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附錄一：方田章之三書比較
九章算術 九章算術細草圖說 九數存古
〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？
荅曰：一畝。
〔二〕又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？
荅曰：一百六十八步。
方田術曰：廣從步數相乘得積步。（此謂田冪。凡 廣從相乘謂之冪。 臣淳風等謹按：經云廣從相乘 得積步，注云廣從相乘謂之冪，觀斯注意，積冪義 同。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之 名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖 欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；
其言積者舉眾步之都數。經云相乘得積步，即是都 數之明文。注云謂之為冪，全乖積步之本意。今者 注釋存善去非，略為料簡，遺諸後學。）
以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。（ 臣 淳風等謹按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。餘術 不復言者，從此可知。按：一畝田，廣十五步，從 而疏之，令為十五行，即每行廣一步而從十六步。
又橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五 步。此即從疏橫截之步，各自為方。凡有二百四十 步，為一畝之地，步數正同。以此言之，即廣從相 乘得積步，驗矣。二百四十步者，畝法也；百畝者，
頃法也。故以除之，即得。）
〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？
荅曰：一畝。
〔二〕又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？
荅曰：一百六十八步。（圖從十四廣十二）
潢按 注所云則舊有圖而今亡矣補之 如后。
如圖廣十二步從十四步相乘得一百六十八步。
方田術曰：廣從步數相乘得積步。（此積謂田幂。凡 廣從相乘謂之幂。 臣淳風等謹按：經云廣從相乘 得積步，注云廣從相乘謂之幂，觀斯注意，積幂義 同。以理推之，固當不爾。何則？幂是方面單布之 名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖 欲同之，竊恐不可。今以凡言幂者據廣從之一方；
其言積者舉眾步之都數。經云相乘得積步，即是都 數之明文。注云謂之為幂，全乖積步之本意。此注 前云積謂田幂於理得通復云謂之為幂繁而不當，今 者注釋存善去非，畧為科簡，遺諸後學。）
以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。（ 臣 淳風等謹按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。餘術 不復言者，從此可知。一畝之田，廣十五步，從而 疏之，令為十五行，即每行廣一步而從十六步。又 橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五步。
此即從疏橫截之步，各自為方。凡有二百四十步，
為一畝之地，步數正同。以此言之，即廣從相乘得 積步，驗矣。二百四十步者，畝法也；百畝者，頃 法也。故以除之，即得。）
草曰：置廣十五步於上位又置從十六步於下位上位
〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？
答曰：一畝（九章算術下同）
方田術曰：廣從步數相乘得積步。
以畝法二百四十步除之，卽畝數。百畝為壹頃。（李 淳風云此為篇端，故特舉頃、畝二法。餘術不復言 者，從此可知。）
有十步至十以上一呼下一一一如一卽下一百於中位 以上一呼下六一六如六卽於中位下六十退下位一等 收上位一十以上位五呼下位一一五如五卽位於中位 下五十以上五呼下六五六三十卽於中位下三十上下 位俱收中位得二百四十為積步 乃以中位二百四十 步為實以畝法二百四十步為法置下位以下除中得一 置上位上下相呼除中位適盡收下位定上位所得為一 畝，合問。
草曰：置廣十二步於上位又置從十四於下位上位有 十步至十以上一呼下一一一如一卽下一百於中位以 上一呼下四一四如四卽於中位下四十退下位一等收 上位一十以上位二呼下位一一二如二卽於中位下二 十以上二呼下四二四如八卽於中位下八上下位俱收 中位得一百六十八為積步合問。
說曰：古算用籌漢書云其算法用竹徑一分長六寸二 百七十一枚而成六觚為一握孫子算經云凡算之法先 識其位一從十橫百立千僵千十相望萬百相當又云六 不積五不隻謂算籌也其乘式則置實於上位置法於下 位置乘得數於中位其除式則置於中位置法於下位置 除數得數於上位孫子算經所謂乘得在中央除得在上 方是也此為篇端故詳書以存古式後不復言者從此可 知。
〔三〕今有田廣一里，從一里。問為田幾何？
荅曰：三頃七十五畝。
〔四〕又有田廣二里，從三里。問為田幾何？
荅曰：二十二頃五十畝。
里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘 之，即畝數。
（按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三 頃七十五畝 故以乘之 即得畝數也 ）
〔三〕今有田廣一里，從一里。問為田幾何？
荅曰：三頃七十五畝。
〔四〕又有田廣二里，從三里。問為田幾何？
荅曰：二十二頃五十畝。
里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘 之，即畝數。
（按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三 頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。）
〔二〕今有田廣二里，從三里。問為田幾何？
答曰：二十二頃五十畝。
里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘 之，卽畝數。
（劉徽云：方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，
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頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。） 草曰：置廣一里於位展為三百步亦展從一里為三百 步以乘之得九萬步為實以畝法二百四十步為法除之 得三百七十五畝收為三頃七十五畝合問。
草曰置廣二里於位以從三里乘之得六里又以三百七 十五乘之得二千二百五十畝收為二十二頃五十畝合 問。
說曰：古者三百步為里以三百步自乘得九萬步如畝 法而一得三百七十五畝故注云故方里之中有三頃七 十五畝也術從簡易以廣從里數相乘得積里以三百七 十五乘之卽畝數可省一通分又省一除也。
卽得畝數也。）
算法用竹徑一分長六寸二百七十一枚而成六觚為一 握。（蘇林云六觚六角也其表六九五十四算中積凡二 百七十一枚 O 此卽商功章之圓束形 漢書律厯志）
算用竹廣二分長三寸正策三廉積二百一十六枚成六 觚乾之乘策也（O 三廉成茭草形每面六枚積三十六 枚合六茭草形而成六觚積二百十六枚與圓束同惟無 中心之一耳）負策四廉積一百四十四枚成方坤之策 也（O 四廉成方策形每面十二枚積百四十四枚）觚 方皆經十二（O 句有誤此謂觚與方徑皆十二也然圓 徑當并中心之一則是十三非十二）天地之大數也。
（隋書律厯志）
夫乘除之法先明九九一從十橫百立千僵千十相望萬 百相當滿六已上五在上方六不積算五不單張上下相 乘實居中央言十自過不滿自當以法除之宜得上商從 算相似橫算相當以次右行極於左方。（O 左疑右 夏 侯陽算經下同）
時務云十乘加一等百乘加二等千乘加三等萬乘加四 等（O 言千再加一等）十除退一等百除退二等千除 退三等萬除退四等。（O 不滿法者再退一等）
夫學算者不患乘除之為難而患通分之為難是以序列 諸分之本原宣明約通之要法上實有餘為分子下法從
而為分母可約者約以命之不可約者因以名之。（張邱 建算經序）
〔五〕今有十八分之十二。問約之得幾何？
荅曰：三分之二。
〔六〕又有九十一分之四十九。問約之得幾何？
荅曰：十三分之七。
約分（按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分 言之。分之為數，繁則難用。設有四分之二者，繁 而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一 也。雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，
動有參差，故為術者先治諸分。）
術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，
以少减多，更相减損，求其等也。以等數約之。（等 數約之，即除也。其所以相减者，皆等數之重疊，
故以等數約之。）
〔五〕今有十八分之十二。問約之得幾何？
荅曰：三分之二。
〔六〕又有九十一分之四十九。問約之得幾何？
荅曰：十三分之七。
約分（按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分 言之。分之為數，繁則難用。設有四分之二者，繁 而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一 也。雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，
動有參差，故為術者先治諸分。）
術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，
