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109 學年度高雄市高級中學數學科能力競賽試題（一）參考解答
注意事項：(1) 作答時間：2 小時 。不可使用電算器 。
(2) 本試卷共五題，滿分 49 分。每題配分標於題末。計算、證明題 請務必依序寫在 答案卷 上。同時必須寫出 演算過程 或 理由 。 (3) 試題紙與答案卷請一併繳回。
(4) 需使用黑色或藍色筆作答 1.試求 𝟏𝟏
𝟐𝟐��𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°+ �(𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°)𝟐𝟐− 𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + �𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°− �(𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°)𝟐𝟐− 𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐� 之值。 (9 分)
【參考解答】：Ans:
1 2
首先，我們要利用關係式 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟏𝟏 = −𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽
接著我們證明對於 𝟐𝟐 < 𝜽𝜽 <𝝅𝝅𝟐𝟐 和任意自然數 k，則恆有 𝟏𝟏
𝟐𝟐 ��𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 +�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐+ �𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 − �𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐� = (−𝟏𝟏)𝟐𝟐𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬 事實上，
𝟏𝟏
𝟐𝟐 ��𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 +�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐+ �𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 − �𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐�
=𝟏𝟏
𝟐𝟐 �[𝒊𝒊(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬 − 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)]𝟐𝟐𝟐𝟐 + [−𝒊𝒊(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)]𝟐𝟐𝟐𝟐�
=𝒊𝒊𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐 �(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬 − 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)𝟐𝟐𝟐𝟐+ (𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)𝟐𝟐𝟐𝟐�
=(−𝟏𝟏)𝟐𝟐
𝟐𝟐 {𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬 − 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬} = (−𝟏𝟏)𝟐𝟐𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬 令 𝐬𝐬 = 𝟏𝟏𝟏𝟏° 和 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐
所以 𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬 = 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐°= 𝟏𝟏𝟖𝟖 × 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟐𝟐°+ 𝟔𝟔𝟐𝟐° 故原式= 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟔𝟔𝟐𝟐°= 𝟏𝟏𝟐𝟐
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2.一隻螞蟻從一個長為 10 單位，寬為 5 單位的方格陣中之左下角 A 出發，要爬
向右上角的巢穴 B，如圖所示。若螞蟻只能沿著格線向右或是向上移動，且在𝑪𝑪𝟏𝟏
點位置至𝑪𝑪𝟔𝟔 點這 6 個位置上，各有一粒砂糖，而 D 點的位置是個小水坑。如果螞 蟻是搬運砂糖路過水坑，砂糖就會被溶掉，請問螞蟻搬運哪一粒砂糖回巢時可以
選擇的安全路徑為最多?有幾種選擇? (10 分)
