高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：102.09.30 範

圍 1-2 三角函數 班級 二年____班 姓 座號 名

第第第第第 (第第 10 第 )

1.設 2000°的最小正同界角為α﹐最大負同界角為β﹐則數對(α﹐β ) = ____________﹒

解答 (200°﹐− 160°)

解析 2000° = 360° × 5 + 200° ⇒ 最小正同界角 = 200°

2000° = 360° × (－6) +（ −160°） ⇒ 最大負同界角 = −160°﹒

2.坐標平面上﹐O 為原點﹐P(x﹐3)為角θ 終邊上一點﹐cosθ = −3 5 ﹐ 則： (1) x 之值為____________﹒ (2) sinθ = ____________﹒

解答 (1) −9 4;(2)4

5

解析 (1) r = x²+ ﹐cos9 θ =x r=

2 9

x

x + = −3

5﹐∴ x < 0

⇒ ₂ ² 9 x x + = 9

25 ⇒ 16x² = 81 ⇒ x = ±9

4﹐∵ x < 0﹐∴ x = −9 4﹒ (2) r = 9 ²

( ) 9

−4 + =15

4 ﹐∴ sinθ =y r = 3

15 4

=4 5﹒

3.設 sinθ =1

3﹐90° < θ < 180°﹐則：(1) cosθ = ____________﹒ (2) tan( − 540° + θ ) =____________﹒

解答 (1) −2 2

3 ;(2) 1 2 2

−

解析 (1)如圖﹐設 PO = 3﹐ PQ = 1﹐則 OQ = 3²− = 2 2 ﹐第二象限∴ cos1² θ = −2 2 3 (2) tan (− 540° + θ ) = tan[90°× −( 6)+θ ] = tanθ = 1

−2 2 ﹒

4.求值：cos20° + cos40° + cos60° + … + cos160° + cos180° = ____________﹒

解答 −1

解析 原式 = cos20° + cos40° + cos60° + cos80° + (− cos80° ) + (− cos60° ) + (− cos40° ) + (− cos20° ) + (−1) = − 1﹒

5.已知 tanθ < 0 < sinθ﹐則 θ 為第____________象限角﹒

解答 二

解析 ∵ tanθ < 0﹐∴ θ 在二﹑四象限﹔∵ sinθ > 0﹐∴ θ 在一﹑二象限﹐

∵ tanθ < 0 < sinθ﹐∴ θ 在第二象限﹒

6.求下列各式的值：(1) sin(− 1050°) = ____________﹒ (2) tan6420° = ____________﹒

解答 (1)1

2;(2) − 3

解析 (1) sin(− 1050°) = − sin1050° = − sin(90° × 11 +60° ) = − ( − cos 60°) =1 2﹒ (2) tan6420° = tan(360° × 17 + 300°) = tan300° = − tan60° = − 3 ﹒

