廣義

廣義 _Cauchy 不等式定理及其應用

張國男

眾所周知: 有時, 某極值題或不等式 題可利用 Cauchy 不等式定理以解 (證) 之, 但其若干類似題則否。 筆者研究發現: 由 Cauchy 不等式定理入手, 將其作適當類推, 可得廣義 Cauchy 不等式定理, 以擴大應用 範圍。 特撰本文為紹介, 聊供讀者作參考。

壹 . Cauchy 不等式定理

茲將 Cauchy 不等式定理敘述並證明如 下:

Cauchy不等式定理: 若 n 為整數, n ≥ 2, 而 aij 均為實數 (1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ n), 且 ^⇀vi = (ai1, . . . , ain) 均非零向量, 則 (

^P

ⁿ_j=1a²_1j)(

^P

ⁿ_j=1a²_2j) ≥ (

^P

ⁿj=1a_1ja_2j)², 且此不等式兩邊相等之充要條件為^⇀v1k^⇀v2 。

證一: 可分三部分推導如次:

(1) 不等式之證明, 其法不一, 茲介紹類 似三種如下:

(i) 因 a²_1ja²_2k+ a²_1ka²_2j ≥ 2a1ja_2ka_1ka_2j (1 ≤j < k ≤n), 故

(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j)

=

n

X

j=1

a²_1ja²_2j+

^X

1≤j<k≤n

(a²_1ja²_2k+ a²_1ka²_2j)

≥

n

X

j=1

a²_1ja²_2j+ 2

^X

1≤j<k≤n

a_1ja_2ja_1ka_2k

= (

n

X

j=1

a_1ja_2j)²。 (ii) 因

(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) − (

n

X

j=1

a_1ja_2j)²

=

^h

n

X

j=1

a²_1ja²_2j+

^X

1≤j<k≤n

(a²_1ja²_2k+a²_1k+a²_1ka²_2j)

ⁱ

−[

n

X

j=1

a²_1ja²_2j + 2

^X

1≤j<k≤n

a1ja2ja1ka2k]

=

^X

1≤j<k≤n

(a²_1ja²_2k+a²_1ka²_2j−2a^1ja_2ka_1ka_2j)

=

^X

1≤j<k≤n

(a1ja2k− a^1ka2j)² ≥ 0,

故(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) ≥ (

n

X

j=1

a1ja2j)²。 (iii) 因

0≤

^X

1≤j<k≤n

(a1ja2k− a^1ka2j)²

=

^X

1≤j<k≤n

(a²_1ja²_2k+a²_1ka²_2j−2a^1ja_2ka_1ka_2j)

=[

n

X

j=1

a²_1ja²_2j +

^X

1≤j<k≤n

(a²_1ja²_2k+ a²_1ka²_2j)]

48

−[

n

X

j=1

a²_1ja²_2j + 2

^X

1≤j<k≤n

a1ja2ja1ka2k]

=(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) − (

n

X

j=1

a_1ja_2j)²,

故(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) ≥ (

n

X

j=1

a1ja2j)²。

(2) 若 ^⇀v1k^⇀v2, 設 ^⇀v2 = λ^⇀v1, 即 a_2j = λa_1j(1 ≤ j ≤ n), 則

(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) = [

n

X

j=1

a²_1j][

n

X

j=1

(λa1j)²]

= λ²(

n

X

j=1

a²_1j)²,

(

n

X

j=1

a_1ja_2j)²= [

n

X

j=1

a_1j(λa1j)]²

= λ²(

n

X

j=1

a²_1j)²,

故 (

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) = (

n

X

j=1

a1ja2j)²。

另證: 若 ^⇀v₁k^⇀v₂, 設 ^⇀v₂ = λ^⇀v₁, 即 a_2j = λa1j (1 ≤ j ≤ n), 則 a^1ja_2k − a1ka2j = a1j(λa1k) − a^1k(λa1j) = 0, 故由 (1) 知

(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) = (

n

X

j=1

a_1ja_2j)²。 (3) 若

(

n

X

j=1

a²_1j)(

n

X

j=1

a²_2j) = (

n

X

j=1

a_1ja_2j)², 則由 (1) 知 a_1ja_2k = a_1ka_2j(j 6= k)。 若某 a_1j 6= 0 而 a^2j = 0, 則因^⇀v₂非零向量, 故必 有 k 6= j使 a^2k 6= 0。 由是, 得 a^1ja2k 6= 0 而 a_1ka_2j = 0, 此與 a_1ja_2k = a_1ka_2j 矛

盾! 若 a2j 6= 0 而 a^1j = 0, 仿之亦 可導致矛盾。 遂知: ^⇀v₁ 與 ^⇀v₂ 之二個分量 a_1j 與 a_2j, 必同為 0, 或同不為 0。 據此, 若 ^⇀v₁ 與 ^⇀v₂ 皆僅有一個分量不為 0, 顯然

⇀v1k^⇀v2。 又, 若 ^⇀v1 與 ^⇀v2 皆至少有二個不 為 0 之分量, 可設 a_1j 6= 0, a^2j 6= 0, 並 令 a_2j = λa1j (當然 λ 6= 0)。 如是, 則 對其餘非 0 之分量 a1k 與 a2k(k 6= j) 而 言, 因 a1ja2k = a1ka2j = a1k(λa1j), 故必 a_2k = λa1k。 遂知 ^⇀v₂ = λ^⇀v₁, 而得^⇀v₁k^⇀v₂。 證二: 亦分三部分推導之。

(1) 設A =

^P

ⁿ_j=1a²_1j, B=

^P

ⁿ_j=1a1ja2j, C=

^P

ⁿ_j=1 a²_2j, 當然 A > 0 (C > 0)。 考慮 二次函數 Q(x) = Ax²−2Bx+C = A(x−

B

A)²+ ^AC_A^−B2, 其中 x ∈ R (R 為所有實數 所構成之集合)。 因 Q(x) =

^P

ⁿ_j=1(a²_1jx² − 2a1ja_2jx+ a²_2j) =

^P

ⁿ_j=1(a1jx− a^2j)² ≥ 0 ∀x ∈ R, 故 Q(^BA) ≥ 0, 即 ^ACA^−B2 ≥ 0, 遂知 AC ≥ B²。

(2) 若 ^⇀v₁k^⇀v₂, 設 ^⇀v₂ = λ^⇀v₁, 即 a_2j = λa1j (1 ≤ j ≤ n), 則一方面, 由第二 種形式之 Q(x) 知 Q(λ) = 0。 另一方面, 由 a2j = λa1j 知

