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國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考試題

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Academic year: 2021

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(1)

國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考試題

(考試時間:80分鐘,應考班級:高一仁~和)

1、 單選題:(每題5分,共10分。每題答對得5分,答錯得0分,未作答不給分。)

1. 小龍年初向銀行借118萬元﹐年利率6%﹐採複利計算﹐若小龍預計在每年年底還本息一次

﹐且每次還的款項相等﹐8年還清﹐請問小龍每次要還多少元? (已知(1.06)7 1.50 , (1.06)

8 1.59 , (1.06)9 1.69)

(1)168000元 (2)180000元 (3)188800元 (4)189800元 (5)190800元

2. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求﹐才有資格參選模範生﹒

一﹑國文成績或英文成績70分(含)以上﹔ 二﹑數學成績及格﹒

已知小文上學期英文58分而且他不符合參選模範生資格﹐請問下列哪一個選項的推論是正 確的﹖ (1)小文的國文成績未達70分 (2)小文的數學成績不及格 (3)小文的國文成績70分以

上但數學成績不及格 (4)小文的國文成績未達70分或數學成績不及格 (5)小文的國文成績 未達70分且數學成績不及格

2、 多重選擇題:(每題8分,共32分。每題全對得8分,只錯一個選項可得5分,

錯兩個選項可得2分,錯超過兩個選項或未作答不給分。)

1. 設 a 是一個公比為負數的等比數列﹐其中n a1a2a3 9﹐a2a5  54 請選出正確的

選項 (1) a1

=2 (2)公比為

6 (3)

8 384

a  

(4)前10項的和為1025 (5) 1

an 亦為等比數列 2. 據說畢達哥拉斯研究過這樣的問題﹕下圖中的黑點分別落在正五邊形的頂點或邊上﹐第1

圖有5個黑點﹐第2圖共有12個黑點﹐第3圖則有22個黑點﹒設a 為第 n 圖中黑點的總數﹐na1 ﹐5 a2 12﹐a3 22﹐… 依此類推 請選出正確的選項

(1)

4 35

a  (2)

1 (3 1), 2

n n

aann (3)

( 1)(3 2)

n 2

n n a   

(4)

19 590

a

(5)

8 1

n 398

n

a

3.下列哪些選項是正確的﹖(1)

5 5

1 1

(2 7) 2 7

k k

 

(2)

4 4

1 3 1 3

k k

k n

k n

 

(3)

2 2

1 1

( )

n n

k k

k k

(4)

4 6

- 2

1 k 3 n

k n

a a

(5)

9 1

1 1 1 1

1 3 3 5  ... 9 11k k k( 2)

4. 從1到1000的連續正整數中﹐下列哪些選項是正確的﹖

(1)不含0的有729個數字

(2)恰含一個0(如20﹐702)的有171個數字 (3)至少含一個0(如 20, 400, 1000 )的有180個數字

(4)含有奇數個0的有172個數字

(5)若將這1000個數字逐一寫出﹐共寫了192個0

三、填充題(全對才給分。不依題號順序,依答對格數給分,請參考分數對照表,共50分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

得分 6 12 18 24 30 34 38 42 46 50

1. 設有一數列 a 之前n n

項和為Sn  a1 a2 ... an 5n22n,則一般項a =n ________

(2)

2. 設三正數成等差數列﹐其和為39﹐若三數依序加上 3, 7, 29 ﹐則成為等比數列﹐求此三數 中最小的數為____________

3. 設數列 an

中滿足 1 1 a 2

1 4 3

n n

n

a a

a

 

 ﹐ n

為正整數﹐求數對

2 10

( ,a a )

____________

4. 如右圖最大正方形T 的周長64,1 C 為1 T 之內切圓,1 T 為2 C 之內接正方形1

C 為2 T 之內切圓,如此繼續下去,得到一序列的圓形2 C ,1 C ,2 C ,…. 3

,設a 為圓形n C 之面積,試求n n 時、數列2 a 與n an1的遞迴關係式為

5. 數列a1 1 38,a2 2 35, a3 3 32, ,⋯ ak  k (41 3 ), k ⋯, a10 10 11共有十項﹐且其和 為360﹐則a1 ⋯ ak ⋯ a10之值為____________

6. 級數和 2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 2 4 3 6 11 22

__________

7. 設 , ,a b c 為 ABC△ 之三邊且 , ,a b c 均為正整數﹐若a b c a b c  19﹐問滿足條件 的數對

a b c 有_______組, ,

8. 在1到800的正整數中﹐與90的最大公因數為15的數有________

9. 用六種不同顏色塗右列圖形的空白區域﹐每塊區域只塗一種顏色﹐顏色可 重複使用﹐但相鄰區域不同色﹐有________種塗法

10. 已知一數列:

1 1 4 1 4 9 1 4 9 16 1 4 9 16 25 , , , , , , , , , , , , , , ,...

3 5 5 7 7 7 9 9 9 9 11 11 11 11 11 ,依此規則,求此數列的前 66

項和為________

四、證明題:(共8分)

1. 利用數學歸納法證明﹕對於所有正整數

n 12 32 52

2 1

2 1

2 1 2



1

n 3n n n

   ⋯     恆 成立

【試題結束】

國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考答案卷

高一 班 座號: 姓名:

一、單選題:(每題5分,共10分。每題答對得5分,答錯得0分,未作答不給分。)

1 2

5 4

(3)

二、多重選擇題:(每題8分,共32分。每題全對得8分,只錯一個選項可得5分,

錯兩個選項可得2分,錯超過兩個選項或未作答不給分。)

1 2 3 4

35 1234 14 245

三、填充題(全對才給分。不依題號順序,依答對格數給分,請參考分數對照表,共50分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

得分 6 12 18 24 30 34 38 42 46 50

1 2 3 4 5

10n7 5 7 55

( , ) 5 29

an

= 1 1

2an 740

6 7 8 9 10

209 312

10 18 1560 286

3

四、證明題:(共8分)

1. 利用數學歸納法證明﹕對於所有正整數

n 12 32 52

2 1

2 1

2 1 2



1

n 3n n n

   ⋯     恆 成立

證明(1)當 1 n

時﹐左式 12 1

 

=右式 1 12 1 1 2 1 1  1

    3   

原式成立…… (1分) (2)設

n k

時原式成立﹐ 即12 32 522 12 12 1 2 1

k 3k k k

   

……….﹒(1分) n k  時﹐1

左式 12 3252 2k1 2 2k12 12 1 2 1 2 12

3k k k k

 

132k1 2

k2 k 6k3

132k1 2

k25k3

12 1 1 2 3

3 k k k

11 2 

1 1 2

 

11

3 k k k

    

右式﹐ 原式也成立﹒………(5分) 故由數學歸納法故得證 ……﹒(1分)

國立高師大附中106學年度第二學期高一數學科第一次期中考答案卷

高一 班 座號: 姓名:

一、單選題:(每題5分,共10分。每題答對得5分,答錯得0分,未作答不給分。)

1 2

二、多重選擇題:(每題8分,共32分。每題全對得8分,只錯一個選項可得5分,

錯兩個選項可得2分,錯超過兩個選項或未作答不給分。)

1 2 3 4

(4)

三、填充題(全對才給分。不依題號順序,依答對格數給分,請參考分數對照表,共50分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

得分 6 12 18 24 30 34 38 42 46 50

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

四、證明題:(共8分)

1. 利用數學歸納法證明﹕對於所有正整數

n 12 32 52

2 1

2 1

2 1 2



1

n 3n n n

   ⋯     恆 成立

參考文獻

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