0. 解方程(Solving Equations) l

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0. 解方程(Solving Equations)

l 點解有“學習單元0”?

n 雖然中學文憑數學課程入面冇寫明大家要識“解方程”,但係依個技巧係大家一定要 精通嘅(因為大部份數到最後尾都要你解方程)。

n 所以我就喺單位1 前面加個“單位 0”。

簡單嚟講:

l

“解方程”係計吓到底個未知數(unknown)x 等於幾多嘅時候條方程先會 成立(即代 x 入用之後左方嘅數值會等於右方)。

例: 解 3x = 6 答: 3x = 6

x = 6 / 3 x = 2

² 我哋話“x = 2”係答案其實係因為“只有當 x 係 2 嘅時候,3x 先會等於 6(即方程成立)”。

0.1. 中學文憑的要求

l 喺中學文憑度,同學最緊要識得解以下三種方程:

n 一元一次方程 (linear equation in one unknown) n 一元二次方程 (quadratic equation in one unknown) n 二元一次聯立方程 (simultaneous equations in 2 unknowns) l 詞語解釋:

咩係“元”?

“元”即“未知數”。

例1: 方程 3x + 5 = 8 入面只有一個未知數“x”。所以依條係一條“一元”方程。

例2: 方程 3x + y = 8 入面有兩個未知數(x 同 y)。所以依條係一條“二元”方程。

咩係“次”?

“次”即“次方”。

例: 方程 3x + 5x – 8 = 0 入面只有一個未知數“x”而當中最高嘅指數係“2”。

所以依條係一條“一元二次”方程。

咩係“聯立”?

“聯立”即“同時成立”。

例: 假如 x + y = 5

咁可以成立嘅答案有“x=1, y=4”,“x=2, y=3”,“x=3, y=2”等等。

但假如依個時候有另外一條方程 x – y = 1 同 x + y = 5 成為一對“聯立方程”,咁“x=2, y=3”就唔 可以成立。而唔成立係因為 x – y = 2 – 3 = -1≠1。

依對聯立方程嘅答案係“x=3, y=2”(只有佢先可以同時令“x + y 等於 5” 同“x – y 等於 1”)。

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0.2. 解一元一次方程(Solving Linear Equation in One Unknown)

l 解一元一次方程嘅題目其實大家已由細做到大。

n 做得唔好嘅原因通常都係同學見到條題目嘅時候喺度“亂做”。

l 其實再難嘅方程都可通過一D 固定嘅方法將佢簡化。

n 如果用打機嚟比喻解方程,解方程可分成以下幾個level:

Level 1.0

l 題目形式: 3x = 6

l 我諗所有同學都知道 “x 等於 6 除 3”

n 即 x = 6 / 3 = 2

² Level clear!

Level 1.1

l 題目形式: 2x =

l 其實依條目跟“3x = 6”係一樣嘅!

n 只係D 數字變咗,由“3x 等於 6”變成“2x 等於 2 份之 7”

n 所以 x = ÷ 2 =

² 如果你數學根底唔好,其實可以用計數機計到以上答案!

² Level clear!

Level 1.2

l 題目形式: =

l 其實依條題目同“2x = ”又係一樣,只係“2x”變咗做“ ”。

l 喺度同學須要用“交义相乘”嚟化簡條數式!!

“交义相乘”嘅做法係好似右圖咁嘅:

n “交叉相乘”之後條數就變咗做 2x = 28 l 睇一睇就會發覺原來已經變成一條 level 1.0 嘅題目。

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Level 2.0(移項)

l 題目形式: 4x + 6 = 9

l 喺依度,我哋首先要用移項嘅方法將“同類項”移去同一邊,即係:

4x = 9 – 6

n 溫習:當我哋移“加減”嘅項數去“=”嘅另一邊時,我哋要“加變減、減變加”。

l 下一步計埋“9 – 6”,就可以得到 4x = 3

l 又係變咗做一條level 1.0 嘅題目!! 答案: x =

Level 2.1

l 題目形式: 4x – 5 = 8x + 7

l 我哋首先都係要用移項嘅方法將同類項放埋一齊(即“x 嗰類”喺一邊,數字喺另一邊):

4x – 8x = 7 + 5

n 留意:“-5 移去另一邊變成+5”,“8x 移去另一邊變成-8x”。

l 繼續計埋條數:

-4x = 12 ß 又係一條 level 1 嘅題目!

x = 12 / (-4) ß “12”除“負 4”唔識計?咁咪用計算機囉!

x = -3

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Level 3.0 (解決討厭嘅分數)

l 題目形式: x + 5 = 3x +

l 同學可以用level2 嘅技巧做依條數,做法如下:

1

2 x + 5 = 3x + 1 4 1

2 x − 3x = 1 4 − 5

−2.5x = −4.75 ß我係用計算機計嘅!

x = 1.9 ß我又係用計算機計嘅!

l 見到分數嘅時候,同學亦可以用“全條式乘一個數字”嘅方法嚟先將題目簡化。

n 用返上面嘅例子:題目中嘅分數分母有2 同 4,所以我們“左右乘 4”。即:

4 × 1

2 x + 5 = 4 × 3x + 1

4 ß依步只係做比你睇,考試時可直寫下面第三行

4 ×1

2 x + 4 × 5 = 4 × 3x + 4 × 1

4 ß依步又係做比你睇嘅

2x + 20 = 12x + 1 ß咁就變成一條 level 2 嘅題目!

