◎ 教學目標 （一）了解標準位置角的定義。

◎ 教學目標

（二）了解任意角三角函數sin、cos、tan、cot、sec、csc的定義。

（三）了解同界角的三角函數具有相同的函數值。

（四）能判斷各三角函數在不同象限之正負值。

（五）了解象限角0、90、180、270的函數值。

（六）能將任意角的三角函數化為銳角的三角函數。

（一） 介紹標準位置角的定義。

（二）介紹任意角三角函數sin、cos、tan、cot、sec、csc的定義。

（三）說明各三角函數在不同象限之正負值。

（四）說明同界角的三角函數具有相同的函數值。

（五）熟悉象限角的三角函數值。

（六）說明將任意角的三角函數化為銳角的三角函數的方法。

＊ 教師

(一) 相關教材。

(二) 筆記型電腦、單槍投影機、Z-VOD 多媒體教材。

(三) 閱讀相關參考書籍。

(四) 學習評量測驗單。

＊ 學生

（一）課本、筆記本、紙。

教學流程 時間 教學資源

及 注意事項 數學 A 版第一冊第二章 §2-3 任意角的三角函數

十節課

第一節

（一）引起動機

（二）發展活動

【老師講解】

標準位置角定義

在坐標平面上，頂點在原點，角的始邊與 x 軸的正向重合的有向 角，稱為標準位置角。

1. 當標準位置角的終邊剛好落在坐標軸上時，稱為象限角。

2. 當標準位置角的終邊落在第一（二、三、四）象限內時，稱 為第一（二、三、四）象限角。

例題1.

試問下列各標準位置角分別為第幾象限角？

（1）105⁰ （2）50⁰（3）930⁰ （4）

3 26 解：

5 分鐘

20 分鐘

25 分鐘

（1）∵ 90⁰ 105⁰ 180⁰ ∴105⁰為第二象限角 （2）∵ 90⁰ 50⁰ 0⁰ ∴50⁰為第四象限角 （3）∵930⁰ 2360⁰210⁰，又180⁰ 210⁰ 270⁰ ∴930⁰是第三象限角

（4）∵

3 2 2 3 4

26 _{ }  _ 

，又 _  _ 3 2 2 ∴

3 26

【學生演練與小組討論】

隨堂練習1.

試問下列各標準位置角分別為第幾象限角？

（1）280⁰ （2）1200⁰ （3）

4 39



第二節

【老師講解】

複習前一節授課重點摘要，並檢討回家練習作業。

習作 1.

試問下列各標準位置角分別為第幾象限角？

（1）280⁰ （2）1000⁰ （3）

6 31



（二）發展活動

任意角的三角函數定義：

設為一個標準位置角，在它的終邊上任取一異於原點之P 點，

令其坐標為P(x,y)，OP= x +y =r^{2 2} ，則六個三角函數定義如下：

sin =y

 r x cos =

 r tan = (x 0)y

 x  x

cot = (y 0)

 y  sec = (x 0)r

 x  r

csc = (y 0)

 y 

10 分鐘

20 分鐘

例題2.

設點^{P(15, 8)} 為標準位置角 終邊上的一個點，試求角的各三 角函數值。

解：

∵ ^P





r OP  15² ( 8)²  289 17

∴ 8

sin 17

y

  r ， 15

cos 17

x

 r

8

tan 15

y

  x ， 15

cot 8

x

   y 17

sec 15

r

 x ， 17

csc 8

r

   y

【學生演練與小組討論】

隨堂練習2.

設點^P(-12,5)為標準位置角 終邊上的一個點，試求角的各三 角函數值。

第三節

【老師講解】

複習前一節授課重點摘要，並檢討回家練習作業。

習作2.

設點^{P( 4, 3) } 為角 終邊上的一點，試求角 的各三角函數值。

（一）引起動機

當角度擴展為任意角且終邊上的點坐標未知時，該如何求解 三角函數？由例題二衍生的問題切入。

例題3.

