1 簡介 二維數據分析

二維數據分析

卓永鴻 提供

1 ^簡介

某日在課堂上，數學老師勸大家少玩手機遊戲，玩得越多，就越影響課業表現。這時大 家在底下議論紛紛。

甲：「玩遊戲歸玩遊戲，跟讀書考試有什麼關係？ 」

乙：「可是如果太沉迷於遊戲，多少還是會影響課業的吧？ 」

丙：「那個XXX，還不是每天都玩，他成績就蠻好的啊！你很少玩還不是都考很爛！ 」 此時在台上的老師，作為一個二十一世紀有學識、講求科學證據的優秀老師，他決 定給同學一個有說服力的說法，來讓同學相信玩太多遊戲真的會對課業有負面影響。

老師實際作了調查，訪問了 18 位同學，得到如下資料：

每週遊戲時間 8 2 10 9 12 5 11 5 14 數學成績 60 85 100 75 80 90 86 78 92 每週遊戲時間 12 3 7 7 11 13 3 4 8

數學成績 37 83 55 78 48 25 90 40 84

老師：「這樣看，可能還是不夠有感覺。接著我將這些資料畫出來吧！ 」 於是老師將每一筆數據都畫到散佈圖上，得到下圖：

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

老師：「這樣一來，就稍微看得出下降趨勢了吧¹！剛剛丙同學所犯的謬誤，是他只看兩 種極端例子，但我們必須從整體資料去看，才可以去描述一般趨勢。 」

1

x

, y 方向的單位長不一樣大，所以實際上的下滑趨勢會比這個圖大！

1 簡介

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

老師：「我們看上面這張圖，丙同學所說的，可能就是圈起來的這兩個資料。想想看，

我們真的可以只看這兩個極端案例，卻無視整體趨勢嗎？ 」

丁 ：「可是老師，雖然你現在把資料都點在圖上面，比起看表格有感覺多了，但我還 是覺得這上面好多點點，要我看趨勢實在有點吃力！ 」

老師：「好，那麼我便用一條直線，來代表全體趨勢。 」

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

老師：「我現在這樣說，我可以用這條直線，來粗略地代表全體的趨勢。並不是說全體 資料會在這條直線上，而是用它來粗略地描述全體情況。 」

老師：「如果現在看這條直線，是不是更明顯可以感受到，手遊玩得越多，成績就越下 滑的趨勢呢？ 」

戊 ：「可是老師，我覺得我看起來的趨勢不像這樣耶。 」 說完，戊同學上台又畫了一條直線。

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

戊 ：「我覺得應該是這樣呀！這條線比較像全體的趨勢！ 」

老師：「這問題不錯！現在我們有了爭議，我們各自認為可代表全體的直線是不同條，

所以我們必須有一個公認的辦法，來由原始數據求出這條代表性的直線。 」 老師：「正好，我們接下來要上的主題，就是二維數據分析，我們就多介紹點這方面的

概念吧！ 」

老師：「等我們學會如何求出這條代表全體的直線後，以後遇到任何新的統計資料，我 們都可以套用這個固定模式來求出直線。 」

老師：「求出直線以後，現在如果再問一位同學，得知他每週玩手遊 10 個小時，我們想 猜猜看他的成績，要怎麼猜呢？ 」

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

老師：「因為這條直線已經用來代表全體，所以我們自然就會猜在直線上。當然我們很 可能會猜錯，但是雖不中，亦不遠矣，往直線上去猜，是最可能猜得準的了！ 」 老師：「所以我們要如何求出這條代表全體的直線，就是要求出一條會讓我們盡可能猜

得準的直線！猜得準，我們才敢說這條直線可代表全體。因此，這條直線我們 稱之為 迴歸直線，又叫最適直線，因為它是與這筆資料最適配的直線。 」

1 簡介

老師：「不過也有一個問題，就是當求出迴歸直線以後，這條直線的代表性如何？ 」

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

老師：「我們看這筆新的資料，它與剛剛的資料有相同的迴歸直線。可是很明顯，這筆 資料較為分散，所以如果我們要用來猜某同學的成績，就比較可能會猜得不準。

這也就是說，這條迴歸直線的代表性較弱！ 」

老師：「二維數據分析，就是圍繞在這樣的課題。當我們針對手遊時間與數學成績作調 查，得到一筆資料，我們如何從中解讀手遊時間與數學成績之間的關係？其 大致趨勢為何？這個趨勢的代表性是強是弱？ 」