^P

ⁿ_j=1a1ja2j =

^P

ⁿ_j=1λa²_1j = λ

^P

ⁿ_j=1a²_1j, 即 λ = ^B_A; 以之代入第一種形 式之 Q(x), 即得 Q(λ) = Q(^B_A) = ^AC_A^−B2, 故 B² = AC。

(3) 若 B² = AC(6= 0), 則由第一種形 式之 Q(x) 知 Q(^B_A) = 0; 以 x = ^B_A 代入 第二種形式之 Q(x), 即得 a_2j = ^B_Aa_1j (其 中 ^B_A 6= 0), 故 ^⇀v1k^⇀v2。

備註: (一) 若 ^⇀v₁ 或 ^⇀v₂ 為零向量, 或 n = 1, 則顯然有 (

^P

ⁿ_j=1a²_1j)(

^P

ⁿ_j=1a²_2j) =

(

^P

ⁿ_j=1a1ja2j)², 故本定理將此等平凡情形均 排除在外, 而不論列。

(二) 本定理所述之不等式, 稱為 Cauchy 不等式。 為引用方便計, 特將此不等 式與其兩邊相等之充要條件配套, 而合稱為 Cauchy 不等式定理。

(三) 證一對於下節中廣義 Cauchy 不 等式定理之推導極具啟發性。

下述之問題 1.1 與 2.1, 一淺一深, 均可 應用 Cauchy 不等式定理以解之。

問題1.1: 若 ai > 0 (i = 1, 2, . . . ,1997), 而 r 為異於 0 之實數, 且

P

1997

i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−2r_i = 1997, 試求 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i }。

解答: 據 Cauchy 不等式定理, 知 (

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

1) ≥ (

1997

X

i=1

a^−r_i )²,

(

1997

X

i=1

a^−r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i) ≥ (

1997

X

i=1

1)², 且其中第一 (任一) 不等式兩邊相等之 (必 要) 條件 (均) 為 a1 = a2· · · = a¹⁹⁹⁷ (注意 r6= 0)。 由是, 可知

[(

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

1)][(

1997

X

i=1

a^−r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)]²

≥ (

1997

X

i=1

a^−r_i )²[(

1997

X

i=1

1)²]²,

即 (

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)² ≥ (

1997

X

i=1

1)³,

且此不等式兩邊相等之 (必要) 條件為 a1 = a₂ = · · · = a1997。 又因

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

P

₁₉₉₇

i=1 a^−2r_i = 1997, 遂知甫得不等式兩邊相

等, 故必 a1 = a2 = · · · = a¹⁹⁹⁷ = 1, 而得 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i } = {1997}。 亦可推求如 後: 據 Cauchy 不等式,

知 (

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

1) ≥ (

1997

X

i=1

a^−r_i )²,

且 (

1997

X

i=1

a^−r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i) ≥ (

1997

X

i=1

1)²,

故 [(

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

1)][(

1997

X

i=1

a^−r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)]²

≥ (

1997

X

i=1

a^−r_i )²[(

1997

X

i=1

1)²]²,

即 (

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)² ≥ (

1997

X

i=1

1)³。

因

1997

X

i=1

a^r_i =

1997

X

i=1

a^−2r_i = 1997,

故甫得不等式兩邊相等。 由是, 遂知第一個 (最初二個) 不等式兩邊相等, 故必 a1 = a2 = · · · = a¹⁹⁹⁷ (注意 r 6= 0)。 再據

P

₁₉₉₇

i=1 a^r_i = 1997, 更知 ai = 1(1 ≤ i ≤ 1997), 故得 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i } = {1997}。

備註: (一) 若將本題中之條件

「

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−2r_i = 1997」

改為

「

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−5r_i = 1997」, 則可仿上推導如次: 據 Cauchy 不等式定理, 知

(

1997

X

i=1

a^−5r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i) ≥ (

1997

X

i=1

a^−2r_i )²,

(

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

1) ≥ (

1997

X

i=1

a^−r_i )²,

(

1997

X

i=1

a^−r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i) ≥ (

1997

X

i=1

1)²,

且其中第一 (任一) 不等式兩邊相等之 (必 要) 條件 (均) 為 a₁ = a2 = · · · = a¹⁹⁹⁷ (注意 r 6= 0)。 由是, 可知

[(

1997

X

i=1

a^−5r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)][(

1997

X

i=1

a^−2r_i )(

1997

X

i=1

1)]²

·[(

1997

X

i=1

a^−r_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)]⁴

≥ (

1997

X

i=1

a^−2r_i )²[(

1997

X

i=1

a^−r_i )²]²[(

1997

X

i=1

1)²]⁴, 即 (

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−5r_i )(

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i)⁵ ≥ (

^P

¹⁹⁹⁷i=1 1)⁶, 且此不等式兩邊相等之 (必要) 條件為a1 = a₂ = · · · = a¹⁹⁹⁷。 又因

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

P

₁₉₉₇

i=1 a^−5r_i = 1997, 故甫得不等式兩邊相 等, 遂知 a1 = a2 = · · · = a¹⁹⁹⁷ = 1, 而 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i } = {1997}。 若將本題中之 條件

「

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−2r_i = 1997」

改為

「

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−mr_i = 1997」

(其中 m 為已予之正整數), 則理論上, 不論 m 之值為何, 俱可仿上推導之 [其中, 使用 Cauchy 不等式之原則為: 用

(

1997

X

i=1

a^−lr_i )(

1997

X

i=1

a^r_i) ≥ (

1997

X

i=1

a⁻

(l−1)r 2

i )², 若 l 為正奇數; 用 (

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−lr_i )(

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 1) ≥ (

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a⁻

lr 2

i )², 若 l 為正偶數。], 但實際 上, 恐有諸多情況 ( 如 m = 10²⁰⁰⁰ 或 111111¹¹¹¹¹¹ 時) 不便如是求解。 若將本題 中之條件

「

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−2r_i = 1997」

改為

「

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−mr_i = 1977, 其中 m 為固定之正整數」,

而不特別指明 m 之值, 則更難以此法 作一般推導而得 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i }矣。 免驚! 下 節將引介簡易之解法。[參見問題 1.2之備註]

(二) 對於 1996 年第 8 屆亞太數學奧林 匹亞競賽試題 「設 a, b, c 為一個三角形的三 邊長, 試證明 √

a+ b − c +√

b+ c − a +

√c+ a − b ≤ √ a +√

b +√

c。 並問等號 何時成立?」 不妨模仿本問題之解法而論證如 下: 若 x₁ 與 x₂ 均為正數, 則據 Cauchy 不 等式定理, 知 (x1+ x2)(1 + 1) ≥ (√x1 +

