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高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

编 写 说 明

本书是《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修)4 4(坐标系与参数方程)》的教师教 学用书,编写时按教科书分章、节安排,每章首先阐述了该章的教学目标、教材说明、课时 安排建议、教学建议、评价建议,然后按教科书分节编写,每节内容包括教材线索、教学目 标、教材分析、教学建议、例题解析、相关链接,在每章的最后给出教科书中习题的参考解 答.

编写本书的目的旨在帮助教师更好地把握教材,包括教材线索、教学目标、教材分析、

内容结构及教学中应予以关注的重点和难点,所提教学建议及例题解析仅供教师在教学过程 中参考,在相关链接中所提供的短文是编者精心编写并与该章、节相关的内容,旨在扩大教 师的知识视野,使教师用较高的观点把握教材,不要求学生掌握.

希望本书能成为教师使用教科书的好帮手,恳请广大教师在使用过程中提出宝贵意见和 建议.

编 者 2016年12月

湖南教育出版社

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第 1章 坐标系

……… ⁽¹⁾

1.1 坐标系的作用 ……… (5)

1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 ……… (9)

1.3 极坐标系 ……… (13)

1.4 极坐标与平面直角坐标的互化 ……… (18)

1.5 柱坐标系 ……… (21)

1.6 球坐标系 ……… (24)

教材习题参考解答 ……… ₍₂₈₎

第 2章 参数方程

……… ⁽³¹⁾

2.1 从抛物运动谈起……… (35)

2.2 直线的参数方程……… (40)

2.3 圆锥曲线的参数方程 ……… (44)

2.4 平摆线及其参数方程 ……… (50)

2.5 渐开线及其参数方程 ……… (54)

数学实验———用计算机和教具绘制展现各种曲线(选学)……… ₍₅₈₎

教材习题参考解答 ……… ₍₆₂₎

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第 1章 坐标系

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一、教学目标􀦌

1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.

2.通过具体例子,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.

比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适 当坐标系的意义.

5.借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐 标系中刻画空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体 会它们的区别.

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二、教材说明􀦌

1.坐标系是解析几何的基础.在坐标系中,可以用有序实数组确定点的位置,进而用 方程刻画几何图形.为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象,需要建立不同的坐 标系.极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系,对于有些几何图 形,选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单.

2.本章主要内容有:坐标系的作用,平面直角坐标系下的伸缩变换,极坐标系,柱坐 标系和球坐标系等.

3.平面直角坐标系和空间直角坐标系是学生在义务教育阶段和高中必修阶段已经分别 学习过的内容.本章教材在处理这部分内容时只作简单回顾,其目的是让学生体会坐标系的 作用.对于平面直角坐标系的伸缩变换,学生实际上已经在必修教材的三角函数部分有所了 解,只是在必修教材中未正式给出相应的伸缩变换公式,因此本章教材在引入时直接沿用了 三角函数中的伸缩变换作为例子,从而给出伸缩变换公式.

4.极坐标系是本章的重点内容.极坐标系中的有关概念,例如极角、极径等是学生首 次接触到的知识.教材在编写时注意了从生活中的例子入手,把它与平面直角坐标系进行比 较.《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课标》)要求学生能够写出一些简单图形(如 过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的极坐标方程,本章教材除给出了上述括号中列 举的三类图形的极坐标方程之外,还给出了阿基米德螺线(等角螺线)的极坐标方程,其理由

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是阿基米德螺线的极坐标方程形式简单,在机械工程中有着广泛的应用,并且有着丰富的文 化内涵,有助于培养学生的数学应用意识以及对学生进行数学文化的渗透.极坐标与平面直 角坐标的互化是学生需要掌握的重点内容,因此单独设立一节.在推导出极坐标与平面直角 坐标的互化公式后,教材安排了两个例题进行巩固,其中例2实际上是圆锥曲线的统一的极 坐标方程.

5.对于柱坐标系和球坐标系,《课标》只要求做简单了解,其内容不宜编写得过多过深.

因此这两部分内容都分别安排了一节,每一节中分别推导了柱坐标系与空间直角坐标系的关 系式、球坐标系与空间直角坐标系的关系式.每一节中都只安排了一个例题,其作用是让学 生体会建立相应柱坐标系和球坐标系的方法并了解其中涉及的一些参数的意义.

6.教材在本章中还设置了《阅读与思考》和《数学文化》两个专栏,以供学生进一步学习.

在本章教材最后安排了习题1,以供教师在教学中使用.

7.本章教材严格按照《课标》的要求编写,具有如下特点:

(1)内容的选取体现数学的本质、与学生的已有知识和生活实际联系.

例如,在《1.1 坐标系的作用》中,教材选取了学生最熟悉的几何图形中的圆和抛物线 作为例子,说明平面直角坐标系在刻画平面上的点的位置中所起的作用.又选取了“一架直 升机的位置”,“你家吊在天花板上的灯泡的位置”的例子,说明空间直角坐标系在刻画空间 中的点的位置时所起的作用;在《1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换》中,教材从学生在必 修课程《数学4》的三角函数内容中所学习的有关知识入手,引出了伸缩变换公式;在《1.3 极坐标系》中则引述了甲、乙两人的一段对话,用来表明生活中存在着使用极坐标描述位置 的时候;在《1.5 柱坐标系》和《1.6 球坐标系》中则分别使用了圆形体育场看台的座位、

地球的经纬度等例子引入相应的坐标系.上述内容或者是学生已有的知识,或者与学生的生 活实际紧密联系.

(2)注意渗透数学文化,体现人文精神.

《课标》指出:数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用 和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作 用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解 数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观.为此,高中数学课程提倡体现数学 的文化价值,并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求.

本章教材在贯彻“体现数学的文化价值”这一课程基本理念时,主要在两个地方进行了渗 透.其一是在本章的章头引言中引用了数学家拉格朗日评价笛卡儿坐标系的一段名言;其二 是在本章的最后安排了“数学文化”专栏,介绍了数学家阿基米德和他的螺线.

(3)内容设计具有一定的弹性,便于学生进一步的学习.

在《1.3 极坐标系》中介绍了阿基米德螺线的极坐标方程以及它在机械凸轮装置中的应 用,给学生留下进一步探索的空间.在引入了极坐标的概念后,教材安排了一个“阅读与思 考”专栏,介绍了一些重要平面曲线的极坐标方程,例如对数螺线、玫瑰线、心脏线和双纽

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线的极坐标方程及其性质,让学有余力的同学进一步了解这些知识,但不要求学生掌握.

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三、课时安排建议􀦌

本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):

1.1 坐标系的作用 1课时

1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 1课时

1.3 极坐标系 2课时

1.4 极坐标与平面直角坐标的互化 1课时

1.5 柱坐标系 1课时

1.6 球坐标系 2课时

小结与复习 1课时

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四、教学建议􀦌

1.数学教学要体现课程改革的基本理念,在教学设计中充分考虑数学的学科特点,高 中学生的心理特点,不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用多种教学方法和手段,引导 学生积极主动地学习,掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法,发 展应用意识和创新意识,对数学有较为全面的认识,提高数学素养,形成积极的情感态度, 为未来发展和进一步学习打好基础。

2.坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组(坐标)来 刻画,在不同坐标系中,这些数所体现的几何含义不同.同一几何图形的方程在不同坐标系 中具有不同的形式.因此,选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式.

3.在坐标系的教学中,可以引导学生尝试自己建立坐标系,说明建立坐标系的原则, 激励学生的发散思维和创新思维,并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处.教 学中应培养学生根据给定条件选择并建立相应类型的坐标系(直角坐标系、极坐标系、柱坐 标系和球坐标系)的能力,

4.教学过程中应注意适当使用信息技术工具(例如,Z+Z超级画板、几何画板等)展示 有关内容(例如,函数图象的伸缩变换,一些重要平面曲线的极坐标方程等).

5.教学过程中应加强数学文化的渗透,让学生了解有关知识的来龙去脉(例如,各种坐 标系的来历、对数螺线的历史等).

6.努力培养学生的数学应用意识.例如教材第3节简单介绍了利用等速螺线的性质, 可以把匀速转动转化成匀速直线运动的机械凸轮装置,可以让学生适当了解机械凸轮在工业 上应用的情况.

