4-3 圓與直線的關係圓與直線的關係圓與直線的關係圓與直線的關係

(1)

4-3 圓與直線的關係圓與直線的關係圓與直線的關係圓與直線的關係

例題例題

例題例題 1 圓的標準式圓的標準式圓的標準式圓的標準式

試求滿足下列條件的圓方程式：

(1)圓心為^K

(

^{3 , 6}

)

^{，半徑為 4}

(2)圓心為^A

(

^{1 , 0}

)

^{，圓上一點}^P

(

^{4 ,}^－³

)

解解

解解 (1)由標準式可得

(

^x^－³

) (

²^{＋－}^y ⁶

)

²^＝⁴²

故圓方程式為

(

^x^－³

) (

²^{＋－}^y ⁶

)

²^＝¹⁶

(2)

(

^x^－¹

) (

²^{＋－}^y ⁰

)

²^{＝＋＝}⁹ ^{9 18}

故圓方程式為

(

^x^－¹

)

²^＋^y²^＝¹⁸

例題例題例題

例題 2 求圓的方程式求圓的方程式求圓的方程式求圓的方程式

已知平面上點^A

(

^{2 ,}^－¹

)

^，點^{B －}

(

^{4 , 3}

)

，試求以 AB 為直徑的圓方程式 解

解

解解先求AB中點^{M －}

(

^{1 , 1}

)

取 M 為圓心，A 為圓上一點 可得

(

^x^＋¹

) (

²^{＋－}^y ¹

)

²^{＝＋＝}⁹ ^{4 13}

故圓方程式為

(

^x^＋¹

) (

²^{＋－}^y ¹

)

²^＝¹³

(2)

例題例題

例題例題 3 將圓的一般式轉換為標準式將圓的一般式轉換為標準式將圓的一般式轉換為標準式將圓的一般式轉換為標準式

已知一圓的方程式為x²＋y²＋2x－6y＋＝4 0，試求此圓的圓心與半徑

解解

解解分別對 x、y 配方

(

^x²^＋²^x

) (

^＋ ^y²^－⁶^y

)

^＝－⁴

(

^x^＋¹

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^{＝－＋＋}^{4 1 9}

(

^x^＋¹

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^＝⁶

故得圓心為

(

^－^{1 , 3}

)

^，半徑為 ⁶

例題例題

例題例題 4 判斷是否為圓判斷是否為圓判斷是否為圓判斷是否為圓

試判斷下列方程式的圖形為何？

(1)x²＋y²－2x＋8y＋＝ 17 0 (2)x²＋y²＋6x－2y＋＝ 6 0 (3)x²＋y²＋4x－6y＋＝ 16 0

解解解

解分別對各式配方

(1)

(

^x²^－²^x

) (

^＋ ^y²^＋⁸^y

)

^＝－¹⁷

(

^x^－¹

) (

²^{＋＋}^y ⁴

)

²^{＝－＋＋}^{17 1 16}

(

^x^－¹

) (

²^{＋＋}^y ⁴

)

²^＝⁰

∴圖形為一點

(

^{1 ,}^－⁴

)

(2)

(

^x²^＋⁶^x

) (

^＋ ^y²^－²^y

)

^＝－⁶

(

^x^＋³

) (

²^{＋－}^y ¹

)

²^{＝－＋＋}⁶ ^{9 1}

(

^x^＋³

) (

²^{＋－}^y ¹

)

²^＝⁴

∴圖形為一圓，圓心為

(

^－^{3 , 1}

)

^{，半徑為 2}

(3)

(

^x²^＋⁴^x

) (

^＋ ^y²^－⁶^y

)

^＝－¹⁶

(

^x^＋²

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^{＝－＋＋}¹⁶ ⁴ ⁹

(

^x^＋²

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^＝－³

∴圖形不存在

(3)

例題例題

例題例題 5 圓與直線的關係圓與直線的關係圓與直線的關係圓與直線的關係

已知圓C x：＋² y²＋4x－4y－＝17 0，試判斷圓 C 與下列各直線的關係。

(1)L₁：－4x 3y－＝ 11 0 (2)L₂：＋3x 4y＋＝ 7 0 (3)L₃：＋＋＝ x y 10 0

解解

解解將圓配方得圓 ^C^{：＋}

(

^x ²

) (

²^{＋－}^y ²

)

²^＝²⁵

∴圓心為^{A －}

(

^{2 , 2}

)

^{，半徑 r＝5}

(1)點 A 到直線 L₁ 的距離為

( )

²

2

8 6 11 25 5 4 3 5

－－－

＝＝

＋－

∴圓 C 與直線 L₁ 相切

(2)點 A 到直線 L₂ 的距離為

2 2

6 8 7 9 5 3 4 5

－＋＋

＋＝＜

∴圓 C 與直線 L₂ 交於兩點

(3)點 A 到直線L₃的距離為

2 2

2 2 10 10

5 2 5

1 1 2

－＋＋

＝＝＞

＋

∴圓 C 與直線L₃不相交

例題例題

例題例題 6 過圓上一點的切線方程式過圓上一點的切線方程式過圓上一點的切線方程式過圓上一點的切線方程式

已知圓C x：＋² y²－2x－6y＋＝2 0，圓上一點^P

(

^{3 , 1}

)

，試求過 P 點且與圓 C 相切的直線方程 式。

解解

解解將圓配方得圓 ^C^{：－}

(

^x ¹

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^＝⁸

∴圓心為^A

(

^{1 , 3}

)

