Michael Tsai2011/11/25 GRAPH

GRAPH

Michael Tsai 2011/11/25

Biconnected Components 相關名詞

• Articulation point:

• 如果在 connected graph G 中的的一個 vertex v 被移除以 後 ( 包含 v 和所有 incident 在它上面的 edge), 新的 grap h G’ 會變成有兩塊以上的 connected components

• ( 複習 : 什麼是 connected components)

• Biconnected graph: 沒有 articulation point 的 graph

• Biconnected component: maximal biconnected subgraph

• 這邊 maximal 是說 , 沒有一個可以包含它的 subgraph 是 b iconnected 的

例子

1

2 3

0

4

5

7

6

8 9

猜一猜哪邊是 articulation point? ( 有沒有 articulation point?) 加了什麼邊可以讓它變成不是 articulation point?

1 0

1

2 3

4

3 5

7

8 9

5

7

6 Biconnected components:

7

例子 : 資訊系館網路

NTU CC 1G 光纖

cisco 3750

cisco 2960 cisco 2960

215 機房

各樓層研討室

Where is the articulation point(s)?

How do we eliminate them? PC PC PC

實驗室 1G 網路線

DFS 另一用途

• 可以用來尋找 articulation point & biconnected compon ents

• 怎麼用呢 ? 首先先把 graph 做一次 dfs, 並標上 discover 的順序

• 從哪個 vertex 開始不重要 , edge 順序也不重要

• ( 真的嗎 ? 自己驗證看看 )

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0

1 2

3 4

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6 7

8 9

尋找 articulation point

•

如果是 root 的話 ( 開始做 dfs 的地方 ), 且有超過 一個的 children  是 art iculation point

•

如果不是 root:

•

當有一個以上的小孩 , 無 法沿著它自己的後代及一 條 nontree edge (back e dge) 到達它的祖先的時候 , 則為 articulation poi nt

•

back edge: 一條 edge (u ,v), u 是 v 的祖先或者 v 是 u 的祖先 .

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9 8

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尋找 articulation point

• 定義一些 function 來找 articulation point

• low(u)=min{u.d, min{low(w)|w is a child of u}, min {w.d| (u,w) is a back edge}}

尋找 articulation point

• 當某 vertex v 有任何一 個 child 的 low 值 >=v.d 時 , 則 v 為 articulatio n point

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

v.d 4 3 2 0 1 5 6 7 9 8

low 4 0 0 0 0 5 5 5 9 8

low(u)=min{u.d,

min{low(w)|w is a child of u}, min{w.d| (u,w) is a back edge}}

Minimum Cost Spanning Tree

• 電路設計需要把 N 個電子零件的接點連接在一起

• 這些接點在不同的位置

• 要如何把它們通通連接起來呢 ? 需要有 N-1 條”電線” , 每一條把兩個接點連接起來

• 怎麼樣才能使用最短的電線呢 ?

• 轉換 : G=(V,E) 是 undirected graph, V 是接點 , E 所有 可能的電線

• 每一個 E (u,v) 的 weight w(u,v) 代表所需使用的電線長 度

• 須找出一個 acyclic 的 subset 連接所有的 vertex, 且 使

•  

Minimum Cost Spanning Tree

• T: acyclic 且連接所有 vertex, 所以為一棵 tree 且 span 到整個 graph, 所以稱為 spanning tree.

• 複習 : Spanning tree 須滿足那些條件 ?

• 1. 因為是 tree, 所以沒有 cycle

• 2. 因為是 tree, 所以正好有 n-1 個 edge

• 下面介紹三種使用 greedy algorithm 產生 minimum cost s panning tree 的方法

一般型 Minimum Spanning Tree 演算法

GENERIC-MST(G,w)

while A does not form a spanning tree find an edge (u,v) that is safe for A A=A

return A

• A 是最終的 MST 的 edge 的 subset

• 隨時 A 都保持 acyclic 隨時 都是一個 forest

• 每次都選一個 edge, 把中兩棵 tree 連接起來 ( 因為不能出現 cyc le)

• 最後共選 |V|-1 條邊

• 下面三個 algorithm 的前兩個都是用這個方法

• Reading Assignment: 課本 23.1

•  

Kruskal’s algorithm

• 這個方法是我覺得最直觀的方法 .