留意每一項都要乘4。不少同學有時會犯以下嘅錯:

4 × 1

2 x + 5 = 4 × 3x + 1 4

2x +

5

= 12x + ß紅色的部份冇乘4,所以錯。

Level 3.1

l 題目形式: x + 5 = x + 1

l

見到分母有 6 同 9,咁我哋到底要乘咩數字呢?

n 有人話要乘6 同 9 嘅最小公倍數(LCM,即 18),但其實我哋可以咩都唔理,照乘 6 同 9(即係乘“6x9”)。

n 數字係大咗,不過既然我哋可以用計算機,咁計2x3 同 88x13 又有咩分別呢?!

n 全條式乘“6x9”,即每一個數乘“6x9”:

(6× 9) ×1

6

x + (6 × 9) × 5 = (6 ×

9) ×

2

9

x + (6 × 9) × 1 n 留意紅色嘅分母係有得約數嘅,所以:

9x + 270 = 12x + 54 270 − 54 = 12x − 9x 216 = 3x x = 72

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熟咗依個方法之後可以試吓做快d!

例: x + 5 = x + 3 ß每個數項乘“5x9”, 即 45 解: x + 5 = x + 3

18x + 225 = 10x +135 ß心算不好?那就好好利用計算機吧!

18x – 10x = 135 – 225 8x = -90 x = -11.25

Level 4 (解怪怪嘅方程)

l 題目形式: =

l 數學唔好嘅同學可能會覺得條數有D 怪。

n 但其實同學只要睇到依條係“一元一次方程”,再留意到條數個樣好似“交义相乘”

嘅 “

” 形式,咁咪先試吓“交义相乘”囉!

n “交义相乘”之後條數變咗咁:

5 ( 2x – 3 ) = 4 (x + 4) ß拆括號後又變咗做level 2 嘅題目!

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0.3. 解一元二次方程(Solving Quadratic Equations)

一元二次方程個樣係好似下面咁嘅:

3x2 + 5x – 7 = 0

我哋通常會用“一般式”(general form)嚟表示一條一元二次方程:

ax2 + bx + c = 0 (當中a, b, c 為數字)

例: 喺 -3x2 + 5x – 6 = 0 入面, a = -3, b = 5, c = -6 (留意正負號!)

l 喺中學文憑課程入面,老師應該會教大家幾個方法去解一元二次方程。

n 方法包括“因式分解”、“完全平方”、“求根公式”等。

n 但對一般同學嚟講(特別數學不好的同學),其實最緊要係識得“用計算機個程式”

篤到個答應出嚟。

0.3.1. 使用計算機(Using the Calculator)

首先,確保你部計算機有 “解一元二次方程嘅程式”。

冇嘅話可以去 http://www.takwing.idv.hk/studyroom/ce_maths/fx3650p-prog.htm , 嗰度冇教大家點入個程式。

但請注意,個程式係比CASIO fx-3650p 用嘅,如果你部機係另外嘅 model,可以出 聲睇吓我幫唔幫到你。

l 留意“解一元二次方程”嘅程式都有好多個版本,每個程式嘅用法可能有D 唔同。基本 上啟動程式後係入a, b, c 三個數字(用“EXE”作為輸入鍵),之後計算機會馬上顯示出判別 式(b2 – 4ac)的值,按“EXE”出第一個根(即第一個答案),再按“EXE”會出第二個根。

l 留意有時程式會出現“Math ERROR”。主要原因有兩個:

n 你入錯咗a, b, c 三個數!

大家要留意ax2 + bx + c = 0 中 a,b,c 嘅排位同正負號!

n 條方程根本係冇得解嘅!

(對一元二次方程嚟講,如果“判別式 < 0”,條方程係冇得解嘅。)

喺依個情況,題目嘅答案可寫成“因判別式<0,所以沒有實根”。

如果你問我什麼是“實根”,我會答你不用理,只要記得係“沒有實根”就得。

較正確嘅解釋係:其實當判別式 < 0”時,方程也是有根的,只係計出嚟嘅答案唔係實數(即 1, -2, 1.2, 4/5, √3等),

而係“複數 - complex number”。

練習: 解 3x2 + 2x – 1 = 0

答案: 3x2 + 2x – 1 = 0 ß 考試時唔該抄一次題目

x = 1/3 或 x = -1 ß 留意要用“或”分開兩個答案 l 如果計數機計到嘅係點數,同學可以試吓用“a b c”個鍵嚟轉返做分數。

l 如果計算機都轉唔到,可以抄答案至三位有交數字(或小數後兩個位)。

l 個人經驗:大部份題目嘅答案都會幾靚。如果個答案好怪,建議check 吓有冇篤錯機。

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0.3.2. 二次方程求根公式(Quadratic Formula)

l 當大家學識點篤機之後,大家可以試吓記咗條“求根公式”

x =−b ± √b − 4ac 2a

n 留意個“±”符號係代表“加或減”,即:

u 第一個答案用“+”計出來;

u 第二個答案用“-”計出來。

l 大家要記“求根公式”係因為我哋要記得判別式(Discriminant,符號係“△”) 條式 :

△ = b2 – 4ac

² 有關一元二次方程的其他部份,遲D 會再講。喺度大家只要學識解方程就 OK!

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0.4. 解二元一次聯立方程(Solving Linear Simultaneous Equations)

之前已經講過聯立方程係“兩條方程同時成立”,通常會用一個

“開括號”將兩條方程連埋。例如:

3x + 5y = 82x − y = 1

l 喺初中嘅時候,大家應該已經學以下兩個方法:

n “代入消元法(method of substitution)”

n “加減消元法(method of elimination)”

l

不過喺係考公開試嘅時候,同學可以用計數機嘅程式篤個答案出嚟、之後直接將個答案寫 落答題簿。 (至於校內試得唔得就要睇你老師嘅要求。)

0.4.1. 用計算機(Using the Calculator)

首先,確保你部計算機有 “解二元一次聯立方程的程式”。

冇嘅話可以去 http://www.takwing.idv.hk/studyroom/ce_maths/fx3650p-prog.htm , 入面有教大家點入個程式。

但請注意,個程式係比CASIO fx-3650p 用嘅,如果你用嘅係另外嘅 model,可以出 聲睇吓我幫唔幫到你。

l 用程式嘅時候記得先將方程寫成程式要求嘅格式!