以少减多，更相减損，求其等也。以等數約之。（等 數約之，即除也。其所以相减者，皆等數之重疊，
故以等數約之。）
草曰：置分母九十一於下位置分子四十九於上位副 之以上減下下位餘四十二以四十二減副上四十九上 位餘七以七減下餘四十二下位亦餘七是七為等數也 以等數七約九十一得十三以等數七約四十九得七是 為十三分之七合問
說曰注云按約分者物之數量不可悉全者全卽分母乘 全之全謂如法而一得全數也不可悉全者謂實不滿法 以法命之是有分也云先治諸分者統約分合分減分課 分平分經分乘分而言張邱建亦云學算者不患乘除之 為難而患通分之為難也。
草曰：置分母十八於下位置分子十二於上位副之以 上減下下位餘六以餘六減副上上位亦餘六是六為等 數也以等數六約十八得三以等數六約十二得二是為 三分之二，合問。
〔三〕今有十八分之十二。問約之得幾何？
答曰：三分之二。（九章算術下同）
約分
術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，
以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
草曰：置分母十八於下位置分子十二於上位副之以 上減下下位餘六以餘六減副上上位亦餘六是六為等 數也以等數六約十八得三以等數六約十二得二是為 三分之二，合問。（李雲門補草下同）
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〔七〕今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？
荅曰：十五分之十一。
〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。問合 之得幾何？
荅曰：得一、六十三分之五十。
〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分 之四。問合之得幾何？
荅曰：得二、六十分之四十三。
合分（ 臣淳風等謹按：合分知，數非一端，分無 定準，諸分子雜互，羣母參差，麄細旣殊，理難從 一。故齊其眾分，同其羣母，令可相并，故曰合分。）
術曰：母互乘子，并以為實。母相乘為法。（母互乘 子；約而言之者，其分麄；繁而言之者，其分細。
雖則麄細有殊，然其實一也。眾分錯雜，非細不會。
乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子 謂之齊，羣母相乘謂之同。同者，相與通同共一母 也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，
物以羣分，數同類者無遠；數異類者無近。遠而通 體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相 違也。然則齊同之術要矣：錯綜度數，動之斯諧，
其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚 之，齊同以通之，此其算之綱紀乎。其一術者，可 令母除為率，率乘子為齊。）
實如法而一。不滿法者，以法命之。（今欲求其實，
故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約 之，即得知，所謂同法為母，實餘為子，皆從此例。）
其母同者，直相從之。
〔七〕今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？
荅曰：十五分之十一。
〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。問合 之得幾何？
荅曰：得一、六十三分之五十。
〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分 之四。問合之得幾何？
荅曰：得二、六十分之四十三。
合分（ 臣淳風等謹按：合分者，數非一端，分無 定準，諸分子雜互，羣母參差，麄細旣殊，理難從 一。故齊其眾分，同其羣母，令可相并，故曰合分。）
術曰：母互乘子，并以為實。母相乘為法。（母互乘 子；約而言之者，其分麄；繁而言之者，其分細。
雖則麄細有殊，然其實一也。眾分錯雜，非細不會。
乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子 謂之齊，羣母相乘謂之同。同者，相與通同共一母 也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，
物以羣分，數同類者無遠；數異類者無近。遠而通 體者，雖異位而相從也；近而殊形者，雖同列而相 違也。然則齊同之術要矣：錯綜度數，動之則諧，
其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚 之，齊同以通之，此其算之綱紀乎。其一術者，可 令母除為率，率乘子為齊。）
實如法而一。不滿法者，以法命之。（今欲求其實，
故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約 之，即得，所謂同法為母，實餘為子，皆從此例。）
其母同者，直相從之。
草曰：置三分五分在右方之一之二在左方以右方分 母五乘左方分子一三分之一得五以右方分母三乘左
〔四〕今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？
答曰：十五分之十一。
合分
術曰：母互乘子，并以為實。母相乘為法。
實如法而一。不滿法者，以法命之。
方分子二五分之二得六并之得十一為實右方分母三 五相乘得十五為法實不滿法以法命之為十五分之十 一，合問。
草曰：置三分七分九分在右方之二之四之五在左方 以右方分母七乘左方分子二又以右方分母九乘之三 分之二得一百二十六以右方分母三乘左方分子四又 以右方分母九乘之七分之四得一百八以右方分母三 乘左方分子五又以右方分母七乘之九分之五得一百 五并之得三百三十九為實右方分母三七相乘又以分 母九乘之得一百八十九為法實如法得一又一百八十 九分之一百五十子母各以等數三約之為六十三分之 五十，合問。
草曰：置二分三分四分五分在右方之一之二之三之 四在左方母互乘子二分之一得六十三分之二得八十 四分之三得九十五分之四得九十六并之得三百二十 六為實右方四分母相乘得一百二十為法實如法得二 又一百二十分之八十六子母各半之為六十分之四十 三，合問。
說曰：注云數同類者無遠數異類者無近同類異類指 分母言也云遠而通體者雖異位而相從也近而殊形者 雖同列而相違也異位同列指分子言也謂分母同者分 子雖異位而相從分母異者分子雖同列而相違也云其 一術者可令母除為率率乘子為齊除者除同也羣母相 乘謂之同以各分母除同為率率乘各分子為齊不言同 者省文也。
其母同者，直相從之。
草曰：置三分五分在右方之一之二在左方以右方分 母五乘左方分子一得五以右方分母三乘左方分子二 得六并之得十一為實右方分母三五相乘得十五為法 實不滿法以法命之為十五分之十一，合問。
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〔一○〕今有九分之八，减其五分之一。問餘幾何？
荅曰：四十五分之三十一。
〔一一〕又有四分之三，减其三分之一。問餘幾何？
答曰：十二分之五。
减分（ 臣淳風等謹按：諸分子、母數各不同，以 少減多，欲知餘幾，减餘為實，故曰减分）
術曰：母互乘子，以少减多，餘為實。母相乘為法，
實如法而一。（母互乘子知，以齊其子也，以少减 多知，齊故可相减也。母相乘為法者，同其母。母 同子齊，故如母而一即得。）
〔一○〕今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？
荅曰：四十五分之三十一。
〔一一〕又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？
答曰：十二分之五。
減分（ 臣淳風等謹按：諸分子、母數各不同，以 少減多，欲知餘幾，减餘為實，故曰減分）
術曰：母互乘子，以少减多，餘為實。母相乘為法，
實如法而一。（母互乘子者知，以齊其子也，以少減 多者，齊故可相減也。母相乘為法者，同其母也。
母同子齊，故如母而一即得。）
草曰：置九分五分在右方之八之一在左方母互乘子 九分之八得四十五分之一得九以少減多餘三十一為 實母相乘得四十五為法實不滿法以法命之為四十五 分之三十一，合問。
草曰：置四分三分在右方之三之一在左方母互乘子 四分之三得九十分之一得四以少減多餘五為實母相 乘得十二為法實不滿法以法命之為十二分之五，合 問。
〔五〕今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？
答曰：四十五分之三十一。
減分
術曰：母互乘子，以少減多。餘為實。母相乘為法，
實如法而一。
草曰：置九分五分在右方之八之一在左方母互乘子 九分之八得四十五分之一得九以少減多餘三十一為 實母相乘得四十五為法實不滿法以法命之為四十五 分之三十一，合問。
〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？
多幾何？
荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？
多幾何？
荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
〔一三〕又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾 何？
答曰：九分之八多，多六十三分之二。
〔一三〕又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾 何？
答曰：九分之八多，多六十三分之二。
〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。問孰 多？多幾何？
荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。問孰 多？多幾何？
荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
課分（ 臣淳風等謹按：分各異名，理不齊一，校 其相多之數，故曰課分也。）
術曰：母互乘子，以少减多，餘為實。母相乘為法。
實如法而一，即相多也。（ 臣淳風等謹按：此術母 互乘子，以少分减多分。按：此術多與减分義同。
唯相多之數，意共减分有異：减分知，求其餘數有 幾；課分知，以其餘數相多也。）
課分（ 臣淳風等謹按：分各異名，理不齊一，校 其相多之數，故曰課分也。）
術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。
實如法而一，即相多也。（ 臣淳風等謹按：此術母 互乘子，以少分減多分。多與減分義同。唯相多之 數，意共减分有異：減分知，求其餘數有幾；課分 知，以其餘數相多也。）
草曰：置八分二十五分在右方之五之十六在左方母 互乘子八分之五得一百二十五二十五分之十六得一 百二十八以少減多餘三為實母相乘得二百為法以法 命實為二百分之三卽相多也，合問。
草曰：置九分七分在右方之八之六在左方母互乘子 九分之八得五十六七分之六得五十四以少減多餘二 為實母相乘得六十三為法以法命實為六十三分之二 卽相多也，合問。
草曰：置二十一分五十分在右方之八之十七在左方 母互乘子二十一分之八得四百五十分之十七得三百 五十七以少減多餘四十三為實母相乘得一千五十為 法以法命實為一千五十分之四十三卽相多也，合問。
〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問 减多益少，各幾何而平？
荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益 三分之一，而各平於十二分之七。
〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。問 减多益少，各幾何而平？
荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并，以益 二分之一，而各平於三十六分之二十三。
平分（ 臣淳風等謹按：平分知，諸分參差，欲令 齊等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。）
〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問 減多益少，各幾何而平？
荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并，以益 三分之一，而各平於十二分之七。
〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。問 減多益少，各幾何而平？
荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并，以益 二分之一，而各平於三十六分之二十三。
平分（ 臣淳風等謹按：平分者，諸分參差，欲令 齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也。）
〔六〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問減 多益少，各幾何而平？答曰：減四分之三者二，三 分之二者一，并，以益三分之一，而各平於十二分 之七。
平分
87 術曰：母互乘子，（齊其子也。）副并為平實。（ 臣
淳風等謹按：母互乘子，副并為平實知，定此平實 主限，眾子所當損益知，限為平。）
母相乘為法。（母相乘為法知，亦齊其子，又同其母。）
以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法。（此當 副置列數除平實，若然則重有分，故反以列數乘同 齊。 臣淳風等謹又按：問云所平之分多少不定，
或三或二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，
置位二重。凡此之例，一準平分不可預定多少，故 直云列數而已。）
以平實减列實，餘，約之為所减。并所减以益於少。
以法命平實，各得其平。
術曰：母互乘子，（齊其子也。）副并為平實。（ 臣 淳風等謹按：母互乘子，副并為平實者，定此平實 立限，眾子所當損益如，限為平。）
母相乘為法。（母相乘為法者，亦齊其子，又同其母。）
以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法。（此當 副并列數為平實，若然則重有分，故反以列數乘同 齊。 臣淳風等謹按：問云所平之分多少不定，或 三或二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，
置位二重。凡此之例，一準平分不可預定多少，故 直云列數而已。）
以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少。
以法命平實，各得其平。
潢按注此當副并列數為平實當作此當副置列數除平 實。
草曰：置三分三分四分在右方之一之二之三在左方 母互乘子三分之一得十二三分之二得二十四四分之 三得二十七副并得六十三為平實母相乘得三十六為 法以列數三乘未并者三分之一得三十六三分之二得 七十二四分之三得八十一亦以列數三乘法得一百八 以平實六十三減列實七十二餘九減列實八十一餘十 八以等數九約所餘得一與二為所減亦以等數九約列 實三十六得四并所減一與二以加之得七又以等數九 約法一百八為十二以命之，是為減四分之三者二減 三分之二者一并以益三分之一而各平於十二分之 七，合問。
草曰：置二分三分四分在右方之一之二之三在左方 母互乘子二分之一得十二三分之二得十六四分之三 得十八副并得四十六為平實母相乘得二十四為法以 列數三乘未并者二分之一得三十六三分之二得四十 八四分之三得五十四亦以列數三乘法得七十二以平 實四十六減列實四十八餘二減列實五十四餘八以等
術曰：母互乘子，副并為平實。
母相乘為法。
以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法。（劉徽 云此當副幷列數為平實，若然則重有分，故反以列 數乘同齊。）
以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少。
以法命平實，各得其平。
草曰：置三分三分四分在右方之一之二之三在左方 母互乘子三分之一得十二三分之二得二十四四分之 三得二十七副并得六十三為平實母相乘得三十六為 法以列數三乘未并者三分之一得三十六三分之二得 七十二四分之三得八十一亦以列數三乘法得一百八 以平實六十三減列實七十二餘九減列實八十一餘十 八以等數九約所餘得一餘二為所減亦以等數九約列 實三十六得四并所減一與二以加之得七又以等數九 約法一百八為十二以命之，合問。
數二約所餘得一與四為所減亦以等數二約列實三十 六得十八并所減一與四加之得二十三又以等數二約 法七十二為三十六以命之是為減三分之二者一四分 之三者四并以益二分之一而各平於三十六分之二十 三，合問。
〔一七〕今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾 何？
荅曰：人得一錢二十一分錢之四。
〔一八〕又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、
四分錢之三。問人得幾何？
荅曰：人得二錢八分錢之一。
經分（ 臣淳風等謹按：經分者，自合分已下，皆 與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數分所分，
故曰經分也。）
術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分 者通之；（母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母；
以母通之者，分母乘全內子。乘，散全則為積分，
積分則與分子相通之，故可令相從。凡數相與者謂 之率。率知，自相與通。有分則可散，分重疊則約 也。等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母 相乘法實也。）
重有分者同而通之。（又以法分母乘實，實分母乘 法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子，
又令分母互乘上下。）
〔一七〕今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾 何？
荅曰：人得一錢二十一分錢之四。
〔一八〕又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、
四分錢之三。問人得幾何？
荅曰：人得二錢八分錢之一。
經分（ 臣淳風等謹按：經分者，自合分已下，皆 與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數分所分，
故曰經分也。）
術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分 者通之；（母互乘子者，齊其子；母相乘者，同其母；
以母通之者，分母乘全內子。乘，散全則為積分，
積分則與分子相通，故可令相從。凡數相與者謂之 率。率者，自相與通。有分則可散，分重疊則約也。
等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母相乘 法實也。）
重有分者同而通之。（又以法分母乘實，實分母乘 法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子，
又令分母互乘上下。）
潢按注故令分母各乘全分內子全分之分字疑衍。
草曰：置六錢三分錢之一四分錢之三於上位母互乘 子三分之一得四四分之三得九并之得十三為分子母 相乘得十二為分母通分內子得八十五又以法分母三 乘之得二百五十五為實置三人三分人之一於下位通
