Brown 運動與 L´evy 泛函分析 ( 中 ) ∗
飛田武幸 著
李育嘉
陳明廷 合譯
⊙上回摘要
L´evy 對於在函數空間 L2[0, 1]上所 定義之泛函進行分析的同時, 微分之概念 很自然地以變分的形態登場。 但對積分而言 L2[0, 1] 上 Lebesgue 測度並不存在, 其定 義便以泛函數的平均代之以突破困境, 使得 吾人能建立無限維空間上之微積分的理論架 構。
對於平均之概念, 現代的解決方法是在 L2[0, 1] 所擴大之廣義函數空間上由白雜訊 測度 µ 之積分代之。 此種 µ 可視為 Brown 運動 B(t) 對時間微分之白雜訊
B(t) =˙ d
dtB(t), t ∈ R, 的機率分佈, 如此, 古典的 L2[0, 1] 上之分 析, 可由 Brown 運動的泛函數之分析, 以現 代的面貌復活過來。
又, 由於 µ 形式上可視為無限維球面 S∞(√
∞) 上之均勻分佈的機率測度, 很自然 的, 吾人可期待達成部分無限維回轉群之研
究工作。 又如有限維 Lie 群也相同, 此即為 提倡機率調和分析之理由。
6. 廣義泛函數
L´evy 之函數的分析, 以現代之觀點來 進行泛函數之分析, 首先很自然地登場者是 為廣義泛函數。
基本上所考慮的是依據機率論的理論, 亦可以說是以 i.i.d. (independent iden- tically distributed 即遵循獨立的相同分 佈) 隨機變數系統為本。 廣義泛函數可視為 連續無限個具 i.i.d. 之系統 { ˙B(t)} 或 廣義函數系 {x(t), t ∈ R1} 之函數,t 視為座標之符號。 如在 n 維空間上之座標 x1, x2, · · · , xn, 若考慮 x(t), 當 t 變動 時便成為 x(t) 並排之連續無限之座標系統 (· · · , x(t), · · · , x(t′), · · ·), 以此為變數之函 數是吾人研究之對象, 吾人稱之為廣義泛函 數。
1
*原文刊登於“數學研討”第 27 卷, 第 4 期,68 – 73 頁 (1980), 日本評論社, 東京。
假設變數系已經決定, 接下來要考慮的 是何種函數(廣義函數 x(t) 之函數) 為泛函 數,
(i) 最基本且初等的是多項式, x(t)2 或 x(t)n 或它們的和, 尤其指數函數也應 作為基本的, 而非於最初處理不行。
(ii) 一方面, 具 i.i.d.之白雜訊 { ˙B(t)} 可想 像為將自然界中之“振動”或“噪音”理 想化後之數學產物。 於是, 物理學或工 學等所出現之隨機的現象, 可用白雜訊 泛函數表示出來者並不少。 處理這些問 題對吾人而言是有意義的, 對其背後之 實態及重要性之期待應不會落空。
為上述 (i),(ii) 之廣義泛函數所形成之 空間作明確定義, 而建立架構為吾人下一步 的主要工作。 此架構之建立, 當然並非最終之 結果, 由此發展下來之研究及相關之分析當 然會有後續的推廣。
7. 廣義泛函數之導入 (一)
廣義泛函數應如何定義之, 今敘述其構 想。
以 Hilbert 空間 (L2) = L2(E1∗, µ) 作為基準, 其中 E1∗ 為 §3 中所說明之空 間,µ 為白雜訊測度。 今考慮由 E1∗ 及其試函 數 E1 之對偶 hx, ξi = ξ(x) 所構成之系 統 {ξ(x); ξ ∈ E1},(L2) 即為所有此等系 統 ξ(x) 之非線型且平方可積之函數所成之 Hilbert 空間。
令 ξ(x) 等之 n 次 Hermite 多項式全 體所擴張成之 (L2) 的部分空間, 設為 Hn, 則可得(L2)之直和分解
(L2) = L
nHn。 (13)
以量子力學的話來說, 此為 Fock 空間, 而Hn 表 n 個粒子存在時之狀態的向量全體。 N.