例1: 解 3x + 5y = 82x − y = 1

答: 3x + 5y = 82x − y = 1 ß 考試時唔該抄一次題目嘅方程

解以上聯立方程, ß 依行係用嚟話俾改卷員知你知自己做咩

x = 1 , y = 1

例2: 解 3x + 5y − 8 = 0−y + 2x = 1

答: 3x + 5y − 8 = 0−y + 2x = 1 ß 考試時唔該抄一次題目條方程

3x + 5y = 82x − y = 1 ß

把方程寫成程式所要求的格式 !寫一次方便入計算機

解以上聯立方程,

x = 1 , y = 1

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1. 一元二次方程(Quadratic Equations in One Unknown)

一元二次方程個樣係咁嘅:

3x2 + 5x – 7 = 0 一般可以寫成:

ax2 + bx + c = 0 (當中 a, b, c 為數字)

例: 喺 -3x2 + 5x – 6 = 0 裡面, a = -3, b = 5, c = -6 (留意正負號!)

² 解一元二次方程嘅方法其實已經喺學習單位0.3 同大家講過。不過當時主要教大家點用計 數機篤個答案出嚟。

² 喺依課入面我會同大家講吓其他大家都要識嘅嘢。

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1.1. 以因式法解二次方程(Solve Quad. Eqn. by the Factor Method)

1.1.1. 基礎知識 l 先講吓咩叫因式:

n 大家都知 15 = 5 x 3。喺數學度,我哋會話“3”同“5”係 15 嘅因子。

n 同一道理,如果我哋可以將一個多項式(例如x2 + 4x + 3)變成“A x B”,咁 A 同 B 就係個多項式嘅“因子”。

u 因為A 同 B 係一條“式”(而唔係一個數字),所以我哋就叫佢做“因式”。

例: 因為x2 + 4x + 3 等於 (x + 3) (x + 1)

ß暫時唔好理我點知有依兩個因式住!

所以(x + 3)同(x + 1)就係 x2 + 4x + 3 嘅因式。

1.1.2. 咩係“以因式法解二次方程”

l 要解釋咩係“以因式法解二次方程”,最好嘅方法係用例題。

l 如果題目係 “以因式法解 x2 + 4x + 3 = 0”,咁個答案就係好似下面咁寫:

x2 + 4x + 3 = 0

(x + 3) (x + 1) = 0 ß之前已經講過

x

2

+ 4x + 3

有依兩個因式

x + 3 = 0 或 x + 1 = 0 ß如果a x b=0,咁一係“a=0”,一係“b=0”

x = - 3 或 x = -1 ß“x+3=0”嘅下一步就係計到“x=-3”

n 由上面嘅解題方法,我哋可以睇到“以因式法解二次方程”係:

u 先將x2 + 4x + 3 寫成佢嘅兩個因式相乘(依個過程叫做“因式分解”)

u 之後再用“如果a x b=0,咁一係 a=0,一係 b=0”嘅技巧嚟計個答案。

Ø 注意:所謂嘅答案“x=-3 或 x=-1”當中嘅 3 同-1,我哋會叫佢哋做“根”。

² 其實公開試好少會指明要大家用咩方法,但係校內試就好難講(因為老師有時想確保大家 識得某D 特定嘅方法)。

² 如果喺考試嘅時候你唔記得咩係因式法,咁唯有篤計數機,照寫以下嘅答案:

x2 + 4x + 3 = 0 x = - 3 或 x = -1 搏吓都好有冇機會攞返一D 分都好。

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1.1.3. 點做因式分解

l 大家中三嘅時候老師應該教過用“十字相乘法”(cross multiplication)嚟搵個因式。

n 如果你仲記得,嗰陣時我哋成日要試到腦到大晒。

n 如果你唔記或者冇學過都唔緊要。

l 不過點都好,其實我哋可以用計數機嚟做因式分解。方法如下:

用計數機計 x2 + 4x + 3 = 0 個答案,得到 -3, -1。

所以: x = - 3 或 x = -1

將所有嘢搬去左邊:

x + 3 = 0

x + 1 = 0

咁 (x + 3) 同 (x + 1) 就係因式。

l 搵到兩個因式,我哋就可以寫返個“用因式分解法解方程”嘅答案出嚟:

x2 + 4x + 3 = 0

(x + 3) (x + 1) = 0 ß依步就係因式分解

x + 3 = 0 或 x + 1 = 0 x = - 3 或 x = -1

例子: 用因式分解法解 2x2 – 5x + 3 = 0 解說:

l 先用計數機計 2x2 – 5x + 3 = 0 l 得嘅根係2 同 0.5,

n 即 x = 2 同 x = 1/2 n 即 x – 2 = 0 同 2x = 1 n 即 x – 2 = 0 同 2x – 1 = 0 n 所以因式係 (x – 2) 同 (2x – 1) l 所以答案可以咁寫:

x2 – 5x + 3 = 0 (x – 2) (2x – 1) = 0 X = 2 或 x = 1/2

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1.2. 由已知根建立二次方程(Form Quad. Eqn. from Given Roots)

² 依一個部份喺現有會考數學課程冇嘅!所以要多加留意。

² 不過再以前嘅會考課程入面係要考依樣嘢嘅(即係考評局返兜考返)。

1.2.1. 咩叫“由已知根建立方程”

l 仲記唔記得咩係“根”(root)呀?

n “根”係方程嘅解(solution),簡單嚟講即係“解一條方程後得到嘅答案”。

l 如果我話俾你知我計到一條方程嘅根係2,咁你又估唔估到條方程(即係條題目)係咩呢?