√x₂)², 即 √x1 + √x2 ≤

^q

2(x1+ x2), 且此不等式兩邊相等之充要條件為 x1 = x2。(由[

^q

2(x1 + x2)]² − [√x1 + √x2]² = x₁+ x2− 2√x₁x₂ = [√x1−√x₂]² 亦可推 得此結果。) 由是, 易知: 若 x1, x2 與 x3 均 為正數, 則

√x₁+√x₂+√x₃

=1

2[(√x1+√x2) + (√x2+√x3) +(√x₃+√x₁)]

≤

s

x₁+ x2

2 +

s

x₂+ x3

2 +

s

x₃+ x1

2 , 且此不等式兩邊相等之充要條件為 x1 = x₂ = x3。 置 x₁ = a + b − c, x² = b + c − a, x³ = c + a − b, 即得

√a+ b − c +√

b+ c − a +√

c+ a − b ≤

√a+√ b+√

c, 且知此不等式兩邊相等之 充要條件為 a = b = c。 當然, 亦可推導如 次: 注意函數 f (x) = √x (x > 0) 之圖形 上凸之特性, 當 x₁ 與 x₂ 均為正數時, 比較

1

2[f (x1) + f (x2)] 與 f (^x1+x₂ ²) 之大小 [亦 即比較 ( 線段之) 長短或 (點之) 高低], 易 知 ^√x1+√x2

2 ≤

^q

^x1+x₂ ², 且此不等式兩邊相 等之充要條件為 x1 = x2。 下接上示論證之 中段與後段, 茲不復述。[參見下節問題 1.2 之 解答 (2)]

問題2.1: 若 a1, a2, . . . , a1997 均為定 數, 且 a₁ ≥ a² ≥ · · · ≥ a¹⁹⁹⁷ >0, 試求函 數 f (θ1, θ2, . . . , θ1997) =

^P

¹⁹⁹⁷_{i=1 sin}^a2²ⁱθi 在條 件

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 cos²θi = 1 限制下之最小值, 並求 產生該值之點所需滿足之條件 (即確定 f 於 何處產生最小值)。

解答: 若 1995a1 ≤ a² + · · · + a¹⁹⁹⁷, 則 1995a2 ≤ 1995a¹ ≤ a²+ · · ·+a¹⁹⁹⁷, 故 1994a2 ≤ a³+· · ·+a¹⁹⁹⁷; 仿此, 可依次推得 1993a₃ ≤ a4+ · · · + a1997, 1992a₄ ≤ a5+

· · · + a¹⁹⁹⁷, . . . ,2a1994 ≤ a¹⁹⁹⁵ + a1996 + a₁₉₉₇ 與 a1995 ≤ a¹⁹⁹⁶ + a1997。 據上, 顯然 可知: 若 (1996 − i)aⁱ ≤ ai+1+ · · · + a1997, 而 i 為固定整數, 且 1 ≤ i < 1995, 則 必 (1996 − j)a^j ≤ a^j+1+ · · · + a¹⁹⁹⁷ (其 中 i ≤ j ≤ 1995)。 由其對偶命題, 又知:

若 (1996 − i)aⁱ > ai+1 + · · · + a¹⁹⁹⁷, 而 i 為固定整數, 且 1 < i ≤ 1995, 則必 (1996 − j)a^j > a_j+1 + · · · + a1997 (其 中 1 ≤ j ≤ i)。 因此, 可考慮下列 1996 種可能情形以解題: (1)1995a₁ ≤ a² +

· · · + a1997; (2)1995a₁ > a₂+ · · · + a1997, 1994a2 ≤ a³ + · · · + a¹⁹⁹⁷;(3)1994a2 >

a₃ + · · · + a¹⁹⁹⁷, 1993a3 ≤ a⁴ + · · · + a₁₉₉₇; . . . ; (1995)2a₁₉₉₄ > a₁₉₉₅+ a₁₉₉₆ +

a1997; a1995 ≤ a¹⁹⁹⁶+a1997; (1996)a1995 >

a1996+ a1997。 注意以上 1996 種情形已窮盡 所有可能, 且其中任二種情形均互斥。

以下, 為方便計, 以 (∗) 表條件

P

₁₉₉₇

i=1 cos²θi = 1 (相當於

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 sin²θi = 1996)。

hαi 若 1995a¹ ≤

^P

¹⁹⁹⁷j=2 aj [此即上 列之 (1)], 即 1996a₁ ≤

^P

¹⁹⁹⁷j=1 aj, 則 0 < _a1+a^1996a_2+···+a¹ ₁₉₉₇ ≤ 1, 故 0 <

1996ai

a1+a2+···+a1997 ≤ 1 (1 ≤ i ≤ 1997)。 據 Cauchy 不等式定理, 知

(

1997

X

i=1

a²_i sin²θi

)(

1997

X

i=1

sin²θi) ≥ (

1997

X

i=1

ai)², 且此不等式兩邊相等之充要條件為

a1

sin²θ₁ = a2

sin²θ₂ = · · · = a1997

sin²θ₁₉₉₇, 故在 (∗) 之下, 函數 f 於且僅於

sin²θi= 1996ai

a₁+a₂+· · ·+a1997(1 ≤i≤1997) 之處 (有無窮多個點) 產生最小值 ₁₉₉₆¹ (

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 ai)²。

hβi 若 (1996 − i)aⁱ >

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj, (1995 −i)aⁱ⁺¹≤

^P

¹⁹⁹⁷j=i+2aj, 其中 i 為 1 至 1995 之任一固定整數 [此即上述之 (i + 1)。

注意 i = 1995 時, 前一不等式與 (1996) 相 同, 而後一不等式則自動成立!], 令

bk = 1 1996 − i

1997

X

j=i+1

aj (1 ≤ k ≤ i), 則有

f(θ1, θ₂, . . . , θ₁₉₉₇)

= [

i

X

k=1

b²_k sin²θk

+

1997

X

j=i+1

a²_j sin²θj

]+

i

X

k=1

a²_k−b²k

sin²θk

。

(i) 由 (1996−i)bⁱ =

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj ≥ (1996−

i)a_i+1, 知 b₁ ≥ ai+1, 故 b₁ = · · · = bⁱ ≥ ai+1 ≥ · · · ≥ a¹⁹⁹⁷ > 0; 又由 (1996 − i)b1 =

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj 與 ib1 =

^P

ⁱ_k=1bk, 可得 1996b1 =

^P

ⁱ_k=1bk+

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj。 據 hαi, 知 在 (∗) 之下, 函數

i

X

k=1

b²_k sin²θk

+

1997

X

j=i+1

a²_j sin²θj

於且僅於

sin²θk= 1 (1 ≤ k ≤ i), sin²θj= 1996aj

s (i + 1 ≤ j ≤ 1997, 其中

s=

i

X

k=1

bk+

1997

X

j=i+1

aj = 1996 1996 − i

1997

X

j=i+1

aj)

