44 寸步難行…在棋盤上趴趴走
台灣較正式的高中數學競賽是 1981 年由台大數學系舉辦的文復會高中數學競試，每年 一次，前後十幾年。接著“教育部”80 年度開始辦理全台灣高中數學競賽。讀高中時，
曾代表學校參加過文復會的比賽，現在回想起來，會做的題目都忘了，只記得一道做不 出來的馬步問題，詳細的題目也記不得了。
玩過象棋的人都知道：馬跳日步，象跨田步，而士只能在田區裡晃來晃去。在棋盤上，
日步比田步小，所以馬的行動靈活許多，象則相對笨拙。這也反應出，馬可以遊走的點 比象多了許多。當棋盤不是很大，棋子移動受到比較大的限制時，想要在棋盤內遊走，
必須有很靈活的移法與竅門。
對於像馬這樣歪來拐去的移動方式，除非我們可以找到「既能表示距離，又可傳達方向 的數學工具」，否則想要駕駑牠是很困難的。現在就讓我們來練習一道這樣的遊戲，順 便理解其中所牽涉到的數學。
在5 6 的棋盤上，棋子放置在原點，每次只能根據下列四種規則移動棋子：
(1) 向右移動3格，再往上移動4格。
(2) 向左移動3格，再往下移動4格。
(3) 向右移動2格，再往上移動3格。
(4) 向左移動2格，再往下移動3格。
在不跑出棋盤限制範圍的情形下：
(1) 是否可以將棋子移動到坐標為(3,2)的點？
(2) 是否可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點？
「既能表示距離，又可傳達方向」的數學工具想到了嗎？向量就是工具之一。想想看，
物理學上的力不僅有大小，而且也有方向，所以力經常用向量來表示。當拔河比賽雙方 處於勢均力敵狀態時，代表兩方力的大小相當，但方向卻相反。也就是說，兩隊所出力 的向量和為零的意思。現在就讓我們以向量的方法解決這道移動遊戲。
如果我們將 5 6 的棋盤坐標化，把棋子所在的點當原點(0,0)，那麼根據平面向量的意涵，
「向右移動 3 格，再往上移動 4 格」就是移動向量(3,4)的意思，「向左移動 3 格，再往 下移動 4 格」就是移動向量 ( 3, 4) (3,4)的意思。同理，另外兩種移動就相當於移動 向量(2, 3)與 (2,3) 的意思。如果我們將移動a 步向量(3, 4)，1 a 步向量 (3,4)2 ，b 步向量 1 (2, 3)與b 步向量 (2,3)2 可以到達坐標(3, 2)，那麼根據向量的運算，得
1 2 1 2
1 2 1 2
(3,2) (3,4) (3,4) (2,3) (2,3) ( )(3,4) ( )(2,3).
a a b b
a a b b
令aa1a b2, b1 b2，整理得二元一次聯立方程組 3 2 3;
4 3 2.
a b a b
解得
5;
6.
a b
即a1a2 5,b1b2 6。顯然a15,b2 6,a2 b1 0是一組解，現在考慮這組解是否可 以在棋盤上操作，而不讓棋子跑出棋盤外。下圖就是這組解的移動情形，其中①③⑤⑧
⑩是移動向量(3,4)，而②④⑥⑦⑨ 是移動向量 (2,3) ：
因此，在不跑出棋盤限制範圍的情形下，我們可以將棋子移動到坐標為(3,2)的點。
接下來仿照前面的向量作法，考慮「是否可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點？」由
1 2 1 2
1 2 1 2
(2,4) (3,4) (3,4) (2,3) (2,3) ( )(3,4) ( )(2,3)
a a b b
a a b b
並令a a1a b2, b1 b2，整理得二元一次聯立方程組 3 2 2;
4 3 4.
a b a b
解得
2;
4.
a b
即a1a2 2,b1b2 4。顯然a2 2,b1 4,a1 b2 0是一組解，現在考慮這組解是否可 以在棋盤上操作，而不讓棋子跑出棋盤外。下圖就是這組解的移動情形，
其中③⑤是移動向量 (3,4) ，而①②④⑥是移動向量(2,3)：
因此，在不跑出棋盤限制範圍的情形下，我們可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點。
不僅在棋盤上可以玩移動遊戲，甚至於在方格上也有移動遊戲，讓我們考慮底下這道成 功大學申請入學的問題：
在一個 7 9 的棋盤上任一格出發，可以向上、下、左、右四個方向移動，走遍每一格子 之後（每一格子剛好走過一次）再回到原來的格子。
問：這樣的路徑存在嗎？（存在的話舉例，不存在的話需證明）
讓我們再次利用向量解題：將出發點當成原點，此時向右﹑向左﹑向上﹑與向下所對應 的向量為(1,0), (-1,0), (0,1)與 (0, 1) ，並令向右總共走x 步，向左總共走1 x 步，向上走2 y 1 步，向下走y 步。因為最後回到出發點，所以 2
1(1,0) 2( 1,0) 1(0,1) 2(0, 1) (0,0), x x y y
得到x1x2 0,y1 y2 0。又在 7 9 棋盤上，需走 7 9 63 步才有可能回到出發點，考
慮總步數得到x1x2 y1y2 63，即2(x1 y1)63。這方程式不可能有整數解，故路 徑不存在。
