103 年度中正國防幹部預備學校數學科教師甄試試題

(1)

x y

2 2

1 x  y 

2 2

1 x  y  2

2 2

1 x  y  4

2 2

1 x  y  8

103 年度中正國防幹部預備學校數學科教師甄試試題

詳解：

一、填充題：每題須有計算過程，並將答案填入空格中。

1．已知 ABCDEF 是邊長為 2 的正六邊形，若拋物線恰經過 A、B、C、D 四點，則拋物線 的焦距為__________。

Ans： 3 4

解：建立坐標系，使 A、B、C、D 的坐標分別為( 2, 3) ，(1,0)，(1,0)，(2, 3) 則可求得拋物線的方程式為 ² 1

3( ) 4 3

x  y 3  c ，故焦距為 3

| |c  4

2．不等式⁽ ¹⁾⁽ ₂¹⁾⁽ ₄¹⁾ ⁽ ₂¹1⁾ ⁰ 2

2 2

2 y  x  y  x y   x  y  n_ 

x 所圍區域的面積為。

Ans：2 3



解：所求之解為₂¹ ^^x² ^^y² ^¹或₄¹^^x²^ ^y² ^₂¹或₈¹^^x² ^^y² ^ ₄¹或 1 ² ² 1 16 x y  …8

所圍區域的面積為 1 1 1

(1 )

2 4 8

       

( 1 ) 1 ( 1)

 2  2 3 。

3．設 S 為(1ix)²³⁴⁵的展開式中實部的所有係數和，試求log S2 __________。

Ans：1172

解：設 f x( ) (1 ix)²³⁴⁵，則

(1ix)2345的展開式中實部的所有係數和即為f (x)中偶次項的係數和  (1) ( 1) 1 ²³⁴⁵ ²³⁴⁵ ¹¹⁷²

(1 ) (1 ) 2

2 2

f f

S      i  i  ^ log₂S log 2₂ ¹¹⁷² 1172

4．在ABC中，若 tanAtanB = tanAtanC + tanCtanB，則 ² ₂ ² c

b

a  __________。

Ans：3

解：切割化弦，已知等式即

C B

C B C

A C A B

A B A

cos cos

sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin

sin   ，

sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos

A B A B C A B A B A B

A B A B C C A B C

   

       

   

sin sin sin cos cos sin

sin cos

A B A B A B

C C

   sin sin

sin A B

 C sin( ) sin( ) cos cos

A B C

C C



 

 

 C

C B A

sin2

cos sin

sin =1，由正弦定理得 cos 1

2 

c C

ab ，又由餘弦定理可得 1

2 ²

2 2

2  

c c b a

故 ₂ 3

2

2 

c b a

5．在 xy 平面上，表示：

2 2

16 12 1

x  y  且^y^⁰的圖形，C₁表示：(x2)²y² 4且y0的圖

形，C₂表示：(x2)²y² 4且y0的圖形，設 P、Q、R 分別為、C₁、C₂上的動點，

則PQ PR 之最大值為___________。

Ans：12

解：如右圖，PQ PR PF  F Q PF FR   PFF Q PF FR 

PQ PR (PFPF)F Q FR 2a r r 8 2 2 12

      

P

Q R

Q R

( 2,0)

F  F (2,0)

y

x

(2)

即PQ PR 之最大值為 12

6．設擲一顆公正的骰子連續 3 次，出現的點數分別為( a, b, c )，則 a, b, c 可形成等腰三角的 三邊長之機率為__________。

Ans：23 72

解：(1)若 a, b, c 為三同：

^ ( a, b, c )  (1,1,1)；(2,2,2)；(3,3,3)；(4,4,4)；(5,5,5)；(6,6,6) (2)若 a, b, c 為二同一異：

 令a b c  且a b a a c    c  1 ^ a  b  2 ~ 6；

c  2 ^ a  b  3 ~ 6；

c  3 ^ a  b  2、4、5、6；

c  4 ^ a  b  3、5、6；

c  5 ^ a  b  3、4、6；

c  6 ^ a  b  4、5；

故共有(544332)×3!