之處產生最小值 ^s2

1996; 又以 sin²θk = 1, sin²θj = ^1996a_s ^j 直接代入上述函數, 易知此 最小值實即

i

X

k=1

b²_k+ 1 1996 − i(

1997

X

j=i+1

aj)²。 (ii) 由

ak ≥ aⁱ > 1 1996 − i

1997

X

j=i+1

aj = bk >0 可得 a²_k − b²k > 0, 其中 1 ≤ k ≤ i。 顯然, 在 (∗) 之下, 函數

^P

ⁱk=1

a²_k−b²_k

sin²θ_k 於且僅於 sin²θk = 1 (1 ≤ k ≤ i),

1997

X

j=i+1

sin²θj = 1996 − i

之處產生最小值

^P

ⁱ_k=1(a²_k− b²k)。

合 (i) 與 (ii), 遂知在 (∗) 之下, 函數 f 於 sin²θk = 1(1 ≤ k ≤ i), sin²θj =

1996aj

s (i + 1 ≤ j ≤ 1997, 而 s =

1996 1996−i

P

1997

j=i+1aj) 之處 (有無窮多個點) 產 生最小值

i

X

k=1

(a²_k− b²k) +

i

X

k=1

b²_k

+ 1

1996 − i(

1997

X

j=i+1

aj)²

=

i

X

k=1

a²_k+ 1 1996 − i(

1997

X

j=i+1

aj)²。

備註: 以上推導, 因解說綦詳, 故表面 文字冗長。 實際上, 其內容至簡。 茲再綴數 語, 略述解題大要如次: (1^◦) 考慮下列 1995 個不等式: 1995a1 ≤ a² + · · · + a¹⁹⁹⁷, 1994a2 ≤ a³ + · · · + a¹⁹⁹⁷, . . . , a₁₉₉₅ ≤ a₁₉₉₆+ a₁₉₉₇。 本解答首段前半指出: 若上列 某式為真, 則其後諸式 (若有) 亦為真; 若上 列某式為偽, 則其前諸式 (若有) 亦為偽。 而 其後半所列之 (1), 即上列 1995 個不等式俱 為真之情形; 其最後所列之 (1996), 即上列 1995 個不等式俱為偽之情形; 其餘之 (i), 即 上列 1995 個不等式自第 i 個起 (俱) 為真, 且其前諸不等式 (俱) 為偽之情形。(2^◦)對於 情形 (1), 利用 Cauchy 不等式定理, 易知 f 在 (∗) 之下於且僅於

sin²θi= 1996ai

a₁+a2+· · ·+a¹⁹⁹⁷(1 ≤i≤1997) 之處產生最小值 ¹

1996(

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 ai)², 此即 hαi。

對於其他情形 (i + 1), 其中 1 ≤ i ≤ 1995, 可如 hβi 之前段所示引入 b^k(1 ≤ k ≤ i),

而將 f (θ1, θ2, . . . , θ1997) 改寫為

i

X

k=1

b²_k sin²θk

+

1997

X

j=i+1

a²_j sin²θj

與

i

X

k=1

a²_k− b²k

sin²θk

二 部 分 之 和。 其 前 一 個 部 分 和 分 子 中 之 bk(1 ≤ k ≤ i) 與 a^j(i + 1 ≤ j ≤ 1997) 構成正項遞減數列, 且 1996b1等於此數列之 和, 故逕用 hαi 易知其在 (∗) 之下於何處產 生最小值, 並求得此值, 是為 hβi (i)。 而 hβi (ii) 所示關於後一個部分和之推論, 則十分 淺顯。 合 (i) 與 (ii), 即得情形 (i + 1) 之解 矣。 (3^◦) 就 n = 2, 3 與 4, 實際試求函數

f(θ₁, . . . , θn) =

n

X

i=1

a²_i sin²θi

在條件

^P

ⁿ_i=1cos²θi = 1 限制下之最小值, 並求產生該值之點所需滿足之條件 (即確定 f 於何處產生最小值), 可歸納出 n = 1997 時之推導, 如上解答所示。

貳 . 廣 義Cauchy不等式定理

前節之 Cauchy 不等式定理, 可適當類 推之。 茲述並證如下:

廣義Cauchy不等式定理: 設 m, n 均為 整數, 且 m ≥ 2, n ≥ 2。 若 a^ij ≥ 0 (1 ≤ i≤ m, 1 ≤ j ≤ n), 且^⇀vi= (a_i1, . . . , ain) 均非零向量, 則

n

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) ≥ [

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m, 且此不等式兩邊相等之充要條件為

⇀v₁k · · · k^⇀vm。

證明: 設 S = Π^m_i=1(

^P

ⁿ_j=1a^m_ij),T = [

^P

ⁿ_j=1(Π^m_i=1aij)]^m, 並令 m (橫列)×n(縱 行) 矩陣 A = (a^m_ij), 其位於第 i 列第 j 行 之元素為 a^m_ij。 茲分三部分推導如次:

(1) 以下, 為討論方便, 暫視 aij 為 文字 (或變數)。 顯然, S 與 T 均可展開 為 n^m 項之和: 通常將前者書為 S =

P

(a1j1a2j2. . . amjm)^m, 其中各項均為 A 中 每列一元素共 m 個元素之乘積; 後者則可併 項而記為

T =

^X

m!

k1!k2! · · · kⁿ!(a11a₂₁· · · a^m1)^k1 (a₁₂a₂₂· · · am2)^k2· · · (a1na_2n· · · a^mn)^kn, 其中所有 kj 均為非負之整數, 且 k1+ k2+

· · · + kⁿ = m。

對於 S, 可改計縱行: 若 k1, k2,· · · , kⁿ 均為固定且非負之整數, 而 k1+ k2+ · · · + kn = m, 則前述 S 之 n^m 項 (乘積) 中, 由 A 之第 1 行取 k₁ 個元素, 第 2 行取 k₂ 個元素,· · ·, 第 n 行取 kⁿ 個元素相乘而得 者 (註: 由某行取 0 個元素意謂不取該行任 何元素), 共有 _k ^m!

1!k2!···kⁿ! 項, 設此 _k ^m!

1!k2!···kⁿ!

項之和為 S(k1,k2,···,kⁿ)。 若 k1 > 0, 則此 S(k1,k2,···,kⁿ)之展式中, A 之第 1 行取第 1 至 第 k1 列元素者, 必呈 (a11a21· · · a^k11)^m· · · 之形, 共有 ^(m−k_k ^1)!