Wiener 稱 Hn 為 n次之 Homogeneous Chaos。 在機率論中多半稱 Hn 之元素為 n 次 Wiener 重積分。
以下我們說明使用積分這個名稱的理 由。 此是由文獻 [4] 中之構想而來。n = 1 時 hx, ξi 擴張成 H1。 將 x(t) 想成是 ˙B(t) 之樣本函數時,L2(R1) 上之內積為標準的雙 線性型,hx, ξi 可視為
Z
ξ(t) ˙B(t) dt =
Z
ξ(t) dB(t)。 (14) 此為視 dB(t) 為隨機測度時之隨機積分。 同 時由 (14) 之左邊來了解, 可視為變數 ˙B(t) 乘上係數 ξ(t) (的連續無限個之和) 之齊次 一次多項式。
n = 2 時, 可考慮如下, 固定 ξ 時 hx, ξi 為機率空間 (E1∗, µ) 上之平均值為 0, 變異 數為 kξk2 之 Gauss 隨機變數, 又 hx, ξi 與 hx, ηi 之共變異數 (covariance) 為 ξ 與 η 在 L2(R1) 上之內積 (ξ, η), 於是, 由 hx, ξi,ξ ∈ E1 之二次 Hermite 多項式之一 般型可表為
hx, ξihx, ηi − (ξ, η)。
如同 (14) 可寫為
Z
ξ(t) dB(t)
Z
η(s) dB(s)−
Z
ξ(t)η(t) dt,
由於 (dB(t))2 之平均為 dt, 上式亦可寫為
Z Z
ξ(t)η(s) dB(t)dB(s) ,
除直線 t = s外之其他部分是隨機測度之積 分, 因此吾人稱之為二重 Wiener 積分。
空間 H2 之元素之一般形為
Z Z
F (t, s) dB(t)dB(s)。 (15) 為求表現之唯一性, 核函數 F 取為對稱 (F (t, s) = F (s, t)) 之 L2(R2)-函數。 如此 定義之隨機變數 (15), 可知其平均值為 0, 變 異數為 2kF k2 (k k 為 L2(R2) 之範)。 若 不計因數 2 可得下列同構,
H2 ∼=Lc2(R2) , (16) 此處Lc2(R2) 為對稱之 L2(R2)-函數全體所 成 L2(R2) 之 部分空間。 同樣地, 吾人也可 定義 Hn 與Lc2(Rn), 此時可表為
Hn ∼=Lc2(Rn)。 (17) 更詳細而言,Hn 之元素 ϕ(x) 與對稱之 Lc2(Rn) 函數 F 成 1 : 1 對應,ϕ 在 (L2) 上 之範 kϕk 與 F 在 L2(Rn) 上之範 kF k之 間之關係為 kϕk =√
n! kF k。
本節到現在的內容, 已超過歷史, 概略的 論述可參考文獻 [2] 第 4 章。
今回到 L´evy ([L,3])。 在他的場合, 泛 函數 U(x) 之變數 x 在 L2[0, 1] 內變動, 由 求 U 之平均值的 Gˆateaux 公式觀之, 對應 於他分析的東西, 可再以空間 (L2) 上的分析 來看。 讓 (14) 與 (15) 中之 ˙B(t) 回到 x(t) 而重新分別改寫時成為
Z
ξ(t)x(t) dt,
Z Z
F (t, s)x(t)x(s) dtds。
n 次之一般情形可寫為 U(x)
=
Z
· · ·
Z
F (u1, · · · , un)x(u1) · · · x(un) dun, F ∈Lc2(Rn)。 (18)
此為 L´evy 所稱 x 之 n 次齊次函數中所謂 的正規泛函數, 當然 F 為對 u1, · · · , un 之 對稱函數。
今對 L´evy 工作之發展, 吾人可考慮如 下所表之 n 次正規泛函數之分析
U(x)
=
Z
· · ·
Z
G(u1, · · · , uk)x(u1)n1· · · x(uk)nkduk,
Xk 1
ni = n。 (19)
此處 U 之變數並非單純的實變數 x, 而是變 數系 {x(u)}。 吾人可以說此為由 i.i.d. 之 { ˙B(t)} 引發而對各 ˙B(t) 或 x(t) 之變數系 上之泛函作同樣的考慮。
話說回到 L´evy 至今, 形式上有些過頭 了。 上述 (19) 可想像為形式上的東西, 若視 x 為白雜訊之樣本函數則 (18) 具有正確的 n 次 Wiener 重積分之意味。 但到底 (19) 是否 具有此種意味? 對於此吾人有如下的說明。