試分別求出 135的六個三角函數值。

解：在標準位置角 135的終邊上取一點P，自P點作^x軸的垂 線交^x軸於^Q形成直角△^OPQ，為方便計算，令PQ的長度為 1，則OQ1，_OP  2，所以P點的坐標為^{( 1 , 1)} ，且

2 r OP 

20 分鐘

5 分鐘

10 分鐘

∴

1 2

sin135

2 2 y

  r  ^{cos135 1 2} 2 2

x r

     

^{tan135 1 1} 1 y

  x  

 ^{cot135  x}_y ^₁^{1 1}

sec135 ² 2

1 r

  x  

 ^{csc135 2 2} 1 r

  y 

（二） 發展活動

由任意角三角函數的定義推導相關知識，作為計算任意角三角函 數時所需之數學工具。

因為同界角有相同的始邊和終邊，對應標準位置角則其終邊上 有相同的點坐標，由任意角三角函數的定義，我們可以得知：凡是同 界角均有相同的三角函數值。設n 為整數值，則

sin (n 360 + )=sin    cos (n 360 + )=cos    tan (n 360 + )=tan    cot (n 360 + )=cot    sec (n 360 + )=sec    csc(n 360 + )=csc   

此外，我們可由角終邊所在的象限，來確定三角函數值的正負。

在這我們用下表表示：

例題4.

試決定下列各三角函數值的正負：

5 分鐘

10 分鐘

sin

csc

tan

cot

cos

sec

皆



 

(1)^{sin( 680 ) } (2)sec1330 (3)^tan41 6

 。 解：(1)∵ ^{680   ( 2) 360  40} 為第一象限角 ∴ ^{sin( 680 ) } 為正

(2)∵ ^{1330  3 360 250}為第三象限角 ∴ ^sec1330為負

(3)∵ ^{41 3 2 5}

6 6

     為第二象限角

∴ ^tan41 6

 為負

【學生演練與小組討論】

隨堂練習4.

試決定下列各三角函數值的正負：

(1)^{cos(880 )} (2)cot (-500 ) (3)^sin23 4

 。

【老師講解】

例題5.

已知sec0，sin 0，試求角所在象限。

解：sec 0 ^  為第一或第四象限角 ^{sin 0  }為第三或第四象限角 ∴ ^為第四象限角

【學生演練與小組討論】

隨堂練習5.

已知tan0，sin 0，試求角所在象限。

第四節

【老師講解】

（一）複習前一節授課重點摘要。

習作3.

試判別下列各三角函數值的正負：

(1)sec830 (2)sin( 1200 )  (3)^cot31 6

 。

習作4.

已知點P(tan ,cos )  在第三象限內，則角為第幾象限角？

10 分鐘

10 分鐘

10 分鐘

!

圖2- 25

!

O

!

D(0, - 1)

!

C(- 1, 0)

!

B(0, 1)

!

A(1, 0)

（二）發展活動 例題6.

已知^{sin 3}

   10 ，又cot 0，試求tancot 的值。

解：∵ ^{sin 3 0} 10 y

   r  ，又cot 0 ^{ }為第三象限角 ^ x0，^y0 取r 10，^{y 3}  x  r²y²  1 則^{tan y 3}

 x ，^{cot 1} 3 x

  y ∴ ^{tan cot 3 1 10}

3 3

    

【學生演練與小組討論】

隨堂練習6.

已知tan ⁴

 3

 ，又cos 0，試求sincos的值。

【老師講解】

介紹象限角的三角函數值：

在座標平面上，以原點為圓心，作一單位圓(即半徑為 1 之圓)，設圓與座標軸分別交於^A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0)、 ^D(0,-1)，如圖2-25 所示，則

以A(1,0)為0角終邊上的點，由定義可以知：

0 sin 0 = =0

 1 1 cos 0 = =1

 1 0

tan 0 = =0

 1 1 cot 0 =

 0無意義 1

sec 0 = =1

 1 1 csc 0 =

 0無意義

以此類推，為了方便計算，我們將象限角的三角函數值列表如下：

15 分鐘

10 分鐘

例題7.

試求cot 90 4sin 270 3cos180 5sec0的值。

解：cot 90 4sin 270 3cos180 5sec0 =0 4 ( 1) 3 ( 1) 5 1       

=0+4+3+5 =12

【學生演練與小組討論】

隨堂練習7.

試求cos0 2sin 90 +3tan180 -4csc270  的值。

第五節

（一）檢討晨考試卷

【老師講解】

複習前一節授課重點摘要，並檢討回家練習作業。

習作5.

設有向角的終邊落在第四象限，且sin ⁴

 5，求角的其餘各 三角函數值。

習作6.

已知cos ¹²

 13，cot 0，試求角 的其餘各三角函數值。

習作7.

已知sec 2，sin 0，試求下列各值：

(1)^{sin cos } (2)^{tancot}。

（二）發展活動

15 分鐘

25 分鐘

15 分鐘

例題8.