〔七〕今有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、
四分錢之三。問人得幾何？
答曰：人得二錢八分錢之一。
經分
術曰：以人數為法，鈛數為實，實如法而一。有分 者通之；
重有分者同而通之。（劉徽云又以法分母乘實，實分 母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內 子，又令分母互乘上下。）
草曰：置六錢三分錢之一四分錢之三於上位母互乘 子三分之一得四四分之三得九并之得十三為分子母 相乘得十二為分母通分內子得八十五又以法分母三 乘之得二百五十五為實置三人三分人之一於下位通
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分內子得一十又以實分母十二乘之得一百二十為法 實如法得二錢一百二十分錢之十五以等數十五約分 母子為八分錢之一，合問。
乘之得二百五十五為實置三人三分人之一於下位通 分內子得十又以實分母十二乘之得一百二十為法實 如法得二錢一百二十分錢之十五以等數十五約分母 為八分錢之一，合問。
〔一九〕今有田廣七分步之四，從五分步之三。問 為田幾何？
荅曰：三十五分步之十二。
〔二○〕又有田廣九分步之七，從十一分步之九。
問為田幾何？
荅曰：十一分步之七。
〔二一〕又有田廣五分步之四，從九分步之五，問 為田幾何？
荅曰：九分步之四。
乘分（ 臣淳風等謹按：乘分者，分母相乘為法，
子相乘為實，故曰乘分。）
術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。（凡 實不滿法者而有母、子之名。若有分，以乘其實而 長之，則亦滿法，乃為全耳。又以子有所乘，故母 當報除。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各 當報除，因令分母相乘而連除也。此田有廣從，難 以廣諭。設有問者曰：馬二十匹，直金十二斤。今 賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？荅曰：三 十五分斤之十二。其為之也，當如經分術，以十二 斤金為實，三十五人為法。設更言馬五匹，直金三 斤。今賣四匹，七人分之，人得幾何？荅曰：人得 三十五分斤之十二。其為之也，當齊其金、人之數，
皆合初問入於經分矣。然則分子相乘為實者，猶齊 其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二 十，馬無事於同，但欲求齊而已。又，馬五匹，直
〔一九〕今有田廣七分步之四，從五分步之三。問 為田幾何？
荅曰：三十五分步之十二。
〔二○〕又有田廣九分步之七，從十一分步之九。
問為田幾何？
荅曰：十一分步之七。
〔二一〕又有田廣五分步之四，從九分步之五，問 為田幾何？
荅曰：九分步之四。
乘分（ 臣淳風等謹按：乘分者，分母相乘為法，
子相乘為實，故曰乘分。）
術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。（凡 實不滿法者乃有母、子之名。若有分，以乘其實而 長之，則亦滿法，乃為全耳。又以子有所乘，故母 當報除。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各 當報除，因令分母相乘而連除也。此田有廣從，難 以廣諭。設有問者曰：馬二十匹，直金十二斤。今 賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？荅曰：三 十五分斤之十二。其為之也，當如經分術，以十二 斤金為實，三十五人為法。設更言馬五匹，直金三 斤。今賣四匹，七人分之，人得幾何？荅曰：人得 三十五分斤之十二。其為之也，當齊其金、人之數，
皆合初問入於經分矣。然則分子相乘為實者，猶齊 其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二 十，馬無事於同，但欲求齊而已。又，馬五匹，直
〔八〕今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為 田幾何？
答曰：三十五分步之十二。
乘分
術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。
金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分 斤之三。七人賣四馬，一人賣七分馬之四。金與人 交互相生，所從言之異，而計數則三術同歸也。）
金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分 斤之三。七人賣四馬，一人賣七分馬之四。分子與 人交互相生，所從言之異，而計數則三術同歸也。）
草曰：置分母七分五分在右方分子之四之三在左方 分母相乘得三十五為法分子相乘得十二為實實不滿 法以法命之為三十五分步之十二，合問。
草曰：置分母九分十一分在右方分子之七之九在左 方分母相乘得九十九為法分子相乘得六十三為實法 實各以等數九約之為十一分步之七合問。
草曰：置分母五分九分在右方分子之四之五在左方 分母相乘得四十五為法分子相乘得二十為實法實各 以等數五約之為九分步之四，合問。
（李籍云自合分以下獨乘言田而皆列于方田者欲學 數者不可後也能治諸分則數學之能事盡矣。）
草曰：置分母七分五分在右方分子之四之三在左方 分母相乘得三十五為法分子相乘得十二為實實不滿 法以法命之為三十五分步之十二，合問。
〔二二〕今有田廣三步三分步之一，從五步五分步 之二。問為田幾何？
荅曰：十八步。
〔二二〕今有田廣三步三分步之一，從五步五分步 之二。問為田幾何？
荅曰：十八步。
〔二三〕又有田廣七步四分步之三，從十五步九分 步之五。問為田幾何？
荅曰：一百二十步九分步之五。
〔二三〕又有田廣七步四分步之三，從十五步九分 步之五。問為田幾何？
荅曰：一百二十步九分步之五。
〔二四〕又有田廣十八步七分步之五，從二十三步 十一分步之六。問為田幾何？
荅曰：一畝二百步十一分步之七。
〔二四〕又有田廣十八步七分步之五，從二十三步 十一分步之六。問為田幾何？
荅曰：一畝二百步十一分步之七。
91 大廣田（ 臣淳風等謹按：大廣田知，初術直有全
步而無餘分；次術空有餘分而無全步；此術先見全 步復有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。）
術曰：分母各乘其全，分子從之，（分母各乘其全，
分子從之者，通全步內分子，如此則母、子皆為實 矣。）相乘為實。分母相乘為法。（猶乘分也。）實 如法而一。（今為術廣從俱有分，當各自通其分。命 母入者，還須出之，故令分母相乘為法而連除之。）
大廣田（ 臣淳風等謹按：大廣田者，初術直有全 步而無餘分；次術空有餘分而無全步；此術先見全 步復有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。）
術曰：分母各乘其全，分子從之，（分母各乘其全，
分子從之者，通全步內分子，如此則母、子皆為實 矣。）相乘為實。分母相乘為法。（猶乘分也。）實 如法而一。（今為術廣從俱有分，當各自通其分。命 母入者，還須出之，故令分母相乘為法而連除之。）
草曰：置廣三步以分母三乘之得九分子一從之得一 十於上位置從五步以分母五乘之得二十五分子二從 之得二十七於下位上下相乘得二百七十為實分母三 分母五相乘得一十五為法實如法而一得十八步，合 問。
草曰：置廣七步以分母四乘之得二十八分子三從之 得三十一於上位置從十五步以分母九乘之得一百三 十五分子五從之得一百四十於下位上下相乘得四千 三百四十為實分母四分母九相乘得三十六為法實如 法而一得一百二十步三十六分步之二十分母子各以 等數四約之為九分步之五，合問。
草曰：置廣十八步以分母七乘之得一百二十六分子 五從之得一百三十一於上位置從二十三步以分母十 一乘之得二百五十三分子六從之得二百五十九於下 位上下相乘得三萬三千九百二十九為實分母七分母 十一相乘得七十七為法實如法而一得四百四十步七 十七分步之四十九以畝法二百四十步除之得一畝二 百步七十七分步之四十九分母子各以等數七約之為 十一分步之七，合問。
〔二五〕今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為 田幾何？
荅曰：一百二十六步。
〔二五〕今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為 田幾何？
荅曰：一百二十六步。
〔九〕今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田 幾何？
答曰：一百二十六步。
〔二六〕又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分 步之二。問為田幾何？
荅曰：二十三步六分步之五。
術曰：半廣以乘正從。（半廣知，以盈補虛為直田也。
亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以取中平之數，
故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也。）
〔二六〕又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分 步之二。問為田幾何？
荅曰：二十三步六分步之五。
如圖子丑為正從寅卯為廣以甲段與乙段顛倒相補成 直積注所謂以盈補虛為直田也。
術曰：半廣以乘正從。（半廣者，以盈補虛為直田也。
亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以取中平之數，
故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也。）
草曰：置廣十二步半之得六步以乘正從二十一步得 一百二十六步合問。
