1-2 二次函數的最大值或最小值
※ 二次函數最大值與最小值與頂點的關係 二次函數 y=a ( x-h )2+k,
(1) 當 a>0 時,圖形的開口向上,其頂點 ( h , k ) 為最低點,即在 x=h 時,y 有最小值 k。
(2) 當 a<0 時,圖形的開口向下,其頂點 ( h , k ) 為最高點,即在 x=h 時,y 有最大值 k。
例題 1 --- 求二次函數 y=-3 ( x-2 )2+2 的最大值或最小值。
--- x=2 時,二次函數 y=-3 ( x-2 )2+2 有最大值 y=2,且沒有最小值。
隨堂練習 --- 求二次函數 y=2 ( x+1 )2-5 的最大值或最小值。
--- 當 x=-1 時,二次函數 y=2 ( x+1 )2-5 有最小值 y=-5,且沒有最大值。
例題 2 --- 求下列二次函數的最大值或最小值:
(1) y=-5x2-6 (2) y=2 ( x-3 )2+7 (3) y=( 8-x )2-11 (4) y=-3 ( x+ 2
3 )2+ 6 5 ---
隨堂練習 ---
求下列二次函數的最大值或最小值:(1) y=- 5
6 x2-18 (2) y=3 ( x-5 )2+1
---
※ 利用配方法求二次函數的最大值與最小值
將 y=ax2+bx+c 利用配方法改寫為 y=a ( x-h )2+k,再判斷其最大值或最小值。
頂點坐標為 ( h , k ),故在 x=h 時,y=k 為最大值或最小值。
例題 3 ---
在坐標平面上畫出 y=x2+2x+5 的圖形,並求其最大值或最小值。
---
隨堂練習 ---
在坐標平面上畫出 y=x2-6x+5 的圖形,並求其最大值或最小值。
---
例題 4 ---
在坐標平面上畫出 y=-2x2+4x-1 的圖形,並求其最大值或最小值。
---
隨堂練習 ---
在坐標平面上畫出 y=-x2+10x-20 的圖形,並求其最大值或最小值。
---
例題 5 --- 利用配方法求下列二次函數的最大值或最小值:
(1) y=2x2+12x+3 (2) y=-3x2+12x-1
--- x=-3時,y有最小值-15。x=2時,y有最大值11。
隨堂練習 --- 利用配方法求下列二次函數的最大值或最小值:
(1) y=5x2-10x+1 (2) y=-2x2-8x-11
--- 當 x=1 時,y 有最小值-4。 當 x=-2 時,y 有最大值-3。
※ 二次函數圖形與兩軸的交點
二次函數圖形與兩軸的交點坐標,也可由解聯立方程式求得。
與 y 軸的交點坐標,令 x=0,交點坐標為 ( 0 , c )。
與 x 軸的交點坐標,令 y=0,而 x 坐標為方程式 ax2+bx+c=0 的根。
例題 6 --- 求下列二次函數圖形與 y 軸的交點坐標:(1) y=x2+7x-9 (2) y=-( x-4 )2+5
求下列二次函數圖形與 x 軸的交點坐標:(3) y=x2+5x-6 (4) y=-2x2+4x+3
--- (3)( 1 , 0 ) 與 (-6 , 0 )
(4)( 1+ 10
2 , 0 ) 與 ( 1- 10 2 , 0 )
隨堂練習 --- 求下列二次函數圖形與 x 軸的交點坐標: (1) y=-6x2-4x+2 (2) y=3x2+6x+2
---
判斷二次函數與 x 軸交點個數
二次函數 y=ax2+bx+c 圖形與 x 軸交點的 x 坐標,即為方程式 ax2+bx+c=0 的根。
① 當 b2-4ac>0 時,圖形與 x 軸交於兩點。
② 當 b2-4ac=0 時,圖形與 x 軸交於一點。
③ 當 b2-4ac<0 時,圖形與 x 軸沒有交點。
二次函數圖形與 x 軸的交點個數 ax2+bx+c=0
解的個數
判別式 b2-4ac 的正負
y
x
y
x
兩個交點
兩個 ( 相異根 ) b2-4ac>0
x y
x y
一個交點
一個 ( 重根 ) b2-4ac=0
x y
x y
沒有交點
零個 ( 無解 ) b2-4ac<0
例題 7 --- 判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數:
(1) y=x2+x+1 (2) y=-3x2+2x+1 (3) y=x2-6x+9
---
利用判別式判斷二次函數圖形與x軸的交點個數,知道二次函數圖形的頂點與開口方向,
也能依據其特性知道圖形與x軸的交點個數。
隨堂練習 --- 判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數:
(1) y=5x2+6x+8 (2) y=-7x2+3x+5 (3) y=2x2-4x+2
--- 1
例題 8 --- 判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數:
(1) y=-6x2 (2) y=2 ( x+7 )2+11 (3) y=-3 ( 2x-9 )2+4
--- 一個交點 沒有交點 兩個交點
隨堂練習 --- 判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數:
(1) y=-3 ( x+8 )2 (2) y=7 ( 3x+4 )2-6
--- 一個交點 兩個交點
隨堂練習 ---
若二次函數 y=x2+3x+2 的圖形與直線 y=6 有交點時,其交點坐標為何?