試求sin³ sec tan cot cos

2 4 2 6

        的值。

解：sin³ sec tan cot cos

2 4 2 6

        =(-1) (-1) 1+0+   3

2 =-2

【學生演練與小組討論】

隨堂練習8.

試求2cot³ 3cos -csc tan

2   2  的值。

第六節

【老師講解】

（一）複習前一週授課重點摘要，並檢討回家練習作業。

習作8.

設為第三象限角，且cot ⁴

3，試求 ^{sin cos} 1 cot 1 tan

 

 ^ 

  的值。

習作9.

試求下列各值：

(1)sin180 tan 0 cot 270 sec180 csc90 (2)tan 2 4csc 3cot3 2sin

2 2

    

 

（二）發展活動

化任意角的三角函數為銳角的三角函數：

例題9.

求下列各三角函數值：

10 分鐘

10 分鐘

20 分鐘

   

   

   

sin sin cos cos

tan tan cot cot

sec sec csc csc

1.

   

   

   

   

   

   

-θ的函數變換

（1）^sin











 

  tan 3

解：

（1）

 

2 30 1

sin 30

sin  ⁰  ⁰ 

（2）

 

2 45 2 cos 45

cos ⁰  ⁰ 

（3） ³

tan3 tan 3 



 

  

【學生演練與小組討論】

隨堂練習9.

求下列各三角函數值：

（1） 



 

  sec 6

（2） 



 

  csc 3

（3） 



 

  cot 4

【老師講解】

例題10.

求下列各三角函數值：

（1）sin120⁰ （2）cos135⁰ （3）

6 tan5

解：

（1）

 

2 60 3 sin 60 180 sin 120

sin ⁰  ⁰ ⁰  ⁰ 

（2）

 

2 45 2

cos 45

180 cos 135

cos ⁰  ⁰  ⁰  ⁰ 

（3） 3

3 tan 6

tan 6 6

tan5  



 

 

   



【學生演練與小組討論】

20 分鐘

   

   

   

sin 180 sin cos 180 cos tan 180 tan cot 180 cot sec 180 sec csc 180 csc

2. 180

   

   

   

   

   

   

-θ的函數變換

隨堂練習10.

求下列各三角函數值：

（1）sec120⁰ （2）

6 csc5

（3）

4 cot 3

第七節

【老師講解】

（一）發展活動

化任意角的三角函數為銳角的三角函數：

例題11.

求下列各三角函數值：

（1）sin210⁰ （2）cos225⁰ （3）

3 tan4

解：

（1）

 

2 30 1 sin 30

180 sin 210

sin ⁰  ⁰ ⁰  ⁰ 

（2）

 

2 45 2

cos 45

180 cos 225

cos ⁰  ⁰ ⁰  ⁰  

（3） ³

tan3 tan 3

3

tan4  



 

 

   



【學生演練與小組討論】

隨堂練習11.

求下列各三角函數值：

（1）sec225⁰ （2）csc240⁰ （3）

6 cot7

【老師講解】

20 分鐘

   

   

   

sin 180 + sin cos 180 + cos tan 180 + tan cot 180 + cot sec 180 + sec csc 180 + csc

3. 180 +

  

   

   

   

   

   



θ

θ 的函數變換

例題12.

求下列各三角函數值：

（1）sin300⁰ （2）cos330⁰ （3）

4 tan7

解：

（1）

 

2 60 3

sin 60

360 sin 300

sin ⁰  ⁰  ⁰  ⁰ 

（2）

 

2 30 3 cos 30

360 cos 330

cos ⁰  ⁰ ⁰  ⁰ 

（3） ¹

tan 4 2 4

4 tan

tan7  



 



 

   



【學生演練與小組討論】

隨堂練習12.

求下列各三角函數值：

（1）sec300⁰ （2）csc315⁰ （3）

6 cot11

【老師講解】

例題12.

求下列各三角函數值：

（1）sin1050⁰ （2）^cos





15 分鐘

15 分鐘

   

   

   

sin 90 cos cos 90 sin tan 90 cot cot 90 tan sec 90 csc csc 90 sec

5.