2!···kⁿ! 項; 同理, 易知: 若 i₁,· · · , i^k1 為 1, · · · , m 中任意 k1 個全異 數, 則上述 _k ^m!

1!k2!···kⁿ! 項 (乘積) 中, A 之第 1 行取第 i1列, · · ·, 及第 i^k1 列元素者, 必呈 (ai11ai21· · · aⁱ_k1¹)^m· · · 之形, 共有 ^(m−kk2!···k^1n)!!

項。 由是, 遂知前述 _k ^m!

1!k2!···kⁿ! 項之連乘積

P(k1,k2,···,kⁿ) 必呈

(a11a21· · · a^m1)^m(k1!k2!···kn!^m! ·^k1m)

· · ·

= (a₁₁a₂₁· · · am1)⁽k1!k2!···kn!^m! )k1

· · · 之形。 對於 k₁, k₂,· · · , kⁿ 中所有正整數 kj

俱仿上討論之 (考慮 A 之第 j 行), 可得 P(k1,k2,...,kn)

= [(a₁₁a₂₁· · · am1)^k1(a₁₂a₂₂· · · am2)^k2

· · · (a¹ⁿa2n· · · a^mn)^kn]k1!k2!···km!^m!

(注意此式於若干 kj = 0 時亦成立)。 以下 , 回歸題設, 視 aij 為非負之實數, 並規定 0⁰ = 1。 據上, 由算術平均數與幾何平均數 不等式定理, 遂知

S_(k1,k₂,...,kn)

≥ m!

k1!k2! · · · kⁿ![P(k1,k₂,...,kn)]k1!k2!···kn!

m!

= m!

k₁!k2! · · · kⁿ!(a11a21· · · a^m1)^k1

·(a¹²a22· · · a^m2)^k2· · ·(a¹ⁿa2n· · · a^mn)^kn, 故

^X

S_(k1,k2,···,kn)

≥

^X

m!

k₁!k2!. . .kn!(a₁₁a₂₁· · ·am1)^k1

· (a¹²a22· · ·a^m2)^k2· · ·(a¹ⁿa2n· · · a^mn)^kn, 即 S ≥ T , 並知 S = T 之充要條件為 S(k1,k2,...,kn) 之展式所有 _k ^m!

1!k2!···kⁿ! 項均等。

[注意: 特別當 S = T 時, 若 S(k1,k₂,···,kn) 之 展式中某項為 0, 則其所有 _k ^m!

1!k2!...kn! 項必均 為 0。]

(2) 若 ^⇀v₁k · · · k^⇀vm, 設 ^⇀vi = λi

⇀v₁(1 ≤ i ≤ m, 當然 λ1 = 1), 即

aij = λia1j(1 ≤ j ≤ n), 則

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) =

m

Y

i=1

[

n

X

j=1

(λia1j)^m]

=

m

Y

i=1

(λ^m_i

n

X

j=1

a^m_1j) = (

m

Y

i=1

λ^m_i )(

n

X

j=1

a^m_1j)^m,

[

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m = [

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

λia_1j)]^m

=[

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

λi)a^m_1j]^m = [(

m

Y

i=1

λi)

n

X

j=1

a^m_1j]^m

=(

m

Y

i=1

λi)^m(

n

X

j=1

a^m_1j)^m, 故S = T 。

(3) 若 S = T , 則由 (1) 之論證知 S(k1,k2,...,kn) 之展式所有 _k ^m!

1!k2!···kⁿ! 項均等。

據此, 可推斷 A 中同行 m 個數, 必均為 0, 或均不為 0: 蓋若不然, 假定第 1 行 包含 0 與非 0 之數, 為說明方便計, 可設 a₁₁ 6= 0, 而 a21 = 0。 如是, 則一方面, 因 ^⇀vi(2 ≤ i ≤ m) 非零向量, 必有 jⁱ 使 aiji 6= 0, 故 (a11Π^m_i=2aiji)^m 6= 0。 另一方 面, 設 (a11Π^m_i=2aiji)^m 為 S_{(k1,k2,...,kn)} 之展 式中之一項 (當然 k₁ ≥ 1), 則在 A 中每列 各取一數 (元素) 之原則下, 可先於第 1 行取 a^m₂₁及另外 k₁−1 個數, 而後依 j = 2, . . . , n 之順序, 於第 j 行取 kj 個數; 若將如是所取 之 m 個數相乘, 即得 S_(k1,k₂,...,kn) 之展式 中呈 (a21· · ·)^m 形之一項, 其值為 0。 遂與

「S_(k1,k₂,...,kn) 之展式所有 ^m!

k1!k2!···kⁿ! 項均等」

相左! 仿此, 若 a_i1 6= 0, 而 a^i′1 = 0, 亦可導 致矛盾! 故 A 中第 1 行 m 個數, 必均為 0, 或均不為 0。 同理, 可知 A 中同行 m 個數, 必均為 0, 或均不為 0。 據此, 若 A 中僅有某 行 m 個數均不為 0, 其他各行所有數均為 0,

顯然 ^⇀v₁k · · · k^⇀vm。 又, 若 A 中至少有二行 之數均不為 0, 可設第 j 行所有 a^m_ij 6= 0, 並 令 aij = λ1a1j(2 ≤ i ≤ m), 當然 λⁱ 6= 0。

於是, 若第 j^′ 行 (j^′ 6= j) 所有 a^mij^′ 6= 0, 可 考慮 S_(k1,k2,...,kn) 當 kj = 1,kj^′ = m − 1 時之展式; 因其所有 _1!(m−1)!^m! = m 項均等, 即

[a1j(

Q

m i^′=1ai^′j^′

a_1j^′ )]^m = [aij(

Q

m i^′=1ai^′j^′

aij^′

)]^m, 其中 2 ≤ i ≤ m, 故 _a^a_1j′^1j = _a^aij

ij′, 即 a_1jaij^′ = aija_1j^′ = λia_1ja_1j^′, 亦即 aij^′ = λia_1j^′。 遂知 ^⇀vi = λi

⇀v₁(2 ≤ i ≤ m), 而得

⇀v₁k · · · k^⇀vm。

備註: (一) 若 ^⇀v₁, . . ., 或 ^⇀vm 為零 向量, 或 m = 1, 或 n = 1, 則顯然有 Π^m_i=1(

^P

ⁿ_j=1a^m_ij) ≥ [

^P

ⁿj=1(Π^m_i=1aij)]^m, 故本 定理將此等平凡情形均排除在外, 而不論列。

(二) 本定理所述之不等式, 稱為廣義 Cauchy 不等式。 為引用方便計, 特將此不等 式與其兩邊相等之充要條件配套, 而合稱為 廣義 Cauchy 不等式定理。

(三) 若 m 為正偶數, n 為整數, n ≥ 2, 而 aij(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) 均為實 數, 且 ^⇀vi = (a_i1, . . . , ain) 均非零向量, 則 利用三角形不等式之推廣及本定理所述之廣 義 Cauchy 不等式, 可得

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) =

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

|a^ij|^m)

≥ [

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

|a^ij|)]^m = [

n

X

j=1

|

m

Y

i=1

aij|]^m

≥ |

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)|^m = [

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m,

故不等式

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) ≥[

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m

亦成立。 又,^⇀v₁k · · · k^⇀vm 顯然為此不等式兩 邊相等之充分條件 [本定理證明 (2) 仍有效];

但當偶數 m ≥ 4 時, 若令 a¹¹= a21= −1, 並令其餘所有 aij = 1, 易知其非必要條件!

