四、一元二次方程式
就一般而言,凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解;而使 得多項式的值為零的數稱之為多項式的根。因此,一元二次方程式的解就是 所對應的二次多項式的根。所以,我們也稱此類方程式的解為根。
我們將先介紹常見的一元二次方程式的三種解法:因式分解法、配 方法和公式解,然後在 4-2 節中利用判別式來探討兩根的特性,至於根與 係數之間的關係,則在附錄二中討論。
4-1 一元二次方程式的解法
【因式分解法】
因為一元二次方程式ax2 +bx+ = (a、b 和 c 為實數且 ac 0 ≠ 0)的左式 為二次多項式,如果我們能將這個多項式因式分解成兩個一次多項式的 乘積,就很容易求得方程式的解。我們以下面的例子來說明這種解法。
【範例 1】求2x2+ =1 5x−1的解。
【解】 利用移項可把原方程式改寫為 2x2 −5x+2= 0。
由因式分解,可得 2x2−5x+2= (2x−1)(x−2) 因此,原方程式改寫為 (2x−1)(x−2)= 0
所以,可得 2x− =1 0或x− =2 0
即 1
x= 或2 x= 。 2
【類題練習 1】求3x2+10x+ = 03 的解。
【配方法】
我們也可以利用配方及平方根的概念來解方程式,例如將
改寫為 的形式,進而解得
2 4 2
x − x+ = 0 (x−2)2−2=0 x= ± 22
x − x+ = 0
。其過程如 下:
配方 2 4 2 0
⇒
x2− ⋅2 x 2+22 −22+ =2 0⋅ 即
⇒
(x−2)2− =2 左式可寫成完全平方式⇒
(x−2)2 =2 ∵右式為正,兩邊開平方⇒
x− = ±2 2⇒
x= ±2 2上面的例子是先利用配成完全平方式的方法,將方程式改寫成 (x h)
−
2=k的形式。當k ≥0時,我們就可以利用平方根的概念來解題:
(
x−
h)
2− =
k0
即(
x−
h)
2= ≥
k0
兩邊同時開方⇒ −
x h= ± k 移項⇒
x= h± k註:x= h ± k 表示 x = h+ k 或 x= h − k
0 0
。
我們將這個方法稱為配方法,也就是配成完全平方的意思。
【範例 2】求下列各方程式的解:
(1) x2 −6x+ =8 (2) 2x2+4x− =6
【解】 (1) x2−6x+ =8 0
⇒
x2− ⋅2 x 3+32 −32+ =8 0 0⋅
⇒
(x−3)2− =1⇒
(x−3)2 = 1⇒
x− = ±3 1
⇒
x−
3= 1 或 x−
3=−
1⇒
x= 4 或 x = 2(2) 2x2+4x− =6 0
⇒
x2+2x− =3 0⇒
x2+ ⋅ ⋅2 x 1+1−1− =3 0⇒
(x+1)2− = 4 0⇒
(x+1)2 = 4⇒
x+ = ±1 2⇒
x+ =1 2或x+ = −1 2⇒
x=1或x= −3在上例中,我們當然也可用十字交乘法來做因式分解。但下面的例 題,因不易做因式分解,所以配方法會成為一個很好用的解法。
【範例 3】求下列各方程式的根:
(1) x2−6x+2 =0 (2) 3x2+5x−4 = 0
【解】 (1) x2−6x+ =2 0
⇒
x2− ⋅2 x 3+32−32+ =2 0 0⋅
⇒
(x−3)2− =7⇒
(x−3)2 =7⇒
x− = ±3 7⇒
x− =3 7或x− = −3 7⇒
x= +3 7或x= −3 7註:我們常以 x= 3 ± 7 來表示 x = 3 + 7 或 x = 3 − 7 x + x− =
。 (2) 3 2 5 4 0⇒ 2 5 4
3 3 0 x + x− =
⇒ 2 5 2 2
( ) 5
5 ( 4
2 0
6 )
6 6 3
x + ⋅ ⋅x + − − =
⇒ 5 2 73 ( )
6 36 x+ − = 0
⇒ 5 2 7 ( )
6 3 x+ = 3
6
⇒ 5
x+ =6 73
± 6
⇒ 5 7
x= − ±6 3
【類題練習 2】利用配方法求下列各式的解:
(1) x2−3x−1= 0 (2) 4x2−3x−2= 0
【想想看】在範例 3 第(1)題中,
兩個根的和為(3+ 7 ) (3+ − 7 )=6,
兩個根的積為 (3+ 7 ) (3× − 7 ) =32 −( 7 )2 =9−7= 2。
在範例 3 第(2)題中,
兩個根的和為 5 73 5 73
6 6
− + +− − = 5
− , 3 兩個根的積為 5 73 5 73
6 6
− + ×− − = 52 ( 73)2 2 6
−
= 48
−36 = 4
− 。 3
同學們能看出這兩個方程式的兩根和與積似乎和方程式的係 數之間有著某種關係嗎?