老師：「這些概念不能仰賴直觀去看，否則每個人的感受都不太一樣。以下我們就來討 論如何用數學式子來表達！ 」

2 ^相關係數

調查出一筆資料後，作出散佈圖，並畫出 x = μ_x, y = μ_y 兩條直線。以這兩條直線作為 新的 x 軸與 y 軸，將散佈圖分為第一到第四象限。

y=µ^y

x=µ^x

接著將每一個數據 (x_i, yi)，把它的 x 座標 x_i，減掉 x 的平均 μ_x；同時 y 座標 y_i 也減 掉 y 的平均 μ_y，然後兩者相乘，得到 (xi − μ_x)(y_i− μ_y)。這樣子等於算出每個點拉到兩個 新座標軸的矩形「面積」，而這個「面積」是有正負號的，因為如果是在第二象限的點，

(x_i− μ_x) 就會是負的、第四象限的點，(y_i− μ_y) 是負的、第三象限的點，(x_i− μ_x), (yi− μ_y) 都是負的，乘起來變正的。

y=µy

x=µ^x

我們把這每一個「面積」加起來，得到

∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y) (1) 圖中顯然第一、三象限的點多，第二、四象限的點少，這表示大體來說，x 增加的話 y 也跟著增加，我們稱之為正相關。因為第一、三象限的點明顯較多，所以「面積」加

2 相關係數

起來後會是正的。反過來說，若大體而言，x 增加的話 y 會隨之減少，我們稱之為負相 關。則圖中第一、三象限的點少，第二、四象限的點多，所以「面積」加起來後會是負 的。

目前這個式子(1)，可以幫助我們判斷正相關與負相關。但光是這樣還不夠好用，我 們希望可以再進一步判斷相關程度的高低，就是說數據比較集中在迴歸直線附近還是 較為分散，這就是相關係數 的概念。相關係數是正的，即為正相關；相關係數是負的，

則為負相關。相關係數的絕對值越大，就代表相關程度越高。但式子(1)^{顯然不能拿來} 當作相關係數的定義，因為如果我計算一個班級學生座號與成績的相關係數，而隔壁班 正好也有一模一樣的成績分布，我現在兩班合併後再算一次相關係數，照理說相關程度 應該不變，但拿上面那個式子來算會變兩倍！因此現在將式子略作修改，變成

∑_n

i=1(xi−μ_x)(yi−μ_y)

n

(2)

將算「面積」總和，改為算「面積」平均，如此便能消除資料數 n 的干擾。但這還是不 能拿來當作相關係數的定義，因為它會受到數據尺度的影響。舉例來說你調查氣溫(�) 與跑一百米秒數的關係，如果氣溫由攝氏改用華氏(�)^{， 式子}(2) ^{算出來的值就會不} 一樣。可是資料根本還是同一組，只不過作了溫標轉換，相關係數算出來卻不一樣，這 也太荒謬了！

在一維數據分析中，我們便已學過一種消除數據尺度的手法，就是標準化！對於資 料 X，先將每一筆數據 x_i 都減去 x 的平均，減完之後再除以 x 的標準差，如此操作則得 到標準化後的數據 Z：

z

_i =

x

_i− μ_x σx

標準化後的數據，其平均為 0、標準差為 1，如此則消弭了數據尺度這一因素。所以我

μ_x是 x 的平 均，σx 是 x 的 標 準 差，

千 萬 別 被 希 臘 字 母 弄 糊 塗了。

們現在將資料 X 與 Y 都先進行標準化，得到

^x

ⁱ

^−μ

^x

σ

x

與

^y

ⁱ

^−μ

^y

σ

y

，然後再代回 式子(2)