[在此情況下, (3) 之論證, 何處失效?]

(四) 若奇數 m ≥ 3, 整數 n ≥ 2, 而 aij ≤ 0(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n), 且^⇀vi = (ai1, . . . , ain) 均非零向量, 令 bij = −a^ij, 則

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) = −

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

b^m_ij),

[

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m= −[

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

bij)]^m, 據本定理, 可得反向之不等式

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) ≤ [

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m, 並知此不等式兩邊相等之充要條件為^⇀v₁k . . .k^⇀vm。 由是, 又知; 不宜將條件 「aij ≥ 0」

或 「aij ≤ 0」 放寬為 「a^ij 均為實數」! 否則

m

Y

i=1

(

n

X

j=1

a^m_ij) 與 [

n

X

j=1

(

m

Y

i=1

aij)]^m 二者, 孰大孰小? 將無確定之答案矣。(例如 令 a11 = a21= −1, 並令其餘所有 a^ij = 1, 則前者小於後者; 若令 a₁₁ = −1, a²¹ = 2, 並令其餘所有 aij = 1, 則前者大於後者。)

(五) 據 (三) 與 (四) 之討論, 可知:

上述之廣義 Cauchy 不等式定理, 係將原 Cauchy 不等式及其兩邊相等之充要條件二 者相提並論, 以作類推, 而得之一般性 (化)

結果。 當然, 亦可將其中 m = 2 之情形, 特 地改用原 Cauchy 不等式定理之形式敘述之 ( 其中 aij 為實數, 不必限定 aij ≥ 0); 如是 所得之定理, 雖名益副實, 但較為瑣碎。 又, 若 不計不等式兩邊相等之必要條件, 則對於 m 為正偶數之情形, 可將其中條件 「aij ≥ 0」 放 寬為 「aij 均為實數」; 但若如是修改, 則若干 問題 (例如本節問題1.2備註所解之問題及問 題 2.2) 即未能藉之求解矣。 是得失兼有, 利 弊並見也。

以下, 提供問題 1.2,2.2,3.1,4.1 及其解 答, 與若干備註, 略示廣義 Cauchy 不等式 定理之應用。

問題1.2: 設整數 n ≥ 2, 而 αⁱ >

0(1 ≤ i ≤ n),

^P

ⁿi=1αi = 1, 且 r 為有 理數, r 6= 0, r 6= 1。 若 aⁱ >0(1 ≤ i ≤ n), 試比較

^P

ⁿ_i=1αia^r_i 與 (

^P

ⁿ_i=1αiai)^r 之大小, 並求

^P

ⁿ_i=1αia^r_i = (

^P

ⁿ_i=1αiai)^r 之充要條 件。

解答: 可分 r > 1, 0 < r < 1 與 r < 0 三種情形推論如次:

(1) 若 r > 1, 可設 r = ^m_p, 其中 m 與 p 為互質正整數 (故 m > p ≥ 1), 並令 bi = a

1 p

i (1 ≤ i ≤ n)。 據廣義 Cauchy 不 等式定理, 知 (

^P

ⁿ_i=1αib^m_i )^p(

^P

ⁿ_i=1αi)^m−p ≥ (

^P

ⁿ_i=1αib^p_i)^m, 且此不等式兩邊相等之充要 條件為 b₁ = · · · = bⁿ。 又因

^P

ⁿ_i=1αi = 1, 故據上知 (

^P

ⁿ_i=1αib^m_i )^p ≥ (

^P

ⁿi=1αib^p_i)^m, 且此不等式兩邊相等之充要條件為 b1 =

· · · = bⁿ; 亦即

^P

ⁿ_i=1αia^r_i ≥ (

^P

ⁿi=1αiai)^r, 且此不等式兩邊相等之充要條件為 a₁ =

· · · = aⁿ。

(2) 若 0< r<1, 可設 r=_m^p, 其中 m 與 p 為互質正整數 (故m > p ≥ 1), 並令 ci = a_i^m1(1 ≤ i ≤ n)。 據廣義 Cauchy 不等 式定理, 知 (

^P

ⁿ_i=1αic^m_i )^p(

^P

ⁿ_i=1αi)^m−p ≥ (

^P

ⁿ_i=1αic^p_i)^m, 且此不等式兩邊相等之充要 條件為 c₁ = · · · = cⁿ。 又因

^P

ⁿ_i=1αi = 1, 故據上知 (

^P

ⁿ_i=1αic^m_i )^p ≥ (

^P

ⁿi=1αic^p_i)^m, 且此不等式兩邊相等之充要條件為 c₁ =

· · · = cⁿ; 亦即 (

^P

ⁿ_i=1αiai)^r ≥

^P

ⁿi=1αia^r_i, 且此不等式兩邊相等之充要條件為 a₁ =

· · · = aⁿ。

(3) 若 r < 0, 可設 r = −^u_v, 其中 u 與 v 為互質正整數。 據廣義 Cauchy 不等式 定理, 知

(

n

X

i=1

αia⁻

u v

i )^v(

n

X

i=1

αiai)^u≥ (

n

X

i=1

αi)^u+v, 且此不等式兩邊相等之充要條件為 a1 =

· · · = aⁿ。 又因

^P

ⁿ_i=1αi = 1, 故據上知 (

n

X

i=1

αia⁻

u v

i )^v ≥ (

n

X

i=1

αiai)^−u, 且此不等式兩邊相等之充要條件為 a₁ =

· · · = aⁿ; 亦即

n

X

i=1

αia^r_i ≥ (

n

X

i=1

αiai)^r,

且此不等式兩邊相等之充要條件為 a1 =

· · · = aⁿ。

備註: 前節問題 1.1 備註 (一) 最後所述 之問題 「若 ai > 0(i = 1, 2, · · · , 1997), 而 r 為異於 0 之實數, 且

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^r_i =

P

₁₉₉₇

i=1 a^−mr_i = 1997, 其中 m 為固定之正

整數, 試求 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i }。」 可解如下: 據廣 義 Cauchy 不等式定理, 知