取構造 Hn 時之基底之一 hx, ξi 之 n 次 Hermite 多項式。 此為具參數 σ2 之 x 的 n 次多項式
Hn(x; σ2)
= (−σ2)n n! exp
"
x2 2σ2
# dn dxnexp
"
− x2 2σ2
#
,
用此式得
ϕ(x) = n!Hn(hx, ξi; kξk2)。
用 Wiener 重積分來表示時由 (17) 之同構 所對應之核函數 F (也可說 (18) 之 F ) 為
ξ(u1)ξ(u2) · · · ξ(un) ∈Lc2(Rn)。
今令 ξ 接近於 δ-函數 δt 時 ϕ(x) 之極限已 經在 Hn 中看不出來, 但形式上 (18) 可趨近 x(t)n而成為 (19) 之一特例。 於是 (19) 在吾 人設定的延伸形式上可定義時, 必需在 (17) 的同構對應上能夠對應擴張其定義方可。 此 時核函數 F 成為 Rn 上之廣義函數。 到底 取何種程度之類的廣義函數方可, 此為吾人 之動機。 由 §6 (i) 可作如下之建議:
Hn(−n) ∼= Hˆ−n+12 (Rn)
∪ˆ ∪ˆ (20)
Hn ∼= Lc2(Rn)。
下式為 (17) 本身, 吾人想要的廣義函數空間 H(−n)n 為如上所表, 次數 −n+12 可在對稱的 Sobolev 空間 (H 為 Sobolev 空間,∧表 “對 稱” 之意) 同構下定義之。H(−n)n 為 n 次廣義 泛函數。
H(−n)n 為 x(t) (或 B(t))˙ 之 n 次 Hermite 多項式。 形式上可寫為 n!Hn(x(t); 1/dt) (或 n!Hn( ˙B(t); 1/dt))。
為了與乘冪區別起見, 借用物理的記號而書 寫為
: x(t)n : 或 : ˙B(t)n:
與 : Πkx(tk)nk : 或對應之 ˙B 之量同樣均可 用 Hermite 多項式嚴格定義之。 此處,L´evy 之正規泛函數 (19) 在 H(−n)n 中之重要例子 為
ϕ(x) =
Z
· · ·
Z
G(u1, · · · , uk) : x(u1)n1· · · x(uk)nk: duk,
Xk
1
ni= n。
(21) 注1. (21) 之核 G, 視為 Rk 上之函數, 不 如視為 Rn 上之對稱函數, 其變數分別減為 n1, · · · , nk 個。 如此, 合於 (20) 之同構。
注2. 欲給與廣義泛函數理論上之定義, 如 單變數廣義函數之場合, 非由試函數 (test functions) 之空間開始不行, 可是由利用 Sobolev 空間 (20) 定義之函數 來看, 似無 所說明。
最後, 如 (13), 僅剩對 Hn(−n) 等, 和之 運算, 有限維時加法有待定義。 H(−n)n 之範為 k · k−n 時, 考慮由正遞減數列 {cn} 所新定 義之範
k · k = X
n
cnk · k2−n
!12
。
H(−n)n 之代數直和, 對 k · k 完備化後書寫為 (L2)−{cn} ≡ (L2)−=L
nH(−n)n , (22) 稱之為廣義泛函數空間, 此為吾人所欲求之 空間, 在此空間上開始作分析。
8. 廣義泛函數之導入 (二)
上節已對 Sobolev 型之廣義泛函數作 定義, 與有限維之場合一樣對 Schwarz 型之
廣義泛函數也可作定義, 兩者具大部分共同 性但也分別有其特性 (參看 [8],[9])。
出發點與上節一樣是 (13) 之 (L2)。 為 使敘述較具體, 取 L2(R1) 上之正自 身共軛 算子 (Positive self–adjoint operator)
A = − d2
du2 + u2+ 1。
借用物理學上之第二量子化方法, 首先定義 Lc2(Rn) 上之對稱張量乘積 A⊗n, 然後利 用 (17) 之同構對應, 可定義 Hn 上之算子 A˜⊗n。 如此在 (L2) 上定義之 A 的第二量化 算子
Γ(A) =LA˜⊗n 即可工作。 由於
Γ(A)p = Γ(Ap), p : 正整數.
