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對應關係 : 第一集合的每個元素 必須對應至 第二集合的單一元素.

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Academic year: 2021

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(1)

Emphases of Calculus — Functions Page 1

Functions ( 函數 )

函數 是 一個集合 至 第二個集合 元素之間 (集合類型皆不限定) 符合以下條件 的

某種

對應關係 : 第一集合的每個元素 必須對應至 第二集合的單一元素.

所以, 這種對應關係可能有“一對一”、“多對一”, 但不會有 “一對多” 的情形。

假設 f 是一個 function。 以下符號的意思是

D f −→ R f f “f 是從 D f 映射至 R f 的函數”

♥ 7−→ f ♠ “f 將 ♥ ∈ D f 映射至 ♠ ∈ R f ” “♠ 等於 f 在 ♥ 的值”

這個最清 楚、 簡單 : ♠ = f (♥)

始集合 D f 稱為 the domain of f (函數 f 的定義域), 靶集合 R f 稱為 the range of f (函數 f 的值域); 依上面 所說的函數定義, 必定有 f (D f ) ⊆ R f 特性。

如果沒有特別只說明, domain 指的便是一個函數可以接受的所有元素所成的集合 (即 natural domain), 所以, 自 行選取的 domain, 必須 包含於 natural domain; 如果沒有特別說明, range 指的便是 將指定的 domain 裡所有 元素 以函數對應而成的集合, 即 f (D f ) (induced range, range induced by D f )。 然而, 就算 f (D f ) ( R f , 也 沒有違反定義。 所以, 指定 domain 後, 自取的 range 必須包含 range induced by chosen domain。

函數的 圖形 就是 把每個 domain 元素連同其對應元 記成座標後 蒐集而成的集合, 即:

graph of f := Γ f

def

= { (♥,f (♥)) | ♥∈D

f

} (= { (♥,♠) | ♠=f (♥), ♥∈D

f

} — 這個換名字的動作沒有多大的意義) 。 如果函數的 domain 及 range 皆包含於 R, 便可將其圖形繪於座標平面上。

Composition of Functions ( 函數的合成 )

已知函數 f 的 domain 為 D f , R f 為 induced range; 函數 g 的 domain 為 D g , R g 為 induced range。 只有 當 R g ⊆ D f 成立時, 以 D g 為 domain 的合成函數 f ◦ g 才有定義:(f ◦ g)(x)

def

= f (g(x)), range 為 f (R g )。 圖 示 如下:

D g

#

" !

D f

R g

#

" !

R f

R f ◦g

def

= f (R g ) g

f

x • •

g(x) •

f (

g(x)

)

換言之, 如果 D f ∩ R g = ∅, 則 f ◦ g 沒有定義; 若 R g 6⊆ D f 且 D f ∩ R g 6= ∅, 則 f ◦ g 的 domain 會比 D g 小, range 自然隨之不同。 於是, f ◦ g 的 domain 應為 (見下圖示) {x | g(x) ∈ R g ∩ D f } (即 R g ∩ D f 關於函數 g 的 “pre-image”(pullback)) 所以 請特別注意, 函數 合成後的 domain 和 range 並不是以 合成後的表面型式 (式 子) 來決定的!

Copyright c September, 2005 by Dr. Mengnien Wu : mwu@mail.tku.edu.tw

(2)

Emphases of Calculus — Functions Page 2

D g

Df◦gdef

= g−1(Rg ∩Df )

D f

R g

Rg ∩Df Rf◦g

def= f (Rg ∩Df )

R f

f

g

x •

1

g(x •

1

)

f ( •

g(x1)

)

x •

2

g(x •

2

) / \ ?

Some Rigid and Non-rigid Transformations

在熟悉若干型式較簡單的函數後, 可以用一些“剛體變換” 或 “變形變換” 來構造較複雜的函數, 或是反過來, 將較 複雜的 經由某些變換“還原”至簡單型式。

對 Γ f 做動作 變成 Γ g 將 f 變成 g (c > 0) 如何合成

Shifting (平移) 上(+) 下(−) 移 g(x) := f (x) ± c h(x) = x ± c, g := h ◦ f 左(+) 右(−) 移 g(x) := f (x ± c) h(x) = x ± c, g := f ◦ h Reflecting (翻) 對 x-軸 翻 g(x) := −f (x) h(x) = −x, g := h ◦ f 對 y-軸 翻 g(x) := f (−x) h(x) = −x, g := f ◦ h Stretching/Shrinking 縱向伸縮 g(x) := cf (x) h(x) = cx, g := h ◦ f 伸(c > 1) 縮(0 < c < 1) 橫向伸縮 g(x) := f ( x c ) h(x) = x c , g := f ◦ h 如果 f 依序經過 n 個變換後得到 g, 把這 n 個變換的次序換一換, 不一定會得到和原來一樣的 g.