(

1997

X

i=1

a^−mr_i )(

1997

X

i=1

a^r_i)^m ≥ (

1997

X

i=1

1)^m+1, 且此不等式兩邊相等之 (必要) 條件為 a₁ = a2 = · · · = a¹⁹⁹⁷ (注意 r 6= 0)。 又因

1997

X

i=1

a^r_i =

1997

X

i=1

a^−mr_i = 1997,

遂知上列不等式兩邊相等, 故必 a₁ = a2 =

· · · = a¹⁹⁹⁷ = 1, 而得 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i } = {1997}。 亦可推導如次: 由本問題 1.2 解答 (3) 所得之結果, 知

1 1997

1997

X

i=1

(a^r_i)^−m≥ ( 1 1997

1997

X

i=1

a^r_i)^−m, 且此不等式兩邊相等之(必要) 條件為 a1 = a₂ = · · · = a¹⁹⁹⁷ (注意 r 6= 0)。 又因

P

₁₉₉₇

i=1 a^r_i =

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 a^−mr_i = 1997, 遂知上 列不等式兩邊相等, 故必 a1 = a2 = · · · = a₁₉₉₇ = 1, 而得 {

^P

¹⁹⁹⁷i=1 a¹⁹⁹⁷_i } = {1997}。

事實上, 此題為下節問題 1.4之一特例。

問題2.2: 設 m 與 n 均為固定正整 數, n ≥ 2, 而 A¹, . . . , An 均為固定正 數, Ai ≥ Aⁱ⁺¹(1 ≤ i ≤ n − 1), 且 函數 f (θ1, . . . , θn) =

^P

ⁿ_{i=1 sin}^Am^mi θi 之定義 域為 (0, π)ⁿ = {(θ¹,· · · , θⁿ)|0 < θ¹ <

π, . . . ,0 < θn < π}, 試求 f 在條件

P

n

i=1cos²θi = 1 限制下之最小值, 並求產 生該值之點所需滿足之條件 (即確定 f 於何 處產生最小值)。

解答: 因 0 < θi < π, 故 sin θi > 0 (1 ≤ i ≤ n)。 以下, 對於 θⁱ 均限定於此範 圍內, 以進行討論。

令 ai = A

2m m+2

i (1 ≤ i ≤ n), 則 a₁, . . . , an 均為固定正數,

ai≥ aⁱ⁺¹(1 ≤ i ≤ n − 1), f(θ1, . . . , θn) =

n

X

i=1

a

m+2 2

i

sin^mθi

。

若 n = 1997, 則可逐步模仿問題 2.1 之解法而推導之。 茲略述如次 [詳參該題之解 答]:

據問題 2.1 解答最初之論證, 知可考慮 下列 1996 種可能情形以解題:(1) 1995a₁ ≤ a₂+ · · · + a¹⁹⁹⁷;(2) 1995a1 > a₂ + · · · + a1997, 1994a2 ≤ a³ + · · · + a¹⁹⁹⁷;(3) 1994a2 > a3 + · · · + a¹⁹⁹⁷, 1993a3 ≤ a4 + · · · + a¹⁹⁹⁷; · · · ; (1995)2a¹⁹⁹⁴ >

a₁₉₉₅+ a₁₉₉₆+ a₁₉₉₇, a₁₉₉₅ ≤ a1996+ a₁₉₉₇; (1996)a1995 > a₁₉₉₆+ a1997。

以下, 為方便計, 以 (∗) 表條件

P

1997

i=1 cos²θi = 1 (相當於

^P

¹⁹⁹⁷_i=1 sin²θi = 1996)。

hαi 若 1995a1 ≤

^P

¹⁹⁹⁷j=2 aj[此即上列 之 (1)], 則 0 < _a ^1996ai

1+a2+···+a1997 ≤ 1 (1 ≤ i≤ 1997)。 據廣義 Cauchy 不等式定理, 知

(

1997

X

i=1

a

m+2

i 2

sin^mθi

)²(

1997

X

i=1

sin²θi)^m≥(

1997

X

i=1

ai)^m+2, 且此不等式兩邊相等之充要條件為

a₁ sin²θ1

= a₂

sin²θ2 = · · · = a₁₉₉₇ sin²θ1997

,

故在 (∗) 之下, 函數 f 於且僅於 sin²θi= 1996ai

a₁+ a2+ · · · + a¹⁹⁹⁷ (1 ≤ i ≤ 1997)

之處 (確有滿足此等條件之點) 產生最小值 [ 1

1996]^m2[

1997

X

i=1

ai]^m+22

= [ 1 1996]^m2[

1997

X

i=1

A

2m m+2

i ]^m+22 。

hβi 若 (1996 − i)aⁱ >

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj, (1995 −i)aⁱ⁺¹ ≤

^P

¹⁹⁹⁷j=i+2aj, 其中 i 為 1 至 1995 之任一固定整數 [此即上述之 (i + 1)], 令 bk = _1996−i¹

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj(1 ≤ k ≤ i), 則有

f(θ1,· · · , θ¹⁹⁹⁷)

= [

i

X

k=1

b_k^m+22 sin^mθk

+

1997

X

j=i+1

a

m+2

j 2

sin^mθj

]

+

i

X

k=1

a

m+2 2

k − bk^m+22

sin^mθk

。

(i) 不難驗得 b₁ = · · · = bⁱ ≥ ai+1 ≥

· · · ≥ a¹⁹⁹⁷ > 0, 且 1996b1 =

^P

ⁱ_k=1bk+

P

1997

j=i+1aj。 據 hαi, 知在 (∗) 之下, 函數

i

X

k=1

b

m+2 2

k

sin^mθk

+

1997

X

j=i+1

a

m+2 2

j

sin^mθj

於且僅於

sin²θk= 1(1 ≤ k ≤ i), sin²θj= 1996aj

s (i + 1 ≤j ≤1997, 其中

s=

i

X

k=1

bk+

1997

X

j=i+1

aj = 1996 1996 − i

1997

X

j=i+1

aj)