2! 63(種) 由(1)(2)所求之機率為6 63₃ 23

6 72

 

7．數列 1，2，3，2，3，4，5，3，4，5，6，7，4，5，6，7，8，9，……，若依此規律，則此數列的第 2014 項的數字為__________。

Ans：62

解：把有序數組(1，2，3)，(2，3，4，5)，(3，4，5，6，7)，(4，5，6，7，8，9)，……

記作群數列 An ，則第n 群An中共有ⁿ+2 個連續自然數，其中第 1 個數為ⁿ，最後一個數這2ⁿ+1。

當ⁿ= 61 時，前 61 個群中的所有項的數字和為(3 63) 61 2 2013

   。

所以已知數列的第2014 項是 A62 中的第1 個數，即為 62。

8．定義在R上的函數 ^{f x}

 

滿足 ^f

 

⁰ ^⁰， ^{f x}

 

^ ^f



¹^^x



^¹， ¹

 

5 2 f    x f x

  ，且當0x₁x₂1時， f x

 

1  f x

 

2 ，則 1 f 2014

 

 _____

_____。

Ans： 1 32

解：令x1，則 f (1)  f (0)  1， ¹ ¹

 

¹

5 2 f     f

  ，又 ^f

 

⁰ ^⁰，可得f (1)  1； 1 1 5 2 f   

  令 1

x ，則5 1 4 4 1

5 5 1 5 2

f    f     f   

     

因當0x₁x₂1，恆有 f x

 

1  f x

 

2 1 4 5 x 5

   ，恆有

 

¹

f x 2 由 ¹

   

¹

 

⁵

5 2 2

f    x f x  f x  f x

 

2 3 4

1 1 5 1 5 1 5 1 5

( ) ( ) ( )

2014 2 2014 2 2014 2 2014 2 2014 f   f   f   f   f  

因為

1 54 4

5 2014  ，所以5 1 1 ⁴ 1 1 2014 ( )2 2 32 f     

 

9．在坐標平面上的點序列( , ),( , ),( , )a b₁ ₁ a b₂ ₂ a b ₃ ₃ ，對所有的n  1, 2, 3, 都滿足

(a_n_₁,b_n_₁) ( 3 a_nb_n, 3b_n a_n)，若(a₁₀₀,b₁₀₀) (2, 4)，則a1b1 。

Ans： 1₉₈ 2

解： ¹

1

3 1 1 3

n n

a a

b b



  

   

  

   

    ，

(3)

設 A = 3 1 cos30 sin 30 2 sin 30 cos30 1 3

      

     

 

  ，則 cos30 sin 30

2 sin 30 cos30

n n n n

A n n

  

 

    ，

因 ¹ ¹ ¹

1 1 1

cos30 sin 30 2 sin 30 cos30

n n n

n

a a n n a

b A b n n b



  

      

 

          

  ，

故 ¹⁰⁰ ⁹⁹ ¹ ⁹⁹ ¹ ⁹⁹ ¹ ⁹⁹ ¹

100 1 1 1 1

cos 2970 sin 2970 0 1

2 2 2

sin 2970 cos 2970 1 0

a a a a b

b A b b b a



   

           

   

                

  ，

可得 ₁ 1₉₉ ₁₀₀ 1₉₇

2 2

a  b  ，且 ₁ 1₉₉ ₁₀₀ 1₉₈

2 2

b   a   ，故 ₁ ₁ 1₉₇ 1₉₈ 2 2 a  b   1₉₈

2 。

10．在複數平面上，ABC的頂點 A,B,C 所對應的複數分別為 3  2 i，3 i，2 – i，若動點 P 所對應的複數為 z，且關於動點 P 之軌跡方程式

| |z 2       z  z  0恰表示ABC外接圓，其中  為複數，則 ,  __________。

Ans： 4 i

解：由已知得_{AB AC}_ 且_AB__AC，即ABC為等腰直角三角形，

故其外接圓方程式為 z  (1 )i 5，平方整理： | |z ²        (1 i z) (1 )i z 3 0 比較係數可得    1 ,i        3   4 i

11．已知等差數列{ }a_n 和{ }b_n 的前n 項的和分別為A_n和B_n，且 7 41 3

n n

A n

B n

 

 ，則使得 ⁿ

n

a

b 為整數的正整數n 的個數有__________個。

Ans：3

解： ¹ ² ¹ ² ¹

1 2 1 2 1

2 7(2 1) 41 7 17 10

2 2 1 3 1 7 1

n n n n

a a a a A n n

b b b b B n n n

 

   

      