∑n i=1

(

x

_i− μ_x σx

− 0) 

y

_i− μ_y σy

− 0



n

標準化後的數據的平均為 0，所以減去平均那裡都變成減 0。再繼續化簡：

∑n i=1

(

x

_i− μ_x σx

) 

y

_i− μ_y σy



n

=

∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y) σxσy

n

= 1 σxσy

∑n i=1

(xi− μ_x)(yi− μ_y)

n

=

∑n i=1

(xi− μ_x)(yi− μ_y)

nσ

xσy

這就是相關係數的定義了！還可以再套用標準差的定義，寫成

∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

 n

√∑n

i=1(x_i − μ_x)²

 n

√∑n

i=1(y_i− μ_y)²

 n

=

∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

√∑_n

i=1

(xi− μ_x)²

√∑_n

i=1

(yi− μ_y)²

1. 相關係數 r 滿足−1 ≤ r ≤ 1

2.當 r = 1 時，所有資料都在斜率為正 的迴歸直線上，稱為完全正相關

3. 當 r = −1 時，所有資料都在斜率為負 的迴歸直線上，稱為完全負相關

4.當 r 很接近 1，資料集中在斜率為正 的迴歸直線附近，稱為高度正相關

5. 當 r 很接近−1，資料集中在斜率為負 的迴歸直線附近，稱為高度負相關

6.當 r 正但很接近 0，迴歸直線斜率為正

，但資料很分散，稱為低度正相關

7. 當 r 負但很接近 0，迴歸直線斜率為負

，但資料很分散，稱為低度負相關

8.當 r = 0，迴歸直線斜率為 0，此時稱為零相關

9.若對於資料 X, Y 皆進行線性變換：X^′ = aX + b, Y^′ = cY + d，則新資料的相關係數

r(X

^′, Y^′) 與原資料的相關係數 r(X, Y) 之間的關係為

r(X

^′, Y^′)= 



r(X

, Y) , ac > 0

− r(X, Y) , ac < 0

線性變換以後相關係數的絕對值不變，只有在伸縮的 a, c 異號時才會多出負號。

性質 相關係數的性質

注意

(1) 關於相關係數 r 為什麼會介於−1 到 1 之間，一個看法是利用柯西不等式，寫 ((x₁− μ_x)²+ · · · + (xn− μ_x)²) (

(y₁− μ_y)²+ · · · + (yn− μ_y)²)

≥(

(x1− μ_x)(y1− μ_y)+ · · · + (xn− μ_x)(yn− μ_y))2

2 相關係數

即 





∑n i=1

(x_i− μ_x)²









∑n i=1

(y_i− μ_y)²



 ≥





∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)





2

移項後 





∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)





2





∑n i=1

(x_i− μ_x)²









∑n i=1

(y_i− μ_y)²





≤ 1

接著再開根號即得

−1 ≤

∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

√ _n

∑

i=1

(x_i − μ_x)²

√ _n

∑

i=1

(y_i− μ_y)²

≤ 1

另一個看法比較抽象一點，是看成有兩個 n 維的向量

−

⇀

a

=(

x

₁− μ_x, x2− μ_x, · · · , xn− μ_x)

−

⇀

b

=(

y

₁− μ_y, y2− μ_y, · · · , yn− μ_y) 設 −⇀

a

,⇀−

b 夾角為

θ，利用向量的夾角公式

cosθ = ⇀−

a

·⇀− 

b

−⇀

a

⇀−

b

 就可以寫出

cosθ =

∑n i=1

(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

√∑_n

i=1

(x_i− μ_x)²

√∑_n

i=1

(y_i− μ_y)² 因此相關係數可以看成是 −⇀

a 與

⇀−

b 的夾角取餘弦值，所以就會介於

−1 到 1 之間。

cosθ = 1 表示兩向量同向，為完全正相關；cos θ = −1 表示兩向量反向，為完全負相 關；cos θ 越接近 0，就是兩向量越接近垂直，相關程度越低。

