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四、一元二次方程式

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Academic year: 2021

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(1)

四、一元二次方程式

就一般而言,凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解;而使 得多項式的值為零的數稱之為多項式的根。因此,一元二次方程式的解就是 所對應的二次多項式的根。所以,我們也稱此類方程式的解為根。

我們將先介紹常見的一元二次方程式的三種解法:因式分解法、配 方法和公式解,然後在 4-2 節中利用判別式來探討兩根的特性,至於根與 係數之間的關係,則在附錄二中討論。

4-1 一元二次方程式的解法

【因式分解法】

因為一元二次方程式ax2 +bx+ = (a、b 和 c 為實數且 ac 0 ≠ 0)的左式 為二次多項式,如果我們能將這個多項式因式分解成兩個一次多項式的 乘積,就很容易求得方程式的解。我們以下面的例子來說明這種解法。

【範例 1】求2x2+ =1 5x−1的解。

【解】 利用移項可把原方程式改寫為 2x2 −5x+2= 0。

由因式分解,可得 2x2−5x+2= (2x−1)(x−2) 因此,原方程式改寫為 (2x−1)(x−2)= 0

所以,可得 2x− =1 0或x− =2 0

即 1

x= 或2 x= 。 2

【類題練習 1】求3x2+10x+ = 03 的解。

(2)

【配方法】

我們也可以利用配方及平方根的概念來解方程式,例如將

改寫為 的形式,進而解得

2 4 2

xx+ = 0 (x−2)2−2=0 x= ± 22

xx+ = 0

。其過程如 下:

配方 2 4 2 0

x2− ⋅2 x 2+22 −22+ =2 0

⋅ 即

(x−2)2− =2 左式可寫成完全平方式

(x−2)2 =2 ∵右式為正,兩邊開平方

x− = ±2 2

x= ±2 2

上面的例子是先利用配成完全平方式的方法,將方程式改寫成 (x h)

2=k的形式。當k ≥0時,我們就可以利用平方根的概念來解題:

(

x

h

)

2

− =

k

0

(

x

h

)

2

= ≥

k

0

兩邊同時開方

⇒ −

x h= ± k 移項

x= h± k

註:x= h ± k 表示 x = h+ k 或 x= h − k

0 0

我們將這個方法稱為配方法,也就是配成完全平方的意思。

【範例 2】求下列各方程式的解:

(1) x2 −6x+ =8 (2) 2x2+4x− =6

【解】 (1) x2−6x+ =8 0

x2− ⋅2 x 3+32 −32+ =8 0 0

(x−3)2− =1

(x−3)2 = 1

x− = ±3 1

x

3= 1 或 x

3=

1

x= 4 或 x = 2

(3)

(2) 2x2+4x− =6 0

x2+2x− =3 0

x2+ ⋅ ⋅2 x 1+1−1− =3 0

(x+1)2− = 4 0

(x+1)2 = 4

x+ = ±1 2

x+ =1 2或x+ = −1 2

x=1或x= −3

在上例中,我們當然也可用十字交乘法來做因式分解。但下面的例 題,因不易做因式分解,所以配方法會成為一個很好用的解法。

【範例 3】求下列各方程式的根:

(1) x2−6x+2 =0 (2) 3x2+5x−4 = 0

【解】 (1) x2−6x+ =2 0

x2− ⋅2 x 3+32−32+ =2 0 0

(x−3)2− =7

(x−3)2 =7

x− = ±3 7

x− =3 7或x− = −3 7

x= +3 7或x= −3 7

註:我們常以 x= 3 ± 7 來表示 x = 3 + 7 或 x = 3 − 7 x + x− =

。 (2) 3 2 5 4 0⇒ 2 5 4

3 3 0 x + x− =

2 5 2 2

( ) 5

5 ( 4

2 0

6 )

6 6 3

x + ⋅ ⋅x + − − =

⇒ 5 2 73 ( )

6 36 x+ − = 0

⇒ 5 2 7 ( )

6 3 x+ = 3

6

⇒ 5

x+ =6 73

± 6

⇒ 5 7

x= − ±6 3

(4)

【類題練習 2】利用配方法求下列各式的解:

(1) x2−3x−1= 0 (2) 4x2−3x−2= 0

【想想看】在範例 3 第(1)題中,

兩個根的和為(3+ 7 ) (3+ − 7 )=6,

兩個根的積為 (3+ 7 ) (3× − 7 ) =32 −( 7 )2 =9−7= 2。

在範例 3 第(2)題中,

兩個根的和為 5 73 5 73

6 6

− + +− − = 5

− , 3 兩個根的積為 5 73 5 73

6 6

− + ×− − = 52 ( 73)2 2 6

= 48

−36 = 4

− 。 3

同學們能看出這兩個方程式的兩根和與積似乎和方程式的係 數之間有著某種關係嗎?