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五、评价建议􀦌

1.数学学习评价,既要重视学生知识、技能的掌握和能力的提高,又要重视其情感、

态度和价值观的变化;既要重视学生学习水平的甄别,又要重视其学习过程中主观能动性的 发挥;既要重视定量的认识,又要重视定性的分析;既要重视教育者对学生的评价,又要重 视学生的自评、互评.总之,应将评价贯穿数学学习的全过程,既要发挥评价的甄别与选拔 功能,更要突出评价的激励与发展功能.

数学教学的评价应有利于营造良好的育人环境,有利于数学教与学活动过程的调控,有 利于学生和教师的共同成长.

2.建议在本章结束时安排一个小测验,主要测试学生对基础知识和基本技能的掌握程 度,例如,伸缩变换公式,极坐标与平面直角坐标的互化公式,柱坐标系和球坐标系的公 式,以及极坐标的一些基本概念等.重点考查学生对上述知识的熟练掌握程度,以及给定具 体问题选择并建立适当坐标系的能力.测验的目的不是将学生分层,而是了解学生的基本学 习情况,检查学生是否达到了《课标》规定的教学要求,因此测验题不宜太偏、太难.

3.建议安排一个开放式作业,让学生对本章涉及的有关内容进行探究.可以根据学生 的兴趣提供多样化的主题,包括:有关数学文化的知识(例如,坐标系的来历及其作用,螺 线的历史等),有关信息技术与课程整合内容(例如,一些重要平面曲线的极坐标方程)或者 有关极坐标系的应用的内容(例如,机械凸轮在机械工业中的应用).

4.期末总成绩应由测验成绩、开放式作业成绩以及学生平时表现的成绩组成,三者各 占一定的比例.例如,期末总成绩=测验成绩(80%)+开放式作业成绩(15%)+平时表现成 绩(5%).当然,上述各分项成绩的组成及百分比可根据具体情况灵活设定.

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1.1　坐标系的作用

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教材线索

本节先从如何描述一个圆的位置的问题入手,用单位圆、同心圆和抛物线的例子复习了 在平面直角坐标系中刻画一个图形的位置和形状的方法;然后用刻画一架直升机的位置和吊 在天花板上的灯泡的位置的例子重温了在空间直角坐标系中刻画一个图形的位置的方法.最 后指出本节的主题:有了坐标系,才使代数与几何学相结合,使这两门重要学科都受益,从 而双双获得长足进步,创造了解析几何等现代几何学;有了坐标系,才能通过解析表达式深 入研究函数,进而促进了微积分等现代数学的产生与发展.

教学目标

(一)知识与技能

1.知道在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法.

2.知道在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法.

(二)过程与方法

借助具体的例子,回顾在两类坐标系中刻画点的位置的方法.

(三)情感、态度与价值观

体会坐标系的作用及坐标系产生的重要历史意义,感受数学的文化价值.

教材分析

1.重点:

平面直角坐标系和空间直角坐标系中刻画点的位置的方法. 2.难点:

(1)空间直角坐标系中刻画点的位置的方法.

(2)如何选择适当的坐标系刻画点的位置.

3.如何刻画平面上半径为10cm 的一个圆的位置? 教材通过取定圆心为原点,过圆心 的水平线为x 轴,过圆心且与水平线垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,从而得到半 径为10cm 的圆的方程为x²+y²=100.这说明取定坐标系之后,我们就可以用代数式子 (x²+y²=100)表示几何图形(圆).也可以根据给定的代数式子画出相应的几何图形,因而

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坐标系的建立使得数与形之间架起了一座桥梁.为什么要以圆心为原点建立坐标系呢? 事实 上,以圆心以外的其他任意一点(例如圆上的某一点)为原点同样可以建立平面直角坐标系, 但是这样得到的方程(例如,(x-10)²+y²=100)要比以圆心为原点建立坐标系所得方程复 杂.因此,我们在建立坐标系的过程中就应该“避繁就简”,力求建立最恰当的坐标系,使得 图形的代数形式尽可能的简单或者运算尽可能的简便.

4.为什么说一个代数方程(y=x²+4x+5)可以代表一条几何曲线(抛物线)? 这是因为 平面直角坐标系建立后,每一个有序实数对(x,y)就对应着平面上的一个点.给定一个实 数x,就可以根据代数方程(y=x²+4x+5)确定一个y,从而得到一个有序实数对 (x, y).把所有这些有序实数对(x,y)在平面上所代表的点用光滑的曲线连接起来就得到一条

曲线(抛物线).因此一个代数方程确实可以代表一条几何曲线.而且通过对代数方程(y=

x²+4x+5)的研究(例如,做恒等变形y=x²+4x+5=(x+2)²+1),可以得到相应的几何 曲线的性质(例如,抛物线的顶点为(-2,1),对称轴为x=-2,开口向上).

5.如何刻画空间中某一个点的位置? 教材中实际上引入了两种空间坐标系,一种是地 理空间坐标系(用经度、纬度和海拔表示现实世界空间中的点的位置),另一种是空间直角坐 标系.《课标》中并未要求学生学习有关地理坐标系的知识,但是这种坐标系在生活中应用相 当广泛,因而有必要让学生有所了解.但由于篇幅有限,教材并未展开,只是通过一个例子 (描述一架直升机的位置)做了简单介绍,用有序数组

(

^2π₃^,π₄^,1000

)

表 示 位 于 东 经120°, 北纬45°,距地面1000km 的一架直升机的位置.

空间直角坐标系是学生在高中必修课中已经学习过的内容,教材通过例子“吊在天花板 上的灯泡的位置”回顾了空间直角坐标系的建立.在这个例子中,如何恰当地选择空间直角 坐标系的原点成为解决问题的关键.

教学建议

1.如何刻画一个图形的位置和形状是几何学的重要内容.坐标系产生以前,数学研究 的重心主要集中在几何方面.坐标系产生以后,数学研究的重心开始向代数转化.而对代数 的深入研究反过来又促进了几何学的研究(例如用群论的方法解决了古代三大几何作图不能 实现的问题).所以说,有了坐标系,实现了几何代数化和代数几何化,使代数与几何双双 受益.教学中要运用丰富的历史材料和现实材料说明建立坐标系的作用.

2.对于平面直角坐标系和空间直角坐标系的教学,关键是引导学生认识到建立坐标系 的作用,认识到选取适当的坐标系能够使运算简化.在高中必修课结束之后,学生应该具有 自己建立适当的坐标系的能力,而不仅仅是在已建立好的坐标系的基础上进行运算.

3.教学中可适当介绍笛卡儿、费马等人发明坐标系的历史典故,对学生进行数学文化 的教育.

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坐标系发展的历史

坐标系的发展经历了 漫 长 的 历 史.用坐标系来确定点的位置,早在纪元前就有人使用 了.公元前4世纪,我国战国时代的石申就曾利用坐标方法记录了一百多颗恒星的方位,著 成世界上最早的星表———《石氏星经》.阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线的时候也曾引用了两条 正交的直线作为一种坐标轴.1486年.法国数学家奥雷斯姆在他的著作中已经像后来的笛卡 儿那样使用了纵轴和横轴来确定点的位置和变化状态了.

1630年,法国数学家费马(1601—1665)写成《平面与立体轨迹引论》(发表于1679年), 在这篇文章中费马把希腊数学中使用立体图形所发现的曲线的特征,通过引进坐标,以统一 的方式译成了代数语言,使得各种不同的曲线都能用代数方程表示和研究.他还具体研究了 直线、圆和其他圆锥曲线的方程,注意到了坐标轴可以平移和旋转并以此来化简方程.