(2) 不可將零相關理解成兩資料完全沒有關聯，正確來說是「沒有線性相關」，即無法 找到斜率不為零的直線來表示它們的趨勢，但有可能可以找到曲線來代表它們的趨 勢。例如上面零相關的圖中有一個是數據都在一個圓上，這樣怎能說是 X, Y 完全 無關呢？另外一例是設 X = −1, 0, 1，Y = X²，即有三筆資料 (−1, 1), (0, 0), (1, 1)，則

∑₃

i=1(x_i − μ_x)(y_i− μ_y)= (−1) · ¹₃ + 0 + 1 ·¹₃ = 0，故 r = 0。然而從 Y = X²，已說明兩資 料是有曲線關係的。

(3) 關於線性變換後的相關係數，只要直接將 X^′ = aX + b, Y^′ = cY + d 代入相關係數的 公式，就會有

r(X

^′, Y^′)=

∑n i=1

(x^′_i − μ_x′)(y^′_i − μ_y′)

√ _n

∑

i=1

(x^′_i − μ_x′)²

√ _n

∑

i=1

(y^′_i − μ_y′)²

=

∑n i=1

[(ax_i+ b) − (aμ_x+ b)] [

(cy_i+ d) − (cμ_x+ d)]

√ _n

∑

i=1

[(ax_i + b) − (aμ_x+ b)]2

√ _n

∑

i=1

[(cy_i+ d) − (cμ_x+ d)]2

=

∑n i=1

[

a(x

_i− μ_x)] [

c(y

_i− μ_y)]

√

a

²

∑n i=1

(x_i− μ_x)²

√

c

²

∑n i=1

(y_i− μ_y)²

=

ac

|ac|

r(X

, Y)

若 a, c 同號則

_|ac| ^ac

= 1；若 a, c 異號則

_|ac| ^ac

= −1。

也可以簡單用想的，相關係數是先將兩資料標準化後再代回式子(2)^{。如果伸縮係數}

a 是正的，則 X

^′ = aX + b 的標準化數據與 X 的標準化數據是一樣的；如果伸縮係數

a 是負的，則 X

^′= aX + b 的標準化數據與 X 的標準化數據差負號。所以若 a, c 皆正，

則 X^′ 與 Y^′ 的標準化數據都與 X 和 Y 的標準化數據一樣，那麼再代回式子(2)^當然 不會變；若 a, c 一正一負，標準化後其中一個差負號，再代回式子 (2)^{就多個負號；}

若 a, c 皆負，標準化後兩個都差負號，再代回式子(2)^{就不變號。}

例題 1

令 X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計），則 W = 7(24 − X) 代 表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間。令 Y 代表每個高中生數學學 科能力測驗的成績。設 X, Y 之相關係數 RXY，W, Y 之相關係數為 RWY，則 R_XY 與 RWY 兩數之間的關係，下列選項何者為真？

(A)

R

WY = 7(24 − RXY) (B)

R

WY = 7RXY (C)

R

WY = −7RXY

(D)

R

_WY = RXY (E)

R

_WY = −RXY

90^學測

解

W 為將 X 作線性變換，其伸縮係數

−7 是負的，故 RWY = −RXY。



3 迴歸直線

3 ^迴歸直線

Y 對 X 的迴歸直線，是指在散佈圖中以直線粗略代表整體趨勢，並且當我們由 X 數

據去猜測 Y 數據時，是最可能猜得準的。所謂的最可能猜得準，換句話說，如果我們計 算估測值與實際值之間的誤差，我們希望大量、長期猜下來誤差是比較小的。

先作一條直線 y= mx + b，若由 x = xi 去估測 y 值，就把 x = xi 代到直線 y = mx + b 中，得到我們估測 y= mxi + b。而實際上的數據，則是 (xi, yi)，如下圖所示。估測的誤 差，就是估測值 y= mxi+ b 與實際值 y = yi 之間的差，也就是圖中兩點的鉛直距離。

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

誤差 (xi, yi) (xi, mxi+ b)