【參考解答】Ans:選擇徑 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟖𝟖− 𝑨𝑨 ，共有 644 種。
1. 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟏𝟏− 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟑𝟑� = 𝟏𝟏𝟔𝟔 2. 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟐𝟐− 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟖𝟖��𝟕𝟕
𝟔𝟔� = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟐𝟐，𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟐𝟐− 𝑪𝑪 − 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟖𝟖��𝟖𝟖
𝟏𝟏� = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐，所以安全搬 運𝑪𝑪𝟐𝟐糖回巢的方法有 490-280=210 種。
3. 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟑𝟑− 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟏𝟏��𝟕𝟕
𝟏𝟏� = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟔𝟔，𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟑𝟑− 𝑪𝑪 − 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟏𝟏��𝟑𝟑 𝟏𝟏� �𝟖𝟖
𝟏𝟏� = 𝟔𝟔𝟕𝟕𝟐𝟐，所以安 全搬運𝑪𝑪𝟑𝟑糖回巢的方法有 1176-672=504 種。
4. 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟖𝟖− 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟔𝟔��𝟕𝟕
𝟖𝟖� = 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟐𝟐，𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟖𝟖− 𝑪𝑪 − 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟔𝟔��𝟑𝟑 𝟏𝟏� �𝟖𝟖
𝟏𝟏� = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟔𝟔，所以安 全搬運𝑪𝑪𝟖𝟖糖回巢的方法有 980-336=644 種。 =>這種最多
5. 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟏𝟏− 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟕𝟕��𝟕𝟕
𝟑𝟑� = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐，𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟏𝟏− 𝑪𝑪 − 𝑨𝑨 ∶ �𝟏𝟏𝟕𝟕�𝟏𝟏�𝟖𝟖
𝟏𝟏� = 𝟑𝟑𝟐𝟐，所以安全搬 運𝑪𝑪𝟑𝟑糖回巢的方法有 280-32=248 種。
6. 𝑨𝑨 − 𝑪𝑪𝟔𝟔− 𝑨𝑨 ∶ �𝟕𝟕𝟐𝟐� = 𝟐𝟐𝟏𝟏
3. 如圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，設𝑨𝑨𝑨𝑨���� = 𝒓𝒓，𝑨𝑨𝑪𝑪���� = 𝒔𝒔，𝑪𝑪𝑪𝑪���� = 𝒕𝒕，𝑪𝑪𝑨𝑨���� = 𝒖𝒖，且其兩條對角線 𝑨𝑨𝑪𝑪���� 和 𝑨𝑨𝑪𝑪 �����相交於 P 點。若∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑩𝑩面積 = 𝛌𝛌，試求 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積之值 (請以 r、s、
t、u、
𝛌𝛌 表示 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積) 。(10 分)A
P O D
C
B
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【參考解答】：Ans:
ru st
λ
在𝑨𝑨𝑨𝑨����上取一點 E 使得 ∠𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬 = ∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪 ，則 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪~∆𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬 故我們可得 𝑨𝑨𝑨𝑨����
𝑨𝑨𝑪𝑪���� =𝑨𝑨𝑩𝑩����𝑩𝑩𝑬𝑬���� ⋯ ⋯ ⋯ (𝟏𝟏) 連接𝑪𝑪𝑬𝑬���� 。