1637年,法国数学家笛卡儿出版了一本名为《更好地指导推理和寻求科学真理的方法 论》的著作,在这本著作的附录中包含了他的解析几何名篇《几何》.笛卡儿的解析几何是以 如下两个观念为基础的:一是坐标观念,二是把有互相关联的两个未知数的任意代数方程看 成平面上的一条曲线的 观 念.对坐标,笛卡儿与前人所不同的是他不仅用坐标表示点的位 置.而且将坐标通过“点动成线”的观点具体地用到建立曲线的方程上.对方程,笛卡儿不仅 把它看成是未知数与已知数的关系式,而且更多地把它看做两个变量之间的关系式,这正是 对处理几何曲线十分有效的新方法的思想基础.笛卡儿还把不同次数的几条曲线同时表示在 一个坐标系中,这就使得解析几何的应用范围极大地扩展了.这是包括费马在内的任何前人 都未曾做到的,这也是笛卡儿的贡献的独特之处.

恩格斯高度评价了笛卡儿的革新思想,他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了 变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成 为必要的了.”

笛卡儿创立了解析几何学,他的贡献是伟大的,但是解析几何作为一门学科毕竟在当时 还很不完善,例如,笛卡儿当时尚未自觉地引进第二条坐标轴———y 轴.一百多年后瑞士数 学家克拉默(1704—1752)在他的《代数曲线分析引论》中才正式引入y 轴.正是由于许多数学 家在各个方面做了大量的修正和补充,才使它日臻完善.

1655年,英国数学家沃利斯(1616—1703)首先引进负的纵、横坐标,这就使得解析几 何可以在整个平面内研究曲线,从而摆脱了原来的局限.

1691年瑞士数学家雅各布·伯努利引入了极坐标(1671年牛顿也曾提出过极坐标,但他 的文章发表在1736年),这极大地便利了某些曲线方程的建立,也使人们对曲线的认识更进 了一步.这时期先后发现了双纽线、卵形性、对数螺线、悬链线、旋轮线等各种特殊曲线.

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1799年德国数学家赫尔曼(1678—1733)把极坐标的概念进一步完善,并给出了直角坐 标和极坐标的变换公式.瑞土数学家欧拉(1707—1783)则第一个在坐标系中明确地使用三角 函数,给出了现代形式下的极坐标系,他还开创了曲线的参数表示.

解析几何的一个重要发展是由平面推广到空间.这一工作最初出现在17世纪,笛卡儿 曾认识到:一个含有三个未知数(这三个数定出轨迹上的一个点C)的方程,所代表的点C 的轨迹是一个平面、一个球面或者是一个更复杂的曲面,这说明笛卡儿已经体会到他的方法 可以推广到三维空间中的曲线和曲面上,但是他没有进一步去考虑这种推广.

1679年法国数学家拉伊尔(1640—1718)对三维坐标几何做了较为特殊的讨论.他先用 三个坐标表示空 间 中 的 点P,然后写出了曲线的方程,1715 年 雅 各 布 · 伯 努 利 的 弟 弟 约 翰·伯努利(1667—1748)首先引入了我们现在通用的三个坐标平面.在这个基础上,通过法 国数学家帕朗(1666—1716)、克莱罗(1713—1765)以及约翰·伯努利、赫尔曼等人的工作, 弄清了曲面能用三个坐标变量的一个方程表示的思想;1731年克莱罗又指出描述一条空间 曲线需要两个曲面方程,他还揭示了这样一个事实———空间曲线的投影方程,即垂直于投影 平面的柱面的方程,可以通过决定这条曲线的两个曲面方程的某种组合给出;赫尔曼则在 1732年给出了绕z 轴旋转的曲面方程的一般形式:x²+y²=f(z).

1748年欧拉的《分析引论》一书的出版,是解析几何发展史上的重要一步,它给现代形 式下的解析几何做了系统的叙述,此书也可以视为现代意义下的第一本解析几何教程.在这 本书中,欧拉还给出了空间坐标的变换公式和六种曲面(锥面、柱面、椭球面、单叶双曲面 和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面)的标准形式.

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1.2　平面直角坐标系中的伸缩变换

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教材线索

本节先通过比较函数y=sin2x 和y=sinx 的图象之间的关系,以及y=2sinx 和y=

sinx 的图象之间的关系,指出相应曲线上的点之间满足一定的关系式,然后给出了上述关 系式的一般形式,即伸缩变换公式x'=lx(l>0),

{

y'=y ^和

{

^x'=x,_y'=ky(k>0).^{接着教材分析了伸缩变}

换的几何性质:原点(0,0)是不动点;当k=1,l=1时,在上述伸缩变换公式表达的伸缩 变换下每点都是不动点;除此之外,除原点外的每点都移动了位置,图形发生了伸缩;伸缩 变换把直线变成直线.作为伸缩变换公式的应用,本节最后通过例1和例2,分别研究了平 面直角坐标系在伸缩变换作用下平面图形(正方形和单位圆)的变化情况.

教学目标

(一)知识与技能

1.掌握平面直角坐标系中的伸缩变换公式x'=lx(l>0),

{

y'=y ^和

{

_y'=ky(^x'=x,_k>0).

2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

(二)过程与方法

1.借助具体的正弦函数图象的例子,研究伸缩变换公式.

2.借助具体例子(例如,正方形、单位圆等),研究平面图形的变换情况.

(三)情感、态度与价值观

初步体会伸缩变换公式在解决有关图形面积变化的问题中的作用.

教材分析

1.重点:平面直角坐标系中的伸缩变换公式、伸缩变换的性质.

2.难点:平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.正弦函数y=Asin(ωx+φ)的图象之间的变换关系是学生最熟悉的一种伸缩变换.教 材从学生最熟悉的这一内容入手,分别比较了函数y=sin2x 和y=sinx 的图象之间的关 系,以及y=2sinx 和y=sinx 的图象之间的关系.通过考察函数y=sinx 图象上的任意

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一点M (x,y)在进行伸缩变换后所得到的点 M'(x',y')的坐标之间的关系,分别得到关系

式x'=12x, y'=y ì

î í ïï ïï

和x'=x, y'=2y.

{

^{在此基础上},教材不加证明地将此结果推广到一般形式,即分别得 到两个伸缩变换公式 x'=lx(l>0),

{

y'=y ^和

{

^x'=x,_y'=ky(k>0).^{前者称为平行于x 轴的伸缩变换(也}

称为向着y 轴的压缩变换),后者称为平行于y 轴的伸缩变换(也称为向着 x 轴的压缩变 换),这里所讨论的是参数l和k 都为正的常数,它们表示进行伸缩变换的“伸缩比”.

4.伸缩变换的性质是本节的重点内容之一.函数图象在经过伸缩变换之后哪些性质改 变,哪些性质保持不变,这是值得关注的一个问题.教材指出在伸缩变换过程中,原点是不 动点.伸缩变换把直线变成直线,把多边形变成边数一致的多边形;但是伸缩变换不能实现 曲线段与直线段的互变,例如它不能把圆变成正方形.

教学建议

1.研究平面直角坐标系中的伸缩变换,应该从学生最熟悉的图形入手,然后逐步引入 一些不熟悉的图形,找出其中所共有的规律.除了教材中正弦函数图象的例子之外,教学中 还可以介绍一些其他的函数图象,例如椭圆、双曲线、抛物线等经过伸缩变换后的图形.

2.为了生动形象地展示图形进行伸缩变换的过程,有条件的学校和班级可以采用信息 技术工具(例如 Z+Z超级画板、几何画板等)来展示不同函数图象的伸缩变换过程.

3.可引导学生自主探索伸缩变换的性 质,考 察 常 见 的 图 形 (例 如 正 三 角 形、正 方 形、

圆)在伸缩变换后的形状以及伸缩变换前后图形的面积之间的关系.

