第壹部分：選擇題(占 60 分) 一、單選題

第壹部分：選擇題(占 60 分)

一、單選題(占 30 分)

說明：第 1 題至第 6 題，每題 5 個選項，其中只有一個是最適當的答案，畫記在答案 卡之「解答欄」。各題答對得 5 分；未作答、答錯或畫記多於一個選項者，該 題以零分計算。

1. 一光線由點A(4,2)發射，經原點後，遇直線x+2 =0反射，求反射後的路徑在哪一直線上？

(1) x+2 =y 0 (2) x+2y+4=0 (3) 2x− y+3=0 (4) 2x− y=0 (5) 2x− y−6=0

2. 一廣場的地磚圖案，是由大小相同的長方體磚塊所排列而成，如 圖(1)所示為最內三層的俯視圖。已知此廣場的地磚案共有 12 層，

問總共需要相同的長方體磚塊多少塊？

(1) 226塊 (2) 236塊 (3) 326塊 (4) 336塊 (5) 366塊

3. 設 x 為實數，多項函數 f(x)=x² +kx+k+8，y = f(x)的圖形在坐標平面上恰通過兩象限，則下列 何者數值可滿足上述條件的 k 值？

(1) −12 (2) −6 (3) 6 (4) 12 (5) 18

圖(1)

4. 小志計算出一正五邊形外接圓與內切圓之間所夾區域的面積為 A；小剛計算出另一正六邊形外接 圓與內切圓之間所夾區域的面積為 B。若這兩個正多邊形的邊長都是 2，則下列何者正確？

(1) A B 36

= 25

(2) A B 25

= 36

(3) A B 6

=5

(4) A B 5

=6

(5) A =B

5. 四邊形 ABCD 為等腰梯形，其中AB//CD，∠A=∠B=60°，AD=DC=CB=2，M、N 各為 BC、CD 的中點，則下列哪一個選項是錯誤的？

(1) (2) (3) (4)

(5) 若 ，則 P 必為 AB 的中點

6. 心理學家有時候用數學模式：L(t)=A(1−10^−kt)來描述時間 t 分鐘時的學習量L(t)，其中 A 與 k 都 是常數。當一個學生需要背熟100(即A=100)個英文單字時，心理學家發現這個學生花 10 分鐘只背 熟其中 10 個單字(即L(10)=10)。根據這些資料，這個學生要能背熟 70 個單字所需的學習時間最 接近何者？

(1) 85分鐘 (2) 95分鐘 (3) 105分鐘 (4) 115分鐘 (5) 125分鐘

二、多選題(占 30 分)

說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，選出正 確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；所有選項均未 作答或答錯多於 2 個選項者，該題以零分計算。

7. 函數 f(x)=x³−6x²+9x−1，則下列選項何者正確？

(1) y = f(x)之圖形必通過(−2,−3)

(2) 方程式 f(x)=0在 0 與 1 之間必有實根 (3) 方程式 f(x)=0在 1 與 2 之間必有實根 (4) 當

0 π4 θ<

< 時，方程式 f₍x₎=_2sin²θ在 0 與 1 之間必有實根 (5) 當

0 π4 θ<

< 時，方程式 f₍x₎=_2sin²θ在 1 與 2 之間必有實根

8. 已知 p=2²⁰，q=5¹⁰，則下列何者正確？

(1) q的最高位數字為 9 (2) p +q的個位數字為 1 (3) p +q是 7 位數 (4) pq是 14 位數 (5) qp 之值大於 1

9. 下列各數學式何者為真﹖

(1) sin40°>tan40° (2) sin(870°)>cos(−430°) (3) sin >1 sin3

(4) °+ °

=

°

°

5 cot 5 tan 5 1 cos 5 2sin 1

(5) 3sin10°−cos10°=−4sin10°cos10°

B

A D

K

M

F

N

G H C E

10. 在空間坐標系中，設A(1,0,3)、B(3,6,9)，下列那些點在 AB 的垂直平分面上？

(1) (3,0,−1) (2) (2,3,6) (3) (5,1,−1) (4) (5,4,4) (5) )

