單元四 圓與相似形的應用

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單元四 圓與相似形的應用 課文 A： 圓的兩條割線性質

在認識完圓與角的關係後，接下來要看圓與兩線段的關係！

首先請試著依據步驟將圖畫出來，下圖中有一圓O，畫出兩條不平行 且相異的圓O 割線 L、M，而且 L 和 M 相交於 P 點，L 與圓 O 相交於 A、

B 兩點，M 與圓 O 相交於 C、D 兩點：

(請標示割線 L、M 與 P、A、B、C、D 各點)

想想看，在上面的作圖中，你可能會畫出幾種不同的圖形呢？其實會 有兩類，一類是兩條割線相交於圓內，

另外一類是兩條割線相交於圓外，

如下圖：

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而這兩種圖形的線段都有特殊的關係，下面我們就來討論這種關係！

如下圖，圓O 兩弦 AB 和CD 相交於 P 點，則 PA × PB = PC × PD

連接AD 及CB ：

∠DPA 與∠CPB 是對頂角，所以∠DPA=∠CPB，

圓周角∠D、∠B 所對的弧都是CA ，所以∠D=∠B；



其中PA 和 PC 是對應邊、 PD 和 PB 是對應邊，所以可以列出式子：

PA ： PC =PD ： PB

可得PA × PB = PC ×PD

這個性質稱為「圓內冪性質」。

X X

O

O

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例題一：如圖，圓O 兩弦 AB 和CD 相交於 P 點，

若PA =6、 PB =12、 PC =8，則 PD =？

解：PA × PB = PC × PD ⇒6×12=8× PD ⇒ PD =9

下一個要討論的就是圓的兩條割線相交在圓外的狀況！如下圖，延伸 圓O 兩弦 AB 和CD 相交於圓外一點 P，則 PA × PB = PC × PD

連接AD 及CB ：

圓周角∠D、∠A 所對的弧都是CB ，所以∠D=∠A，



根據三角形AA 相似性質，△ACP 和△DBP 相似。

其中PA 和 PD 是對應邊、 PC 和 PB 是對應邊，所以可以列出式子：

PA ：PD = PC ： PB

可得PA × PB = PC × PD ，這個性質稱為「圓外冪性質」。

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例題二：如圖，延伸圓O 兩弦 AB 和CD 相交於圓外一點 P，若 AP =12、

BP =8、CP =6，則 DP =？

解：PA × PB = PC × PD ⇒12×8=6× PD ⇒ PD =16

重點提問

1. 下圖中，圓 O 兩弦 AB、CD 相交於 P 點，請問 PA、PB、PC 、PD 有 什麼關係？為什麼？

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2.下圖中，圓 O 兩割線 AB

^

^{}

․隨堂練習：

1.如圖，圓 O 兩弦 AB 、CD 相交於 P 點，

若PA =3、 PB =4、 PC =2，則 PD =？

2.如圖，延伸圓 O 兩弦 AB 和CD 相交於圓外一點 P，

若PA =6、 AB =6、 PC =4，則CD =？

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課文 B： 圓的切線及割線性質

下一個要介紹的就是切割性質，顧名思義就是需要一條切線、一條割 線，先試著依據步驟將圖畫出來！

下圖中有一圓O，請畫出一條切線 L 以及一條割線 M，而且 L 和 M 相交於圓外一點P 點，L 與圓 O 相切於 A 點，M 與圓 O 相交於 C、D 兩 點：

根據你所畫出來的圖形，會有一種線段關係：PA = PC × PD 。 ² 下面我們就來證明這個性質！

如下圖，PA 切圓 O 於 A 點， PD 為割線，交圓 O 於 C、D 兩點：

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連接AC 及 AD ：

圓周角∠D 所對的弧是



2 _{AC ，}





2



2



而兩個三角形中都有共同的∠P，所以∠P=∠P；

根據三角形AA 相似性質，△ACP 和△DAP 相似。

其中PA 和 PD 是對應邊、 PC 和 PA 是對應邊，

所以可以列出式子：PA ： PD = PC ： PA PA × PA = PC × PD

亦即PA = PC × PD ²

例題一：如圖，PA 切圓 O 於 A 點， PD 為割線，交圓 O 於 C、D 兩點，

若PC =4、CD =5，則 PA =？

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解：由前一頁的結論，可得PA =² PC × PD 又PD = PC +CD

所以PA =4×9=36 ²

PA = ± 36 = ±6 (因為 PA 是長度，所以負不合) PA =6

重點提問

1. 如下圖， PA 切圓 O 於 A 點，割線 PD

^{}

請問PA 、PC 、 PD 有什麼關係？為什麼？

․隨堂練習：

1. 如下圖， PA 切圓 O 於 A 點，割線 PD

^{}

若PC =3、CD =9，則 PA =？