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2-3 圓與直線的關係 重點一 圓的方程式

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Academic year: 2021

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(1)

文興高中 高中數學第三冊習作甲 2-3 圓與直線的關係

2-3 圓與直線的關係 重點一 圓的方程式

例題1(圓的標準式)

(1) A(3 4 ﹐ ),C(-3﹐-4),以 AC 為直徑

的圓方程式為    。

(2) 設圓 C:3x

2

+3y

2

-6x+12y+3=0 的圓心

(a﹐b),半徑 r,

則 a+b+r=    。

解 (1)A,C 的中點 B 為圓心(0 0 ﹐ ),半徑為 r= 2 AC

=5 圓方程式為(x-0)

2

+(y-0)

2

=5

2

=25  x

2

+y

2

=25 (2)圓 C:3x

2

+3y

2

-6x+12y+3=0  x

2

+y

2

-2x+4y+1=0

配方得(x-1)

2

+(y+2)

2

=4 ∴圓心(a ﹐b)=(1﹐-2),半徑 r= 4 =2

 a+b+r=1+(-2)+2=1

例題2(圓的一般式)

A(0 2 ﹐ ),B(1 1 ﹐ ),C(1﹐-1)三點,試求△ABC 的 (1)外接圓方程式為    。

(2)外心坐標為    。

解 (1)令圓方程式為:x

2

+y

2

+dx+ey+f=0,將 A(0 2 ﹐ ),B(1 1 ﹐ ),C(1﹐-1)

代入得

4 2 0

2 0

2 0

e f d e f d e f

 

 

++=

+++=

+-+=  2 0

4 d e f

 

 

=-

∴外接圓方程式為 x

2

+y

2

+2x-4=0 (2)x

2

+y

2

+2x-4=0 (x+1)

2

+y

2

=5

∴外心坐標為(-1 0 ﹐ )

例題3

圓 C:x

2

+y

2

-4x+2y+a=0,半徑為 2,圓心在直線 y=bx+3 上,

則數對(a ﹐b)=    。

解 圓 C:(x-2)

2

+(y+1)

2

=5-a,半徑為 5 a - =2  a=1 圓心(2 ﹐-1)代入直線得-1=2b+3  b=-2

故數對(a﹐b)=(1﹐-2)

重點二 圓的判別式 例題4

判斷下列二元二次方程式所表示的圖形:

(1) 3x

2

+3y

2

-12x+24y+33=0。

(2) x

2

+y

2

+6x-8y+25=0。

(3) x

2

+y

2

+2x-4y+6=0。

解 (1)方程式同除以 3,得出方程式為 x

2

+y

2

-4x+8y+11=0 分別對 x,y 配方得出(x-2)

2

+(y+4)

2

=9

方程式的圖形是一圓,圓心在(2 ﹐-4),半徑是 3 (2)方程式經配方得出(x+3)

2

+(y-4)

2

=0

方程式的圖形是一點(-3 4 ﹐ )

(3)方程式經配方得出(x+1)

2

+(y-2)

2

=-1 方程式沒有圖形

例題5

若圓 C 通過點(3 2 ﹐ )及點(1 4 ﹐ ),且其圓心在直線 2x-y=0 上,

則 C 之圓心為    ,半徑為    。

(2)

文興高中 高中數學第三冊習作甲 2-3 圓與直線的關係

解 圓心(k 2 ﹐ k)到(3 2 ﹐ )與(1 4 ﹐ )等距離

 r= ( -)+( -) = k 3

2

2 k 2

2

( -)+( -) k 1

2

2 k 4

2

 k

2

-6k+9+4k

2

-8k+4=k

2

-2k+1+4k

2

-16k+16

 4k=4

∴k=1,圓心為(1 2 ﹐ ),半徑為 ( -)+( -) =2 3 1

2

2 2

2

重點三 圓與直線的關係 例題6

設 k 是實數,已知直線 L:2x+y+k=0 與圓 C:x

2

+y

2

=5 相切,

則 k 值為    。

解 L:y=-2x-k,圓 C:x

2

+y

2

=5

將 L:y=-2x-k 代入圓 C:x

2

+y

2

=5,得 x

2

+(-2x-k)