之處產生最小值 [₁₉₉₆¹ ]^m2s^m+22 ; 又以 sin²θk= 1, sin²θj = 1996aj

s 直接代入上述函數, 易知此最小值實即

i

X

k=1

b

m+2 2

k + [ 1

1996 − i]^m2[

1997

X

j=i+1

aj]^m+22 。 (ii) 易知 1 ≤ k ≤ i 時,a^k > bk > 0, 故 a_k^m+22 − bk^m+22 >0。 顯然, 在 (∗) 之下, 函數

i

X

k=1

a

m+2 2

k − b

m+2 2

k

sin^mθk

於且僅於 sin²θk = 1(1 ≤ k ≤ i),

P

₁₉₉₇

j=i+1sin²θj = 1996 − i 之處產生最小 值

^P

ⁱ_k=1[a

m+2 2

k − b

m+2 2

k ]。

合 (i) 與 (ii), 遂知在 (∗) 之下, 函數 f於且 僅於 sin²θk = 1(1 ≤ k ≤ i), sin²θj =

1996aj

s (i + 1 ≤ j ≤ 1997, 而 s =

1996 1996−i

P

1997

j=i+1aj) 之處 (確有滿足此等條件

之點) 產生最小值

^P

ⁱ_k=1[a_k^m+22 − bk^m+22 ] +

P

i k=1b

m+2 2

k + [_1996−i¹ ]^m2[

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1aj]^m+22 =

P

i

k=1A^m_k + [_1996−i¹ ]^m2[

^P

¹⁹⁹⁷_j=i+1A

2m m+2

j ]^m+22 。 若 n 6= 1997, 可仿上推導之。

茲將結論綜述如下: 設 ai = A

2m m+2

i ,

θi ∈ (0, π), 其中 1 ≤ i ≤ n。

h 甲 i 若 (n − 2)a¹ ≤

^P

ⁿj=2aj, 則 在條件

^P

ⁿ_i=1cos²θi = 1 限制之下, f 於 且僅於 sin²θi = _a^(n−1)a_1+···+aⁱ

n(1 ≤ i ≤ n) 之處 (確有滿足此等條件之點) 產生最小 值[_n−1¹ ]^m2[

^P

ⁿ_i=1A

2m m+2

i ]^m+22 。

h 乙 i 若 (n − i − 1)aⁱ >

^P

ⁿ_j=i+1aj, 且 (n − i − 2)aⁱ⁺¹ ≤

^P

ⁿj=i+2aj, 其 中 i 為 1 至 n − 2 之任一固定正整數, 則在條件

^P

ⁿ_i=1cos²θi = 1 限制之下, f

於且僅於 sin²θk = 1(1 ≤ k ≤ i), sin²θj = ^(n−1)a_s ^j (其中 i + 1 ≤ j ≤ n, 而 s = _nⁿ_−i−1⁻¹

^P

ⁿ_j=i+1aj) 之處 ( 確有滿 足此等條件之點) 產生最小值

^P

ⁱ_k=1A^m_k + [_n−i−1¹ ]^m2 [

^P

ⁿ_j=i+1A

2m m+2

j ]^m+22 。

備註: (一) 當 n = 2 時, 情況 h 甲 i 必 定出現, 情況 h 乙 i 則絕不發生。

(二) 若 m = 2ℓ (ℓ 為正整數), 則推導 過程中所用之廣義 Cauchy 不等式

(

n

X

i=1

A^m_i sin^mθi

)²(

n

X

i=1

sin²θi)^m≥(

n

X

i=1

A

2m m+2

i )^m+2, 亦可以與之相當, 且形式較簡 ( 由 m + 2 式 相乘降為 ℓ + 1 式相乘, 式數減半!) 之不等 式

(

n

X

i=1

A^2ℓ_i sin^2ℓθi

)(

n

X

i=1

sin²θi)^ℓ ≥ (

n

X

i=1

A

2ℓ ℓ+1

i )^ℓ+1 替代之。[參見問題 2.1之解答]

(三) 台南一中八十四學年度第一學期第 一段考高二自然組數學試題 「設 α, β, γ 為向 量 ^⇀a(^⇀a 6= ^⇀0 ) 之方向角, 則 (1) sin²α+ sin²β+ sin²γ = 。 (2) _sin⁹2α+

4

sin²β +_sin¹2γ 最小之值 = 。」 為 本題於 m = 2,n = 3 時之一簡易特例。

(四) 將問題2.1中函數 f 之定義域限定 為 (0,^π₂]¹⁹⁹⁷, 或將問題 2.2 中函數 f 之定義 域限定為 (0,^π₂]ⁿ, 顯然均不改變所欲求之最 小值 (原解答之推導仍然有效)。 但因範圍縮 小, 產生最小值之點, 其個數將減少。

(五) 若 n = 2, 則限制條件 cos²θ₁ + cos²θ2 = 1 與 sin²θ1 + sin²θ2 = 1 相當, 故 sin θ₁ = 1 時 sin θ₂ = 0,

sin θ2 = 1 時 sin θ1 = 0, 因此可將函 數 f (θ₁, θ₂) = _sin^Am^m1θ₁ + _sin^Am^m2θ₂ 之定義 域限定為 (0,^π₂)² , 而不改變所欲求之最小 值。 特別當 m = 1, n = 2時, 若將函數 f(θ1, θ₂) = _{sin θ}^A1₁ + _{sin θ}^A2₂ 之定義域限定為 (0,^π₂)², 則限制條件 cos²θ1 + cos²θ2 = 1 與 θ₁ + θ₂ = ^π₂ 相當, 故七十二學年度大學 入學考試社會組數學試題 「 設 0 < θ < ^π₂, 求 ²

sin θ + _{cos θ}³ 之最小值。」 可視為本題之一 特例 (θ = θ₂ = ^π₂ − θ¹), 遂得解答如下 : 據廣義 Cauchy 不等式定理, 知 (_{sin θ}² +

3

cos θ)²(sin²θ+cos²θ) ≥ (√³ 4+√³

9)³, 且此 不等式兩邊相等之充要條件為 ^√34

sin²θ = _cos^√32⁹θ; 故函數 ²

sin θ + _{cos θ}³ (0 < θ < ^π₂) 於且僅於 sin²θ = √3 ^√34

4+√³

9, cos²θ = √3 ^√39

4+√³ 9(0 <

θ < ^π₂) 之處產生最小值

^q

(√³ 4 +√³

9)³。 (此外, 尚有甚多解法; 茲俱不轉述。)

問題3.1: 設 m 與 n 均為固定之 整數, 且 n ≥ 3。 若固定周長 s 之 n 邊形之邊長為 a₁, a₂, . . . , an, 試論函數 f(a1, a₂, . . . , an) =

^P

ⁿ_i=1s−2a^ami

i 是否有最

大值? 是否有最小值? 若有, 並求之。

解答: 因 a1, a2, . . . , an 為 n 邊形之邊 長, 故 s − 2a1 = (a2+ · · · + aⁿ) − a¹ >0;

同理, s − 2a², . . . , s− 2aⁿ 均為正數。