      Z，

故 n  1、4 或 9，共 3 個。

12．如右圖，ABC　中，  C 90 ，且₃_AD_₂_{DE EB}_ ，已知ACD ，DCE ，ECB ，求^csc^_csc^_^csc^ ＝。

Ans：11 4

解：設_{CD m CE n}_ _, _ ，

1 1 3

sin 2 2 sin 11 11

1 1 2 6

sin sin sin sin 4

2 2 11 11

ab mn

bm na

 

   

   

  

    

(註：表ABC之面積)

13．若八位數 N 同時滿足下列兩個條件：

(i) N 的每一位數字是1或2或3

(ii) N 各位數字中，1恰出現偶數次(含0次) 試求此種八位數 N 之個數共有__________個。

Ans：3281

解： ₀⁸ ⁸ ₂⁸ ⁶ ₄⁸ ⁴ ₆⁸ ² ₈⁸ ⁰ 3⁸ 1

2 2 2 2 2 3281

C  C  C  C  C   2 

14．在直角坐標系中有三點 A(0,1)，B(1,3)，C(2,6)，已知在直線 L：y  ax  b 上有三點 D、E、F 的 x 坐標分別為 0、1、2，試求直線 L 的方程 式使得_AD²__BE²__CF²達到最小值？

Ans： 15x – 6y  5  0

解：由題意可知D, E, F 的坐標分別為 D(0, b)，E(1, a  b), F(2, 2a  b)，則

2 2 2 ( 1)2 ( 3)2 (2 6)2

AD BE CF  b   a b  a b  由柯西不等式得

 ²

2 2 2 2 2 2

1 2 1 (b 1) (a b 3) (2a b 6) 1 (b 1) 2 (a b 3) 1 (2a b 6) 1

                       

    所以

2 2 2 2 2 2 1

( 1) ( 3) (2 6) AD BE CF  b   a b  a b  6

(4)

當 1 3 2 6 5 5

1 2 1 2, 6

b a b a b

a b

          時 _AD²__BE²__CF²達到最小值。

此時直線 L 的方程式為 15x – 6y  5  0

15．設 f(x)為三次多項式，   為方程式^{, ,} ^{f x}^{( ) 0}^ 的根，若

1 1

( ) ( )

2 2 619

(0)

f f

f

 

 ，試求

1 1 1

    =__________。

Ans：1234

解：令 f x( )a x₃ ³a x₂ ²a x a₁  ₀，則

2 3 0 3

a a a a

  



    



  



，

而

3 2 1 2

0 0

2

3 2 1 0 0

0

( )1 2

2 8 4 2 619 2 2

1 2

( )

2 8 4 2

a a a a

f a a a

a a a a a

f a

     

    

      



，

故 ²

0

1 1 1

2(619 2) 1234 a

a

  

   

        

16．從原點出發的一道光線，射在鏡面(視為一直線)上的一點 A(4,8)且反射到點 B(8,12)，求鏡面的斜率為__________。

Ans： 1 10 3



解：設鏡面的斜率為m，^m_OA^^2,^m_AB ^¹

由 2 1

tan tan

1 2 1 m m

OAD BAC

m m

 

    

 

2 1 10

3 2 3 0

m m m 3

      (負不合)

二、計算證明題：

1．設 a, b, c, d 均為實數，且 a  b  c  d  3，a²2b²3c²6d² 5，求證：1  a  2 解：令b  c  d  3  a，2b²3c² 6d²  5 a²

由柯西不等式知 ^{[( 2 )}² ^{( 3 )}² ^{( 6 ) ][(}² ¹ ⁾² ⁽ ¹ ⁾² ⁽ ¹ ^{) ] (}² ⁾²

2 3 6

b  c  d     b c d

 ² 1 1 1 ² ² ² ²

(5 )( ) (3 ) (5 ) 1 9 6 3 2 0

2 3 6

a a a a a a a

               ，即 1  a  2

2．在平面上ABC和一點O 滿足：_OA

     

²__BC² __OB²__CA² __OC²__AB²^，

試證：O 是ABC的垂心

解：

2 2 2 2 2 2 2 2

0 OA BC OB CA OA OB CA CB 

       

 

        

0 0

OA OB BA CA CB BA BA OA OB AC BC

     



            

            BA OC

    

2  0 BA OC ^；

同理可證：_CB

 

__OA^且_AC

 

__OB^，

故O 為ABC的垂心

送分

A(4,8)

C

B(8,12)

D

O

(5)