MST-KRUSKAL(G,w) A={}

for each vertex MAKE-SET(v) sort G.E by w

for each edge (u,v)

if FIND-SET(u)FIND-SET(v) A=A{(u,v)}

UNION(u,v) return A

•  

0

5

1

6

4

3

2 10

25

22 24

12 18

16 14

28

管理 set 的一些工具 function:

MAKE-SET(v): 創造一個 set

FIND-SET(v): 找到這個 set 的頭頭 (id) UNION(u,v): 把兩個 set 合併起來

Kruskal’s algorithm

MST-KRUSKAL(G,w) A={}

for each vertex MAKE-SET(v)

sort G.E by w

for each edge (u,v)

if FIND-SET(u)FIND-SET(v) A=A{(u,v)}

UNION(u,v) return A

•  

�(� log �) 

次  

次  

次  

�(  (� +�)�(� ))

since G is connected  

�(��  (� ))

�  (� )=�(log� )=�(log �)

�  (� log � )

, 所以  

管理 set 的一些工具 function:

MAKE-SET(v), FIND-SET(v), & UNION(u,v) 執行共 m 個 operation 的時候 (n 個 item) 則執行時間為

管理 set 的資料結構相關內容請見課本 21 章

證明題

• 證明 Kruskal’s algorithm 會產生出 minimum cost spanning tree.

• (1) 證明當某 graph 有 spanning tree 的時候 , Kruskal’s algorithm 會產生出 span ning tree.

• (2) 證明這個產生出來的 spanning tree 一定是 cost 最小的 .

• 證明 (1):

• 什麼時候某 graph 一定有 spanning tree 呢 ?

•  原本是 connected 的

• Algorithm 什麼時候會停下來呢 ?

• (1) 當 T 裡面已經有 n-1 個 edge 了 , 且正好每個 edge 都處理完畢 ( 成功 , 不管它 )

• (2) T 裡面還沒有 n-1 個 edge, 但是每個 edge 都處理完畢 , 而有些 node 沒有連接到 ( 我們的 algorithm 會不會造成這樣的情形呢 ?)

• 但是我們的程式只會把造成 cycle 的 edge 丟掉 , 當把造成 cycle 的 edge 丟掉的時候 , 不會因此讓某個 node 在 T 裡面沒有跟其他 vertex connected.

• 所以不會造成 (2) 的情形

證明題

• 證明 (2)

• 假設 T 是用我們的 algorithm 做出來的 spanning tree

• 假設 U 是某一個 minimum cost spanning tree ( 可能有很 多個 , 其中一個 )

• 既然都是 spanning tree, T 和 U 都有 n-1 個 edge

• 有兩種情形 :

• (1) T 和 U 一模一樣 , 則 T 就是 minimum cost spanning tree ( 沒什麼好證的 )

• (2)T 和 U 不一樣 . 則我們假設它們有 k 條 edge 不一樣 , .

•  

證明題

• 每次我們從 T 取出 k 條不一樣的 edge 中其中一條 ( 此 edge 不在 U 中 ), 從 cost 最小的開始到 cost 最大的 .

• 把這條 edge( 我們叫它 t) 加入 U 的時候 , 會產生一個 cycle 在 U 中

• 這個 cycle 裡面 , 一定有某一條 edge 不在 T 裡面 , 我們叫它 u ( 因為 T 沒有 cycle). 我們把 u 從 U 拿掉 , 這個新的 spanning tre e 叫做 V

• V 的 total cost 就是 cost(U)-cost(u)+cost(t).

T U

k 條不在 U 中的 , 其中最小的為 t

t

u

V

證明題

• 但是 cost(t) 不能小於 cost(u), 否則 V 就比 U 的 cost 少 了 (contradiction)

• cost(t) 也不能大於 cost(u),

• 不然當初我們做 T 的時候 , 應該會先選到 u, 但是因為它 會造成 cycle 所以才不選它 .