例题解析

例1 今有正方形 ABCD,A,B,C,D 的坐标分别是(2,2),(-2,2),(-2,-2),

(2,-2),问在伸缩变换x'=x, y'=1

2y, ì

î í ïï ïï

与x'=12y, y'=y ì

î í ïï ïï

的作用下,正方形 ABCD 分别变成什么图

形? (解答见教材 P6)

解析 例题1的结果表明,伸缩变换将平行直线变成平行直线.证明如下:

设l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0为两平行直线,则A1

A2=B1

B2≠C1

C2. 经过伸缩变换 x'=lx(l>0),

y'=y,

{

^{直线l1和l2分别变成直线l'1:A1x'+B1ly'+C1l=0和l'2:}

A2x'+B2ly'+C2l=0,显 然 有A1

A2=B1l B2l≠C1l

C2l,所 以 直 接l'1∥l'2.同 理 可 证 伸 缩 变 换 x'=x,

y'=kx(k>0)

{

也将平行直线变成平行直线. 0

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经过例1中的伸缩变换

x'=x, y'=1

2y ì

î í ïï ïï

和x'=12x, y'=y ì

î í ïï ïï

后,所得矩形面积是原来正方形面积的一

半,即S^{矩 形}=12S^{正 方 形},其中的1

2恰好是伸缩变换公式中的伸缩变换系数. 例2 在伸缩变换x'=2x,

{

y'=y ^与

{

^x'=x,_y'=2y^作用下,单位圆变成什么图形? (解答见教材P7) 解析 在几何学中,图形的各种变换,对研究图形及其性质有重大的意义.椭圆可以看 作是圆周向着它的一条直径做均匀压缩的结果.并且这种压缩不仅施行在给定的圆周上,而 且也施行在整个平面上.于是,在把圆周变成椭圆的同时,它的直径也变成椭圆的直径,从 而可以通过研究圆的直径的性质得到椭圆直径的对应性质.例2中,单位圆在两种伸缩变换 (都为拉伸过程)x'=2x,

{

y'=y ^和

{

^x'=x,_y'=2y的 作 用 下 分 别 变 成 焦 点 在x 轴上和焦点在y 轴上的椭 圆.

本题可推广为:在伸缩变换 x'=b ax, y'=y ì

î í ïï ïï

的 作 用 下,圆x²+y²=a² 变 成 椭 圆x'² b²+y'²

a²=

1;在伸缩变换

x'=x, y'=b

ay ì

î í ïï ïï

的作用下,圆x²+y²=a²变成椭圆x'² a²+y'²

b²=1,其中a>0,b>

0.进一步研究表明,圆x²+y²=a²的面积S^圆 与伸缩变换 x'=b ax y'=y ì

î í ïï ïï

后所得 到 的 椭 圆x'² b²+ y'²

b²=1的面 积 S^{椭 圆}之 间 有 如 下 关 系 式:S^{椭 圆}=b

aS^圆.从 而 可 以 得 到 椭 圆 的 面 积 公 式 为 S^{椭 圆}=πab.

例1和例2的结果表明,一个封闭图形在伸缩变换前的面积S 与伸缩变换后的面积S' 之间有如下关系式:S'=kS,其中k>0为伸缩系数.

相关链接

1.伸缩变换的矩阵表示

《普通高中数学课程标准(实验)》选修系列4中设置了《矩阵与变换》专题.根据矩阵的有 关知识,我们可以用矩阵表示平面直角坐标系中的伸缩变换.

一般地,对于伸缩变换公式 x'=x,

y'=ky(k>0),

{

其 伸 缩 变 换 的 矩 阵 为1 0 0 k æ èçç ö

ø÷÷ , 该 伸 缩 变 换 可写为 x'

y' æ è çç ö

ø

÷÷=1 0 0 k æ è çç ö

ø

÷÷ x y æ è çç ö

ø

÷÷.由于 1 0

0 k =k>0,从而伸缩变换矩阵 1 0 0 k æ è çç ö

ø

÷÷ 可 逆, 也 就 是 伸

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缩变换可逆,其逆变换为x y æ è çç ö

ø

÷÷= 1 0 0 1k æ

è ç çç

ö

ø

÷

÷÷

x' y' æ è çç ö

ø

÷÷.类似地,对于伸缩变换公式 x'=lx(l>0), y'=y,

æ è

çç 其

伸缩 变 换 的 矩 阵 为 l 0 0 1 æ è çç ö

ø

÷÷ , 该 伸 缩 变 换 可 写 为 x' y' æ è çç ö

ø

÷÷=l 0 0 1 æ è çç ö

ø

÷÷ x y æ è çç ö

ø

÷÷ , 其 逆 变 换 为 x y æ è çç ö

ø

÷÷= l 01

0 1 æ

è ç çç

ö

ø

÷

÷÷

x' y' æ è çç ö

ø

÷÷.

2.“压缩”变换

“伸缩变换”有时也叫作“压缩变换”.平面上的平移、旋转和反射都是保持距离不变的正 交变换,而压缩变换却不是一种保持距离不变的变换.平面上向着定直线l(压缩轴)的压缩, 是指平面上这样的变换:它使压缩轴上所有的点保持原位(不动点),而压缩轴以外的每个点 P 则变成这样的点P',使得PP'→⊥l于P0,P0P'→=kP0P→,其中k 是对于所有的点都一样 的正常数,叫作压缩系数.当0<k<1时,P'比P 更接近于压缩轴,这是真的压缩;当k>

1时,P'比P 离压缩轴更远些,这是广义的“压缩”,实际上是伸长;当k=1时,得到恒等 变换,所有的点都保持原位,全为不动点.

利用同样的方法可以定 义 空 间 压 缩 变 换,而只须把压缩轴相应地改成压缩平面就可以 了.

2

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1.3　极坐标系

􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉

教材线索

本节先通过甲、乙两人的一段对话指出生活中存在着极坐标的例子,然后给出极坐标系 以及极点、极轴、极径、极角等概念,并通过具体的事实指出使用极坐标的优点与不足.优 点是:在极坐标系中,许多曲线的方程变得十分简洁,而且几何形象也表达得十分明确.不 足是:它并不能像平面直角坐标系那样,能建立与平面上的点的一一对应.本节教材详细介 绍了四类简单图形的 极 坐 标 方 程:过极点直线的极坐标方程,圆心在极点的圆的极坐标方 程,圆心在极轴且过极点的圆的极坐标方程以及阿基米德螺线的极坐标方程.最后介绍了阿 基米德螺线(等速螺线)在机械凸轮中的应用.

教学目标

(一)知识与技能

1.知道在极坐标系中刻画点的位置的方法.

2.掌握简单图形(过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心在极轴且过极点的圆以及阿基 米德螺线)的极坐标方程.

(二)过程与方法

1.借助生活中的实例引入极坐标的概念.

2.研究简单图形的极坐标方程的特点.

3.比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程.

(三)情感、态度与价值观

1.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

2.体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.

3.通过阿基米德螺线,感受数学的文化价值.

教材分析

1.重点:几类简单图形(过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心在极轴且过极点的圆以 及阿基米德螺线)的极坐标方程.

2.难点:

(1)极坐标(ρ,θ)与平面上的点的关系.

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(2)几类简单图形的极坐标方程的推导.

3.教材第一段给出了一个在生活中使用极坐标描绘某个点的位置的例子,为极坐标系 的引入创设了问题情境.

4.教材第二段到第七段给出了极坐标系的定义及极径、极角等相关概念,并讨论了平 面上的点与极坐标(ρ,θ)的对应关系.

5.教材的其他部分依次讨论了四类简单图形(过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心在 极轴且过极点的圆以及阿基米德螺线)的极坐标方程.

(1)过极点的直线的极坐标方程:教材在这一部分先给出了平面直角坐标系中过原点O 的直线方程,形如y=kx,其中k 为斜率,k=tanθ,θ 是此直线与Ox 轴的夹角.并指出 由上述直角坐标方程不易看出夹角的大小,而如果用极坐标表示,则可将过极点 O 的射线 方程写成θ=θ0,θ0∈[0,2π).如果极径ρ 只能取正值,则必须用两条射线θ=θ⁰和θ=θ0

+π,θ0∈[0,2π)表示整条直线.因此教材在此处补充规定极径ρ 可取负值,并约定M(ρ, θ)关于极点的对称点 M'的极坐标写成M'(-ρ,θ).于是过原点与x 轴夹角为θ⁰的直线l 的

极坐标方程为l:θ=θ0.

(2)圆心在极点的圆的极坐标方程是ρ=r⁰,其中r0是圆的半径.教材未在正文中对此 类极坐标方程做过多的解释,而以旁注的形式说明了上述方程的含义.

(3)圆心在极轴且过极点的圆的极坐标方程是ρ=2r⁰cosθ,此处的r0是 圆 的 半 径,也 是圆心到极点的距离.教材利用“圆的直径所对的圆周角为直角”这条性质及”三角函数关系”

得到上述方程.