草曰：置廣五步以分母二乘之得十分子一從之得十 一於上位置從八分以分母三乘之得二十四分子二從 之得二十六半之得十三於下位上下相乘得一百四十 三為實分母二分母三相乘得六為法實如法得二十三 步六分步之五，合問。
說曰：次問廣不可半故半從以乘廣得積步又以廣從 俱有分當各自通其分令分母相乘為法而連除之如前 大廣田術也。
術曰：半廣以乘正從。（劉徽云半廣者，以盈補虛為 直田也。亦可半正從以乘廣。）
李雲門補圖說云如圖子丑為正從寅卯為廣甲段與乙 段顛倒相補成直積注所謂以盈補虛也。
〔二七〕今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二 步，正從六十四步。問為田幾何？
荅曰：九畝一百四十四步。
〔二八〕又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，
一畔從七十二步。問為田幾何？
〔二七〕今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二 步，正從六十四步。問為田幾何？
荅曰：九畝一百四十四步。
如圖子丑為一頭廣寅卯為一頭廣丑寅為正從移甲段 補乙段注所謂以盈補虛也。
〔二八〕又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，
一畔從七十二步。問為田幾何？
荅曰：二十三畝七十步。
〔一○〕今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二 步，正從六十四步。問為田幾何？
答曰：九畝一百四十四步。
93 荅曰：二十三畝七十步。
術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從 若廣，以乘并。畝法而一。（并而半之者，以盈補虛 也。）
如圖子丑為正廣寅丑為一畔從子卯為一畔從移甲段 補乙段亦是以盈補虛。
術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從 若廣，以乘并。畝法而一。（并而半之者，以盈補虛 也。）
草曰：置一頭廣三十步一頭廣四十二步并之得七十 二步半之得三十六步以乘正從六十四步得二千三百 四步如畝法二百四十步而一得九畝一百四十四步合 問。
草曰：置一畔從一百步一畔從七十二步并之得一百 七十二步半之得八十六步以乘正廣六十五步得五千 五百九十步如畝法二百四十步而一得二十三畝七十 步，合問。
術曰：并兩邪而半之，以乘正從，又可半正從，以 乘并畝法而一。（劉徽云并而半之者，以盈補虛也。）
李雲門補圖說云如圖子丑為一頭廣寅卯為一頭廣丑 寅為正從移甲段補乙段注所謂以盈補虛也。
〔二九〕今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從 三十步。問為田幾何？
荅曰：一畝一百三十五步。
〔三○〕又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十 步，正從一百三十五步。
問為田幾何？
荅曰：四十六畝二百三十二步半。
術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。（中分 箕田則為兩邪田，故其術相似。又可并踵、舌，半 正從以乘之。）
〔二九〕今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從 三十步。問為田幾何？
答曰：一畝一百三十五步。
〔三○〕又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十 步，正從一百三十五步。
問為田幾何？
答曰：四十六畝二百三十二步半。
如圖子寅丑為舌廣辰卯巳為踵廣寅卯為正從甲段一 邪田乙段一邪田所謂中分箕田為兩邪田也。
術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。（中分 箕田則為兩邪田，故其術相似。又可并踵、舌，半 正從以乘之。）
〔一一〕今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從 三十步。問為田幾何？
答曰：一畝一百三十五步。
術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。（劉徽 云中分箕田則為兩邪田，故其術相似。亦可并踵、
舌，半正從以乘之。）
李雲門補圖說云如圖子丑寅為舌廣辰卯巳為踵廣寅 卯為正從甲段一邪田乙段一邪田所謂中分箕田為兩 邪田也。
草曰：置舌廣二十步踵廣五步并之得二十五步半之 得十二步半以乘正從三十步得三百七十五步如畝法 二百四十步而一得一畝一百三十五步合問。
草曰：置舌廣一百一十七步踵廣五十步并之得一百 六十七步半之得八十三步半以乘正從一百三十五步 得一萬一千二百七十二步半如畝法二百四十步而一 得四十六畝二百三十二步半合問。
〔三一〕今有圓田，周三十步，徑十步。（ 臣淳 風等謹按：術意以周三徑一為率，周三十步，合徑 十步。今依密率，合徑九步十一分步之六。）問為 田幾何？
荅曰：七十五步。（此於徽術，當為田七十一步一百 五十七分步之一百三。 臣淳風等謹依密率，為田 七十一步二十二分步之一十三。）
〔三二〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三 分步之一。（ 臣淳風等謹按：周三徑一，周一百 八十一步，徑六十步三分步之一。依密率，徑五十 七步二十二分步之十三。）問為田幾何？
荅曰：十一畝九十步十二分步之一。（此於徽術，
當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十 三。 臣淳風等謹依密率，為田十畝二百五步八十 八分步之八十七。）
術曰：半周半徑相乘得積步。
（按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。
假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，
〔三一〕今有圓田，周三十步，徑十步。（ 臣淳 風等謹按：術意以周三徑一為率，周三十步，合徑 十步。今依密率，合徑九步十一分步之六。）問為 田幾何？
荅曰：七十五步。（此於徽術，當為田七十一步一百 五十七分步之一百三。 臣淳風等謹依密率，為田 七十一步二十二分步之一十三。）
〔三二〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三 分步之一。（ 臣淳風等謹按：周三徑一，周一百 八十一步，徑六十步三分步之一。依密率，徑五十 七步二十二分步之一十三。）問為田幾何？
荅曰：十一畝九十步十二分步之一。（此於徽術，
當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十 三。 臣淳風等謹依密率，當為田十畝二百五步八 十八分步之八十七。）
如圖甲乙丙丁為圓周甲丙乙丁皆圓徑。
術曰：半周半徑相乘得積步。
（按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。
假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，
〔一二〕今有圓田，周三十步，徑十步。
問為田幾何？
答曰：七十五步。
術曰：半周半徑相乘得積步。
劉徽云半周為從，半徑為廣，故廣從相乘得積步也。
假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，
（李雲門云六觚之一面卽觚弦也在弧田則謂之弦在 割圓則謂之面。）
95 與圓徑之半，其數均等。合徑率一而弧周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧之半徑，三之，
得十二觚之冪。
若又割之，次以十二觚之一面乘一弧半徑，六之，
則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又 割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。觚 面之外，又有餘徑，以面乘餘徑，則冪出弧表。
若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，
則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，
每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。此以周、徑，
謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者從其六觚 之環耳。以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。
然世傳此法，莫肯精覈；學者踵古，習其謬失。不 有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓 之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用 博矣。 謹按：圓驗，更造密率。恐空設法，數昧 而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。割六觚以為 十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，卽圓裏觚 之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求 股。以句冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除 之，下至秒、忽。又一退法，求其微數。微數無名 知以為分子，以十為分母，約作五分忽之二。得股 八寸六分六氂二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘 一寸三分三氂九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小