於是可求 Γ(A)p 之定義域 D(Γ(A)p) = (S)p。
此空間以 Γ(A)pϕ 之 (L2)-範 kϕkp 為 其範,(S)p 成為 Hilbert 空間。 函數空間 (S)p, p > 0, 對 p 為單調遞減, 且 (S)p+1
至 (S)p 中之嵌入寫像為 Hilbert–Schmidt 型。 取
(S) =T
p(S)p
便定義了核型空間 (S)。(S) 具代數結構, 此 為此試函數之好處。 設 (S)p 之共軛空間為 (S)−p 則 (S) 之共軛空間 (S)∗ 為
(S)∗ =S
p(S)−p。 (23) 此 (S)∗ 也為廣義泛函數空間。
空間 (S)∗ 含上節所重視的 x(t), t ∈ R1 之多項式或正規泛函數。 再者若 K 為 L2(R1) 上之積分算子時, 用二次形式 hx, Kxi (此為 H(−2)2 上之元素) 可得 E1∗ 上之 Gauss 核
ψK(x) = : exp
−1
2hx, Kxi
:, K ≥ 0。
(24) 上式 : : 表以 K 之 Fredholm 之行列式 (trace–class 以外均為無限大!) 的平方根來 除 (此為乘法正規化 (mulicative renormal- ization))。
由此種例子觀之,(L2)− 或 (S)∗ 不僅是 分析學上, 且是由物理學開始的自然科學諸 分野可推察之產物。
在此吾人再回到本來之目標—隨機過程 之分析。 以下面的隨機變分方程式作為方針, 此當然為 L´evy 所提倡。 對於隨機過程 X(t), 微小時間 dt 之間的變化 δX(t) 可表為
δX(t) = Φ(X(s), s ≤ t, Yt, t, dt)。 (25) Φ 為非隨機之函數,Yt 為各時點獨立之新生 過程 (也可稱為 innovation)。 此時由 Φ 與 {Yt} 可完全決定 X(t) 之結構。 這個方程式 並非形式上的而已, 在考慮隨機過程之分析 上, 其定義很明確。
例如 Yt= ˙B(t),Φ 為線性時,Gauss 過 程 X(t) 為 Brown 運動之因果上的線性泛 函數, 其表現為
X(t) =
Z t
F (t, u) dB(u), (26) 換句話說可引導標準表現之理論之研究。
同樣, 取 Yt = B(t),Φ 為非線性˙ 時,(25) 更是吾人之隨機分析有效地被採用 之場合, 想要進入此狀況, 尚須若干準備。
9. 微分算子
回過 來 說, 有 了 泛 函 數 之 變 數 系 {x(t)}, 或直觀的選 { ˙B(t)}, 且基本上的 函數 (其實為廣義泛函數) 之空間若已決定, 接著下來通常考慮對那些變數作微分。 形式 上而言, 吾人期望有
∂
∂X(t) 或 ∂
∂ ˙B(t)
之定義。 關於此, 如下論述可滿足吾人之希 望。
給定廣義泛函數 ϕ(x), 用 [8] 之方法變 換為 U-泛函數 U(ξ), 此種變換稱為 S-變換:
S : ϕ(x) → (Sϕ)(ξ) ≡ U(ξ)
=
Z
ϕ(x + ξ) dµ(x), ξ ∈ E1。 (27)
以 δ/δξ(t) 表 Fr´echet 微分時, 微分算子 ∂t
可由
∂tϕ(x) = S−1 δ
δξ(t)(Sϕ)(ξ) (28) 定義之。 此保有充分廣大的定義域,
∂t : H(−n)n → H(−n+1)n−1 (限制在D(∂t)) (29) 為消滅算子 (annihilation operator)。
對於此, 可定義生成算子 (coreation operator) ∂∗t 為對 ∂t 的共軛算子, 而使
∂t∗ : H(−1)n → H(−n−1)n+1 (30) 成立。
利用此二算子, 乘 x(t) 之運算 πt 可定 義為
πtϕ(x) = x(t) · ϕ(x) = (∂t∗+ ∂t)ϕ(x)。
(31)
上式在普通的函數分析中是不能成立的, 但 在吾人的廣義函數論中卻可定義, 此為吾人 分析上之一大特徵。 上式之乘積對於 µ, 幾乎 對所有的 ˙B 之樣本函數 x 皆成立。
例:
∂t
Z
f (u) : x(u)n: dt = nf (t) : x(t)n−1 : ,
∂t∗ : x(t)n: = : x(t)n+1 : ,
πtx(s) = x(t)x(s) = : x(t)x(s) : +δt(s)。
上回 §2 所處理之 L´evy 之 Laplacian △L, 用上面的記號可表為
△L=
Z
∂t2(dt)2
= S−1 δ2 δξ(t)2S。
另一方面, 粒子數算子 N 可表為 N =
Z
∂t∗∂tdt
(−N 為 Ornstein–Uhlenbeck 算子)。△L, 在 (L2) 上為零算子, 但在 (L2)− 上有效地 運作。 另一方面,N 在 Hn 為 n · I (I 為恆 等算子) 而對 (L2) 作用, 兩者分開在工作。
例: (24) 式所給之例, 當 K 為 c · I 時 其 U-泛函數成為
U(ξ) = exp
−1 2c′kξk2
, c′ = c 1 + c。 因此可得
△LψK = −c′ψK(x)。
即 ψk 可視為 △L 之固有函數。
以機率調和分析之立場,△L或 N 與回 轉群之間有趣之關係可加以說明, 關於這些 擬與下回, 今就此擱筆。
參考文獻
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Streit, White noise analysis and applications, Math. +Physics, vol.
3, ed. L. Streit, 1988.
作者: 飛田武幸,日本名古屋大學教授, 1991 年退休,現任教於名城大學.
譯者: 李育嘉,成功大學數學系教授. 陳明廷,成功大學數學系副教授.