【公式解】
將配方法運用在一般式ax2 +bx+ = (ac 0
≠
0)的求解時,其步驟如下:方程式 ax2 +bx+ = c 0 (a
≠
0)兩邊同除以 a 2 b c 0
x x
a a
+ + =
配方 2 2 ( )2
2
2 2 0
2 ( b ) a
b a
b c
x x
a a
+ ⋅ ⋅ + − + =
化簡
2 2
2
( ) 4
2 4
b b ac
x a a
− 0
+ − =
左式可化為完全平方
2 2
2
( ) 4
2 4
b b a
x a a
+ = − c
這個結果與前面(x
−
h)2= k的形式相同,因為( 2 2 x b+ a) 恆為正數或 0,所以當b2 − ac4 ≥0時,我們得到
2
2
4
2 4
b b
x a a
+ = ± − ac
, 即
2 4
2 2
b b a
x a a
= − ± − c
(或寫成 x
2 4
2
b b a
a
− ± −
= c
0
)。
也就是說,當b2−4ac≥ 時,方程式ax2 +bx+ = 的解為: c 0
2 4
2
− + −
= b b ac
x a 或 x =
2 4
2
− −b b − ac
a 。
雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜,但觀察其過程,
每一步驟都有跡可循。若避開繁複的運算過程,直接將方程式的係數代入 這個解的通式,即可得到方程式的解。因此,我們利用上面的通式求解,
稱為公式解。
雖然我們將在下一節中,才會完整的討論如何由 的符號來
了解方程式
2 4
b − ca
2 0
ax +bx+ = 兩個根的特性,在這裡仍先稱c b 為方程式 根的判別式。
2−4ac
【範例 4】用公式解求x2−6x+ =2 0的解。
【解】 先檢驗判別式是否大於 0 或等於 0。因為b2 −4ac=28 0,所以 方程式有實數解。由公式解得知:
>
x= ( 6) 28 2 1
− − ±
×
= 6 2 7 2
±
= 3± 7
【類題練習 3】利用公式解下列方程式:
(1) x2 −3x− = 01 (2) 4x2−3x− =2 0
我們可以利用一元二次方程式的解法,來解某些特殊類型的方程式,
現在來看下面的例子。
【範例 5】已知一個正數比其倒數的兩倍多 1,求此數。
【解】 設此正數為 x。
依題意列式 x 2 1 1
− ⋅ =x 兩邊同乘以 x,得 x2− =2 x 移項得一元二次方程式 x2− − =x 2 0
∵ x2− −x 2 =(x+1)(x−2)= 0
∴ x= 2 或 x=
−
1(不合題意)所以,此正數為 2。
【類題練習 4】解方程式 2 3x 6
+ = 。 x
【範例 6】一個長為 a,寬為 b 的矩形,如果它的長與寬滿足b a b
a b
= − 的 關係,我們稱之為「黃金矩形」。求黃金矩形的長與寬的比值為 何?
【解】 令a
b = 。 x
a
b
a-b b
b
∵ b a b a b a 1
a b b b b
= − = − = −
∴ 1
1 1
b a
a = − ⇒ = − b x x 再來解分式方程式1
1 x = − 。 x 兩邊同乘以 x,得 1= x2−x 移項得 x2− − =x 1 0 利用根的公式,可得
x =
( 1) ( 1)2 4 1 ( 1) 2 1
− − ± − − × × −
× 所以,x = 1 5
2
+ 或 x = 1 5 2
− (負的不合)。
因此,長與寬的比值為1 5 2
+ (約為 1.6)。
【類題練習 5】解方程式
2 2
1 13
1 6
x x
x x
+ − =
− 。
【重點整理】
1. 一元二次方程式的解法中常用的有因式分解法、配方法及公式法。
2. 一元二次方程式ax2+bx+ =c 0的根的公式為
2 4
2
− ± −
= b b ac
x a 。
3. 形如 + =
−
ax b d
x c 的分式方程式,可用通分或去分母化成一元二次方 程式來求解,但須注意求得的解應檢驗是否使分母為 0。
【家庭作業】
基礎題
1. 解下列各方程式:
○1 1 2 7
1 0
2x +6x− = ○2 (x−3)2−2(x− − = 3) 3 0
○3 x2+ =3 6x ○4 −0.5x−0.1x2 =0.5
2. ○1 已知3x2 − x6 −21可化為
3 (
x+
p)
2+
q的形式,求 p、
q 的值。○2 利用○1 求方程式3x2 − x6 −21=0的兩根。
進階題 3. 已知 1
− 為2 ax2 +3x a− = 0的一根,求 a 的值及另一根。
4. 設 2
2 1+
− 為方程式4x2 +4x+c=0的一根,求 c 的值。
5. 解下列各方程式:
○1 5 1
7 1
x
x + =
− ○2 2 2 5 x+ x =
− ○3
3 1 2 1 4 1 1 1
+ −
= − + −
− x x x
x 6. 若 x 滿足 1
4 x+ = − ,求x
x 1x
− 的值。
7. 已知某水果商人以 6000 元買進芒果一批。淘汰賣相不佳的芒果 30 公斤,
其餘的以每公斤按成本價加 10 元賣出,商人共得款 8100 元。問此商人 原先買進芒果多少公斤?