【公式解】

將配方法運用在一般式ax2 +bx+ = (ac 0

0)的求解時,其步驟如下:

方程式 ax2 +bx+ = c 0 (a

0)

兩邊同除以 a 2 b c 0

x x

a a

+ + =

配方 2 2 ( )2

2

2 2 0

2 ( b ) a

b a

b c

x x

a a

+ ⋅ ⋅ + − + =

化簡

2 2

2

( ) 4

2 4

b b ac

x a a

− 0

+ − =

左式可化為完全平方

2 2

2

( ) 4

2 4

b b a

x a a

+ = − c

這個結果與前面(x

h)2= k的形式相同,因為( 2 2 x b

+ a) 恆為正數或 0,所以當b2 − ac4 ≥0時,我們得到

(5)

2

2

4

2 4

b b

x a a

+ = ± − ac

, 即

2 4

2 2

b b a

x a a

= − ± − c

(或寫成 x

2 4

2

b b a

a

− ± −

= c

0

)。

也就是說,當b2−4ac≥ 時,方程式ax2 +bx+ = 的解為: c 0

2 4

2

− + −

= b b ac

x a 或 x =

2 4

2

− −b bac

a

雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜,但觀察其過程,

每一步驟都有跡可循。若避開繁複的運算過程,直接將方程式的係數代入 這個解的通式,即可得到方程式的解。因此,我們利用上面的通式求解,

稱為公式解。

雖然我們將在下一節中,才會完整的討論如何由 的符號來

了解方程式

2 4

b − ca

2 0

ax +bx+ = 兩個根的特性,在這裡仍先稱c b 為方程式 根的判別式。

24ac

【範例 4】用公式解求x2−6x+ =2 0的解。

【解】 先檢驗判別式是否大於 0 或等於 0。因為b2 −4ac=28 0,所以 方程式有實數解。由公式解得知:

>

x= ( 6) 28 2 1

− − ±

×

= 6 2 7 2

±

= 3± 7

【類題練習 3】利用公式解下列方程式:

(1) x2 −3x− = 01 (2) 4x2−3x− =2 0

(6)

我們可以利用一元二次方程式的解法,來解某些特殊類型的方程式,

現在來看下面的例子。

【範例 5】已知一個正數比其倒數的兩倍多 1,求此數。

【解】 設此正數為 x。

依題意列式 x 2 1 1

− ⋅ =x 兩邊同乘以 x,得 x2− =2 x 移項得一元二次方程式 x2− − =x 2 0

x2− −x 2 =(x+1)(x−2)= 0

∴ x= 2 或 x=

1(不合題意)

所以,此正數為 2。

【類題練習 4】解方程式 2 3x 6

+ = 。 x

【範例 6】一個長為 a,寬為 b 的矩形,如果它的長與寬滿足b a b

a b

= − 的 關係,我們稱之為「黃金矩形」。求黃金矩形的長與寬的比值為 何?

【解】 令a

b = 。 x

a

b

a-b b

b

b a b a b a 1

a b b b b

= − = − = −

∴ 1

1 1

b a

a = − ⇒ = − b x x 再來解分式方程式1

1 x = − 。 x 兩邊同乘以 x,得 1= x2x 移項得 x2− − =x 1 0 利用根的公式,可得

(7)

x =

( 1) ( 1)2 4 1 ( 1) 2 1

− − ± − − × × −

× 所以,x = 1 5

2

+ 或 x = 1 5 2

− (負的不合)。

因此,長與寬的比值為1 5 2

+ (約為 1.6)。

【類題練習 5】解方程式

2 2

1 13

1 6

x x

x x

+ − =

− 。

【重點整理】

1. 一元二次方程式的解法中常用的有因式分解法、配方法及公式法。

2. 一元二次方程式ax2+bx+ =c 0的根的公式為

2 4

2

− ± −

= b b ac

x a

3. 形如 + =

ax b d

x c 的分式方程式,可用通分或去分母化成一元二次方 程式來求解,但須注意求得的解應檢驗是否使分母為 0。

【家庭作業】

基礎題

1. 解下列各方程式:

1 1 2 7

1 0

2x +6x− = ○2 (x−3)2−2(x− − = 3) 3 0

3 x2+ =3 6x4 −0.5x−0.1x2 =0.5

(8)

2. ○1 已知3x2 − x6 −21可化為

3 (

x

+

p

)

2

+

q的形式,求 p

q 的值。

2 利用○1 求方程式3x2 − x6 −21=0的兩根。

進階題 3. 已知 1

− 為2 ax2 +3x a− = 0的一根,求 a 的值及另一根。

4. 設 2

2 1+

− 為方程式4x2 +4x+c=0的一根,求 c 的值。

5. 解下列各方程式:

1 5 1

7 1

x

x + =

− ○2 2 2 5 x+ x =

− ○3

3 1 2 1 4 1 1 1

+ −

= − + −

x x x

x 6. 若 x 滿足 1

4 x+ = − ,求x

x 1x

− 的值。

7. 已知某水果商人以 6000 元買進芒果一批。淘汰賣相不佳的芒果 30 公斤,

其餘的以每公斤按成本價加 10 元賣出,商人共得款 8100 元。問此商人 原先買進芒果多少公斤?