(4)《课标》中并没有明确将阿基米德螺线的极坐标方程作为必须要掌握的内容,但是由 于其形式简单、应用广泛、内涵丰富,教材在编写时仍然加上了这部分内容.在阿基米德螺 线的极坐标方程的推导过程中,教材使用了运动合成的思想,即该螺线的形成是两种运动合 成的结果.其中,一种运动是“动点M 随时间的增加绕定点O 逆(或顺)时针匀速绕动”,其 运动方程是θ=ωt,另一种运动是“动点 M 随时间的增加做匀速直线运动”,其运动方程是 ρ=vt.联系两种运动的量是时间t,由时间t的相等可以得到ρ 与θ 的关系为ρ=v

ωθ,一般 将此式写为ρ=αθ(α≠0).这种运动合成的思想可以应用到第二章平摆线的讨论及一些类似 的问题中.

阿基米德螺线又称为等速螺线。利用等速螺线的性质,可以制成把匀速转动转化成匀速 直线运动的机械凸轮装置.教材在编写时加入了这部分内容,以加强学生的数学应用意识.

本章结尾处还专门以“数学文化”专栏的形式介绍了数学家阿基米德和他的螺线.

教学建议

1.引导学生思考:在平面内建立直角坐标系,可以确定平面内点的位置,除了直角坐 标系以外,是否还可以有其他的坐标系来确定平面内点的位置呢? 问题提出后,可结合教材 P8的一段对话引入极坐标的概念:“甲问乙:张庄在哪里? 乙答:在从我们站的这里向东北 5km 的地方.”这段对话里涉及了方向(东北)和距离(5km),可借此引入极坐标系的概念.

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2.在极坐标系的定义中有四个要素:极点、极轴、长度单位和角度正向.这四个要素

缺一不可.

3.对于极点O,它的极径ρ=0,极角θ 可以取任何实数.因此极点 O 的表示有无数种 形式.

4.极坐标并不像平面直角坐标系那样,能建立与平面上的点之间的一一对应关系.对 于给定的ρ 与θ,由极坐标(ρ,θ)可以唯一地确定一个点 M ,但是反过来,平面上给定一 点,却可以写出这个点的无数多个极坐标.例如,如果我们给出了一个点的极坐标(ρ,θ), 则(ρ,θ+2nπ)也是这个点的极坐标,其中ρ≥0,n 为任意整数.通常情况下我们约定ρ∈

[0,+∞),θ∈(-∞,+∞).有时候为了研究的需要,我们往往取消对ρ 的限制,规定ρ 可以取负值.如果ρ 取负值,可以做如下规定:设有点 M(ρ,θ),其中ρ<0,那么点 M 在 角θ 的终边的反向延长线上,距离极点为|ρ|的位置上.根据此规定,如果我们给出了一 个点的极坐标(ρ,θ),则(ρ,θ+2nπ)和(-ρ,θ+(2n+1)π)都是这个点的极坐标,其中ρ

∈(-∞,+∞),n 为任意整数.

如果规定ρ>0,θ∈[0,2π),则平面上的点与极坐标一一对应(除极点外).

5.对于“过极点直线的极坐标方程”的教学,要让学生理解,如果极径取正值,则θ=θ0

(θ0∈[0,2π))只能表示过极点O 的射线而不是整条直线.因此必须对极径的取值范围做补 充,规定允许极径取负值.而在允许极径取负值的情况下,如果要在极坐标系中画出某个 点,例如点P

(

^-2,π₄

)

,则可以按如下思路考虑:先作有向角∠xOM =π4,然后在射线 OM 的反向延长线OM'上取点P,使得|OP|=2,则P

(

^-2,π₄

)

^{为所求点,如图1 1.}

图1 1 图1 2

6.对于“圆心在极点的圆的极坐标方程”的教学,教材以旁注的形式说明了该极坐标方 程所表示的含义,但未给出具体的图形,在教学中应补充图形,如图1 2.

7.对于“圆心在极轴且过极点的圆的极坐标方程”的教学,应注意引导学生考虑直角三 角形中边与角的关系以及圆周上任一点的坐标所表示的含义.

8.对于“阿基米德螺线的极坐标方程”的教学,应注意引导学生考虑两种运动合成的思 想.这种运动合成的思想对于本章1.5和1.6节中的例题仍然适用.这部分内容可结合本 章结尾的“数学文化”专栏———《数学家阿基米德和他的螺线》进行教学.有条件的学校和班级 可以考虑在教学过程中展示机械凸轮的实物模型或用计算机软件模拟机械凸轮的工作原理.

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1.直线的极坐标方程

定理1.3.1 设两定点P1(ρ¹,θ1)和P2(ρ²,θ2)与极点O 不在同一条直线上,则经过 P1,P2两点的直线方程为

图1 3 sin(θ1-θ2)

ρ =sin(θ1-θ)

ρ² +sin(θ-θ2)

ρ¹ . (1.3.1) 证明:设点P(ρ,θ)为直线P¹P2上的任意一点,如图1 3,当P 点在线 段P1P2的 内 部 时,则 △P2OP1 的 面 积 等 于△P²OP 与 POP1

的面积之和,于是

12ρ¹ρ²sin(θ1-θ2)=12ρ¹ρsin(θ1-θ)+12ρ²ρsin(θ-θ2).

因为ρ≠0,ρ¹≠0,ρ²≠0,将等式两边同时除以12ρ¹ρ²ρ,即得 sin(θ1-θ2)

ρ =sin(θ1-θ)

ρ² +sin(θ-θ2) ρ¹ .

当P 点在线段P1P2的 外 部 时,则△P2OP1 的 面 积 等 于△POP2与△POP1的 面 积 之 差,同理可得出上述结论.

图1 4 式子(1.3.1)称为直线在极坐标系中的两点式方程.

注:过点(a,0),倾斜角为θ0的直线(如图1 4)的极坐标方程为 ρsin(θ0-θ)=asinθ0. (1.3.2) 式子(1.3.2)称为直线在极坐标系中的点斜式方程.

特别地,若a>0,则

(1)过点(a,0),且与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ=

a,如图1 5(a).

(2)过点(a,π),且与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ=-a,如图1 5(b).

(3)过点

(

^a,π₂

)

,且与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsinθ=a,如图1 5(c).

图1 5 6

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(4)过点

(

^a,3π₂

)

,且与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsinθ=-a,如图1 5(d).

2.圆的极坐标方程

定理1.3.2 设圆的半径为r,圆心坐标为O'(ρ⁰,θ0),则圆的极坐标方程为 ρ²-2ρ⁰ρcos(θ-θ0)+ρ²⁰-r²=0. (1.3.3)

图1 6 证明:如图1 6,设 P(ρ,θ)为圆上任意一点,在△POO'中,

由余弦定理得|PO'|²=|OP|²+|OO'|²-2|OP||OO'|·cos(θ-θ0), 由此得方程r²=ρ²+ρ²⁰-2ρ⁰ρcos(θ-θ0),

即ρ²-2ρ⁰ρcos(θ-θ0)+ρ²⁰-r²=0.

式子(1.3.3)是圆在极坐标系中的一般方程.

(1)当圆心在极点O 处,即ρ⁰=0时,圆的方程为ρ=r,如图1 7(a).

(2)当圆心在O'(r,0)处,即ρ⁰=r,θ0=0时,圆的方程为ρ=2rcosθ,如图1 7(b), (3)当圆心在O'(r,π)处,即ρ⁰=r,θ⁰=π时,圆的方程为ρ=-2rcosθ,如图1 7(c).

(4)当圆心在O'

(

^r,π₂

)

,即ρ⁰=r,θ0=π2时,圆的方程为ρ=2rsinθ,如图1 7(d) (5)当圆心在O'

(

^r,3π₂

)

,即ρ⁰=r,θ0=3π2时,圆的方程为ρ=-2rsinθ,如图1 7(e).