這個距離就是yi− (mxi+ b)，如果我們能決定出

y

= mx + b 的係數 m 與 b，使得所 有的距離加起來要最小，我們可以相信這條直線符合我們需求。但是實際運算會超級麻 煩，我們居然要把一堆絕對值相加，還要求怎樣的 m, b 會使這個加總極小！為了運算上 簡便，我們將「所有誤差的絕對值總和」改成「所有誤差的平方和」。這是因為平方和比 起絕對值的和好處理多了，這跟標準差的定義也是取平方和是一樣的道理。所以我們現 在改這樣說，如果我們能決定出係數 m 與 b，使得所有的誤差平方(

y

_i − (mxi+ b))2

加起 來要最小，這樣的 y= mx + b 就是迴歸直線。這個方法叫做 最小平方法，而這樣求出的 迴歸直線又可稱 最小平方直線。

20 30 40 50 60 70 80 90 100

2 4 6 8 10 12 14

先 將 Y 與 X 都先標準化 ，得到 Y^′ 與 X^′，則 Y^′對 X^′的最小平方直線，經過一番很 複雜的運算後，可得到簡單的結果

y

^′ = r · x^′

數據標準化後迴歸直線斜率恰為相關係數。接著再代 x^′ =

^{x −μ} _σ

^x

x , y^′ =

^{y −μ} _σ

^y

y ， 得到

y

− μ_y σy

= r ·

x

− μ_x σx

再移項後就有

y

− μ_y = r · σy

σx

(x− μ_x) 這就是 Y 對 X 的迴歸直線公式。

注意

(1) 迴歸直線必過 (μ_x, μ_y)。這條直線既然能代表全體，當然也通過具代表性的平均數。

(2) 若是想改由 Y 來估測 X，就要改求 X 對 Y 的迴歸直線，這樣通常會是不同條直線，

因為這樣估測誤差就會變成水平距離而非鉛直距離。

(3) 套用相關係數與標準差的公式，寫成

y

− μ_y =

∑(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

√∑(x_i − μ_x)²

√



∑



(y_i− μ_y)²

·

√



∑



(y_i− μ_y)²

 n

√∑(xi− μ_x)²

 n

· (x − μ_x)

⇒ y − μ_y =

∑(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

∑(x_i− μ_x)² · (x − μ_x)

這樣許多時候算起來更快。

(4) 物理的運動學中有個公式 v= v0+ at，末速等於初速加上加速度乘以時間。如果我們 做個實驗，固定了初速 v0與加速度 a，然後測量在不同的時間 t 時的速度 v。因為測 量數據難免有些許誤差，所以將數據描點出來後，不會那麼完美地成一直線。但如 果我們求迴歸直線，就會很接近 v = v0+ at。換句話說，想透過做實驗來驗證已知公 式或者猜測未知公式，在實驗難免有誤差的情況下，求迴歸直線是個重要手段。

(5) 為何叫「迴歸」直線？因為統計學家Galton發現，父母的身高越高，子代通常較父 母矮而較普通人高，是為「迴歸平庸」(Regression towards mediocrity)^{。後來為紀} 念Galton^{，便沿用了迴歸直線}(regression line)^{這一名稱。}

3 迴歸直線

例題 2

設 (x1, y1) = (2, 3), (x2, y2) = (3, 1), (x3, y3) = (4, 2)，D = (y1− a − bx1)²+ (y2− a −

bx

₂)²+ (y3− a − bx3)²。試求出實數 a 與 b 使得 D 有最小值。

解

若直線 L 方程為 y= bx + a，則點 (xi, yi) 鉛直對應到 L 線上的點就是 (x_i, bxi+ a)。所 以 D=

∑3 i=1

(y_i− (bxi+ a))²的意義就是鉛直距離的平方和。這題問的就是最小平方法！

先求出 μ_x = 3, μ_y = 2，再利用公式

y

− μ_y =

∑(x_i − μ_x)(y_i − μ_y)

∑(x_i− μ_x)² · (x − μ_x) 就可得到

y

− 2 =(−1)(−1) + 0 + 0

(−1)²+ 0 + 1² · (x − 3)

⇒ y − 2 =1

2 · (x − 3)