f is an odd function(奇函數): f (−x) = −f (x) ∀ x ∈ D f . 即: Γ f 對稱於 原點。

f is an even function(偶函數): f (−x) = f (x) ∀ x ∈ D f . 即: Γ f 對稱於 y-軸。

Inverse Functions ( 反函數 )

以下簡稱 x: independent variable(自變量), y: dependent variable(因變量). 將 y = f (x) 解讀成 “y 可以用 x (以 f 的方式) 來表示”, 自然地會問, x 能否以 y (唯一) 表示呢? ( x

−→

f

←−

?

y ) 如果可以, 則該表示法稱為 f 的反函數, 記做 f −1 , 它把 y “還原”至 x. 如果 f 不是 1-1, 存在不同的 x 對應到同一個 y, 即, y 的表示法不 唯 一, 即, 反函數不存在.

f has an inverse ⇐⇒ f is 1-1

所 以, 即使函數不是 1-1, 也可以將其 domain 適當限制後變成 1-1, 以致有 inverse.

一些 基本函數 的特性

• Power functions : c, r ∈ R nonzero, x is an independent variable. cx r is called a monomial and f (x)

def

= cx r is called a power function. Given a finite set A ∈ N ∪ {0}, a n ∈ R ∀n ∈ A, then f (x)

def

= X

n∈A

a n x n is called a polynomial(多項式).

Copyright c September, 2005 by Dr. Mengnien Wu : mwu@mail.tku.edu.tw

(3)

Emphases of Calculus — Functions Page 3

• Exponential functions : b > 0. b p 稱為一個 power, b 為此 power 的 base(底數), p 為此 power 的 exponent(指數)。b −p

def

= b 1

p

, b p b q = b p+q , b b

pq

= b p−q , (b p ) q = b pq , · · ·. 注意, “(b p ) q = b pq ” 只有在 b > 0 時才是完全真確; 成規: 若 ♣ p 的指數 p 不是整數, 則底數 ♣ 應該 ≥ 0; 如果指數 p < 0, 則底數 ♣ 應該

> 0。 符號 0 0 沒有定義。

b > 0, f (x)

def

= b kx 稱為 exponential function(指數函數).

• Logarithm(對數) : 3 = 2 (“3 等於 2 的 ∗ 次方”) 到底 ∗ 是多少? ∗ 大概是 1.xxx 吧, 誰也說不清楚, 只 好用一個記號 log 2 3 記著 ... 所以 3 = 2 log

2

3 只 是把剛才定的 ∗ 重寫而已 ... 若 a, b > 0, 我們總可以將 a 寫成 b 的 ∗ 次方 (i.e. a = b ), 指數 ∗ 記為 log b a (i.e. a = b log

b

a ), 這是定義, 不是推導! 將 a 寫成 b log

b

a 的舉動叫做 “exponentiate” 。

a, b, c > 0. 若 a = b p (依定義, p = log b a) 且 b = c q (依定義, q = log c b), 則 a = b p = (c q ) p = c pq , 依定 義, pq = log c a = (log b a)(log c b), 即 log b a = log log

c

a

c

b (change of base formula) .

Natural log(自然對數): ln( )

def

= log e ( ), 其中 e ≈ 2.71828 · · ·, 稱為 natural base, 是一個無理數, 我們在 講 limit(極限) 時會定義 e 並證明其存在。 注意, 若 f (♠)

def

= b , g(♣)

def

= log b ♣, 則 f, g 互為反函數。

• Trignometric functions(三角函數):

Pythagorean Identities (畢氏定理):

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

⇐⇒ tan 2 θ + 1 = sec 2 θ

⇐⇒ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ .

和/分角公式:  sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ cos(θ + φ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ , · · · 和/差化積公式:  sin θ + sin φ = 2 sin( θ+φ 2 ) cos( θ−φ 2 )

sin θ − sin φ = 2 cos( θ+φ 2 ) sin( θ−φ 2 ) · · · 已知 sin 為奇 而 cos 為偶, 故 sec 為偶, tan、 cot、 csc 為奇。

我們已經知道週期函數一定不是 1-1, 三角函數又是週期函數, 那三角函數又怎麼會有反函數呢? 所謂的 “反 三角函數”(inverse trig function), 實際上是 原三角函數 經限制成為 1-1 函數後 的 反函數。 例如, arcsin 是 sin θ

[

−π2

,

−π2

]

的 反函數, arccos 是 cos θ [0,π]

的 反函數,· · ·。 至於選哪段, 是成規, 不為什麼。

Copyright c September, 2005 by Dr. Mengnien Wu : mwu@mail.tku.edu.tw

參考文獻

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