提要 311:如何以複數表示一個圓的曲線?
圓曲線的複數表示法 試說明圓心在z 、半徑為0 r 的圓曲線的複數表示法為:
1. z−z0 =reiθ、0≤θ <2π 。 2. z−z0 =r。
【說明】
由之前的討論知複數z=x+iy之極座標表示法為z=reiθ ,如圖一所示:
圖一 複數平面上之任意點 z 的極座標表示方式
式中 r 稱為 z 之大小(Magnitude 或 Absolute Value 或 Modulus),θ 稱為 z 之幅角
(Argument)。只要讓幅角θ 由角度 0 移動至角度 π2 ,即可構成一個半徑為r 的圓,其 圓心是落在座標原點上,如圖二所示。
圖二 將圖一中之幅角θ 由角度 0 移動至角度 π2 ,即可構成一個半徑為r 的圓
亦即由圖二知式(1)表圓心在座標原點、半徑為 r 的圓:
θ
rei
z= 、0≤θ 2< π (1)
上式取絕對值,則式(1’)亦表一圓心在座標原點、半徑為 r 的圓:
r r
i r
e r re
z = iθ = iθ = cosθ + sinθ = cos2θ +sin2θ = (1’)
另外,若將圓心由座標原點移動至任意位置z ,則只需引用座標平移的概念,將式(1)0 改寫為:
θ
rei
z
z− 0= 、0≤θ 2< π (2)
同理,上式取絕對值,則式(2’)亦表一圓心在任意位置z 、半徑為 r 的圓: 0
r r
i r
e r re z
z− 0 = iθ = iθ = cosθ + sinθ = cos2θ +sin2θ = (2’)
範例一
試以複數表示圓心在1+i半徑為 1 的圓。
【解答】
問題所描述之圓如圖三所示:
圖三 圓心在1+i半徑為 1 的圓
茲引用式(2)與式(2’),則如圖三所示之圓,其複表示方式為:
( )
i eiθz− 1+ = 、0≤θ <2π
或
( )
1+ =1− i
z