與圓徑之半，其數均等。合徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘半徑，二因而六之，
得十二觚之冪。
若又割之，次以十二觚之一面乘一觚之半徑，四因 而六之，則得二十四觚之幂。割之彌細，所失彌少。
割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失 矣。觚面之外，又有餘徑，以面乘徑，則幂出觚表。
若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，
則幂不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，
每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓幂。此以周、徑，
謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者從其六觚 之環耳。以推圓規多少之較，乃弓之與弦也。
然世傳此法，莫肯精覈；學者踵古，習其謬失。不 有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓 之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用 博矣。 謹按：圓驗，更造密率。恐空設法，數昧 而難譬，故置諸撿括，謹詳其記注焉。割六觚以為 十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，卽圓裏六 觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之 求股。以句幂二十五寸減弦幂，餘七十五寸，開方 除之，下至秒、忽。又一退法，求其微數。微數無 名者以為分子，以下為分母，約作五分忽之二。故 得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半 徑，餘一寸三分三釐九毫九秒四忽五分忽之三，謂
與圓徑之半，其數均等。合徑率一而外周率三也。
（李雲門云庚丙庚戊皆六觚之一面亦卽圓徑之半。）
又按：為圖，以六觚之一面乘半徑，因而三之，得 十二觚之冪。
（李云六觚之一面乘半徑，得大小句股各四，故三 之為十二弧之冪。）
若又割之，次以十二觚之一面乘一觚之半徑，因而 六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。
割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失 矣。觚面之外，又有餘徑，以面乘徑，則冪出弧表。
（李云甲辰為餘徑亦謂之矢乙巳為觚面亦謂之弦子 丑寅卯四段為以弦乘矢之冪子丑二段出于弧表。）
若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，
則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，
（李云觚猶角也）
每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。此周、徑，
謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者從其六觚 之環耳。以推圓規多少之較，乃弓之與弦也。
（李云圓規猶圓周也圓周為弓六觚之面為弦。）
謹按：圓驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬，
故置諸撿括，謹詳其記注焉。割六觚以為十二觚術 曰：置圓徑二尺，半之為一尺，卽圓裏六觚之面也。
令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。以句 冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除之，
得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半 徑，餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂
句。觚之半面而又謂之小股。為之求弦。其冪二千 六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五 忽，餘分棄之。開方除之，卽十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半 面為句，為之求股。置上小弦冪，四而一，得六百 六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘 分棄之，卽句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得 股九寸六分五氂九毫二秒五忽五分忽之四。以減半 徑，餘三分四氂七秒四忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪六百八十 一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄 之。開方除之，卽二十四觚之一面也。 割二十四 觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，
為之求股。置上小弦冪，四而一，得一百七十億三 千七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，卽句冪 也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一 氂四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八氂五 毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂 之小股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十 七萬八千八百一十三忽，餘分棄之。開方除之，得 小弦一寸三分八毫六忽，餘分棄之，卽四十八觚之 一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三 萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，
得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，
卽九十六觚之冪也。 割四十八觚以為九十六觚術 曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置次上 弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千 七百三忽，餘分棄之，則句冪也。以减弦冪，其餘，
開方除之，得股九寸九分七氂八毫五秒八忽十分忽 之九。以減半徑，餘二氂一毫四秒一忽十分忽之一，
謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其
之小句。觚之半面又謂之小股。為之求弦。其幂二 千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五 忽，餘分弃之。開方除之，卽十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半 面為句，為之求股。置上小弦幂，四而一，得六百 六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘 分棄之，卽句幂也。以減弦幂，其餘開方除之，得 股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。以減半 徑，餘三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其幂六百八十 一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄 之。開方除之，卽二十四觚之一面也。 割二十四 觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，
為之求股。置上小弦幂，四而一，得一百七十億三 千七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，卽句幂 也。以減弦幂，其餘，開方除之，得股九寸九分一 釐四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八釐五 毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂 之小股。為之求小弦。其幂一百七十一億一千二十 七萬八千八百一十三忽，餘分棄之。開方除之，得 小弦一寸三分八毫六忽，餘分棄之，卽四十八觚之 一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三 萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，
得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，
卽九十六觚之幂也。 割四十八觚以為九十六觚術 曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置次上 弦幂，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千 七百三忽，餘分棄之，則句幂也。以减弦幂，其餘，