n 我希望你估到係 x – 2 = 0

n 如果你估嘅係 x + 2 = 0 咁就錯喇!因為解依條方程係計到 x = -2。

n 如果你估嘅係 2x – 4 = 0、3x – 6 = 0 又或者係 x – 1 = 1 都一樣啱。

u 只不過最簡單嘅答案就係 x – 2 = 0。

l 其實我哋啱啱已經做咗一次“由已知根建立方程”。

n 只不過我哋做嘅係“由已知根建立一次方程”

n 但其實“由已知根建立二次方程”嘅概念都係一樣,只係要做多少少嘢。

1.2.2. 點做“由已知根建立二次方程”

l 其實“由已知根建立二次方程”嘅方法只係將“用因式法解二次方程”嘅方法倒轉。

l 用返前面1.1.3 用嚟講因式法嘅例子:

x2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) (x + 1) = 0

x + 3 = 0 或 x + 1 = 0 x = - 3 或 x = -1

n 當我哋唔知條題目嘅二次方程,只知二次方程嘅根係-1 同-3。

u 題目會係“已知二次方程的根為-1 和-3,求二次方程。”

n 我哋喺草稿紙度先搵返兩個因式先:

u x = -3 x = -1 x + 3 = 0 x + 1 = 0

所以兩個因式係 (x+3) 同 (x+1)

n 搵到兩個因式就可以喺答題簿度寫個計法:

(x + 3) (x + 1) = 0

x2 + x + 3x + 3 = 0 ß依度係伸開上面兩個括號

x2 + 4x + 3 = 0 u 咁就計完條數!

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1.3. 由繪畫拋物線 y=ax

2

+bx+c 的圖像及讀取該圖像的 x 截距解方程 ax

2

+bx+c=0(Solve the Eqn. ax

2

+bx+c=0 by Plotting the Graph of the parabola y=ax

2

+bx+c and Reading the x-Intercepts)

1.3.1. 繪畫 y=ax2+bx+c 的圖像(Plotting the Graph of y=ax2+bx+c)

l 其實無論畫咩數學式嘅圖像,我哋都係用同一個技巧!步驟如下:

n 首先畫一個表:

x y

n 第二步係代唔同嘅x 值入條式度計返相應嘅 y 值,將計到嘅數值填入個表度。

u 舉例如果我哋要畫 y = x2 – x – 6 嘅圖像,咁個表就會變成咁:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 14

Ø 每一對x、y 嘅值就代表咗圖像會經過嘅一點,例如圖像會經過 (-3, 6)依點。

Ø 喺度先唔好問點解x 嘅值係由-3 開始,然後一路加 1 加到 5。

n 第三步係喺張格仔紙(graph paper)度畫條 x 軸同 y 軸出嚟

u 留意x 軸嘅“長度”至小要由-3 去到 5,y 軸嘅“長度”就至小要由-6 去到 14。

n 第四步係將個表入面嘅點畫落張格仔紙度。

n 最後第五步就係畫一條“曲線”將D 點連埋一齊。

l 圖像就畫完喇,不過大家要留意以下幾點:

n 首先,大家係唔駛理課程中提到嘅“拋物線”。總之你太約知道畫出嚟嘅唔係直線,

而係一條曲線,個樣好似一隻碗咁就得嫁喇。

n 喺公開試度大家應該係唔駛畫依種y=ax2+bx+c 嘅圖像嘅!

u 原因喺太花時間同好難定個評分標準(例如大家冇可能畫到條好“靚”嘅曲線,

同埋x 值嘅範圍要攞幾多先啱呢?)

u 不過大家喺學校嘅測驗、考試就唔同講法。(教嘅嘢唔多嘅時候,老師都可能都 會出條畫圖題。)

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1.3.2. 讀取 y=ax2+bx+c 的圖像的 x 截距解方程 ax2+bx+c=0(Solve the Eqn. ax2+bx+c=0 by Reading the x-Intercepts)

l 其實依課要學嘅嘢已經喺上面個標題教咗。

l 舉個例嚟講,假設我哋已經有y = x2 – x – 6 嘅圖像(即係我哋喺前面個課度畫嘅圖)。

l 如果題目要求我哋去解一元二次方程x2 – x – 6 = 0,其實我哋要做嘅只係睇返圖像嘅 x 截 距就已經可以知邊方程嘅根。

l 唔信嘅可以試一次:

x2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0 x – 3 = 0 或 x + 2 = 0 x = 3 或 x = -2

l 睇睇右圖,方程x2 – x – 6 = 0 嘅兩個根(即係 3 同-2)根本同 圖像嘅x 截距係一樣。

l 要學嘅就係咁多,不過我覺得最好都明白吓當中嘅原因。咁會幫到大家清concept:

n 首先最重要嘅concept 係如果個圖像經過一點(k, m) (k 同 m 可以係數字或者係未知 數),咁即係話我哋可以代依點入去圖像嘅數式度(即係可以代入去y = x2 – x – 6)。

n 所以我哋可以得到 m = k2 – k – 6。

n 當然就咁睇好似冇咩特別。不過如果我哋當幅圖會經過(k, 0)依點,咁即係話:

0 = k2 – k – 6 即 k2 – k – 6 = 0

u 如果我哋唔理以前做過D 咩,只係睇住 k2 – k – 6 = 0。咁我哋又可以話搵到一個 數值“k”可以令到方桯 x2 – x – 6=0 成立 (即係 k 係方程嘅根)。

u 咁到底k 又係幾多呢?

