習題3-2詳解一、基本題1.

105 上高二習題 3.2 第 1 頁 翰林 cjt

習題 3-2 詳解

一、基本題

1. 如下圖所示，若∣av

∣＝3，∣ bv

∣＝4，試求 av

‧ bv

之值。

解 平移後，可得 av 與 bv

的夾角為 150°，

故由內積定義可得

av

‧ bv

＝∣ av

∣∣ bv

∣cos 150°＝3‧4‧ ³ 2

 

− 

 

 ＝ 6 3− 。

2. 已知坐標平面上三點 A（3，－2），B（－1，1），C（5，4），求 uuuvAB

‧ ACuuuv

之值。

解 uuuvAB

＝（－4，3）， ACuuuv

＝（2，6），

則uuuvAB

‧ ACuuuv

＝（－4，3）‧（2，6）＝－8＋18＝10。

3. 如下圖，請問向量 uuuvAC

，uuuvAD

，uuuvAE

，uuuvAF

中，與向量 uuuvAB

內積的結果，最大與最小分別是 哪一個？

解 uuuvAC

‧uuuvAB

＝ AC′uuuuv

‧uuuvAB

＝∣ AC′uuuuv

∣∣uuuvAB

∣

uuuvAD

‧uuuvAB

＝uuuuvAD′

‧uuuvAB

＝∣uuuuvAD′

∣∣uuuvAB

∣

uuuvAE

‧uuuvAB

＝uuuuvAE′

‧uuuvAB

＝∣uuuuvAE′

∣∣uuuvAB

∣

uuuvAF

‧uuuvAB

＝uuuuvAF ′

‧uuuvAB

＝∣uuuuvAF ′

∣∣uuuvAB

∣

故得內積最小值為 ACuuuv

‧uuuvAB

，最大值為uuuvAE

‧uuuvAB

。

105 上高二習題 3.2 第 2 頁 翰林 cjt

4. 假設實數 x，y 滿足（x－2）²＋（y＋3）²＝9，試求 3x＋4y 的最大值與最小值及此時 x，y 的 值。

解 由柯西不等式得

（（x－2）²＋（y＋3）²）（3²＋4²） ≥ （3（x－2）＋4（y＋3））²， 又（x－2）²＋（y＋3）²＝9，代入上式得 9（3²＋4²） ≥ （3x＋4y＋6）²， 即－15 ≤ 3x＋4y＋6 ≤ 15  －21 ≤ 3x＋4y ≤ 9，

等號成立於 ^{2 3}

3 4

x− y+

= 時，令 x－2＝3k，y＋3＝4k

 x＝2＋3k，y＝－3＋4k 代入（x－2）²＋（y＋3）²＝9，

得 25k²＝9  k＝±³ 5。 (1) 若 k＝³

5，則 x＝¹⁹

5 ，y＝－³

5 時，3x＋4y 有最大值 9。

(2) 若 k＝－³

5，則 x＝¹

5，y＝－²⁷

5 時，3x＋4y 有最小值－21。

5. 設 av

＝（1，0）， bv

＝（ 3 ，1），試求：

(1) av

， bv

的內積。

(2) av 與 bv

的夾角。

(3) av 在 bv

上的正射影。

解 (1) av

‧ bv

＝（1，0）‧（ 3 ，1）＝ 3 。

(2) 設 av 與 bv

之夾角為 θ，

則 3 3

cos 1 2 2

a b a b

θ = ⋅ = =

⋅ v v

v v ，所以 θ＝30°。

(3) ^{a b2 b} ₄³

( )

b

 ⋅     

  =  = 

 

     

 

v v v

v 。

105 上高二習題 3.2 第 3 頁 翰林 cjt

二、進階題

6. 若四邊形 ABCD 為平行四邊形且AB＝7， BC ＝4，若一對角線長為 9，試求另一對角線長。

解 由平行四邊形定理可得 AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD²， 假設 AC ＝9， AC ＝x，代入可得 7²＋4²＋7²＋4²＝9²＋x² x＝7，

故另一對角線長為 7。

7. 已知 cv

＝2 av

＋3 bv

，且∣ av

∣＝3，∣ bv

∣＝2，∣ cv

∣＝6，試求：

(1) av

‧ bv

之值。

(2) av

， bv

兩向量的夾角。

解 (1) 因為cv

＝2 av

＋3 bv

，故∣ cv

∣²＝∣2 av

＋3 bv

∣²

∣ cv

∣²＝4∣ av

∣²＋12（ av

‧ bv

）＋9∣ bv

∣²

 6²＝4‧3²＋12（ av

‧ bv

）＋9‧2² av

‧ bv

＝－3。

(2)  3＝av

‧ bv

＝∣ av

∣∣ bv

∣cos θ＝3‧2‧cos θ

 cos θ＝－¹

2 θ＝120°。

8. 已知向量OAuuuv

＝（4，6）， OBuuuv

＝（3，5）且 OCuuuv

⊥ OAuuuv

， ACuuuv //OBuuuv

，試求 OCuuuv

。

解 設 OCuuuv

＝（a，b），則 ACuuuv

＝ OCuuuv

－ OAuuuv

＝（a－4，b－6）。

(1) 因為 OCuuuv

⊥ OAuuuv

，所以 OCuuuv

‧ OAuuuv

＝0  4a＋6b＝0。

(2) 因為uuuvAC //OBuuuv

，所以 ^{4 6}

3 5

a− b−

=  5a－3b＝2。

由(1)、(2)得 4 6 0 5 3 2

a b a b

+ =

 − =

 

2 7

4 21 a

b

 =

 = −



故 ², ⁴

7 21

OC= − 

uuuv 。

105 上高二習題 3.2 第 4 頁 翰林 cjt

9. 設av

＝（p，q）， bv

＝（r，s），已知∣ av

∣＝3，∣ bv

∣＝4，試求 pr＋qs 的範圍。

解 ∣ av

‧ bv

∣ ≤ ∣ av

∣∣ bv

∣

 ∣pr＋qs∣ ≤ 12

 －12 ≤ pr＋qs ≤ 12。

三、挑戰題

10.下圖邊長為 2 的正三角形 ABC 中，D，E，F 為各邊中點，試問在 GAuuuv

， GBuuuv

，…， GFuuuv 六 個向量中任取兩向量作內積，可得到哪些不同的值？

解 設正三角形 ABC 之邊長為 2，則∣uuuvAD

∣＝ 3

∣ GAuuuv

∣＝∣ GBuuuv

∣＝∣ GCuuuv

∣＝^{2 3}

3 ，∣ GDuuuv

∣＝∣ GEuuuv

∣＝∣ GFuuuv

∣＝ ³

3 。

(1) GAuuuv

‧ GFuuuv

＝∣ GAuuuv

∣∣ GFuuuv

∣cos 60°＝^{2 3 3 1 1} 3 ⋅ 3 ⋅ =2 3； (2) GAuuuv

‧ GBuuuv

＝∣ GAuuuv

∣∣ GBuuuv

∣cos 120°＝2 3 2 3 1 2

3 3 2 3

⋅ ⋅   = − ；

(3) GAuuuv

‧ GDuuuv

＝∣ GAuuuv

∣∣ GDuuuv

∣cos 180°＝^{2 3 3}

( )

3 ⋅ 3 ⋅ − = −3； (4) GFuuuv

‧ GEuuuv

＝∣ GFuuuv

∣∣ GEuuuv

∣cos 120°＝ 3 3 1 1

3 3 2 6

 

⋅ ⋅ − = − 。

由(1)～(4)知，共有 ¹ 3， ²

−3， ¹

−6 三個值。