---
隨堂練習 ---
已知二次函數 y=x2+3x+2 與直線 y=k,試依下列兩圖形的交點個數,求 k 值的範圍。
--- (1) 交於一點。
x2+3x+2=k 有重根,x2+3x+( 2-k )=0,判別式 32-4×( 2-k )=0,得 k=- 1 4 。 (2) 交於兩點。
x2+3x+2=k 有兩個相異根,判別式 32-4×( 2-k )>0,得 k>- 1 4 。 (3) 沒有交點。
x2+3x+2=k 為無解,判別式 32-4×( 2-k )<0,得 k<- 1 4 。
例題 9 --- 右圖為二次函數 y=ax2+bx+c 的圖形,
試判斷下列各數的正負:
(1) a (2) c (3) b2-4ac
--- (1) 由圖形可知,此函數圖形的開口向下,故 a<0。
(2) 將 x=0 代入 y=ax2+bx+c 得 y=c,
即圖形與 y 軸的交點為 ( 0 , c ),故 c>0。
(3) 此函數圖形與x軸交於兩點,故判別式b2-4ac>0。
隨堂練習 ---
右圖為二次函數 y=ax2+bx+c 的圖形,試在下列空格中,
填入<、=或>:
(1) a > 0,c > 0。
(2) b2-4ac < 0。
---
x y
O
x y
O
1-2 自我評量
1
求下列二次函數的最大值或最小值: ( 每小題 10 分 )(1) y=-( x+5 )2+7 (2) y=6 (-x+4 )2-8
當 x=-5 時,y 有最大值 7。 當 x=4 時,y 有最小值-8。
(3) y=3x2-6x+1 (4) y=-x2+5x-4 y=3 ( x2-2x+1 )+1-3
=3 ( x-1 )2-2
當 x=1 時,y 有最小值-2。
2
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數: ( 每小題 10 分 )(1) y=3x2+x-5
3x2+x-5=0 的判別式 b2-4ac=12-4×3×(-5 )=61>0,
因此方程式有兩個相異根,故圖形與 x 軸有兩個交點。
(2) y=-x2+8x-16
-x2+8x-16=0 的判別式 b2-4ac=82-4×(-1 )×(-16 )=0,
因此方程式有重根,故圖形與 x 軸有一個交點。
(3) y=x2+4x+9
x2+4x+9=0 的判別式 b2-4ac=42-4×1×9=-20<0,
因此方程式無解,故圖形與 x 軸沒有交點。
3
右圖為二次函數 y=ax2+bx+c 的圖形,試在下列空格中,填入<、=或>:( 每格 5 分 ) (1) a > 0,c < 0。
(2) b2-4ac > 0。
此函數圖形與 x 軸交於兩點,故判別式 b2-4ac>0。
4
若二次函數 y=-4x2+ax+b 的圖形與 y 軸的交點坐標為 ( 0 , 7 ),且其對稱軸為 x=2,求 a、b 的值。 ( 15 分 )
因為對稱軸為 x=2,又通過 ( 0 , 7 ),所以也通過 ( 4 , 7 )。
將兩點代入方程式得
7=b
7=-4 × 42+a × 4+b, 則 7=-64+4a+7,a=16,
故 a=16,b=7。
y=-( x2-5x+ 25
4 )-4+ 25 4 =-( x- 5
2 )2+ 9 4 當 x= 5
2 時,y 有最大值 9 4 。