開方除之，得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽 之九。以減半徑，餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一，
謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其
之小句。觚之半面又謂之小股。為之求弦。其冪二 千六百七十九億四千九百十九萬三千四百四十五 忽，餘分棄之。開方除之，卽十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半 面為句，為之求股。置上小弦冪，四而一，得六百 六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘 分棄之，卽句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得 股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四。以減半 徑，餘三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪六百八十 一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄 之。開方除之，卽二十四觚之一面也。割二十四觚 以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為 之求股。置上小弦冪，四而一，得一百七十億三千 七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，卽句冪也。
以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一釐四 毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八釐五毫五 秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小 股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬 八千八百十三忽，餘分棄之。開方除之，得小弦一 寸三分八毫六忽，餘分棄之，卽四十八觚之一面。
以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬一千 三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，得冪三 百十三寸六百二十五分寸之五百八十四，卽九十六 觚之冪也。 割四十八觚以為九十六觚術曰：亦令 半徑為弦，半面為句，為之求股。置次上弦冪，四 而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三 忽，餘分棄之，則句冪也。以減弦冪，其餘，開方 除之，得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之 九。以減半徑，餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一，
97 冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分
棄之。開方除之，得小弦六分五氂四毫三秒八忽，
餘分棄之，卽九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，
又以四十八乘之，得冪三萬一千四百一十億二千四 百萬忽。以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十 五分寸之六十四，卽一百九十二觚之冪也。 以九 十六觚之冪减之，餘六百二十五分寸之一百五，謂 之差冪。倍之，為分寸之二百一十，卽九十六觚之 外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於 九十六觚之冪，得三百一十四寸六百二十五分寸之 一百六十九，則出於圓之表矣。故還就一百九十二 觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其餘 分。
以半徑一尺除圓冪，倍所得，六尺二寸八分，卽 周數。 令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，
圓冪得一百五十七為率，方冪得二百為率。方冪 二百，其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。
按：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之 半。
然則圓冪一百五十七，其中容方冪一百也。 又令 徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，
徑得五十，
則其相與之率也。周率猶為微少也。
幂四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分 棄之。開方除之，得小弦六分五釐四毫三秒八忽，
餘分棄之，卽九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，
又以四十八乘之，得幂三萬一千四百一十億二千四 百萬忽。以百億除之，得幂三百一十四寸六百二十 五分寸之六十四，卽一百九十二觚之幂也。 以九 十六觚之幂减之，餘六百二十五分寸之一百五，謂 之差幂。倍之，為分寸之二百一十，卽九十六觚之 外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡幂也。加此幂於 九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之 一百六十九，則出於圓之表矣。故還就一百九十二 觚之全幂三百一十四寸以為圓幂之定率而棄其餘 分。
以半徑一尺除圓幂，倍之得，六尺二寸八分，卽 周數。 令徑自乘為方幂四百寸，與圓幂相折，
圓幂得一百五十七為率，方幂得二百為率。方幂 二百，其中容圓幂一百五十七也。圓率猶為微少。
按：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之 半。
然則圓幂一百五十七，其中容方幂一百也。 又令 徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，
徑得五十，
則其相與之率也。周率猶為微少也。
謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其 冪四十二億八千二百十五萬四千十二忽，餘分棄 之。開方除之，得小弦六分五釐四毫三秒八忽，餘 分棄之，卽九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，又 以四十八乘之，得冪三萬一千四百十億二千四百萬 忽。以百億除之，得冪三百十四寸六百二十五分寸 之六十四，卽一百九十二觚之冪也。 以九十六觚 之冪減之餘六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。
倍之，為分寸之二百十，卽九十六觚之外弧田九十 六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於九十六觚之 冪，得三百十四寸六百二十五分寸之一百六十九，
則出于圓之表矣。故還就一百九十二觚之全冪三百 十四寸以為圓冪之定率而棄其餘分。
以半徑一尺除圓冪，倍之得，六尺二寸八分，卽 周數。 令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，（O 謂方圓冪各以二約之）
圓冪得一百五十七，方冪得二百為率。方冪二百，
其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。按：弧 田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之半。（李 云子午卯酉皆為外方面亦分為內圓徑又皆為內方斜 徑內方合外方之半）
然則圓冪一百五十七，其中容方冪一百也。 又令 徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，
徑得五十，（O 周徑各以四約之）
則其相與之率也。周率猶為微少也。
周率周三徑一其術疏漢劉歆張衡之徒各設新率未臻 折衷宋祖沖之更開密法以圓徑一億為一丈圓周盈數 三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽朒數三丈一尺 四寸一分五釐九毫二秒六忽正數在盈朒二限之間密 率圓徑一百一十三圓周三百五十五約率圓徑七周二 十二又設開差冪開差立兼以正圓參之指要精密算氏
之最也（隋書律厯志）古人謂圓徑一尺周圍三尺後 世考究則不然徑一而周三則尚有餘圍三而徑一則為 不足徑一而周三一四猶是徑多圍少徑七而周二十二 郤是徑少周多徑一百一十三周三百五十五最為精密 其考究之術畫百眼茶盤一眼廣一寸方圖之內畫為圓 圖徑十寸圓內又畫小方圖以算術展為圓象自四角之 方添為八角曲圓為第一次若第二次則為曲十六第三 次則為曲三十二第四次則為曲六十四凡多一次其曲 必倍至十二次則其為曲一萬六千三百八十四其初之 小方漸加展漸滿漸實角數愈多而其為方者不復方而 變成圓矣今以第一次言之內方之弦十寸名大弦自乘 得一百寸名大弦冪內方之句冪五十寸名第一次大句 冪以第一次大句冪減其大弦冪餘五十寸名大股冪問 方得七寸七釐一毫有奇名第一次大股以第一次大股 減其大弦餘二寸九分二釐八毫有奇名第一較折半得 一寸四分六釐四毫有奇名第一次小句此小句之數乃 內方之四邊與圓圍最相遠處也以第一次小句自乘得 二寸一分四釐四毫有奇名第一次小句冪以第一次大 句冪折半得二十五寸又折半得十二寸五分名第一次 小股冪併第一次小句冪得一十四寸六分四釐四毫有 奇名第一次小弦冪開方得三寸八分二釐六毫有奇名 第一次小弦卽是八曲之一八乘第一次小弦得三十寸 六分一釐有奇卽是八曲之周圍也若求第二次者以第 一次小弦冪就名第二次大句冪以第一次大股冪減其 大弦冪餘為第二次大股冪開方為第二次大股以減其 大弦餘為第二較折半名第二次小句此小句之數卽是 八曲之邊與圓圍最相遠處也以第二次小句自乘名第 二次小句冪以第二次大句冪兩折名第二次小股冪以 第二次小股冪併第二次小句冪名第二次小弦冪開方 為第二次小弦卽是十六曲之一以十六乘第二小弦卽 是十六曲之周圍也以第二次倣第一次若至十二次亦