Ø 因為之前已經話y = x2 – x – 6 嘅圖像會經過(k, 0)。

Ø 而(k, 0)又係幅圖嘅 x 截距。

Ø 所以我哋會話: “讀取 y=ax2+bx+c 的圖像的 x 截距可以解方程 ax2+bx+c=0”

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1.4. 以二次公式解二次方程(Solve Quad. Eqn. by the Quadratic Formula)

l 之前提過我哋通常會話一條一元二次方程係好似下面咁樣嘅:

ax2 + bx + c = 0

n 當中a, b, c 會係數字(因為依三個數字可以係咩都得,所以我哋用三個未知數代表)。

l 對於以上嘅一元二次方程,我哋可以直接代a, b, c 三個數字入以下嘅“二次公式”嚟計到 嗰兩個根:

x =−b ± √b − 4ac 2a

n 其實我哋用嘅計數機程式就係用依條公式嚟計個答案出嚟嘅。

n 以上嘅公式有人會叫佢做“求根公式”有

l 如果條題目冇指明用咩方法解條方程(我諗只有學校嘅試卷先會指明方法),一般篤計算 機,直寫答案就OK。

n 即係做一條解一元二次方程嘅數可以係好似寫到下面咁簡單:

x2 + 4x + 3 = 0 x = - 3 或 x = -1

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1.5. 理解二次方程的判別式與其根的性質之關係 (Understand the Relations between the Discriminant of a Quad Eqn and the Nature of its Roos)

l 首先請大家用計數機計吓以下嘅數值:

1 + √9 = 1 − √9 = 2 + √0 = 2 − √0 =

1 + √−3 = 1 − √−3 = ß 計到“Math Error”係正常嘅!

n 大家請注意開方根入面嘅數值會點影響計出嚟嘅答案。

l 根據求根公式,: x = ±√

l 假如我哋設 ∆ = b − 4ac,咁方程嘅

兩個根就係:

x =−b+√∆

2a 或 x =−b − √∆

l 留意如果: 2a

n ∆=0,“−b+√∆”同“−b − √∆”都會變成“-b”。兩個根都會等於“-b / 2a”。

n ∆>0,“−b+√∆”同“−b − √∆”就會唔一樣,即係兩個根會唔相等。

n ∆<0,√∆ 係計唔到嘅,所以我哋會話“沒有實根”(實根=實數的根,例如 1.1, 2)。

總結:

l 所謂“根的性質”,我哋係講緊兩個根是否存在,同埋是否一樣 l

∆ = b − 4ac,叫做“判別式”

(discriminant)

l 根據判別式嘅大細,我哋可以知道根嘅性質:

∆> 方程有兩個不同嘅實根 (2 unequal real roots)

∆=0 方程有兩個相同嘅實根“二重根”(2 equal roots)

∆<0 方桯沒有實根 (no real roots)

l 常見會考問法(始終未有人考過中學文憑公開試,會考題不失為一個好嘅參考!):

n 喺會考度,有時題目會問:“已知 x2 + 5x + k = 0 沒有實根,求 k 的範圍。”

n 見到“沒有實根”,大家就要諗起“

∆<0

”,即 (5)2 – 4(1)(k) < 0。

n 所以個答案可以咁寫:

因方程沒有實根, ∆<0 (5)2 – 4(1)(k) < 0 25 < 4k K > 25/4

(17)

1.6. 解涉及二次方程的應用題(Solve Problems involving Quad.

Eqn.)

l 所謂“應用題”其實大多數嘅時候都係“文字題”。

l 而做“文字題”嘅技巧就離唔開:

1. 理解題目。

u 例:已知有一條長24cm 的鐵絲被曲成一個長方形。長方形的面積為 32cm2。求 長方形的長和濶。

u 理解:題目中有兩句說話:“鐵絲長度=24cm”同“長方形面積=32cm2 ” 2. 設立未知數(通常都係佢叫你計咩,你就設嗰個未知數做 x)。

u 所以我哋喺度設長方形嘅邊長為x cm。

u 題目亦要我哋計長方形嘅濶。所以我哋都要諗吓長同濶嘅關係:

Ø 因為鐵絲長度=24cm,所以:

2x + 2 濶=24 濶=12 – x

Ø 諗到依度,我哋就可以放心只要計到個邊長,長方形嘅濶都會計到。

3. 根據題目內容寫返條包含未知數嘅方程。而通常嘅技巧係:

u 因為一條方程係“咩咩 =咩咩”嘅過,所以通當我哋會根據題目入面嘅一句

“咩咩是幾多”而設立方程。

u 喺例題度第一句已經用咗嚟計個濶,所以我哋要用第二句說話嚟設立方程:

Ø 長方形面積=32cm2

Ø 方程右面已經係數字,所以唔駛理

Ø 方程左面我哋就要用有關未知數嘅數式嚟“計”個面積:

因為 長方形面積=長x 濶 所以我哋要用 左方會等於x(12 – x ) Ø 所以最終方程係: x(12 – x ) = 32 4. 下一步就係解方程: x(12 – x ) = 32

12x – x2 = 32 0 = x2 – 12x + 32 x = 8 或 x = 4 5. 記住上面只係計到個長,個濶就要繼續計。

u 因為喺度係計緊二次方程,所以當有兩個答案出現嘅時便,我哋要計晒兩個相應 嘅闊出嚟。

Ø 當x=8 時,濶 = 12 – 8 = 4cm

Ø 當x=4 時,濶 = 12 – 4 = 8cm (捨去,因為同上面嘅答案基本上係一樣)

Ø 有時我哋會因應題目嘅形況而“捨去”其中一個答案。

例如因為長度係唔會負嘅,所以我哋要捨去負數值嘅答案。

6. 最後寫返好個答案。

(18)

1.7. 理解根與係數的關係及以此關係建立二次方程(Understand the Relations between the Roots and Coefficients and Form Quad.