图1 7

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1.4　极坐标与平面直角坐标的互化

􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉

教材线索

本节给出了极坐标与平面直角坐标互化的公式 x=ρcosθ, y=ρsinθ

{

^{和ρ= x}

2+y², tanθ=y

x(x≠0), ì

î í ïï ïï

并利用

前一个公式将圆在平面直角坐标系中的方程x²+y²-2ax=0转化成了它在极坐标系中的方 程ρ=2acosθ(例1),利用后一个公式将圆锥曲线的极坐标方程ρ= ep

1-ecosθ化成了直角坐 标方程,并根据e 的不同取值分别得到了椭圆、抛物线和双曲线的方程(例2).

教学目标

(一)知识与技能

掌握将曲线的平面直角坐标方程与极坐标方程互化的方法. (二)过程与方法

通过具体的实例,研究两种坐标方程互化的方法.

(三)情感、态度与价值观

体会不同的坐标系在处理不同的问题时各自所具有的优越性.

教材分析

1.重点:

曲线的极坐标方程和平面直角坐标方程的互化. 2.难点:

将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程.

3.教材 P11指出了利用教材提供的公式进行极坐标与平面直角坐标互化的前提条件:

把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 正半轴重合,且两种坐标系取相同的长度单位.

4.设同一个点 M 的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ),那么由直角三角形中边和 角的关系式,可以得到公式x=ρcosθ,

y=ρsinθ.

{

^①

教材P11公式①是将曲线的直角坐标转化为极坐标的公式,把它代入曲线的直角坐标 方程就可以消去x 和y 从而把直角坐标方程化为极坐标方程,公式①中的两个式子平方相

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加或相除得公式ρ= x²+y²,

tanθ=y

x(x≠0).

ì

î í ïï ïï

②

公式②是将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程的公式.

5.例1和例2分别是两种互化公式的应用.例1将中心在(a,0),半径为a 的圆在平 面直角坐标系中的方程x²+y²-2ax=0转化为极坐标系中的方程ρ=2acosθ.例2研究了 极坐标方程ρ= ep

1-ecosθ在平面直角坐标系中所表示的曲线,它实际上是圆锥曲线的统一的 极坐标方程.

教学建议

1. 教学过程中应注意:必须是以直角坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,长度单位 相同的条件下,同一点的直角坐标和极坐标才具有公式①和②两个关系式,否则上述两个公 式就不成立.

2.化点的直角坐标为极坐标时,要根据tanθ=y

x(x≠0)确定θ 角,一般来说,三角方 程tanθ=a 的解有无穷多个,在[0,2π)上有两个解,哪个解是所求的极角? 这必须根据点 所在的象限决定取舍,且取点所在象限中的最小正角.

3.在进行坐标转化时,要尽可能“凑出”ρcosθ,ρsinθ 或x²+y²等形式 的 项,以使运 算简便.

4.例1和例2中都含有未知参数,对于基础比较差的学生理解互化公式可能有困难, 可以在讲解例1和例2之前补充几个简单的例子,例如:(1)把点 P 的极坐标

(

^3,π₄

)

^化成

直角坐标;(2)把点 M(-2,-2)化为极坐标.

例题解析

例1 在平面直角坐标系中,把曲线的方程x²+y²-2ax=0化成极坐标系中的方程.

(解答见教材 P12)

解析 本题曲线方程x²+y²-2ax=0中的参数a≠0.在此前提下,方程表示平面直角 坐标系中,中心在(a,0)、半径为a 的圆,转化成极坐标方程后,此圆过极点,圆心在极 轴上.

例2 已知曲线的极坐标方程ρ= ep

1-ecosθ,求此曲线的直角坐标方程,其中e 与p 是 正的常数.(解答见教材 P13)

解析 圆锥曲线的统一定义为:平面上与一个定点 F 的距离和一条定直线l 的距离之 比等于常数e 的动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中,定点 F 为圆锥曲线的一个焦点,定直线l 为准线,p 为焦点到准线的距离,e 为离心率.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨 迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线.在满足如下三个条件的情况下,本题中所给定的

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图1 8 极坐标方程ρ= ep

1-ecosθ为圆锥曲线的统一的极坐标方程:(1)以一个 焦点为极 点;(2)焦点到对应准线垂直方向的反方向为极轴的方向;

(3)焦点到准线的距离为p= FK ,离心率为e,如图1 8.

本题在利用互化公式得 到 式 子(1-e²)x²+y²-2pe²x-e²p²=0 之后,需要分1-e²为 正 数、零和负数三种情况进行讨论,从而分别 得到三种不同类型的曲线,即椭圆、抛物线和双曲线.

相关链接

圆锥曲线的统一的极坐标方程的建立和应用

圆锥曲线的统一的极坐标方程的建立经历了如下的过程:

统一定义→ |MF|

|MA|=e →统一的极坐标方程. 要想解决好这个发展过程,要解决好三个问题.

第一,三种圆锥曲线的统一定义(见本节例2).

第二,建立极坐标系.曲线和坐标系的相对位置影响方程的形式.可以采用如下的方式 建立极坐标系:过焦点 F 作准线l 的垂线,垂足为 K,以焦点F 为极点,FK 的反向延长 线为极轴,建立极坐标系.抛物线的情形如图1 8.对于椭圆而言,极点是左焦点,极轴穿 过右焦点和右准线,但和左准线不相交,如图1 9.对于双曲线而言,极点是右焦点,极轴 不过另一焦点,和两条准线都不相交,如图1 10.

图1 9

图1 10

第三,怎样用极坐标(ρ,θ)表示|MA|? 注意到|FK|是常量,记为p,即|FK|=p, 这个量称为准焦距,即焦点到相应准线的距离.接着作辅助线:过点 M 作 MB⊥Fx,垂足 为B,如图1 8,则|MA|=p+FB,而|FB|=ρcosθ,故|MA|=p+ρcosθ.

于是 ρ

p+ρcosθ=e,即ρ= ep 1-ecosθ.

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1.5　柱坐标系

􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉

教材线索

本节先通过如何确定圆形体育场看台的座位的问题引入柱坐标系在生活中的应用实例,

然后给出柱坐标系的一般概念,并得出空间直角坐标与柱坐标的互化公式

x=ρcosθ, y=ρsinθ, z=z.

ì

î í ïï ïï

紧 接

着教材指出应用柱坐标的时机:当动点绕定直线旋转时,用柱坐标系刻画动点的位置与轨迹 一般比空间直角坐标系方便一些.最后教材通过一个具体的例题说明了在某些时候使用柱坐 标系比使用空间直角坐标系更简明更方便.

教学目标

(一)知识与技能

1.了解在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法.

2.掌握空间直角坐标与柱坐标的互化公式.

(二)过程与方法

借助具体实例(如圆形体育场看台的座位)研究柱坐标系问题.

(三)情感、态度与价值观

1.体会在柱坐标系与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法的区别.

2.感受用柱坐标系处理某些问题时的优越性.

教材分析

1.重点:

空间直角坐标与柱坐标的互化. 2.难点:

建立柱坐标系解题的方法.

3.柱坐标(ρ,θ,z)唯一地确定一个空间中的一个点 M .但是由于同一个点 M'的极坐 标(ρ,θ)也可以用(ρ,2kπ+θ)表示(若允许ρ<0,还可以用(ρ,2kπ+π+θ)(k∈Z)表示, 因此给定空间中一点M,其柱坐标的表示方法不一定唯一.在柱坐标中,约定ρ∈[0,+∞), θ∈(-∞,+∞),z∈(-∞,+∞).

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2.教材中给出的“蚂蚁沿半径为1的圆柱面螺旋式上升”的例子很有代表性,通过比较 同一个点的直角坐标和柱坐标,充分体现了在涉及与柱面有关的问题中,使用柱坐标比使用 直角坐标更加方便.

教学建议

1.柱坐标系与空间直角坐标系和极坐标系紧密相关.将空间中的点投影到平面上之后, 关于柱坐标系的讨论就转化为关于极坐标系的讨论.因此,教学中应从学生已经掌握的空间 直角坐标系和极坐标系的知识出发,建立起三种坐标系之间的联系.

2.由于在涉及与柱面有关的问题时,使用柱坐标比使用直角坐标更方便,所以在教学 过程中可适当和学生介绍有关柱面的知识,让学生认识不同的柱面.

