文興高中 高中數學第三冊習作甲 2-3 圓與直線的關係
2-3 圓與直線的關係 重點一 圓的方程式
例題1(圓的標準式)
(1) A(3 4 ﹐ ),C(-3﹐-4),以 AC 為直徑
的圓方程式為 。
(2) 設圓 C:3x
2+3y
2-6x+12y+3=0 的圓心
(a﹐b),半徑 r,
則 a+b+r= 。
解 (1)A,C 的中點 B 為圓心(0 0 ﹐ ),半徑為 r= 2 AC
=5 圓方程式為(x-0)
2+(y-0)
2=5
2=25 x
2+y
2=25 (2)圓 C:3x
2+3y
2-6x+12y+3=0 x
2+y
2-2x+4y+1=0
配方得(x-1)
2+(y+2)
2=4 ∴圓心(a ﹐b)=(1﹐-2),半徑 r= 4 =2
a+b+r=1+(-2)+2=1
例題2(圓的一般式)A(0 2 ﹐ ),B(1 1 ﹐ ),C(1﹐-1)三點,試求△ABC 的 (1)外接圓方程式為 。
(2)外心坐標為 。
解 (1)令圓方程式為:x
2+y
2+dx+ey+f=0,將 A(0 2 ﹐ ),B(1 1 ﹐ ),C(1﹐-1)
代入得
4 2 0
2 0
2 0
e f d e f d e f
++=
+++=
+-+= 2 0
4 d e f
=
=
=-
∴外接圓方程式為 x
2+y
2+2x-4=0 (2)x
2+y
2+2x-4=0 (x+1)
2+y
2=5
∴外心坐標為(-1 0 ﹐ )
例題3圓 C:x
2+y
2-4x+2y+a=0,半徑為 2,圓心在直線 y=bx+3 上,
則數對(a ﹐b)= 。
解 圓 C:(x-2)
2+(y+1)
2=5-a,半徑為 5 a - =2 a=1 圓心(2 ﹐-1)代入直線得-1=2b+3 b=-2
故數對(a﹐b)=(1﹐-2)
重點二 圓的判別式 例題4
判斷下列二元二次方程式所表示的圖形:
(1) 3x
2+3y
2-12x+24y+33=0。
(2) x
2+y
2+6x-8y+25=0。
(3) x
2+y
2+2x-4y+6=0。
解 (1)方程式同除以 3,得出方程式為 x
2+y
2-4x+8y+11=0 分別對 x,y 配方得出(x-2)
2+(y+4)
2=9
方程式的圖形是一圓,圓心在(2 ﹐-4),半徑是 3 (2)方程式經配方得出(x+3)
2+(y-4)
2=0
方程式的圖形是一點(-3 4 ﹐ )
(3)方程式經配方得出(x+1)
2+(y-2)
2=-1 方程式沒有圖形
例題5
若圓 C 通過點(3 2 ﹐ )及點(1 4 ﹐ ),且其圓心在直線 2x-y=0 上,
則 C 之圓心為 ,半徑為 。
文興高中 高中數學第三冊習作甲 2-3 圓與直線的關係
解 圓心(k 2 ﹐ k)到(3 2 ﹐ )與(1 4 ﹐ )等距離
r= ( -)+( -) = k 3
22 k 2
2( -)+( -) k 1
22 k 4
2 k
2-6k+9+4k
2-8k+4=k
2-2k+1+4k
2-16k+16
4k=4
∴k=1,圓心為(1 2 ﹐ ),半徑為 ( -)+( -) =2 3 1
22 2
2重點三 圓與直線的關係 例題6
設 k 是實數,已知直線 L:2x+y+k=0 與圓 C:x
2+y
2=5 相切,
則 k 值為 。
解 L:y=-2x-k,圓 C:x
2+y
2=5
將 L:y=-2x-k 代入圓 C:x
2+y
2=5,得 x
2+(-2x-k)
2=5 整理得 5x
2+4kx+(k
2-5)=0
∵直線 L 與圓 C 相切
∴判別式為 0,得(4k)
2-4×5×(k
2-5)=0 整理得-4k
2+100=0 k=±5
例題7(過圓外一點求切線)
(1) 試求過 A(2 0 ﹐ )且與圓 C:x
2+y
2=1 相切 之切線方程式。
(2) 試求過 B(0 2 ﹐ )且與圓 C:x
2+(y+2)
2=1 相切之切線方程式。
解 (1)設過 A(2 0 ﹐ )之直線 L:y=m(x-2)+0,將 L:y=m(x-2)代入圓 C:x
2+y
2=1 整理得(m
2+1)x
2-4m
2x+(4m
2-1)=0
∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0,得(-4m
2)
2-4×(m
2+1)(4m
2-1)=0 整理得 3m
2-1=0 m=±
1 3
故切線方程式為 x- 3 y-2=0 及 x+ 3 y-2=0
(2)設過 B(0 2 ﹐ )之直線 L:y=mx+2,將 L:y=mx+2 代入圓 C:x
2+(y+2)
2=1 整理得(m
2+1)x
2+8mx+15=0
∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0,得(8m)
2-4×(m
2+1)×15=0 整理得 m
2-15=0 m=± 15
故切線方程式為 y= 15 x+2 及 y=- 15 x+2
例題8試就實數 m 的範圍討論直線 L:y=mx+2 與圓 C:x
2+y
2=1 的相交情形。
解 已知 L:y=mx+2,圓 C:x
2+y
2=1
將 y=mx+2 代入 x
2+y
2=1,得 x
2+(mx+2)
2=1 整理得(m
2+1)x
2+4mx+3=0
判別式為(4m)
2-4×(m
2+1)×3 整理得判別式 D=4(m
2-3)
D>0,直線 L 與圓 C 相交兩點 m> 3 或 m<- 3
D=0,直線 L 與圓 C 相切 m=± 3
D<0,直線 L 與圓 C 不相交 - 3 <m< 3
重點四 切線方程式的求法 例題9(已知切點求切線)
若直線 y=ax+b 切圓 C:x
2+y
2+2x+4y+k=0 於點(2 1 ﹐ ),則 序組(a ﹐b﹐k)= 。
解 圓 C:(x+1)
2+(y+2)
2=5-k,圓心 A(-1﹐-2)
文興高中 高中數學第三冊習作甲 2-3 圓與直線的關係
令 P 點為(2 1 ﹐ ) ∵PC,將 P(2 1 ﹐ )代入圓 C 得 2
2+1
2+2×2+4×1+k=0 k=-13
m
AP=
1 2 2 1
-(-)
-(-)=1,L:y=ax+b,其斜率為 a ∵ AP ⊥L 1×a=-1 ∴a=-1
PL 將 P(2 1 ﹐ )代入 L:y=-x+b 中 1=(-1)×2+b b=3
由、、解出序組(a ﹐b﹐k)=(-1 3 ﹐ ﹐-13)
例題10(已知斜率求切線)