Eqn. Using these Relations)

² 這是非基礎課題的課題。

(19)

1.8. 欣賞數系(包括複數系)的發展(Appreciate the Development of the Number Systems Including the System of Complx Numbers)

l 所謂“欣賞數系的發展”,直接嚟講即係“喺數系入面有一D 專有名詞我哋係要知嘅”。

l 數系通常是指包括自然數(natural numbers)、整數(integers)、有理數(rational numbers)、

實數(real numbers)同複數(complex numbers)嘅系統。

n 不過依個“解釋”大家可以唔駛理。

n 要識嘅係下面各種“數的系統”嘅意思(即係D“數字”點分類)。

l 自然數(natural numbers):

n 從個名我哋都會想到“自然數”即係喺自然界度會見到嘅數量。

u 即1, 2, 3, 4, 5 ……

u 留意:0 並唔係自然數。(我哋又點會話“我哋見到零隻狗”呢!)

n 自然數亦都可以叫做“正整數”(postive integers)。

l 負整數(negative integers):

n 從個名我哋都會想到“負整數”即-1, -2, -3, -4, -5 ……

l 整數(integers):

n “整數”係“正整數”、“零”同“負整數”嘅統稱。

u 即包括 ….., -5,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ……

l 有理數(rational number):

n 從個名我哋可以推理“有理數”係“有道理、有理性、合理”嘅數。

n 從數學角度嚟講,“有理性嘅數”係指可以用“ a/b”嘅形式嚟表示嘅數。

u 但留意當中a 同 b 係要係整數嚟嘅。

u 例子包括: 0.1, 1 , , 3, −5 (記住 3 = 3/1,所以 3 都係有理數)

Ø 雖然0.1 唔係 a/b 嘅形式,但 0.1=1/10,所以 0.1 係有理數。

l 無理數(irrational number):

n 睇個名都可以知道無理數係有理數嘅相反。

u 即係一個數如果唔係有理數,咁佢就係無理數。

u 例子包括: √3, , π

(20)

l 實數(real numbers):

n 實數喺“實際存在嘅數”

n 係“有理數”同“無理數”嘅統稱。

² “有理數”同“無理數”嘅分別:

n 無理數係唔可以喺日常生活中合理咁使用嘅。

n 例如有一個蛋糕,我可以切1/2 出嚟,但我唔可以切 出嚟(切到都只係個約數)。

l 虛數(imaginary numbers):

n 正所謂“有實必有虛”。

n 既然實數喺“實際存在嘅數”,咁“虛數”就係“幻想出嚟嘅數”

u 負數雖然好似唔係“實際存在”,但它的確可以實實在在咁表示一D 可以理解 到嘅數值(例如遊戲積分可以係 -10)。

n 咁到底咩係“虛數”?仲記唔記得有一種數值係計數機都計唔到嘅?

u 依種數就係“負數的平方根”(即係將一個負數開方),例如√−3。

u 數學家就把 √−1 定義為“ i ”。 (喺後面一課會詳細講多 d。)

u 這個“ i ”就是虛數了。

l 複數(Complex Numbers)

n 複數中的“複”係“複雜”嘅意思。

n 複數可以話喺“實數同虛數嘅混合體”

u 例如 3 + 2i 就係一個複數。

² 唔知大家有冇覺得怪,點解教教吓“一元二次方程”會變咗教“數系”?

我就覺得係因為:

n 首先中學文憑課程要教嘅嘢應該係要多過會考要教嘅嘢(因為讀多一年)。

n 而喺解一元二次方程時,同學會面對一個以前未見過嘅情況。

u 依個情況就係當一元二次方程嘅判別式細過0 嘅時候,我哋唔可以將佢開方。

Ø 其實開唔到方只係因為我哋計緊實數。所以我哋就會話方程“沒有實根”。

Ø 不過大家放心,課程入面係冇寫到要求大家認得計個“複根”出嚟。

u 所以喺依課度都算係一個合適嘅時機教大家咩係“複數”。

n 學埋“複數”,咁就成個數系都叫學過晒!

(21)

1.9. 進行複數的加、減、乘及除運算(Performing Addition,

Substraction, Multiplication and Division of Complex Numbers)

² 這是非基礎課題的課題。

(22)

2. 函數及其圖像(Functions and Graphs)

² 數學成績唔好嘅同學一般都幾驚函數 ,我諗可能係同“函數嘅題目符號多”有關(例如 f(x)、g(x)等)。

n 但其實函數本身都唔係太難。

2.1. 認識函數、定義域、上域、自變量及應變量的真觀概念

(Recognise the Intutive Concepts of Functions, Domains and Co-domains, Independent and Dependent Varaibles)

2.1.1. 函數是什麼?

l 其實函數只係一種記號,用嚟代表一條數式。

l 例如有條數式 3x2 + 5x – 1

n 我哋可以用一函數f(x)代表佢,即: f(x) = x2 + 5x – 1 f(x) 的解說:

l 其實f 係由函數嘅英文“function”度嚟嘅。

l 而括號入面嘅x,其實係話俾我哋知條數式入面只有 x 係變數(即其他係數字)

g(x)、h(x) 的解說:

l f(x)係代表一個函數。咁如果我哋要同時用符號代表兩個或以上嘅符數又點算呢?

n 咁用用其他英文字母嚟代表個函數囉(但通常會用f 後面嘅 g、h 等)。

n 所以咪會見到有 g(x), h(x)等嘅出現囉!

