三、擺線求弧長、曲率、曲率半徑
若一曲線(擺線)
( ) sin ( ) 1 cos
x t t t
y t t
請算出在時間參數
t
2時，C 點
2 1,1上之 (a)曲率(5%) (b)曲率半徑(5%)
(c) A 到 B 之弧長?(5%) (d)將擺線如圖 2 寫成弧長參數表示法(4%)，並導出 (e) Frenet 公式(4%)，並 算 (f)
( ) ?s (2%)(a)曲率
1 2 2(b)曲率半徑
3 2 2 32
2 2 2
2
1 cos sin ( ' ' )
' '' '' ' 1 cos cos sin 2 2
( ) sin
( ) 1 cos
t t
x y
x y x y t t t
x t t t
y t t
(c) A 到 B 之弧長?
2 2
0 0
4cos 8
2 2cos
2tds t dt
(d)
2 2
1
1 1
1
2sin 4cos 4
2 2
4cos 4 2cos 4
2 4
4 4
2cos 2cos
4 4
2cos 4 4
2 2cos
( ) sin
( ) sin ( ) 1 cos
( ) 1 cos
dx dy t t
s ds dt dt dt c c
dt dt
t s
s t
s s
s t
x t t t X s
y t t
Y s
1 2
2 1
2
cos 4 , sin 2 2sin cos , cos 2 2cos 1 4
4 8
2cos 4
4 8
8 8
( )
( )
ss s s s
s s X s
Y s
(e)
0 1
1 0
&
&
2019 工數(二)第一次大考工數考題 KT 製表 2019/04/15
(f) 方法一
2
2 2
8 ( ) 4 8
= 8 2 2
( ) 1
4 4 2 2
s s
X s s s s s
Y s s
方法二
2
2
4
( ) 4
= 8 2 2
( ) 4
4 8 s
Y s s s
X s s
s s
方法三
2
2
2 2
2
1 1
= 8 2 2
16 8 1
( ) ( )
16 8 16 s s s s X s Y s
s s
方法四
2 2
2 2
1 1
= 8 2 2
4 4 8 1
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
4 8 4 8
s s s s s s X s Y s X s Y s
s s s s
2019 工數(二)第一次大考工數考題 KT 製表 2019/04/15