• 所以 u 和所有在 T 裡面 cost 跟 cost(u) 一樣大或者更小的 edge 會造成 cycle.

• 但是剛剛既然我們先選到 t ( 在 T 裡面不在 U 裡面最小的 一個 ), 表示這些 cost 跟 cost(u) 一樣大或者更小的 edge 都在 U 裡面

• 表示 u 和這些 edge 都在 U 裡面 , U 會有 cycle (contradic tion)

證明題

• 搞了半天 , 目前可以證明 cost(f)=cost(e)

• 所以 cost(V)=cost(U)

• 重複以上步驟 , 可以最後變成 V=T 且 cost(V)=cost(T)

=cost(U)

• 所以 T 也是 minimum cost spanning tree

Prim’s Algorithm

MST-PRIM(G,w,r) for each

u.key=

u.pi=NIL r.key=0

Q=G.V

while Q{}

u=EXTRACT-MIN(Q) for each G.Adj[u]

if v and w(u,v)<v.key v.pi=u

v.key=w(u,v)

A={(v,v.pi):vV-{r}}

•  

0

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3

2 10

25

22 24

12 18

16 14

28 u.key: 記錄到最短的邊的 weight

u.pi:   紀錄上面講的那條邊的另外一端是哪個 vertex

Sollin’s algorithm

• 一開始每個 vertex 自己是一個 forest

• 保持都是 forest

• 每個 stage, 每個 forest 都選擇一個該 forest 連到其他 f orest 的 edge 中 cost 最小的一個

• 執行到沒有 edge 可以選了 , 或者是變成 tree 了 ⁰

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22 24

12 18

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Shortest paths

• 目標 : 找出 vertex u 到 graph G 中任何一點的最短距離

0

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0 2

0 2

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5 3

3 0 3 1 5

0

TO VERTEX PATH LENGTH

3 0 3 10

4 0 3 4 25

1 0 3 4 1 45

2 0 2 45

5 No path

TO VERTEX PATH LENGTH

3 0 3 10

4 0 3 4 25

1 0 3 4 1 45

2 0 2 45

5 No path

Dijkstra’s algorithm

• Set S 裡面有一些已經加入的 vertex ( 包括起始點 )

• w 不在 S 中 , 則有 distance[w] 紀錄從經過 S 中的任意個 vertex 後 , 最後到達 w 的這樣形式的最短路徑

•  

S �  ₀ w

Dijkstra’s algorithm

• 每次選擇 u, 為 distance[u] 中最小的

• 選進 S 以後 , 到 u 的 shortest path 就找到了

• 所以找到 shortest path 的順序會是由最短的找到最長的

• 把 u 選進去 S 以後 , 就要把所有 u 的 edge <u,w> 都看一 遍 :

• if distance[w]>distance[u]+cost(<u,w>)

• distance[w]=distance[u]+cost(<u,w>)

•  

小證明

• 如果下一個選擇的 vertex 為 u, 為什麼到 u 的最短 path 會正好是前面的 vertex 都在 S 中 , 只有 u 不在 S 中呢 ?

• 因為假如有 path 中有 vertex w 也不在 S 中 , 那麼表示 pa th 中會有一段是到 w, 而且長度比較短 ( 因為是 sub pat h)

• 可是這樣的話 , 應該 w 之前應該就要被選過了 ( 應該要 在 S 中 ) (contradiction)

• 所以到 u 的最短 path 前面的 vertex 都在 S 中 , 只有 u 不 在 S 中

•  

例子

0

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1

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2

5 4

5 5

0 1

0 2

0 2

0 1 5 1

5 3

3 0 3 1 5

0

selecti

on 0 1 2 3 4 5

Initial 0 50 45 10

selecti

on 0 1 2 3 4 5

Initial 0 50 45 10

例子

0

3

1

4

2

5 5

5

0 1

0 2

0 2

0 1 5 1

5 3

3 0 3 1 5

0

selecti

on 0 1 2 3 4 5

Initial 0 50 45 10

3 0 50 45 10 25

4 0 45 45 10 25

1 0 45 45 10 25

2 0 45 45 10 25

selecti

on 0 1 2 3 4 5

Initial 0 50 45 10

3 0 50 45 10 25

4 0 45 45 10 25

1 0 45 45 10 25

2 0 45 45 10 25

更多動畫例子

• http://www-b2.is.tokushima-u.ac.jp/~ikeda/suuri/dij kstra/DijkstraApp.shtml?demo1

• Time complexity?