例题解析

例 一只蚂蚁沿半径为1的圆柱面螺旋式地上升,设空间直角坐标系的z 轴即此圆柱的 轴,此蚂蚁在z 轴方向匀速上升的速度为v>0,匀速绕z 轴转动的角速度ω>0,求t 时刻 蚂蚁所在的点的直角坐标与柱坐标.(解答见教材 P19)

图1 11 解析 本题也可以先求点的柱坐标再求点

的直角坐标.方法如下:

如图1 11,蚂 蚁 的 运 动 是 两 种 运 动 合 成 的结果:一种运动是蚂蚁在z 轴方向匀速上升 的直线运 动,其速度为v;另一种运动是蚂蚁 绕z 轴 匀 速 旋 转 的 圆 周 运 动,其 角 速 度 为 ω.

两种运动同时进行,它们所经历的时间t 相同.

设t时刻,蚂蚁爬到点 M ,点 M 的空间直角坐 标为(x(t),y(t),z(t)),点 M 在xOy 面上 的投影为M'(ρ,θ,0).由于蚂蚁从 A 点开始 爬行,因此,点 M 的竖坐标等于蚂蚁在[0,t]

这段时间内在z 轴方向爬行的距离vt,即有z(t)=vt;蚂蚁绕z 轴做匀速圆周运动旋转的 角度就是M'的极坐标中的极角,即有θ=ωt;又由于蚂蚁始终在半径为1的圆柱面上爬行, 因此M'在极坐标中的极径为ρ=1.因此,点 M 的柱坐标为(ρ,θ,z)=(1,ωt,vt).而由 直角坐标与柱坐标的互化公式:

x=ρcosθ, y=ρsinθ, z=z.

ì

î í ïï ïï

可得点M 的直角坐标为(x(t),y(t),z(t))=(cosωt,sinωt,vt).

上述蚂蚁运动的轨迹为螺旋线,螺旋线是一种常见的曲线.例如,平头螺丝钉的外缘曲 线就是螺旋线.当我们拧紧平头螺丝钉时,它的外缘曲线上的任一点M ,一方面绕螺丝钉的 轴旋转,另一方面又沿平行于轴线的方向前进,点 M 就走出一段螺旋线.

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几种常见的柱面

设C 是一条空间曲线,过C 的每点作一条直线彼此平行,则所有这些直线上的点组成 的空间曲面叫作一个柱面,C 叫作它的准线,这每条直线都叫作它的母线.

直观地说,可把柱面视为一条直线沿C 平行移动而扫过的曲面.

假设柱面S 的一条准线C 在与它的母线垂直的平面π上,取空间直角坐标系Oxyz,使 π为Oxy 面,C 在π上的平面直角坐标系Oxy 下有方程F(x,y)=0,则此柱面S 在此空

间直角坐标系Oxyz 下就有方程

图1 12 F(x,y)=0. (*)

如图1 12所示.

结论:若一个三元方程 F(x,y,z)=0中有一个字母没 有出现,它的图形就是个柱面,且这柱面的母线平行或重合于 不出现的那个字母所对应的坐标轴,它的在出现的两个字母所 对应的坐标平面上的准线,就是同一个方程视为二元方程所代 表的那条平面曲线.当然,这平面曲线要假定是存在的.

例如,三元方程G(y,z)=0是母线平行于 Ox 轴的柱面,其一条准线是 Oyz 平面上 的曲线G(y,z)=0.如果它存在的话.这条准线作为空间曲线的方程是G(y,z)=0,

{

x=0.

于是,坐标平面上任意一条曲线都确定一个柱面,即以这曲线为准线,母线垂直于此坐 标平面,方程则与平面曲线方程形式上相同.

其中,用Oxy 面上的三条曲线 (1)xa²²+y²

b²-1=0(a>b>0), (2)x² a²-y²

b²-1=0(a>0,b>0), (3)x²+2py=0, 分别作为空间曲面的方程,都表示母线平行或重合于Oz 轴的柱面,准线分别为椭圆、双曲 线、抛物线,所以它们分别叫作椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面,如图1 13所示.因为它 们都是二次的方程,故统称为二次柱面.

图1 13

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1.6　球坐标系

􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉

教材线索

本节先从地球的经纬度谈起,给出了地球的经线、经度、纬线、纬度和国际日期变更线 等概念,然后指出数学家沿用这种描述地球经纬度的方法创立了球坐标系,并给出了球坐标 系的定义,推导出了点 M 在球坐标系中的坐标 M (r,θ,φ)与它在空间直角坐标系中的坐 标M (x,y,z)的关系:

x=rsinφcosθ, y=rsinφsinθ, z=rcosφ.

ì

î í ïï ïï

紧接着通过比较半径为r0,中心在原点的球的球

坐标方程r=r0和空间直角坐标方程x²+y²+z²=r²0,说明了在某些时候使用球坐标方程 比使用空间直角坐标方程更简洁,表达的几何含义也比较直观明白,而且在处理有关球的问 题时更方便.最后通过一个例子具体说明了可以从球坐标方程直接“解读”曲线的性状.

教学目标

(一)知识与技能

1.了解在球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.

2.掌握空间直角坐标与球坐标的互化公式.

(二)过程与方法

借助具体实例(如地球的经、纬度等)研究球坐标系问题.

(三)情感、态度与价值观

1.体会在球坐标系中与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法的区别.

2.感受用球坐标系处理某些问题时的优越性.

教材分析

1.重点:

空间直角坐标与球坐标的互化. 2.难点:

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(1)球坐标系与空间直角坐标系的关系式的推导.

(2)建立球坐标系解题的方法.

3.本书开篇即介绍了地球的经纬度.地球的经纬度是刻画地球上点的位置的一种方法.

把地球近似看成一个球体,过南北极的直径 NS与英国伦敦格林尼治天文台这个点确定的平 面α 与地球表面相交形成的圆上含格林尼治天文台的半圆叫做“本初子午线”,上述平面α 绕 地轴NS旋转所得平面β 与地球表面的交线在南北极间的弧线叫作子午线,也叫经线.设本

图1 14 初子午线向东的子午线L 是平面β 形成的,α 与β 之间的不大于180°

的夹角为θ1,则称 L 是东经θ1 的 子 午 线.同 理 有 西 经θ2 的 子 午 线. 由上述内容可以看出,经度的计算实际上是考虑两个半平面相交成的 二面角的大小,其中,起始位置的半平面为本初子午线.东西经180°

是同一条子午线,叫作“国际日期变更线”,它通过美俄之间的白令海 峡.图1 14是飞机经过“国际日期变更线”时所拍摄的图片.

图1 15 4.地球纬度的定义如下:取定地球表面一点 M ,

过M 作平面γ 与赤道平面平行,γ 与地球表面的交线 叫作纬线,纬线上一点与地球中心 O 所连直线与赤道 平面的夹角ψ,叫作 M 点的纬度.球坐标系中“纬度”

的定义如 下:在 空 间 中 任 取 一 点 M ,连接线段 OM , O 点是空间直角坐标系的原点,过 M 作xOy 平面的

垂线,垂足 是 M',连 接 线 段 OM',则 以 Oz 轴 为 始 边,逆时针方向为正 的φ=∠zOM 的大小为 M 点的

“纬度”,比较地球纬度ψ 和球坐标系中“纬度”φ 的概 念可以发现,这两个角度并不是相等关系,而是互余 关系,如图1 15所示.

5.一个点的球坐标也称为空间极坐标,它与平面上的点的极坐标之间的关系如下:设 M (r,θ,φ)是空间某个点 M 的球坐标,过此点 M 向平面xOy 作垂线,垂足为 M',则点 M'的极坐标为 M'(rsinφ,θ).

6.什么时候可以考虑使用球坐标? 教材指出:球坐标在处理含平方和x²+y²+z²的方 程或有关球的问题时是比较方便的,在处理空间旋转体的有关问题时也往往提供方便.

教学建议

1.教学中可以从学生熟悉的地球经纬度问题出发,说明坐标系在现实生活中有着广泛 的应用.

2.教学中应注意地球的经纬度与球坐标系中的“经度”、“纬度”之间的关系,并注意其

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取值范围的 不 同.球 坐 标M (r,θ,φ)中 各 参 数 的 取 值 范 围 分 别 为r∈ [0,+ ∞),θ∈

(-∞,+∞),φ∈[0,π].