所以喺做有關函數嘅題目裡面,你可能會見到:

g(x) = x + 1 2x − 3

f(θ) = 2sin (90° − θ) 應用例子

² 汽水每枝$6。小明用咗 y 咁多錢嚟買 x 枝汽水。

n 如果我哋用公式嘅講法,我哋可以話: y = 6x

n 用函數嘅講法,我哋會話: y = f(x); 而 f(x) = 6x

² 你可能會覺得用公式嘅寫法咪幾好,簡簡單單。

n 但其實函數嘅好處係方便表達(唔駛次次都寫條數式)。

n 另外我哋亦可以當f(x)係一個電腦程式,我哋只要俾個 x 嘅值佢,佢就會幫我哋計個 答案出嚟。(當然喺考試當中,我哋要用人手計。)

(23)

2.1.2. 定義域、上域和值域

² 要講解咩係“定義域、上域和值域”,最好就係用例子。

l 用返前面小明買汽水嘅例子:

n 汽水每枝$6。

n 設小明買咗x 咁多枝汽水。

n 小明用嚟買汽水嘅錢可以被定義為一個函數 f。

u 因此 f(x) = 6x

l “定義域”(Domain)係指“所有 x 嘅可能值”。

n 喺買汽水嘅例子入面,函數f(x)的定義域係“大過或等於 0 的整數”。

u 你諗吓小明又點可能買到 –2 或者 1.5 枝汽水。

l “上域”(Co-domain)係指“函數 f 嘅所有可能值”。

n 喺買汽水嘅例子入面,因為函數f = 6x,而 x 係“大過或等於 0 的整數”,所以我哋 可以馬上知道6x 也是。

n 因此函數f 的上域可以係“大過或等於 0 的整數”。

² “值域”(Range)喺中學文憑嘅課程指引入面係冇提過嘅。

n 不過其實好可能指引入面嘅“上域”根本就係指“值域”。

l “值域”係指“將所有x 的可能值代入函數 f 後所對應的值”。

n 喺買汽水嘅例子入面,函數f 的值域係“0, 6, 12, 18, 24, ….”

u 所以函數f 的值域係“0 或 6 的倍數”。

l 由以上嘅解釋,大家可以將“上域”睇成為一個“比較粗略嘅講法”;而“值域”就好實 在咁講到明“經過個函數運算之後嘅值可以係咩”。

n 喺買汽水嘅例子入面,我哋亦可以話“上域”係“0 或者雙數”。

l 好多時候,“上域”同“值域”根本就會係一樣。

² 唔知大家睇到依度到底明唔明咩係“定義域”同“上域”。

n 其實函數可以學到好深……不過我諗喺中學文憑度考評局都係想大家對有個“粗略”

認識。所以如果你睇唔明上面嘅解釋,你可以當:

u “定義域”係指“x 嘅所有可能值”。

u “上域” 係指“f(x)嘅所有可能值”

(24)

2.1.3. 自變量及應變量

l 又用多次前面小明買汽水嘅例子:

n 汽水每枝$6。

n 設小明買咗x 咁多枝汽水。

n 小明用嚟買汽水嘅錢可以被定義為一個函數 f。

u 因此 f(x) = 6x

n 如果設小明用咗y 咁多錢,咁 y = f(x) (或 y = 6x)

l “自變量”係“可以自己改變嘅變量”

n 喺買汽水嘅例子入面,“買汽水嘅數量”(即係x) 就係自變量。

l “應變量”係“因應其他變量改變便而改變嘅變量”

n 喺買汽水嘅例子入面,“買汽水所用咗嘅錢”(即係y) 就係應變量。

(25)

2.2. 認識函數的記法及使用表列、代數和圖像方法來表達函數

(Recognise the Notation of Functions and Use Tabular, Algebraic and Graphical Methods to Represent Functions)

2.2.1. 函數的記法

l 嚟到依度,大家對函數都有一定嘅認識。依家只係“正式”咁講吓我哋會點表達個函數。

l 假設有一個函數f

n 佢嘅自變量係x (中學文憑試中應該只會考得一個自變量嘅函數)

n 而經函數運算後嘅應變量係y

l 咁我哋就會將以上嘅關係寫做: y = f(x)

l 學識點寫一個函數之後就係學點表達個函數嘅內容。

n 喺下面度,我會用三種方法嚟表達同一個函數“f(x)”。

2.2.2. 使用表列來表達函數

x f(x) 1 -6 2 -4 2.5 -2.25

3 0

2.2.3. 使用代數來表達函數

f(x) = x2 – x – 6

2.2.4. 使用圖像方法來表達函數

l 除咗一般用嘅曲線圖之外,我哋亦可以用下面右向的圖像嚟表達函數(其實個圖就好似一 個表格咁)。

l 以上幾種方法,最常用嘅係“代數”同“圖像”。

(26)

2.3. 理解二次函數圖像的特徵(Understand the Features of the Graphcs of Quadratic Functions)

l 二次函數圖像(即 y = ax2 + bx + c)個樣係好似一隻碗咁(就好似下面幅圖嘅紅線咁):

l 睇幅圖嘅時候,我哋要留意:

n 開口方向(向上定向下) u 右圖中嘅開口係向上 n y-軸截距係正定負

u 右圖中嘅y-軸截距係負數 n ax2 + bx + c=0 嘅根嘅值及數目

u 上圖中有兩個根,一正一負 n 對稱軸(axis of symmetry)嘅位置

u 右圖中嘅稱軸係 “喺正嗰邊”

