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南寧高中 106 學年度 第二學期 第一次段考 高二數學科
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一、多選題(每題 5 分，每小題 1 分，4 題共 20 分)( )1. 將空間中一組歪斜線AB
、CD
投影於同一平面上，則下列何者為可能產生的圖形？(A)兩條平行線 (B)兩點 (C)一直線與線外一點 (D)一直線 (E)相交的二直線 ( )2. 已知ABCD 為正四面體且邊長為 6，M 為AB的中點，下列敘述何者正確？
(A)正四面體ABCD 的高為 2 6 (B)直線 AB 垂直平面 CDM (C)已知θ 為正四面體之二面的銳角，則 2
tanθ = 4 (D)直線AB 與直線 CD 互為歪斜線 (E)正四面體的體積為18 2 (四面體之體積公式1
3× 底面積× 高) ( )3. 已知空間中一點P(3, 4, 5)− ，下列敘述何者正確？
(A)P點對 xy 平面的投影點為 (3, 4,0) (B)P點對 xz 平面的對稱點 (3, 4, 5)− − (C)P點在 y 軸上的投影點為(0, 4, 0) (D)P點到 z 軸的距離為 5
(E)P點到 x 軸的距離為 41
( )4. 在空間中，下列哪些點可與A(1, 2, 3)、B(2,5, 3)、C(2, 6, 4)三點構成一平行四邊形？
(A)( 1, 5, 2)− − − (B)(1,1, 2) (C)(1, 3, 4) (D)(3, 7, 6) (E)(3, 9, 4) 二、填充題(每格 5 分，8 格共 40 分)
1. 四面體ABCD 中，AB=AC =AD= ，4 BC=CD=DB= ，若2 θ 為平面 ABC 與平面 BCD 所夾之 二面角，則 cosθ = __________
2. 空間中二點A(1, 1, 2)− 、B(3,5, 0)，取 x 軸上一點P，使PA=PB，則P的坐標為__________
3. 設A(1,1, 2)− 、B(5, 0, 1)− ，若P為直線 AB 上一點，且 3PA=2PB，則P點坐標為__________
4. 如圖正立方體中AC=BC，GF =2GE，若 CDG∠ = ，則 cosθ θ = __________
5. 空間中相異三點A(1, 0, 1)− 、B(0, 2,1)− 、C(4, 0,5)，則 (1) AB
在AC
方向上的正射影__________(2)B點在 AC 直線上的投影點坐標__________
E
B D
A C
F G
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6. 設x+ + =y z 4，且 x 、 y 、 z 為實數，求 (1)x2+y2+z2 −2x+6y的最小值__________
(2)此時( , , )x y z =__________
三、進階題(每大題 8 分，共 40 分)
1. 如圖長方體ABCD−EFGH中，AB= ，3 AD= ，4 AE= ，則 5
(1)若∆ABD與 BDE∆ 所在平面之二面角為θ，則 tanθ = __________ (4 分)
(2)若P在 ABD∆ 之內部且P到 BD 的垂足為R，則PA2 +PR2之最小值為__________ (4 分)
2. 設A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、 (1,1, 2)C ，若 ABCD 為正四面體，則D點之坐標__________ (兩解)
3. 若空間中一線段AB在 xy 平面上之正射影長為 6，在 yz 平面之正射影長為 8，則AB長之範圍 為__________
4. 若空間中四點A 、B、 C 、D，AB= 2，BC = ，2 CD= ，2 ∠ABC =135° ，∠BCD= ° ， 90 AB
與CD
的夾角為 45° ，則|AD
|=__________5. 設A(0, 0, 6)、B(0, 0, 20)為空間中的兩定點，P x y( , , 0)為一動點，若 0≤ ≤x 15，0≤ ≤y 15， 30
∠APB≥ ° ，則P點軌跡所形成之圖形面積__________
E
B
H
C A
F G
D
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南寧高中 106 學年度 第二學期 第一次段考 高二數學科簡答
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一、多選題(每題 5 分，每小題 1 分，4 題共 20 分)1. 2. 3. 4.
(A)(C)(E) (A)(B)(D)(E) (A)(B)(C)(D)(E) (B)(C)(E)
二、填充題(每格 5 分，8 格共 40 分)
1. 2. 3. 4.
5 15
(7, 0, 0)
13 3 8 ( , , )
5 5 −5 或 1 3 5 ( , , )
2 2 −2
2 10
5. 6.
(1) 3 6 ( , 0, )
5 5 (2) 8 1 ( , 0, )
5 5 (1) 2 (2) (3,1, 2)−
三、進階題(每大題 8 分，共 40 分)
1. 2. 3.
(1) 25
12 (2) 72 25
(1,1, 0)或 1 2 2 (1, , )
3 3
− 8≤ AB≤10
4. 5.
3 2 75 3 13+ π