99 晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律嘉量斛，內
方尺而圓其外，庣旁九氂五毫，冪一百六十二寸，
深一尺，積一千六百二十寸，容十斗。以此術求之，
得冪一百六十一寸有奇，其數相近矣。此術微少。
而觚差冪六百二十五分寸之一百五。以一百九十二 觚之冪以率消息，當取此分寸之三十六，以增於一 百九十二觚之冪，以為圓冪，三百一十四寸二十五 分寸之四。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相 約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是為率。
方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百 二十七中容方冪二千五百也。 以半徑一尺除圓冪 三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸 八分二十五分分之八，即周數也。全徑二尺與周數 通相約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，
即其相與之率。若此者，蓋盡其纖微矣。舉而用之，
上法為約耳。當求一千五百三十六觚之一面，得三 千七十二觚之冪，而裁其微分，數亦宜然，重其驗 耳。 臣淳風等謹按：舊術求圓，皆以周三徑一為 率。若用之求圓周之數，則周少徑多。用之求其六 觚之田，乃與此率合會耳。何則？假令六觚之田，
觚間各一尺為面，自然從角至角，其徑二尺可知。
此則周六徑二與周三徑一已合。恐此猶以難曉，今
晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律嘉量斛，內 方尺而圓其外，庣旁九釐五毫，幂一百六十二寸，
深一尺，積一千六百二十寸，容十斗。以此術求之，
得幂一百六十一寸有奇，其數相近矣。此術微少。
而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以十二觚之幂 為率消息，當取此分寸之三十六，以增於一百九十 二觚之幂，以為圓幂，三百一十四寸二十五分寸之 四。置徑自乘之方幂四百寸，令與圓幂通相約，圓 幂三千九百二十七，方幂得五千，是為率。方幂五 千中容圓幂三千九百二十七；圓幂三千九百二十七 中容方幂二千五百也。 以半徑一尺除圓幂三百一 十四寸二十五分寸之四，倍之得，六尺二寸八分二 十五分寸之八，即周數也。全徑二尺與周數通相約，
徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相 與之率。若此者，葢盡其纖微矣。舉而用之，上法 仍約耳。當求一千五百三十六觚之一面，得三千七 十二觚之幂，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。
臣淳風等謹按：舊術求圓，皆以周三徑一為率。若 用之求圓周之數，則周少徑多。用之求其六觚之田，
乃與此率合會耳。何則？假令六觚之田，觚間各一 尺為面，自然從角至角，其徑二尺可知。此則周六 徑二與周三徑一已合。恐此猶以難曉，今更引物為
遞次相倣置第十二次之小弦以第十二次之曲數一萬 六千三百八十四乘之得三十一寸四分一釐五毫九秒 二忽有奇卽十寸徑之周圍也以一百一十三乘之果得 三百五十五故言其法精密之至方為數之始圓為數之 終圓始於方方終於圓周髀之術無出於此矣。（革象新 書 梅定九云劉徽祖沖之以割六弧起數趙友欽以四 角起數今西術六宗率則兼用之可見理之至者先後一 揆法之精者中西合轍西人謂古人但知徑一圍三未深 攷也。）
更引物為喻。設令刻物作圭形者六枚，枚別三面，
皆長一尺。攢此六物，悉使銳頭向裏，則成六觚之 周，角徑亦皆一尺。更從觚角外畔，圍繞為規，則 六觚之徑盡達規矣。當面徑短，不至外規。若以徑 言之，則為規六尺，徑二尺，面徑皆一尺。面徑股 不至外畔，定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周 乃是徑多周少。徑一周三，理非精密。蓋術從簡要，
舉大綱略而言之。劉徽將以為疏，遂乃改張其率。
但周、徑相乘，數難契合。徽雖出斯二法，終不能 究其纖毫也。祖冲之以其不精，就中更推其數。今 者修撰，攈摭諸家，考其是非，冲之為密。故顯之 於徽術之下，冀學者之所裁焉。）
喻。設令刻物作圭形者六枚，枚別三面，皆長一尺。
攢此六物，悉使銳頭向裏，則成六觚之周，角徑亦 皆一尺。更從觚角外畔，圍繞為規，則六觚之徑盡 達規矣。當面徑短，不至外規。若以六觚言之，則 為周六尺，徑二尺，面皆一尺。面徑股不至外畔，
定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周乃是徑多周 少。徑一周三，理非精密。葢術從簡要，舉大綱畧 而言之。劉徽特以為疏，遂乃改張其率。但周、徑 相乘，數難契合。徽雖出斯一法，終不能究其纖毫 也。祖冲之以其不精，就中更推其數。今者修撰，
攈摭諸家，考其是非，冲之為密。故顯之於徽術之 下，冀學者之所裁焉。）
密率求徑草曰置周三十步以徑率七乘之得二百一十 步為實如周率二十二而一得九步二十二分步之一十 二子母各半之為十一分步之六卽田徑也。
草曰：置周三十步半之得十五步於上位置徑十步半 之得五步於下位上下相乘得七十五步合問。
徽術草曰置周三十步自乘得九百步以圓幂率二十五 乘之得二萬二千五百步為實如周幂率三百一十四而 一得七十一步三百一十四分步之二百六子母各半之 為一百五十七分步之一百三。
密率草曰置周三十步自乘得九百步以圓幂率七乘之 得六千三百步為實如周幂率八十八而一得七十一步 八十八分步之五十二子母各以四約之為二十二分步 之一十三。
密率求徑草曰置周一百八十一步以徑率七乘之得一 千二百六十七步為實如周率二十二而一得五十七步 二十二分步之一十三卽田徑也。
草曰置周一百八十一步半之得九十步半於上位置六 十步三分步之一通分內子得一百八十一分半之得九 十分半於下位上下相乘得八千一百九十步四分步之
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一為實（內寄三為分母）通分內子得三萬二千七百 六十一為定實（內又寄四為分母）以分母三四相乘 得十二為法實如法得二千七百三十步十二分步之一 如畝法二百四十步而一得十一畝九十步十二分步之 一合問。
徽術草曰置周一百八十一步自乘得三萬二千七百六 十一以圓幂率二十五乘之得八十一萬九千二十五步 如周幂率三百一十四而一得二千六百八步三百一十 四分步之一百一十三如畝法二百四十步而一得十畝 二百八步三百一十四分步之一百一十三。
密率草曰置周一百八十一步自乘得三萬二千七百六 十一步以圓幂率七乘之得二十二萬九千三百二十七 步為實如周幂率八十八而一得二千六百五步八十八 分步之八十七又如畝法二百四十步而一得十畝二百 五步八十八分步之八十七。
說曰：注云圓中容六弧之一面東原戴氏云六觚原本 訛作六弧考六角形其平面亦有六八角形其平面亦有 八古人謂之六觚八觚若截圓形為六古人謂之弧背其 弧卽圓周不得云圓中容六弧之一面按此說非也六弧 者割全圓為六弧也圓中容六弧之一面卽弧弦也在弧 田則謂之弦在割圓則謂之面義各有屬弧田術有弦有 矢不言弧背其弧背直謂之弧沈存中筆談會圓之術云 割田之弧云所割之弧云求弧數是南宋時尚不云弧背 授時術始有弧背之名至今因之不得云古人謂之弧背 也漢書律歴志之六觚郊祀志之八觚雖訓觚為角然皆 體之稜面如竈觚觚稜之類不得據彼以易此也云六弧 之一面與圓徑之半其數均等則六弧之六面為全徑之 三倍可知矣故云合徑率一而外周率三也。
如圖作甲乙兩丁戊已(己)圓又作庚丙辛壬癸戊圓庚 丙與庚戊皆六弧之一面亦卽圓徑之半云又按為圖以 六弧之一面乘半徑二因而六之得十二弧之幂若又割 之次以十二弧之一面乘一弧之半徑四因而六之則得
之次以十二弧之一面乘一弧之半徑四因而六之則得 二十四弧之幂者據下文及徑自乘三之四而一術注校 之二因而六之當作因而三之四因而六之當作因而六 之後記注割六弧為十二弧術半徑一尺為弦半面五寸 為句求得股八寸六分有奇作大句股幂又以股減半徑 得股弦差為小句半面五寸為小股求得小弦五寸一分 有奇為十二弧之一面作小句股幂并大小二句股幂為 十二弧之一弧幂今以六弧之一面乘半徑得十二弧之 一弧幂者四故三因之得十二弧之幂也割十二弧為二 十四弧以下意悉類此葢以半徑乘一面得大小句股幂 各四屢割之則大股以漸而增小句及小弦以漸而減而 半徑乘一面得大小句股各四之率則不易也三因四幂 得十二弧幂六因四幂得二十四弧幂十二因四幂得四 十八弧幂二十四因四幂得九十六弧幂四十八因四幂 得一百九十二弧幂皆可推而知。
如圖六弧之一面乘半徑得大小句股各四因而三之為 十二弧之幂二十四弧以下皆可類推。
云割之彌細所失彌少者以十二弧之幂與圓幂相課所 失多以三千七十二弧之幂與圓幂相課所失少云割又 割以至於不可割則與圓周合體而無所失者割之彌細 則弧面漸小而餘徑亦漸小至於不可割則弧面逼近圓 周而合體矣云弧面之外又有餘徑以面乘徑則幂出弧 表者卽下注所云以弦乘矢之凡幂也。
如圖甲辰為餘徑亦謂之矢乙巳(己)為弧面亦謂之弦 子丑寅卯四段為以弦乘矢之幂子丑二段出於弧表。
云以一面乘半徑觚而裁之每輒自倍者觚猶角也觀圖 自知云此以周徑謂至然之數者以猶用也言此所用之 周徑乃至密之率非周三徑一之率也周三者謂合六弧 之六面非真圓周也云以推圓規多少之較乃弓之與弦 也者圓規猶圓周也圓周為弓六弧之面為弦也。
割六弧以為十二弧草曰：令半徑一尺為弦展為一十 寸自乘得一百寸於上位半面五寸為句自乘得二十五