(9)

4-2 根的判別

在前一節中,我們利用配方法將方程式ax2 +bx+ = (a 0)改寫為 c 0

2 2

2

( ) 4

2 4

b b a

x a a

+ = − c

。因為( 2 2 x b

+ a) 恆為正數或 0,所以右式

2 2

4 4

b a

a

− c

c

中的

分子 必須為正數或 0 時,此方程式才會有實數解。當 0

時,我們不可能找到一個實數 x 使得

2 4

ba b2 4ac

<

( )2

2 x b

+ a 等於

2 2

4 4

b a

a

− c

0 0 c

0

c>

,所以此方程 式沒 有 實 數 解 。 因 此 , 一 個 一 元 二 次 方 程 式 有沒有實數解,便可由

,或 來判別,故稱 為「根的判別式」或簡

稱為「判別式」。

2 4

bacb2−4ac< b2 −4a

現在將方程式ax2+bx+ =c 0根的判別規則整理如下:

(1) 若 b2 4a ,則方程式的兩根為:

x= 2 4

2

b b ac

a

− + −

或 x= 2 4 2

b b ac

a

− − −

因為兩根均為實數且不相等,所以稱此方程式有兩個相異實根。

(2) 若 b a ,則兩根為相等實數。所以稱此方程式有兩個相等 實根,或稱此方程式有一個二重根,並常以 x

2 −4 c=0

= 2 b

a(重根)來表示。

(3) 若 b2−4ac<0,則此方程式無實根。

0 0

【範例 1】判別下列方程式是否有兩個相異實根,一個二重根或沒有實數 根:

(1) x2+3x− =5 (2) 2x2−5x+ =6 (3) − +x2 6x− =9 0

【解】 (1) ∵ 判別式b2 −4ac=32− × × − =4 1 ( 5) 29> 0

∴ 方程式有兩個相異實根:

x =

3 32 4 1 ( 5) 3 2

2 1 2

− ± − × × − = − ±

×

9

0 (2) ∵ 判別式 b2 −4ac= −( 5)2 − × × = − < 4 2 6 23

∴ 方程式沒有實數根

(10)

(3) ∵ 判別式b2−4ac=62 − × − × − = 4 ( 1) ( 9) 0

∴ 方程式有一個二重根:

x= 6 62 4 ( 1) ( 9 2 ( 1)

− ± − × − × − )

× −

= 6 0 2

− ±

− = 3(重根)

【類題練習 1】判別下列方程式是否有兩個相異實根,一個二重根或沒有 實數根:

(1) 2x2−4x+ = 01 (2) 1 2 3

2 0 2x −2x+ = (3) (a+1)x2 +4x+ = 02 ,其中a

>

1。

【範例 2】已知一元二次方程式ax2 +ax+ = 有一個二重根,求 a 的值。 2 0

【解】 原方程式有一個二重根⇒判別式等於 0 即 a2 − ⋅ ⋅ =4 a 2 0⇒a a( − = 8) 0

a= 或0 a= 8

因為二次項係數 a 不能為 0,所以 a= 8。

【類題練習 2】已知 a 為正整數且方程式x2ax+ = 有兩個相異根,求3 0 a 的最小值。

在高一上的第一章中,同學們會學習複數(complex number)的記法

,其中 a、b 為實數,且 +

a bi i2 = − ,也就是說,1 − = 。所以,範例 1 1 i 第(2)題中的方程式2x2−5x+ = 06 沒有實數根,但是 x= 5 23

4

± i

是這個方 程式的複數根。

(11)

【重點整理】

1. ax2+bx c+ =0的根有下列性質:

(1) 若b2−4ac> 0,兩根為相異實根;

0 0

(2) 若b2−4ac= ,兩根為重根;

(3) 若b2−4ac< ,無實根。

【家庭作業】

基礎題

1. 判別下列方程式兩根的性質:

1 x2 − x8 −20=0 ○2 6x2 − x7 +3=0

3 16x2 + x8 +1=0 ○4 x2+ =3 0

5 2 2 1 1

3x −3x+16 = ○0 6 2x2−2 3x+ = 3 0

進階題

2. 設 a 為任意實數,請問x2 +2ax+a =1兩根的性質為何?

3. 設 m、n 為相異兩數,請判別(m2 +n x2) 2 +2(m+n x) + = 兩根的性質。 2 0 4. 若方程式3x2 +4x+2(k− = 01) 有實根,則最大的整數 k 值為何?

5. 已知3x2 +(k−24)x+k =0有一個二重根,求 k 的值。

6. 已知一元二次方程式ax2 +bx+ = 的係數滿足 ac 0c 0 < ,則此方程式有 幾個實根?

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