國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考試題
(考試時間:80分鐘,應考班級:高一仁~和)
1、 單選題:(每題5分,共10分。每題答對得5分,答錯得0分,未作答不給分。)
1. 小龍年初向銀行借118萬元﹐年利率6%﹐採複利計算﹐若小龍預計在每年年底還本息一次
﹐且每次還的款項相等﹐8年還清﹐請問小龍每次要還多少元? (已知(1.06)7 1.50 , (1.06)
8 1.59 , (1.06)9 1.69)
(1)168000元 (2)180000元 (3)188800元 (4)189800元 (5)190800元
2. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求﹐才有資格參選模範生﹒
一﹑國文成績或英文成績70分(含)以上﹔ 二﹑數學成績及格﹒
已知小文上學期英文58分而且他不符合參選模範生資格﹐請問下列哪一個選項的推論是正 確的﹖ (1)小文的國文成績未達70分 (2)小文的數學成績不及格 (3)小文的國文成績70分以
上但數學成績不及格 (4)小文的國文成績未達70分或數學成績不及格 (5)小文的國文成績 未達70分且數學成績不及格
2、 多重選擇題:(每題8分,共32分。每題全對得8分,只錯一個選項可得5分,
錯兩個選項可得2分,錯超過兩個選項或未作答不給分。)
1. 設 a 是一個公比為負數的等比數列﹐其中n a1a2a3 9﹐a2a5 54 請選出正確的
選項 (1) a1
=2 (2)公比為
6 (3)
8 384
a
(4)前10項的和為1025 (5) 1
an 亦為等比數列 2. 據說畢達哥拉斯研究過這樣的問題﹕下圖中的黑點分別落在正五邊形的頂點或邊上﹐第1
圖有5個黑點﹐第2圖共有12個黑點﹐第3圖則有22個黑點﹒設a 為第 n 圖中黑點的總數﹐n 即a1 ﹐5 a2 12﹐a3 22﹐… 依此類推 請選出正確的選項
(1)
4 35
a (2)
1 (3 1), 2
n n
a a n n (3)
( 1)(3 2)
n 2
n n a
(4)
19 590
a
(5)
8 1
n 398
n
a
3.下列哪些選項是正確的﹖(1)5 5
1 1
(2 7) 2 7
k k
(2)
4 4
1 3 1 3
k k
k n
k n
(3)
2 2
1 1
( )
n n
k k
k k
(4)
4 6
- 2
1 k 3 n
k n
a a
(5)
9 1
1 1 1 1
1 3 3 5 ... 9 11k k k( 2)
4. 從1到1000的連續正整數中﹐下列哪些選項是正確的﹖
(1)不含0的有729個數字
(2)恰含一個0(如20﹐702)的有171個數字 (3)至少含一個0(如 20, 400, 1000 )的有180個數字
(4)含有奇數個0的有172個數字
(5)若將這1000個數字逐一寫出﹐共寫了192個0
三、填充題(全對才給分。不依題號順序,依答對格數給分,請參考分數對照表,共50分)
格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 6 12 18 24 30 34 38 42 46 50
1. 設有一數列 a 之前n n
項和為Sn a1 a2 ... an 5n22n,則一般項a =n ________
2. 設三正數成等差數列﹐其和為39﹐若三數依序加上 3, 7, 29 ﹐則成為等比數列﹐求此三數 中最小的數為____________
3. 設數列 an
中滿足 1 1 a 2
且 1 4 3
n n
n
a a
a
﹐ n
為正整數﹐求數對
2 10
( ,a a )
____________
4. 如右圖最大正方形T 的周長64,1 C 為1 T 之內切圓,1 T 為2 C 之內接正方形1
,C 為2 T 之內切圓,如此繼續下去,得到一序列的圓形2 C ,1 C ,2 C ,…. 3
,設a 為圓形n C 之面積,試求n n 時、數列2 a 與n an1的遞迴關係式為
5. 數列a1 1 38,a2 2 35, a3 3 32, ,⋯ ak k (41 3 ), k ⋯, a10 10 11共有十項﹐且其和 為360﹐則a1 ⋯ ak ⋯ a10之值為____________
6. 級數和 2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 4 3 6 11 22
⋯
__________
7. 設 , ,a b c 為 ABC△ 之三邊且 , ,a b c 均為正整數﹐若a b c ﹐a b c 19﹐問滿足條件 的數對
a b c 有_______組, ,
8. 在1到800的正整數中﹐與90的最大公因數為15的數有________個
9. 用六種不同顏色塗右列圖形的空白區域﹐每塊區域只塗一種顏色﹐顏色可 重複使用﹐但相鄰區域不同色﹐有________種塗法
10. 已知一數列:
1 1 4 1 4 9 1 4 9 16 1 4 9 16 25 , , , , , , , , , , , , , , ,...
3 5 5 7 7 7 9 9 9 9 11 11 11 11 11 ,依此規則,求此數列的前 66
項和為________
四、證明題:(共8分)
1. 利用數學歸納法證明﹕對於所有正整數
n 12 32 52
2 1
2 1
2 1 2
1
n 3n n n
⋯ 恆 成立
【試題結束】
國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考答案卷
高一 班 座號: 姓名:
一、單選題:(每題5分,共10分。每題答對得5分,答錯得0分,未作答不給分。)
1 2
5 4
二、多重選擇題:(每題8分,共32分。每題全對得8分,只錯一個選項可得5分,
錯兩個選項可得2分,錯超過兩個選項或未作答不給分。)
1 2 3 4
35 1234 14 245
三、填充題(全對才給分。不依題號順序,依答對格數給分,請參考分數對照表,共50分)
格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 6 12 18 24 30 34 38 42 46 50
1 2 3 4 5
10n7 5 7 55
( , ) 5 29
an
= 1 1
2an 740
6 7 8 9 10
209 312
10 18 1560 286
3
四、證明題:(共8分)
1. 利用數學歸納法證明﹕對於所有正整數
n 12 32 52
2 1
2 1
2 1 2
1
n 3n n n
⋯ 恆 成立
證明(1)當 1 n
時﹐左式 12 1
=右式 1 1 2 1 1 2 1 1 1
3
原式成立…… (1分) (2)設
n k
時原式成立﹐ 即12 32 52 2 12 1 2 1 2 1
k 3k k k
⋯
……….﹒(1分) 當n k 時﹐1
左式 12 3252 ⋯ 2k1 2 2k12 1 2 1 2 1 2 12
3k k k k
132k1 2
k2 k 6k3
132k1 2
k25k3
12 1 1 2 3
3 k k k
1 1 2
1 1 2
1 1
3 k k k
右式﹐ 原式也成立﹒………(5分) 故由數學歸納法故得證 ……﹒(1分)
國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考答案卷
高一 班 座號: 姓名:
一、單選題:(每題5分,共10分。每題答對得5分,答錯得0分,未作答不給分。)
1 2
二、多重選擇題:(每題8分,共32分。每題全對得8分,只錯一個選項可得5分,
錯兩個選項可得2分,錯超過兩個選項或未作答不給分。)
1 2 3 4
三、填充題(全對才給分。不依題號順序,依答對格數給分,請參考分數對照表,共50分)
格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 6 12 18 24 30 34 38 42 46 50
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
四、證明題:(共8分)
1. 利用數學歸納法證明﹕對於所有正整數
n 12 32 52
2 1
2 1
2 1 2
1
n 3n n n
⋯ 恆 成立