4-2 根的判別
在前一節中,我們利用配方法將方程式ax2 +bx+ = (a 0)改寫為 c 0
≠
2 2
2
( ) 4
2 4
b b a
x a a
+ = − c
。因為( 2 2 x b
+ a) 恆為正數或 0,所以右式
2 2
4 4
b a
a
− c
c −
中的
分子 必須為正數或 0 時,此方程式才會有實數解。當 0
時,我們不可能找到一個實數 x 使得
2 4
b − a b2 4ac
<
( )2
2 x b
+ a 等於
2 2
4 4
b a
a
− c
0 0 c
0
− c>
,所以此方程 式沒 有 實 數 解 。 因 此 , 一 個 一 元 二 次 方 程 式 有沒有實數解,便可由
,或 來判別,故稱 為「根的判別式」或簡
稱為「判別式」。
2 4
b − ac≥ b2−4ac< b2 −4a
現在將方程式ax2+bx+ =c 0根的判別規則整理如下:
(1) 若 b2 4a ,則方程式的兩根為:
x= 2 4
2
b b ac
a
− + −
或 x= 2 4 2
b b ac
a
− − −
因為兩根均為實數且不相等,所以稱此方程式有兩個相異實根。
(2) 若 b a ,則兩根為相等實數。所以稱此方程式有兩個相等 實根,或稱此方程式有一個二重根,並常以 x
2 −4 c=0
= 2 b
− a(重根)來表示。
(3) 若 b2−4ac<0,則此方程式無實根。
0 0
【範例 1】判別下列方程式是否有兩個相異實根,一個二重根或沒有實數 根:
(1) x2+3x− =5 (2) 2x2−5x+ =6 (3) − +x2 6x− =9 0
【解】 (1) ∵ 判別式b2 −4ac=32− × × − =4 1 ( 5) 29> 0
∴ 方程式有兩個相異實根:
x =
3 32 4 1 ( 5) 3 2
2 1 2
− ± − × × − = − ±
×
9
0 (2) ∵ 判別式 b2 −4ac= −( 5)2 − × × = − < 4 2 6 23
∴ 方程式沒有實數根
(3) ∵ 判別式b2−4ac=62 − × − × − = 4 ( 1) ( 9) 0
∴ 方程式有一個二重根:
x= 6 62 4 ( 1) ( 9 2 ( 1)
− ± − × − × − )
× −
= 6 0 2
− ±
− = 3(重根)
【類題練習 1】判別下列方程式是否有兩個相異實根,一個二重根或沒有 實數根:
(1) 2x2−4x+ = 01 (2) 1 2 3
2 0 2x −2x+ = (3) (a+1)x2 +4x+ = 02 ,其中a
>
1。【範例 2】已知一元二次方程式ax2 +ax+ = 有一個二重根,求 a 的值。 2 0
【解】 原方程式有一個二重根⇒判別式等於 0 即 a2 − ⋅ ⋅ =4 a 2 0⇒a a( − = 8) 0
⇒a= 或0 a= 8
因為二次項係數 a 不能為 0,所以 a= 8。
【類題練習 2】已知 a 為正整數且方程式x2−ax+ = 有兩個相異根,求3 0 a 的最小值。
在高一上的第一章中,同學們會學習複數(complex number)的記法
,其中 a、b 為實數,且 +
a bi i2 = − ,也就是說,1 − = 。所以,範例 1 1 i 第(2)題中的方程式2x2−5x+ = 06 沒有實數根,但是 x= 5 23
4
± i
是這個方 程式的複數根。
【重點整理】
1. ax2+bx c+ =0的根有下列性質:
(1) 若b2−4ac> 0,兩根為相異實根;
0 0
(2) 若b2−4ac= ,兩根為重根;
(3) 若b2−4ac< ,無實根。
【家庭作業】
基礎題
1. 判別下列方程式兩根的性質:
○1 x2 − x8 −20=0 ○2 6x2 − x7 +3=0
○3 16x2 + x8 +1=0 ○4 x2+ =3 0
○5 2 2 1 1
3x −3x+16 = ○0 6 2x2−2 3x+ = 3 0
進階題
2. 設 a 為任意實數,請問x2 +2ax+a =1兩根的性質為何?
3. 設 m、n 為相異兩數,請判別(m2 +n x2) 2 +2(m+n x) + = 兩根的性質。 2 0 4. 若方程式3x2 +4x+2(k− = 01) 有實根,則最大的整數 k 值為何?
5. 已知3x2 +(k−24)x+k =0有一個二重根,求 k 的值。
6. 已知一元二次方程式ax2 +bx+ = 的係數滿足 ac 0c 0 < ,則此方程式有 幾個實根?