考 試 別：國家安全情報人員 等 別：三等考試

104年公務人員特種考試司法人員、法務部調查 局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、

海 岸 巡 防 人 員 及 移 民 行 政 人 員 考 試 試 題

代號： 30830 全一頁

考 試 別：國家安全情報人員 等 別：三等考試

類 科 組：數理組 科 目：數論

考試時間：2 小時 座號：

※注意： 禁止使用電子計算器。

不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。

一、設 F 為一個

3 個元素的有限體。若 α 為佈於 F 的多項式

的一個根，試證 明 α 為有限體 F

[ α ] 的一個原元素（primitive element）。（10 分）

求下列同餘聯立方程式的解：（10 分）

1

2x ≡

(mod 3) 2

3x ≡ (mod 5) 4

5x ≡ (mod 7)

二、一個合成數（composite number）n 滿足對所有整數a ， 1 ≤ a ≤ n ，

(mod n)都成 立；稱為卡邁克爾數（Carmichael number）。（每小題 10 分，共 20 分）

試證明 561 是一個卡邁克爾數。

設 n 為一個卡邁克爾數，試證明每一個 n 的質因數 p 都滿足 p − 整除 1

。 三、設 f 為一個算術函數且令

∑

。（每小題 10 分，共 20 分）

試證明若 f 是可乘函數，則 F 亦為可乘函數。

反之，試證明上面敘述的逆敘述亦成立。

四、設 p 為ㄧ滿足 p ≡ (mod 4)之質數。若 1 q = 2p + 1 亦為一個質數，試證明 2 必為 mod q 的原根（primitive root）。（20 分）

五、在方程式

所有的正整數解(x, y)中，使得

最小的解稱為此方程 式的基本解。已知方程式

的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正 整數解為(

)，其中

， k = 1, 2, 3, ... 。（10 分）

試證明每一個整數都可以表示成五個整數的立方和。（10 分）