2

=5 整理得 5x

2

+4kx+(k

2

-5)=0

∵直線 L 與圓 C 相切

∴判別式為 0,得(4k)

2

-4×5×(k

2

-5)=0 整理得-4k

2

+100=0  k=±5

例題7(過圓外一點求切線)

(1) 試求過 A(2 0 ﹐ )且與圓 C:x

2

+y

2

=1 相切 之切線方程式。

(2) 試求過 B(0 2 ﹐ )且與圓 C:x

2

+(y+2)

2

=1 相切之切線方程式。

解 (1)設過 A(2 0 ﹐ )之直線 L:y=m(x-2)+0,將 L:y=m(x-2)代入圓 C:x

2

+y

2

=1 整理得(m

2

+1)x

2

-4m

2

x+(4m

2

-1)=0

∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0,得(-4m

2

2

-4×(m

2

+1)(4m

2

-1)=0 整理得 3m

2

-1=0  m=±

1 3

故切線方程式為 x- 3 y-2=0 及 x+ 3 y-2=0

(2)設過 B(0 2 ﹐ )之直線 L:y=mx+2,將 L:y=mx+2 代入圓 C:x

2

+(y+2)

2

=1 整理得(m

2

+1)x

2

+8mx+15=0

∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0,得(8m)

2

-4×(m

2

+1)×15=0 整理得 m

2

-15=0  m=± 15

故切線方程式為 y= 15 x+2 及 y=- 15 x+2

例題8

試就實數 m 的範圍討論直線 L:y=mx+2 與圓 C:x

2

+y

2

=1 的相交情形。

解 已知 L:y=mx+2,圓 C:x

2

+y

2

=1

將 y=mx+2 代入 x

2

+y

2

=1,得 x

2

+(mx+2)

2

=1 整理得(m

2

+1)x

2

+4mx+3=0

判別式為(4m)

2

-4×(m

2

+1)×3 整理得判別式 D=4(m

2

-3)

D>0,直線 L 與圓 C 相交兩點  m> 3 或 m<- 3

D=0,直線 L 與圓 C 相切  m=± 3

D<0,直線 L 與圓 C 不相交 - 3 <m< 3

重點四 切線方程式的求法 例題9(已知切點求切線)

若直線 y=ax+b 切圓 C:x

2

+y

2

+2x+4y+k=0 於點(2 1 ﹐ ),則 序組(a ﹐b﹐k)=    。

解 圓 C:(x+1)

2

+(y+2)

2

=5-k,圓心 A(-1﹐-2)

(3)

文興高中 高中數學第三冊習作甲 2-3 圓與直線的關係

令 P 點為(2 1 ﹐ ) ∵PC,將 P(2 1 ﹐ )代入圓 C  得 2

2

+1

2

+2×2+4×1+k=0  k=-13

m

AP

1 2 2 1

-(-)

-(-)=1,L:y=ax+b,其斜率為 a  ∵ AP ⊥L  1×a=-1 ∴a=-1

PL  將 P(2 1 ﹐ )代入 L:y=-x+b 中   1=(-1)×2+b  b=3

由、、解出序組(a ﹐b﹐k)=(-1 3 ﹐ ﹐-13)

例題10(已知斜率求切線)

斜率為 2 與圓 C:x

2

+y

2

+2x-6y+5=0 相切且過第二象限的直線,其方程式 為    。

解 x

2

+y

2

+2x-6y+5=0 (x+1)

2

+(y-3)

2

=5

設切線 L:y=2x+k,代入圓 C 方程式得(x+1)

2

+(2x+k-3)

2

=5 整理得 5x

2

+(4k-10)x+(k

2

-6k+5)=0

∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0 得(4k-10)

2

-4×5×(k

2

-6k+5)=0 整理得-4k

2

+40k=0  k=0,10

∵切線 L 過第二象限 ∴L:y=2x(不合)

故所求切線為 L:y=2x+10

參考文獻

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