設切線 L 上另一點為 ^{Q x}

(

^, ^y

)

^，顯然 ^AP^⊥^PQ

即（直線 AP 的斜率）．（直線 PQ 的斜率）等於－1 故得 1 3 1

3 1 3 1 y

×x

－－

－－＝－

整理可得 x－y－2＝0

〈另解〉

將圓配方得圓 ^C^{：－}

(

^x ¹

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^＝⁸

∴圓心為^A

(

^{1 , 3}

)

直線 AP 的斜率為 1 3 3 1 1

－＝－

－

令切線 L 的斜率為 m，得(－1)m＝－1

∴ m＝1

由點斜式得 y－1＝1(x－3) 故所求為 x－y－2＝0

(4)

例題例題

例題例題 7 過圓外一點的切線方程式過圓外一點的切線方程式過圓外一點的切線方程式過圓外一點的切線方程式

試求過點^{P －}

(

^{2 ,}^－¹

)

^且與圓^{C x}^{：＋}² ^y²^－¹⁰^x^＋⁴^y^{＋＝}¹⁹ ⁰^{相切的直線方程式}

解解

解解將圓配方得圓 ^C^{：－}

(

^x ⁵

) (

²^{＋＋}^y ²

)

²^＝¹⁰

∴圓心為^A

(

^{5 ,}^－²

)

^，半徑為 ¹⁰

(

^{2 ,} ¹

)

P － －代入 x²＋y²－10x＋4y＋19 得4 1＋＋20－＋＝4 19 40＞0 ∴ P 在圓外

令切線為 L：y＋1＝m(x＋2) L：mx－y＋2m－1＝0 圓心^A

(

^{5 ,}^－²

)

到 L 的距離等於半徑

2

5 2 2 1

10 1

m m

m

＋＋－

＋＝

7m＋＝1 10 m2＋1 兩邊平方

⁴⁹^m²^＋¹⁴^m^{＋＝}^{1 10}

(

^m²^＋¹

)

³⁹^m²^＋¹⁴^m^{－＝}⁹ ⁰

(

³^m^－^{1 13}

)(

^m^{＋＝}⁹

)

⁰^，^m＝¹₃^或^－₁₃⁹

故所求為^y^{＋＝}¹ ¹₃

(

^x^＋²

)

^或 ^y^{＋＝－}¹ ₁₃⁹

(

^x^＋²

)

整理得 x－3y－1＝0 或 9x＋13y＋31＝0

例題例題例題

例題 8 點到圓的最短與最長距離點到圓的最短與最長距離點到圓的最短與最長距離點到圓的最短與最長距離

已知圓C x：＋² y²－6x－4y－＝12 0，試求下列各點到圓 C 的最長距離與最短距離：

(1)^{P －}

(

^{3 , 10}

)

⁽²⁾^Q

(

^{4 , 3}

)

解解解

解將圓配方得

圓 ^C^{：－}

(

^x ³

) (

²^{＋－}^y ²

)

²^＝²⁵

圓心為^A

(

^{3 , 2}

)

^{，半徑 r＝5}

(1)^{AP＝－－}

(

³ ³

) (

²^＋¹⁰^－²

)

²

＝ 36＋64＝＞10 5

∴ P 在圓外 如圖(一)

故最長距離為 10＋5＝15 最短距離為 10－5＝5

(2)^AQ＝

(

⁴^－³

) (

²^{＋－}³ ²

)

²

＝ 1 1＋＝ 2＜5

∴ Q 在圓內 如圖(二)

故最長距離為 5＋2 最短距離為 5－2

圖(一) 圖(二)

(5)

例題例題

例題例題 9 直線與圓的關係判別直線與圓的關係判別直線與圓的關係判別直線與圓的關係判別

已知直線 L：3x－4y＋k＝0 與圓C x：＋² y²＋4x－6y－＝3 0，試求滿足下列各條件的 k 值範圍：

(1)直線 L 與圓 C 交於兩點 (2)直線 L 與圓 C 相切 (3)直線 L 與圓 C 不相交

解解

解解將圓配方得圓 ^C^{：＋}

(

^x ²

) (

²^{＋－}^y ³

)

²^＝¹⁶

∴圓心 ^{A －}

(

^{2 , 3}

)

^{，半徑 r＝4}

∴ A 到 L 的距離為

( )

²

2

6 12 18

3 4 5

k k

－－＋－

＝

＋－

(1)L 與 C 交於兩點

18 5 4

k－＜ k－18＜20 －20＜k－18＜20

∴ －2＜k＜38 (2)L 與 C 相切

k－18＝20k－＝18 ±20 k＝38 或－2 (3)L 與 C 不相交

k－18＞20k－18＜－20 或 k－18＞20 得 k＜－2 或 k＞38

例題例題例題

例題 10 圓方程式的條件圓方程式的條件圓方程式的條件圓方程式的條件

方程式C x：＋² y²＋4x＋＋＋＝ky k 7 0，其中 k 是變動的實數，如果此方程式的圖形是一個圓，

試求 k 的範圍。

解解解

解將方程式配方得

( )

²

( )

² ² ²

: 2 7 4 3

2 4 4

k k k

C x＋＋＋y ＝－－＋＋k ＝－－＋k 若 C 為一圓，則

2

3 0

4 k k

－－＋＞

－4k－＋＞12 k² 0k²－4k－＞12 0

(

^k^－⁶

)(

^k^{＋＞}²

)

⁰

∴ k＜－2 或 k＞6

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