例題 3

經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的資料，得 到這樣的結論：『員工就學年數每增加一年，其年薪平均增加8^萬5^{千元』。試} 問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到？

(1)「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數 (2)「年薪」之全距與「就學年數」之全距 (3)「年薪」之平均數與「就學年數」之平均數 (4)「年薪」與「就學年數」之相關係數

(5)「年薪」對「就學年數」之迴歸直線斜率

98^數乙

解

只要你明白什麼叫迴歸直線，這題就是來送分的，一看就是(5)^{，別的都不可能。}



例題 4

某人進行一實驗來確定某運動之距離 d 與時間 t 的平方或立方成正比，所得數據 如下：

時間 t（秒） 距離 d（呎）

0.25 0.95 0.5 3.69 0.75 9.71 1 14.88 1.25 22.32 1.5 39.34 1.75 48.68 2 53.65 2.25 71.79

為探索該運動的距離與時間之關係，令 x = log2

t

, y = log2

d，即將上述的數據

(t, d) 分別取以 2 為底的對數變換，例如：(2, 53.65) 變換後成為 (1, 5.74)。已知變 換後的數據 (x1, y1), (x2, y2), · · · (x9, y9) 之散佈圖及最小平方法所求得變數 y 對變數

x 的最適合直線（或稱迴歸直線）為 y

= a + bx，如下圖所示

試問下列哪些選項是正確的？

(1)若 d = 14.88，則 3 < log2

d

< 4 (2)

x 與 y 的相關係數小於 0

.2 (3)由上圖可以觀察出 b> 2.5 (4)由上圖可以觀察出 a> 2

(5)由上圖可以確定此運動之距離與時間的立方約略成正比

97^數甲

3 迴歸直線

解

(1) ⃝ 3 = log₂8< log₂14.88 < log₂16= 4 (2) ^{ 由圖看來為高度相關}

(3) ^{ 由圖觀察斜率約為}

⁴ ₂

= 2

(4) ⃝ a 為迴歸直線的 y 截距，大約為 4

(5) ^{ 承}(3)，因斜率大約為 2，故運動距離約與時間平方成正比。



注意

此題便用物理實驗入題，並演示了公式並不一定要是線性的，如果有幾次方的正比

（或反比）關係，只要取個對數就變成線性關係了。這同時亦說明了對數的用處。

例題 5

已知以下各選項資料的迴歸直線(^{最適合直線})皆相同且皆為負相關，請選出相 關係數最小的選項。

(1)

^x

^{2 3 5}

y

1 13 1 (2)

^x

^{2 3 5}

y

3 10 2 (3)

^x

^{2 3 5}

y

5 7 3

(4)

^x

^{2 3 5}

y

9 1 5 (5)

^x

^{2 3 5}

y

7 4 4

102^學測

解

觀察每個選項的 X 資料皆相同，每個選項的 Y 資料總和亦皆相同（所以平均也相 同）。而每個選項的迴歸直線 y− μ_y = r · σy

σx

(x− μ_x) 相同，若 σy 越小，r 便負得越多（相 乘是定值），也就是越小。所以要找相關係數最小，只須判斷哪個選項的 σy 最小。而顯 然(5)的 Y 的標準差是最小的（最集中），故選(5)^。



例題 6

統 計 某 一 公 司 在 過 去 10 年 中，每 年 廣 告 費 (X) 與 營 業 額 (Y) 的 資 料 為：

(x₁, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · , (x10, y10)。計算得到平均數、標準差與相關係數如 下：μ_X = 20 萬元，μ_Y = 1500 萬元，σX = 4 萬元，σY = 50 萬元，r = 0.8。若今年 要有 2000 萬元的營業額，則約需花 萬元的廣告費。

解

利用迴歸直線公式，寫出

y

− 1500 = 0.8 ·50

4 (x− 20) 再代 y= 2000，得到 x = 70。

像這樣寫，就錯啦！仔細看清題目，所求是利用營業額 (Y) 估測廣告費 (X)，所以應 該寫 X 對 Y 的迴歸直線

x

− 20 = 0.8 · 4

50(y− 1500) 再代 y= 2000，得到 x = 52。

千萬要注意是誰對誰的迴歸直線



例題 7

設兩變數 X 與 Y 的 n 筆資料為 (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)，且 Y = −X + 7，若變 數 X^′ =