  

   

   

   

   

   

-θ -

- -

- -

餘角關係式

   

   

   

sin 360 sin cos 360 cos tan 360 tan cot 360 cot sec 360 sec csc 360 csc 4. 360

  

   

   

   

   

   



-θ -

- -

- -

-θ的函數變換

（1）^{sin10500 sin}





 

2 30 1 sin 30

360

sin ⁰ ⁰  ⁰ 



（2）^cos





  



2 60 1 cos ⁰ 



【學生演練與小組討論】

隨堂練習12.

求^{sin5850 cos}





第八節

【老師講解】

（一）複習前一節授課重點摘要，並檢討回家練習作業。

習作10.

求下列各三角函數之值：

（1）sin315⁰ （2）^cos





求^{cot8550 cos}





習作12.

已知cot 3，求tan





【隨堂測驗】

參附件數學A (Ⅰ) 隨堂測驗∮2-3

第九節

【老師講解】

∮2-3 測驗結果檢討，釐清學生混淆的觀念或錯誤的方法。

分發【增廣教學】作業及【補救教學】作業。

【學生演練與小組討論】

學生根據測驗結果進行小組合作學習。

10 分鐘

40 分鐘

25 分鐘

25 分鐘

（一） 依學生發言或提問次數與內容評量。

（二） 依學生上台演示內容評量。

（三） 依學習單測驗卷評量。

（一）商職數學(A)I--龍騰版本。

（二）商職數學(A)I 教師手冊--龍騰版本。

附件一

數學 A (Ⅰ) 學 習 單 ∮2-3-1

班級：__________座號：___姓名：_____________

計算題

1.設點^{P( 4, 3) } 為角 終邊上的一點，試求角的各三角函數值。

2.試判別下列各三角函數值的正負：(1)^sec830 (2)sin( 1200 )  (3)^cot31 6

 。

3.設有向角^的終邊落在第四象限，且sin ⁴

 5，求角的其餘各三角函數值。

4.已知^{cos 12}

  13 ，cot 0，試求角的其餘各三角函數值。

5.已知sec 2，sin 0，試求下列各值：(1)sin cos  (2)tancot。

附件二

數學 A (Ⅰ) 學 習 單 ∮2-3-2

班級：__________座號：___姓名：_____________

計算填充題

1.sin60cos150–cos225sin315+tan300sec180=__________。

2.化簡 cos(90 ) tan(270 ) cos()

  ____________。

3.sin450°+cos750°–tan1125°=__________。

4.設 sin67°=k，則以 k 表示 tan2317°=__________。

5. 3

tan 2 cos 2sin 2

     =__________。

附件三

數學 A（Ι）版 ∮2~3 任意角三角函數

班級：__________座號：___姓名：_____________ 成績：

一、選擇題（20，每題 4 分）

（ 　 ） 1.點P( 4,3) 為 有 向 角 終邊上一點，則sin cos  　(A) 12

25　(B)12

25　(C) 7 25 (D) 7

25。

（ 　 ） 2. 5

sin  13，且 在第四象限內，則　(A) 12

cos  13　(B) 5 tan 12　 (C) 5

cot   　(D) 13 sec  。

（ 　 ） 3.下列何者為無意義？　(A)tan 540　(B)cot 630　(C)sec 720　(D)csc1080。

（ 　 ） 4.試問有向角150在第幾象限？　(A)第一象限　(B)第二象限　(C)第三象限　(D) 第四象限。

（ 　 ） 5.下列哪一個選項是錯的？　(A)sin174 sin 6　(B)tan183 tan 3 　(C)cos 355  cos 5　(D)cos165 cos195。

二、填充題（40，每題 5 分）

1. 1

sin cos 2 tan 0 csc 270

2        　　　　　　。 2. 已知 2

tan  ，3 sin 0，則3sin 4cos 5cos 6sin

 

 

 

 　　　　　。

3. 23

sin1190 tan 5

  　　　　　　0（填入^{  <}、 、 ）。

4. 設sin 0，tan 0，則 為第　　　　　　象限角。

5. ^{sin 330 cos 660}





6. 已知sin 0.2，則^{cos 90}





7. sin 20²  sin 70²  tan 100²  sec 80²  　　　　　　。 8. 求 20

cot 3

  　　　　　　。

三、計算題（40，每題 10 分）

1. 求 ^{2 2 2} 3 ² sin 15 sin 75 sin sin 450

2

       ？ 解：

2. 求 1 3 5 7

tan tan tan tan

8  8  8  8  ？ 解：

3. cos 23 k，則^{cot 1957}





解：

4.　求^{cos sin 1 cos}

 

2 2

            ？ 解：