7.sin47°cos( − 583°) + sin( − 583°)sin223°= ____________﹒

解答 − 1

解析 原式 = sin47°cos583° − sin583°sin223°

= sin47°( − cos43°) − sin²43° = − cos²43° − sin²43° = −1﹒

8.x∈  ﹐sinx + cosx =5

4﹐則： (1) cosx．sinx = ____________﹒ (2) sinx − cosx = ____________﹒

解答 (1) 9

32;(2) 7

± 4 解析 sinx + cosx =5

4平方

sin²x + 2sinxcosx + cos²x =25

16 ⇒ 1 + 2sinxcosx =25

16 ⇒ sinxcosx = 9 32﹐ 又(sinx − cosx)² = sin²x − 2sinxcosx + cos²x = 1 − 2 × 9

32= 7 16﹐

∵ x∈  ﹐∴ sinx − cosx = 7

± 4 ﹒

9.在坐標平面上﹐始邊為正向 x 軸﹐設 P 點在有向角 510°的終邊上﹐且 P 點距離原點 1 單位﹐求 P 點 坐標為__________﹒

解答 ( − 3 2 ﹐1

2) 解析

∵ 510° = 360° + 150°﹐∴ P 點為第二象限角﹐且距離原點 1 單位﹐

∴ P 點坐標( − cos30°﹐sin30°) = ( − 3 2 ﹐1

2)﹒

10.若 270° < θ < 360°且 6sin²θ − sinθ = 1﹐則 tanθ = ____________﹒

解答 − 2 4

解析 6sin²θ − sinθ − 1 = 0 ⇒ (3sinθ + 1)(2sinθ − 1) = 0⇒sinθ = −1 3或1

2（不合）⇒tanθ = − 2 4 ﹒ 11.設θ為一個第四象限角﹐tanθ = −3

4﹐求1 sin 1 cos θ θ +

− =____________﹒

解答 2

解析 θ在第四象限﹐且 tanθ = −3

4 ⇒ sinθ = 3 5

− ﹐cos θ =4

5﹐1 sin 1 cos θ θ +

− =

1 ( 3) 5 1 4

5 + −

−

= 2 5 1 5

= 2﹒

12.有向角 6789°的同界角θ﹐滿足 0° ≤ θ < 360°﹐則：(1) θ = ____﹒(2) 6789°角的終邊落在第____象限﹒

解答 (1) 309°;(2)四

解析 (1)6789° = 360° × 18 + 309°﹐∴θ = 309°﹒

(2)∵270° < 309° < 360°﹐∴θ = 309°落在第四象限﹒

13.設 90° < θ < 135°﹐則 1 2sin cos+ θ θ − 1 2sin cos− θ θ = ____________﹒

解答 2cosθ

解析 90° < θ < 135°﹐∴ cosθ < sinθ 且 sinθ + cosθ > 0﹐

原式= (sinθ+cos )θ ² − (sinθ−cos )θ ² = sinθ + cosθ − sinθ + cosθ = 2cosθ﹒

14.設 S = {θn | θn = 45° × n﹐n∈_{ ﹐1}

≤

≤

解答 13

解析 令 90° + 360° × t < θn= 45° × n < 180° + 360° × t﹐t∈  ﹐∴ 2 + 8t < n < 4 + 8t﹐t∈  ﹐ 故 n = 8t + 3﹐t∈  ﹐又 1 ≤ n = 8t + 3 ≤ 100 ⇒ − 2 ≤ 8t ≤ 97 ⇒ −1

4 ≤ t ≤ 97

8 ﹐t∈  ﹐

∴ t = 0﹐1﹐2﹐…﹐12﹐共 13 個﹐∴ S 中有 13 個角為第二象限角﹒

15.(log2sin855°)² + log3tan( − 510°)之值為____________﹒

解答 −1 4

解析 (log2sin855°)² + log3tan( − 510°) = (log2sin135°)² + log3tan210° = (log2sin45°)² + log3tan30°

= (log2 1 2

)² + log3 1 3

= (log22

1

−2

)² + log33

1

−2

= ( −1

2)² + ( −1 2) =1

4−1 2= −1

4﹒

16.設 sin³θ + cos³θ = 1﹐則： (1) sinθ + cosθ = ____________﹒ (2) sin⁴θ + cos⁴θ = ____________﹒

解答 (1)1;(2)1

解析 (1)設 sinθ + cosθ = k ⇒ 1 + 2 sinθ cosθ = k² ⇒ sinθ．cosθ = ² 1 2 k −

﹐

由 sin³θ + cos³θ = 1 ⇒ (sinθ + cosθ)(1 − sinθ cosθ) = 1 ⇒ k( 1 − ² 1 2

k − ) = 1

⇒ k (3 − k²) = 2 ⇒ k³ − 3k + 2 = 0 ⇒ (k − 1)²(k + 2) = 0﹐

∵ k

≠

1 + 0 − 3 + 2 1 + 1 + 1 − 2 1 + 1 − 2 + 0

(2)又 sin⁴θ + cos⁴θ = (sin²θ + cos²θ)² − 2 sin²θ cos²θ = 1 − 2．0 = 1﹒

17.設 sin(−80°) = k﹐若以 k 表函數值﹐則： (1) tan(−80°) = ____________﹒ (2) cos280° = ____________﹒

解答 (1) 1 2

k

−k ;(2) 1 k− ² 解析 (1) tan( − 80°) =

1 2

k

−k ﹒(2) cos280° = cos(360° − 80°)= cos( 80°) = cos( − 80°) = 1 k− ² ﹒

18.求下列各值：

(1) sin120°cos150° − cos225°sin315° = ____________﹒

(2) sin1080° + cos180° + tan180° + tan360° + cos720° + sin270°= ____________﹒

解答 (1) −5

4;(2) −1 解析 (1)原式 = 3

2 × ( − 3

2 ) − ( − 2

2 ) × (− 2 2 ) = −5

4﹒ (2)原式 = 0 + ( − 1) + 0 + 0 + 1 + ( − 1 ) = −1﹒

19.設 P(− 4k﹐3k)﹐k ≠ 0 為角θ終邊上之點﹐則：(1) tanθ = ________﹒ (2)5 sin 4 cos 2 sin cos

θ θ

θ θ

+

− = _________﹒

解答 (1) −3

4;(2) − 1 10

解析 (1) 3 3

tan 4 4

k θ = k = −

− ﹒ (2) 原式^同除cosθ

5 ( 3) 4

5 tan 4 4 1

2 tan 1 2 ( 3) 1 10 4

θ θ

⋅ − +

+ = = −

− ⋅ − −

﹒

20.化簡求值：(1) sin( ) sin(180 )

θ θ

−

° + −tan(360 ) tan(180 ) θ θ

° −

° + +sin(180 ) sin(360 ) θ θ

° −

° − = __﹒(2) cos²(55° + θ ) + cos²(35° − θ ) = __﹒

解答 (1) 1;(2) 1 解析 (1) 原式 = sin

sin θ θ

−

− − tan

tan θ θ

− + sin sin

θ θ

− =1 + 1 − 1 = 1﹒(2) 原式 = sin²(35° − θ ) + cos²(35° − θ )