• 答案 :

• 每次都要看一次 distance[], 共 n 個

•  

Bellman-Ford algorithm

•

另外一種找到 shortest path 的 algorithm

•

可以 handle path cost 是負的情形

•

為什麼 Dijkastra 有問題 ?

•

如果下一個選擇的 vertex 為 u, 為什麼到 u 的最短 path 會正好 是前面的 vertex 都在 S 中 , 只有 u 不在 S 中呢 ?

•

因為假如有 path 中有 vertex w 也不在 S 中 , 那麼表示 path 中 會有一段是到 w, 而且長度比較短 ( 因為是 sub path)

•

可是這樣的話 , 應該 w 之前應該就要被選過了 ( 應該要在 S 中 ) (contradiction)

•

所以到 u 的最短 path 前面的 vertex 都在 S 中 , 只有 u 不在 S 中

•  

假設 cost 可以是負的 , 這就不 一定正確了 .

假設 cost 可以是負的 , 這就不 一定正確了 .

Bellman-Ford algorithm

• 定義 為從到 u 的最短路徑 , 最多經過 l 條 edge

• 一開始為 cost(<,u>) ( 如果沒有 edge 則為無限大 )

• 由算

• 最後算到為最後 shortest path 解 ( 因為每個 node 最多 走一遍 , 不然就有 cycle 了 )

•  

Bellman-Ford algorithm

• 由算

• 怎麼算呢 ?

• 有以下兩種可能性 :

• 如果從到 u 的使用最多 k 個 edge 的最短路徑其實使用了 k- 1 或更少 edge 的話 , 則

• 如果從到 u 的使用最多 k 個 edge 的最短路徑使用了 k 條 ed ge 的話 , 則最短路徑可能為經過別的 vertex i 的 shorte st path ( 用了最多 k-1 條 edges) 後再走 edge <i,u>.

• 綜合以上兩條規則 :

•  

例子

0

1

2

3

4

6

5 6

5

5 -2

-2

-1

3

-1 3

k 1 2 3 4 5 6

1 6 5 5

2 3 4 5 6

k 1 2 3 4 5 6

1 6 5 5

2 3 4 5 6

1

其他例子 : http://www.ibiblio.org/links/applets/appindex/graphtheory.html vertex 0 到其他 vertices 的最短路徑 :

例子

0 2

3

6

5 6

5

5 -2

-2 3

-1 3

k 1 2 3 4 5 6

1 6 5 5

2 3 3 5 5 4

3 1 3 5 2 4 7

4 1 3 5 0 4 5

5 1 3 5 0 4 3

6 1 3 5 0 4 3

k 1 2 3 4 5 6

1 6 5 5

2 3 3 5 5 4

3 1 3 5 2 4 7

4 1 3 5 0 4 5

5 1 3 5 0 4 3

6 1 3 5 0 4 3

1

其他例子 : http://www.ibiblio.org/links/applets/appindex/graphtheory.html

一些可以思考的東西

• time complexity = ?

• 答案 :

• adjacency matrix:

• adjacency lists:

• 前面都沒有提到怎麼真的輸出 path 本身經過哪些 vertex

• 想想看 , 要怎麼做 ?

•  

答案: 每次up

da te dis ta 的時候, nce

順便u pd 附在旁邊的li ate

nked lis t.

用link ( ed

lis 表示p t

ath)

TANET

Routing protocol

• 要計算從某個點到另外一個點 的路徑 (route)

• 目標 : 連線速度 ?

• path cost =?

• Dijkstra 比較適合還是 Bellma n-ford 比較適合 ?

答案: 似乎B

ellm an-F

比較適合, ord 因為不需要知道所有link

cost 即可建立rout

ing ta ble

周末愉快