3.球坐标与直角坐标的关系式的推导过程中,所涉及的边角关系较为复杂,可以考虑 采用信息技术工具(例如 Z+Z超级画板、几何画板等)呈现边角之间的关系.

4.教学中可适当补充有关用球坐标处理的不含参数的数学问题.

例题解析

例 一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角π6的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行,已知它 上升的速度为v>0,盘旋的角速度为ω>0,求t时刻此蚂蚁的位置.(解答见教材 P23)

图1 16 解析 与1.5节例题相似,本题也是考虑一只蚂蚁绕某曲面爬行

的问题.因此,同样可以运用运动合成的思想来考虑这个问题.蚂蚁的 运动是两种运动合成的结果:一种运动是蚂蚁在z 轴方向匀速上升的 直线运动,其速度为v;另一种运动是蚂蚁绕z 轴匀速旋转的圆周运 动,其角速度为ω,两种运动同时进行,它们所经历的时间t 相同.由 于蚂蚁从坐标原点开 始 爬 行,因此,蚂蚁在[0,t]这段时间内在z 轴 方向移动的距离为vt,由于蚂蚁始终在一个母线与轴线夹角为 π6的 圆

锥面上 爬 行, 故 蚂 蚁 在 时 刻t 所 在 位 置 的 向 径 为r=vt/cos π6 = 2 33 vt;蚂蚁绕z 轴做匀速圆周运动旋转的角度为θ=ωt;因此,点 M

的球坐标为(ρ,θ,φ)= 2 33 vt,ωt,π6 æ

è

ç ö

ø

÷.如图1 16.根据点的球坐标,可以直接“解读”

出这条曲线的性质.

相关链接

全球定位系统 (GPS)简介

最古老、最简单的导航方法是星历导航,人类通过观察星座的位置变化来确定自己的方 位.最早的导航仪是中国人发明的指南针,几个世纪以来它经过不断的改进而变得越来越精 密,并一直为人类广泛应用着.最早的航海表是英国人JohnHarrison经过47年的艰苦工作 于1761年发明的,在其随后的两个世纪,人类通过综合地利用星历知识、指南针和航海表 来进行导航和定位.

进入20世纪以后,随着科学技术水平的不断提高,人类逐渐发明了许多新的定位方法.

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1957年10月,世界上第一颗人造地球卫星的成功发射宣告空间科学的发展跨入了一个崭新

的时代,也使电子导航技术的发展进入了一个新的阶段.1973年美国国防部批准其陆海空 三军联合研制第二代卫星导航定位系统———全球定位系统(GPS).起初的 GPS方案由24颗 卫星组成,这些卫星分布在互成120°的三个轨道平面上,每个轨道平面分布8颗卫星,这样 的卫星布局可保证在地球上的任何位置都能同时观测到6~9颗卫星.目前的方案是由21颗 工作卫星和3颗备用卫星组成整个系统,6个轨道平面的每个平面上分布4颗卫星,这样的 配置使同时出现在地平线以上的卫星数目随时间和地点而异,最少为4颗,最多可达11颗.

GPS系统主要有三大组成部分,即空间星座部分、地面监控部分和用户设备部分.GPS 的空间星座部分中24颗卫星基本均匀分布在6个轨道平面内,轨道平面相对赤道平面的倾 角为55°,各轨道平面之间的交角为60°,每个轨道平面内的卫星相差90°,任一轨道平面上 的卫星比西边相邻轨道平面上的相应卫星超前30°.卫星轨道平均高度为20200km,卫星运 行周期为11小时58分.每颗卫星每天约有5个小时在地平线以上,同时位于地平线以上的 卫星数目随时间和地点而不同,可为4~11颗;GPS的地面监控部分目前主要由分布在全 球的5个地面站组成,其中包括卫星检测站、主控站和信息注入站.GPS的用户设备主要由 接收机硬件和处理软件组成.用户通过用户设备接收 GPS卫星信号,经信号处理而获得用 户位置、速度等信息,最终实现利用 GPS进行导航和定位的目的.

GPS系统的建立给导航和定位技术带来了巨大的变化,它从根本上解决了人类在地球 上的导航和定位问题,可以满足不同用户的需要.对舰船而言,它能在海上协同作战、海洋 交通管制、海洋测量、石油勘探、海洋捕鱼、浮标建立、管道铺设、浅滩测量、暗礁定位、

海港领航等方面作出贡献;对飞机而言,它可以在飞机进场、着陆、中途导航、飞机会合和 空中加油、武器准确投掷及空中交通管制等方面进行服务;在陆地上,可用于各种车辆、坦 克、陆军部队、炮兵、空降兵和步兵等的定位,还可用于大地测量、摄影测量、野外调查和 勘探的定位,甚至可以深入每个人的生活中去,如用于汽车、旅行、探险、狩猎等方面;在 空间技术方面,可以用于弹道导弹的引航和定位,空间飞行器的导航和定位等.

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教材习题参考解答

习题1

1.(1)x'=13x, y'=y.

ì

î í ïï ïï

(2)

x'=x, y'=1

4y.

ì

î í ïï ïï

图1 17 2.极坐标系中各点的位置如图1 17.

3.(1)ρ=10表示圆心在极点,半径为10的圆,如图1 18(a);

(2)θ=π6(ρ∈R)表示过极点且与极轴夹角为π

6的直线,如图1 18(b).

(a)

(b) 图1 18

4.(1)极坐标方程为ρsinθ=5 2,如图1 19(a);

(2)极坐标方程为ρcosθ=5 2,如图1 19(b);

(3)极坐标方程为ρsin π6-θ æ è

ç ö

ø

÷=12,如图1 19(c);

(4)极坐标方程为ρ=-2cosθ,如图1 19(d).

(a) (b)

(c) (d)

图1 19 5.(1)ρcosθ=1表示的曲线如图1 20(a);

(2)ρ=6cosθ 表示的曲线如图1 20(b);

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(3)ρ=10sinθ 表示的曲线如图1 20(c);

(4)ρ=10(1+cosθ)表示的曲线如图1 20(d).

(a) (b)

(c) (d)

图1 20 6.ρ=acosθ.

7.(1)ρ=1; (2)ρ²sin2θ-2=0;

(3)ρ=-2cosθ; (4)ρ²cos2θ-1=0.

8.(1)x²+x²y²-y²=0; (2)x=1; (3)y²=-6x;

(4)2x-3y-3=0; (5)(x-2)²-y² 3 =1.

图1 21 9.如图1 21(提示:方程的直角坐标方程为2x-3y-3=0).

10.(1)ρ=αθ(α≠0)(提示:方程表示的曲线为等速螺线),如图1 22(a);

(2)ρ=a

θ(α≠0)(提示:方程表示的曲线为双曲螺线),如图1 22(b).

(a)

(b) 图1 22

11.(1)ρ²=acos2θ; (2)ρcos(θ-a)=p(p,a 为常数);

(3)ρ²cos²θ-2pρsinθ-pφ=0.

12.(1)(x²+y²)³²-4y²=0; (2)x-12 æ è

ç ö

ø

÷

2+(y+2)²=174;

(3)3x+y-2=0.

13.点 M 的直角坐标为(5 3+2,8).

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14.(1)ρ=1表示以z 轴为轴线,以1为底面半径的柱面Σ;

(2)z=1表示与xOy 平面距离为1的平面;

(3)ρ=1,

{

z=1表示以空间直角坐标系中的点(0,0,1)为圆心,以1为半径的圆.

15.(1)r=1表示以原点为球心,以1为半径的球面,如图1 23(a).

(2)φ=π6表 示 以z 轴 为 轴 线,顶 点 为 原 点,且 母 线 与 轴 线 夹 角 为 π6的 圆 锥 面,如 图 1 23(b).

(3) r=1, φ=π

6 ì

î í ïï

ïï 表示以 空 间 直 角 坐 标 系 中 的 点 0,0, 32 æ

è

ç ö

ø

÷为 圆 心,以 1

2为 半 径 的 圆,如图

1 23(c).

图1 23

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