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提要 311:如何以複數表示一個圓的曲線? 圓曲線的複數表示法

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Academic year: 2021

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(1)

提要 311:如何以複數表示一個圓的曲線?

圓曲線的複數表示法 試說明圓心在z 、半徑為0 r 的圓曲線的複數表示法為:

1. zz0 =reiθ、0≤θ <2π 。 2. zz0 =r

【說明】

由之前的討論知複數z=x+iy之極座標表示法為z=reiθ ,如圖一所示:

圖一 複數平面上之任意點 z 的極座標表示方式

式中 r 稱為 z 之大小(Magnitude 或 Absolute Value 或 Modulus),θ 稱為 z 之幅角

(Argument)。只要讓幅角θ 由角度 0 移動至角度 π2 ,即可構成一個半徑為r 的圓,其 圓心是落在座標原點上,如圖二所示。

圖二 將圖一中之幅角θ 由角度 0 移動至角度 π2 ,即可構成一個半徑為r 的圓

(2)

亦即由圖二知式(1)表圓心在座標原點、半徑為 r 的圓:

θ

rei

z= 、0≤θ 2< π (1)

上式取絕對值,則式(1’)亦表一圓心在座標原點、半徑為 r 的圓:

r r

i r

e r re

z = iθ = iθ = cosθ + sinθ = cos2θ +sin2θ = (1’)

另外,若將圓心由座標原點移動至任意位置z ,則只需引用座標平移的概念,將式(1)0 改寫為:

θ

rei

z

z0= 、0≤θ 2< π (2)

同理,上式取絕對值,則式(2’)亦表一圓心在任意位置z 、半徑為 r 的圓: 0

r r

i r

e r re z

z0 = iθ = iθ = cosθ + sinθ = cos2θ +sin2θ = (2’)

(3)

範例一

試以複數表示圓心在1+i半徑為 1 的圓。

【解答】

問題所描述之圓如圖三所示:

圖三 圓心在1+i半徑為 1 的圓

茲引用式(2)與式(2’),則如圖三所示之圓,其複表示方式為:

( )

i eiθ

z− 1+ = 、0≤θ <2π

( )

1+ =1

i

z

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