^{X −μ} _σ

^x

x , Y^′ =

^{Y −μ} _σ

^y

y ，其中 μ_x, μ_y 分別為 X, Y 的算術平均數，σx, σy 分別為

X

, Y 的標準差，請選出下列正確選項：

(A)

r

XY = 1 (B)

r

_X′Y^′ > rXY

(C)

Y

^′對 X^′的迴歸直線為 y^′ = −x^′

(D)

Y

^′對 X^′ 的迴歸直線斜率 m^′等於 Y 對 X 的迴歸直線斜率 m

(E)若 μ_X = 0，則 Y^′ 對 X^′ 的迴歸直線與 Y 對 X 的迴歸直線是同一條直線。

解

Y

= −X + 7 的意思是兩資料完全符合這關係。換句話說，yi = −xi+ 7 對於 i = 1, · · · , n 皆成立。所以所有資料都完全在直線 y= −x + 7 上，而這條正是迴歸直線。

3 迴歸直線

(1) ^ 所有資料完全在斜率為負的直線上，是為完全負相關，故 r_XY = −1 (2) ^{ 標準化不改變相關係數}

(3) ⃝ 標準化數據 Y^′對 X^′的迴歸直線為 y^′ = rx^′ (4) ⃝ 承(3)，m= m^′ = −1

(5) ^ 我們前面已分析出這兩條迴歸直線，無論 μ_x 值為何都不改變。



例題 8

某校高三共有 300 位學生，數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 X，Y 表 示，且每位學生的成績用 0 至 100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.016，試問下列哪些選項是正確的？

(1)

X 與 Y 的相關情形可以用散佈圖表示

(2)這兩次段考的數學成績適合用直線 X= a + bY 表示 X 與 Y 的相關情形

（a, b 為常數，b , 0）

(3)

X

+ 5 與 Y + 5 的相關係數仍為 0.016 (4)10X 與 10Y 的相關係數仍為 0.016 (5)若 X^′ =

X

− X

S

_X 、Y^′ =

Y

− Y

S

_Y ，其中 X 、Y 分別為 X、Y 的平均數，S_X、S_Y 分 別為 X、Y 的標準差，則 X^′與 Y^′ 的相關係數仍為 0.016

96^指考甲

解

(1) ⃝ 當然可以，怎麼不可以？

(2) ^ 相關係數 0.016 太低，故不適合 (3) ⃝ r(X + 5, Y + 5) = r(X, Y) = 0.016

資料平移不影響相關係數 (4) ⃝ r(10X, 10Y) = r(X, Y) = 0.016

資料伸縮且伸縮係數同號，不影響相關係數 (5) ⃝ 標準化不影響相關係數



4 ^總結

如何記憶相關係數公式？

1. 計算數據標準化後的「面積」平均，即

∑

x

^′_i · y^′_i

n

2. ^{代回原數據，得}

∑ (

^x

ⁱ

−μ

x

σ

x

) (

_y

_i

_−μ

y

σ

y

)

n

=

∑(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

nσ

xσy

| {z }

公式1

3. ^{套用標準差公式，得} _∑

(xi− μ_x)(yi− μ_y)

√∑(xi− μ_x)²√∑

(yi− μ_y)²

| {z }

公式2

如何記憶迴歸直線公式？

1. 數據標準化後，Y^′ 對 X^′ 的迴歸直線為

y

^′_i = r · x^′i

2. ^{代回原數據，得}

y

_i− μ_y σy

= r

(

x

i− μ_x σx

)

⇒ yi− μ_y = r · σy

σx

(x_i− μ_x)

| {z }

公式1

3. ^{套用標準差公式，得}

y

− μ_y =

∑(x_i− μ_x)(y_i− μ_y)

∑(x_i− μ_x)² · (x − μ_x)

| {z }

公式2