因為∠𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬 = ∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪，所以可推得 BCPE 四點共圓。
故可推得 ∠𝑨𝑨𝑪𝑪𝑬𝑬 = ∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪 = ∠𝑨𝑨𝑪𝑪𝑪𝑪。
因為 ∠𝑨𝑨𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐°− ∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐°− ∠𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬 = ∠𝑪𝑪𝑩𝑩𝑬𝑬 所以∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑪𝑪~∆𝑬𝑬𝑩𝑩𝑪𝑪
故我們可得 𝑨𝑨𝑪𝑪����
𝑪𝑪𝑪𝑪����= 𝑩𝑩𝑬𝑬����𝑩𝑩𝑪𝑪���� ⋯ ⋯ ⋯ (𝟐𝟐) 由(1)(2)可求得 𝑨𝑨𝑩𝑩����
𝑪𝑪𝑩𝑩����= 𝑨𝑨𝑨𝑨����∙𝑨𝑨𝑪𝑪𝑨𝑨𝑪𝑪����∙𝑪𝑪𝑪𝑪��������=𝒓𝒓𝒖𝒖𝒔𝒔𝒕𝒕
又 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積
∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑩𝑩面積 =𝑨𝑨𝑩𝑩����𝑪𝑪𝑩𝑩����= 𝒓𝒓𝒖𝒖𝒔𝒔𝒕𝒕
所以∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積 =𝒓𝒓𝒖𝒖𝒔𝒔𝒕𝒕∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑩𝑩面積 =𝒓𝒓𝒖𝒖 𝛌𝛌𝒔𝒔𝒕𝒕
4. 一張三角形 ABC 紙張，其中∠
ABC
= ° ，今將此三角形對折，使得點 B 落60 在𝑨𝑨𝑪𝑪����邊上與 D 點重合。令摺線段為線段𝑬𝑬𝑬𝑬����，其中 E 點位於𝑨𝑨𝑨𝑨����邊上，F 點位於 𝑨𝑨𝑪𝑪����邊上，且𝑨𝑨𝑬𝑬���� = 𝑨𝑨𝑬𝑬����。若𝑨𝑨𝑬𝑬����與𝑪𝑪𝑬𝑬����相交於 M 點。試證:(𝑬𝑬𝑬𝑬����)𝟐𝟐= 𝑨𝑨𝑬𝑬���� ∙ 𝑬𝑬𝑭𝑭�����。 (10 分)【參考解答】
因為𝑨𝑨𝑬𝑬���� = 𝑨𝑨𝑬𝑬����，且角 B 為 60 度，
因此三角形 BEF 為正三角形，
同理，三角形 DEF 也是正三角形。
因此 𝑬𝑬𝑪𝑪����//𝑨𝑨𝑪𝑪����，𝑬𝑬𝑪𝑪����//𝑨𝑨𝑨𝑨����。
所以
CF
BF DC
AD B
EA
= =E ，
因為𝑨𝑨𝑬𝑬���� = 𝑨𝑨𝑬𝑬���� = 𝑬𝑬𝑬𝑬����，
所以
CF
EA
EF EF = 。又因角 AEF=角 EFC=120 度。
所以三角形 AEF 與三角形 EFC 相似(SAS 相似)。
因此角 EAF=角 FEC=角 FEM，所以三角形 AEF 與三角形 EMF 相似(AA 相 似)。
A
P O D
C
E B
8
所以 EF
AF
FMEF = ，所以(𝑬𝑬𝑬𝑬����)𝟐𝟐= 𝑨𝑨𝑬𝑬���� ∙ 𝑬𝑬𝑭𝑭�����。
5. 已知實數
a b c , ,
滿足下列條件:2 2
+
2 2+
2 2=1
1 2 2 3 2 5
a b c
+ + +
2 2
+
2 2+
2 2=1
1 4 3 4 4 5
a b c
+ + +
2 2
+
2 2+
2 2=1
1 6 3 6 5 6
a b c
+ + +
試求
a b c
+ + 之值。 (10 分) 【參考解答】由題意知，當
t
=2 , 4 , 62 2 2 時，滿足分式方程式 2+
2+
2=1
1 +3 +5
a b c
t + t t
將此分式方程式化簡為
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( +3 )( 5 ) ( +1 )( 5 ) ( +1 )( 3 )
1 ( 1 )( +3 )( 5 )
( ) [ (3 5 ) (1 5 ) (1 3 )] 3 5 1 5 1 3
(1 3 5 ) (1 3 3 5 5 1 ) 1 3 5
a t t b t t c t t
t t t
a b c t a b c t a b c
t t t
+ + + + +
= + +
+ + + + + + + + + × × + × × + × ×
= + + + + × + × + × + × ×
因此
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1 3 5 ) (1 3 3 5 5 1 ) 1 3 5
t
+ + +t
+ × + × + ×t
+ × ×=(
a b c t
+ + ) 2+[ (3a
2+5 )2 +b
(12+5 )2 +c
(12+3 )]2t
+ × × + × × + × ×a
32 52b
12 52c
12 32 所以得到一元三次方程式3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
[(1 3 5 ) ( )]
[(1 3 3 5 5 1 ) (3 5 ) (1 5 ) (1 3 )]
1 3 5 3 5 1 5 1 3 0
t a b c t
a b c t
a b c
+ + + − + +
+ × + × + × − + − + − +
+ × × − × × − × × − × × =
又
t
=2 , 4 , 62 2 2為此方程式的解，由根與係數性質得2 2 2 2 2 2
2 + 4 + 6 =-(1 + + 3 5 ) ( + + + a b c )
因此