= 1﹒

21.設 0° ≤ θ ≤ 180°﹐則 y =5 cos 7 5 cos 7

θ θ

+

− 之範圍為____________﹒

解答 { y | − 6 ≤ y ≤ −1 6} 解析 y =5 cos 7

5 cos 7 θ θ

+

− ⇒ 5 cosy θ−7y=5 cosθ+7 ⇒ (5y−5) cosθ =7y+ 7

7 7

cos 0 180 cos 1

5 5 y

θ y⁺ θ θ

⇒ = ° ≤ ≤ ° ≤

− ,∵ , ∴

7 7 ^{2 2}

1 7 7 5 5 49 98 49 25 50 25

5 5

|

|

y

⇒ + ≤ ⇒ + ≤ − ⇒ + + ≤ − +

−

⇒ 6y²+37y+ ≤6 0 ⇒ (6y+1)(y+6)≤ ﹐∴ 0 1

6 y 6

− ≤ ≤ − ﹒

22.角θ 位於標準位置﹐若 P(x﹐y)為角θ 終邊上一點﹐tanθ = −3﹐則2₂² 5 ₂² 2 x xy y x xy y

− −

+ + =____________﹒

解答 1 2

解析 ∵ tanθ = y

x = −3 ﹐∴ y = −3x⇒ 求值式=2₂² 5 ( 3 ) ( 3 )₂² 8 ²₂ 1 ( 3 ) 2( 3 ) 16 2

x x x x x

x x x x x

− ⋅ − − − = =

+ ⋅ − + − ﹒

24.設θ 位於標準位置﹐其終邊在直線 2x − 3y = 0 上﹐且 sinθ × tanθ < 0﹐則 sinθ − cosθ =____________﹒

解答 13 13

解析 設 P(x﹐y)∈ L：2x − 3y = 0﹐∴ tanθ = 2 3 y

x = ﹐又 sinθ × tanθ < 0﹐∴ θ 為第三象限角

⇒ 2

sinθ= ⁻13 ﹐ 3

cosθ = ⁻13⇒ 1 13

sin cos

13 13

θ− θ= = ﹒

25.已知1 tan

3 2 2 1 tan

θ θ

+ = +

− ﹐則 sinθ =____________﹒

解答 3

± 3

解析 原式⇒ 1 + tanθ = (3 2 2) (3 2 2) tan+ − + θ ⇒ (4 2 2) tan+ θ= +2 2 2

⇒ 2 2 2 2

tan 0

4 2 2 2

θ= ⁺ = >

+ ﹐ ∴ θ 為第一或三象限角 ⇒ 2 3

sinθ= ± 6 = ± 3 ﹒

26.若θ 為第二象限角﹐則 3

θ 不可能在第____________象限﹒

解答 三

解析 ∵ θ 為第二象限角﹐∴ 90° + n × 360° < θ < 180° + n × 360°﹐n ∈ 

⇒ 30° + n × 120° <

3

θ <60° + n × 120°﹐n ∈  ﹐

 n = 3k 時 ⇒ 30° + k × 360° <

3

θ <60° + k × 360°﹐k ∈  ﹐ ∴ 3

θ 為第一象限角；

 n = 3k + 1 時 ⇒ 150° + k × 360° <

3

θ <180° + k × 360°﹐k ∈  ﹐ ∴ 3

θ 為第二象限角；

 n = 3k + 2 時 ⇒ 270° + k × 360° <

3

θ <300° + k × 360°﹐k ∈  ﹐ ∴ 3

θ 為第四象限角﹐

由知：

3

θ 不可能在第三象限角﹒

27.如圖為一單位圓﹐ AT ﹐ BS 為切線﹐ PQ⊥ x 軸﹐ PR ⊥ y 軸﹐∠AOP 之度量為θ﹐若 3 AT = ﹐則4 四邊形 OQPR 之周長=____________﹒

解答 14 5

解析 在△OAT 中﹐

3 4 3

tan 1 4

AT

θ=OA= = ﹐∴ 3

sinθ= ﹐5 4 cosθ= ﹐ 5

在△OQP 中﹐ 3 3

sin 1 5 5

PQ=OP× θ= × = ﹐ 4 4

cos 1 5 5 OQ=OP× θ= × = ﹐

∴ 四邊形 OQPR 之周長= 3 4 14 2( )

5+5 = 5 ﹒

28.設兩坐標 A(3cosθ, 2)﹐B(cosθ, sinθ)﹐則線段 AB 長度之最大值為____________﹒

解答 2 21 3

解析 AB = (3cos² θ − cosθ)² + (2 − sinθ)² = 4cos²θ + 4 − 4sinθ + sin²θ

= 4(1 − sin²θ) + 4 − 4sinθ + sin²θ = −3sin²θ − 4sinθ + 8 = −3(sinθ +2 3)² +28

3 ﹐ 取 sinθ = −2

3⇒ AB 的最大值= 28 3 =2 7

3 =2 21 3 ﹒