × (–3) ＋ 2 ＝ 5

解

搭配頁數

P.26 a ＝ – 1

： a ＝ –

1

(5)

在坐標平面上畫出下列各二元一次方程式的圖形：

(1) 2x ＋ y ＝ 4 (2) y ＝ 3x – 6

解

搭配頁數

P.26 x

y 4 0

0 2

( 2 , 0 ) ( 0 , 4 )

2x ＋ y ＝ 4

(6)

在坐標平面上畫出下列各二元一次方程式的圖形：

(1) 2x ＋ y ＝ 4 (2) y ＝ 3x – 6

解

搭配頁數

P.26 x

y – 3 1

0 2

( 2 , 0 ) ( 1 , – 3 )

y ＝ 3x – 6

(7)

已知 M( a , b) 為二元一次方程式

2x – 3y ＝ 4 圖形上一點，求 4a – 6b 之值

。

M( a , b) 代入 2x – 3y ＝ 4 得 2a – 3b ＝ 4 ，

解

搭配頁數

P.27 因此 4a – 6b ＝ 8

(8)

在坐標平面上分別畫出 y ＝ – 3 及 x ＝ 5 的圖形，並標示出此兩條直線交點的坐標。

解

搭配頁數

P.27 ( 5 , 0 )

( 0 , – 3 )

y ＝ – 3

在 y 軸上坐標是– 3 的位置，畫一條與

y 軸垂直的直線。

在 x 軸上坐標是 5

的位置，畫一條與 x 軸垂直的直線。

x ＝ 5

( 5 , – 3 )

交點的坐標 ( 5 , –3 )

(9)

在坐標平面上畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形，並判別其解為「只有一組解」、「無解」或「無限多組解」：

解

搭配頁數

P.27 2x – 3y ＝ 6 2x ＋ 3y ＝ 6 x

y x y

□ 只有一組解

□ 無解

□ 無限多組解 –2

0 0 3 2

0

0 3 ^{( 0 , 2 )}

( 3 , 0 ) ( 0 , – 2 )



(10)

在坐標平面上畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形，並判別其解為「只有一組解」、「無解」或「無限多組解」：

搭配頁數

P.28 8x – 6y ＝ 0 4x – 3y ＝ 5 x

y x y

□ 只有一組解

□ 無解

□ 無限多組解 0

0 4 3 5

5 –3 –1

( –1 , –3 ) ( 0 , 0 )



( 3 , 4 )

解

(11)

在坐標平面上畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形，並判別其解為「只有一組解」、「無解」或「無限多組解」：

搭配頁數

P.28 x y x y

□ 只有一組解

□ 無解

□ 無限多組解 –1

3 –2 1 –1

3 –2 1

( 3 , –1 ) ( 1 , –2 )



解

(12)

小飛俠彼得潘在虎克船長的船上，拿到一份損壞的藏寶圖，如圖所示。

將 (3 , 5) , ( –2 , –5)

代入 ax ＋ by ＋ 1 ＝ 0

解

搭配頁數

P.29 (1) 設方程式 ax ＋ by ＋ 1

＝ 0

的圖形通過基地 A(3 , 5), 鱷魚潭 E( –2 , –5) 兩點，

求直線 AE 所代表的方程式。

直線 AE 所代表的方程式為 – 2x ＋ y ＋ 1 ＝ 0

– 2x ＋ y ＋ 1 ＝ 0

(13)

(2) 設方程式 y ＝ mx ＋ n 的圖形通過船塢 B( – 3 , 4) 、岩洞 H( 5 , –2) 兩點，求直線 BH 所代表的方程式。

將 ( –3 , 4),(5 , –2) 代入 y ＝ mx ＋ n 解

搭配頁數

P.29 – 2x ＋ y ＋ 1 ＝ 0

(14)

(3) 直線 AE 與 BH 的交點坐標 ( 即寶藏地點 ) 為下列哪一點？ (A) 樹屋 F( 0 , – 3) (B) 黑風洞 I( 2 , 1)

(C) 精靈樹 J( 1 , 1) (D) 紅毛坑 K( – 1 , 2)

解

搭配頁數

P.29 將 x ＝ 1 代入式得 – 2 ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ,

交點坐標為 (1 , 1), 即寶藏地點為精靈樹 J (1 , 1)



– 2x ＋ y ＋ 1 ＝ 0

J (1 , 1)

(15)

直線 L₁ 的方程式為 x – y＝ 4 ，直線 L2 的方程式為 2x＋ y ＝ 5 。則：

(1) 將直線 L1 及 L2 畫在坐標平面上。

(2) 設 A 點為 L1 及 L2 的交點，求 A 點的坐標。

(3) 直線 L₁、 L2 分別與 x 軸交於 B、 C 兩點，求三角形 ABC 的面積。

解

搭配頁數

P.30 x y x

y – 4 0

0 4

5 0

3 1

(1) 畫 L₁ 及 L₂

L ₁ ： x – y ＝ 4

( 4 , 0 )

( 0 , – 4 )

L ₂ ： 2x ＋ y ＝ 5

( 0 , 5 )

( 1 , 3 )

(16)

解

搭配頁數

P.30 得 3 – y ＝ 4

故 A 點坐標為 (3 , – 1)

(2) 解 L 1 , L ₂ 聯立方程式

L ₁ ： x – y ＝ 4

( 4 , 0 )

( 0 , – 4 )

L ₂ ： 2x ＋ y ＝ 5

( 0 , 5 )

( 1 , 3 )

A( ? , ? )

A(3 , – 1)

(17)

解

搭配頁數

P.30 得 2x ＝ 5

(3) L

1

交 x 軸於 B( 4 , 0)

L ₁ ： x – y ＝ 4

( 4 , 0 )

( 0 , – 4 )

L ₂ ： 2x ＋ y ＝ 5

( 0 , 5 )

( 1 , 3 )

A(3 , – 1)

(18)

已知坐標平面上兩條直線的方程式分別為 ax

＋ 3y ＝ 2 與 4x ＋ by ＝ – 4 , 如果點 (2 , – 4) 為此兩條直線的交點 , 求 a 、 b 的值。

點 (2 , – 4) 為 ax ＋ 3y ＝ 2 與 4x ＋ by ＝ – 4 的交點

8 – 4 b ＝ – 4

且 4×2 ＋ b × ( – 4) ＝ – 4

解

故 2 × a ＋ 3 × ( – 4) ＝ 2

搭配頁數

P.30

(19)

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