3 ,5 8 , 0 (

11. 設 a、m、n 為實數，且有一聯立方程組





= +

= +

n ay x

m y ax 6

6 。試問下列敘述何者正確？

(1) 若此聯立方程組恰有一組解，則m≠0且n≠0 (2) 若此聯立方程組有無限多解，則m=0且n=0 (3) 若m =n，則此聯立方程組可能無解

(4) 若此聯立方程組有無限多解，則am=6n (5) 若a≠6，則此聯立方程組有解

12. 如圖(2)所示，正立方體 ABCD－EFGH 的稜長等於 4(即AB=4)， ，M、N 分別為線段 BF ， EF的中點。試問下列敘述何者正確？

(1) 內積 (2) KN =5

(3) 143

cos∠MKN = 10

(4) 四面體 EFGK 之體積為 3 32

(5)

圖(2)

第貳部分：選填題(占 40 分)

說明：1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13~32)。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 在小於 1000 的正整數中，若其本身恰等於其各位數字的總和的 7 倍，則滿足此條件的正整數有 ○¹³ 個。

B. 求5^(−log57)+5^(−2log57) +5^(−3log57)+LL+5^(−nlog57) +L至無窮多項之和為 。

C. 設 a、b 均為實數，i= −1﹐且z=a+bi，已知複數 z 滿足Arg(z+i)=23°，Arg(z−i)=293°， 則a²+b²= ○¹⁶ 。

D. 如圖(3)，半徑分別為 5 和 4 的大小兩圓相交於 P、Q 兩點，A、B 兩 點分別在兩個圓上且線段 AB 通過 Q 點，若PA=7，則 PB 之值為 。

○¹⁴

○¹⁵

○¹⁷○¹⁸

○¹⁹

圖(3)

E. 將二股長為 5 公分、10 公分的直角 ABC∆ 及二股長為 3 公分、

4公分的直角 BCD∆ 擺放如圖(4)，試求AD= 。

F. 飛機引擎故障，在空中P(5,15,20)處，沿著直線

2 20 2

15 1

5 −

− =

− = y z

x 的方向，以每秒 3 單位的速度

衝向海平面(xy 平面)，試問 ○²³○²⁴ 秒後飛機會墜入海裡。

G. 設有一圓 C 切直線 L：



 ∈

+

−

= +

=

R t t y

t

x ,

2 1

1 於點A( −1, 1)，且此圓上有另一點B(−4,−6)，則此圓 C 之方

程式為 (x+ )²+(y− )²=○²⁷○²⁸○²⁹ 。

H. 空間坐標中，P(x,y,z)為球面 S︰x²+y²+z² =5上的動點，另有兩定點A(−1,2,4)、B(2,6,4)，則 ABP

∆ 面積最小值為 。

A

D C

B 10

5 4

3

○²⁰○²¹○²²

圖(4)

○²⁵ ○²⁶

○³⁰ ○³¹

○³²

可能用到的參考公式及數值

1. 一元二次方程式ax²+bx+c=0的公式解：

a ac b x b

2

2 4

−

±

=−

2. 平面上兩點P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)間的距離為 2 1 ² 2

1 2 2

1P (x x ) (y y )

P = − + −

3. 通過(x₁,y₁)與(x₂,y₂)的直線斜率

1 2

1 2

x x

y m y

−

= − ，x ≠2 x1

4. 等比數列 arⁿ⁻¹ 的前 n 項之和

r r S a

n

n

−

−

= ⋅ 1

) 1

(

^{r ≠ 1}

5. 三角函數的和角公式：

^{sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B}

2 1

2 1 2

1

1 tan tan

tan ) tan

tan(

θ θ θ

θ

−

= + +

θ θ θ

_{2 sin cos} 2

sin =

6.

∆ ABC

R c

C b

B a

A

2 1 sin sin

sin = = =

ABC

∆

^c

^{= a}

^{+ b}

^{− 2 ab cos C}

7. 棣美弗定理：設_z=_r(cosθ+_isinθ)，則_zⁿ =_rⁿ(cos_nθ+_isin_nθ)，n 為一正整數

8. 參考數值：log₁₀2≈0.3010，log₁₀3≈0.4771，log₁₀7≈0.8451，

4 2 15 6

sin −

° ，

4 2 15 6

cos +

=

°