Ø 所以幅圖大半係喺y-軸右邊 n 頂點(vertex)嘅坐標

u 如果開口向上,咁個頂點就係二次函數嘅“極小值”(maximum value)。

u 如果開口向下,咁個頂點就係二次函數嘅“極大值”(minimum value)。

² 大家一定要識得從題目俾你嘅函數(如y = x2 + 5x + 1)嚟決定個圖嘅樣(多數只出 MC)。

題目係好可能會俾個圖你,問你a、b 同 c 係正定負。

l 做依類題目嘅技巧係要明白“a、b 同 c 點影響圖樣嘅樣”:

n “開口方向”取決於a 嘅正負:

u a > 0 即開口向上。

u a < 0 即開口向下。

n “y-軸截距” 取決於 c:

u c = y-軸截距 (因當x=0 時,代入函數可得 y = a(0)2 + b(0) + c = c)

n “根嘅數目”取決於判別式(b2 – 4ac):

u 如果b2 – 4ac > 0 就有兩個根(個圖會穿過 x-軸兩次)。

u 如果b2 – 4ac = 0 就有一個根(個圖只會掂到 x-軸一次)。

u 如果b2 – 4ac < 0 就冇實根(個圖唔會掂到 x-軸)。

n 對稱軸係“x = -b/2a” (即係計–b/2a)

u 如果 –b/2a > 0 即係對稱軸喺 y-軸嘅右邊,個圖會靠右。

u 如果 –b/2a < 0 即係對稱軸喺 y-軸嘅左邊,個圖會靠左。

n 頂點嘅坐標可以由圖睇。如果要計就用以下方法:

u 頂點嘅x 坐標 = -b/2a (即係對稱軸嘅位置)

u 有咗“頂點嘅x 坐標”之後,可以代入函數計相應嘅 y 值。

(27)

例子: 粗略劃出 y = -x2 + 5x – 7 的圖像。

分析: - a < 0 所以開口向下 - x=0 時,y = -7 所以y-軸截距 = -7 - b2 – 4ac = (5)2 – 4(-1)(-7) = -3 < 0 所以沒有根

- –b/2a = - (5) / 2(-1) = 2.5 > 0 所以對稱軸在y-軸 的右邊

* 知道以上幾點之後就可以劃到“隻碗”

(公開試係唔會叫你劃曲線嘅,依個例子只係想你明白D 道理。)

(28)

2.4. 以代數方法求二次函數的極大值和極小值(Find the Maximum and Minmum Values of Quadratic Functions by the algebraic method)

² 這是非基礎課題的課題。

(29)

3. 指數函數及對數函數(Exponential and Logarithmic Functions)

l 指數函數係指 ax;對數函數係指loga x。

n a 叫做“底”(base)。

u 對一個指數函數或者對數函數嚟講佢係一個實數,係唔會變嘅。

u 例如a 可以係 2。

n x 係一個變量。而隨住 x 改變,函數嘅值就會變。例如 23 = 8,24 = 16。

n 我相信對大部份嘅同學嚟講,log 依個函數都係好陌生。後面會詳細d再講。

² 雖然依個課題係被列為“非基礎課題”,但咁並唔等於大家可以唔理指數。相反,簡單嘅 指數化簡可以講係每年會考必出嘅題目,就連文憑數學嘅樣本試卷都係咁出法。

n 如果我哋參照返2010 年“末代”會考數學嘅課程,喺“基礎部分”度係有“利用整 數指數定律以化簡最多含兩個變數的代數式”。

u 其實依類嘅題目同技巧其實已經喺初中嘅時候教過。

n 而文憑數學係會當大家已經完成初中課程,所以都可能會出一D“初中課程”嘅題目。

所以我哋唔可以講考評局亂出卷。

² 因此喺依度先同大家溫一溫“整數指數定律”。

n 另一方面,其實依一課所教嘅“有理數指數定律”都唔係太難明,數學能力較差嘅同 學都可以試吓去學埋佢。

u 至於 “對數”嗰一部份,大家就要量力而為,因為考嘅比重唔應該好大。

另一方面平日大家見同做對數嘅題目又真係唔係好多,數學唔好嘅同學會好易唔 記得點計對數。

3.0. 整數指數定律

1. a × a = a 例 b × b = b = b 2. = a ÷ a = a 例 b ÷ b = b = b 3. (a ) = a × 例 (x ) = x × = x 4. (ab) = a b 例 (y b) = y × b = y b 5. ( ) = ß 其實依條式同“4”係一樣嘅 6. a = 1 例 (xy) = 1

7. a =

(30)

3.0.1. 定律解說

² 睇落好似好多定律要背,但其實只要明白當中道理,要記嘅主要係:

Ø (a b ) = a b

Ø a = 1 ß 見都咩都好,指數係0嘅嘢都等於 1

Ø a = ; = a ß 見到負數指數,就將佢搬去份數中嘅另一層

² 而“當中道理”係咁嘅:

n 你都知 × = 。而 y = y1,所以可以睇成個2 就係由 1+1 計出嚟嘅。

咁即係話: 兩個變數項相乘時,指數相加 n 同一道理: 兩個變數項相除時,指數相減 n 另外,唔好以為 (a3)4 = a3+4 = a7

(a3)4 唔係兩個變數項相乘! 係 a3自己乘自己4 次!

(a3)4 = (a3) x (a3) x(a3) x(a3) ß 依家就係 4 個變數項相乘,所以指數相加 = a3 + 3 + 3 + 3

= a3x4 = a12

² 再睇上面嗰3 條式,要明點用都唔會太難:

l 解說1 化簡 (a b ) 解: (a b )

=“ (a b )自己乘自己 5 次 ”

=“ 5 個"a "相乘 同埋 5 個"b "相乘 ”

=a b = a b

l 解說2 = 1 ß 上下一樣,所以相約後等於 1

另一種解法: =x = x = 1 ß 因為 x = 1 l 解說3 = = a ( )= a

講多一次: 見到負數指數,就將變數項搬去份數中嘅另一層,並將指數變成正數。

例子: =

(31)

3.1. 理解有理數指數的定義(Understand the Definitions of Rational Indices)

² 這是非基礎課題的課題。

(32)

3.2. 理解有理指數的定律(Understand the Laws of Rational Indices)

² 這是非基礎課題的課題。

(33)

3.3. 理解對數的定義及其性質(Understand the Definition and Properties of Logarithms)

² 這是非基礎課題的課題。

(34)

3.4. 理解指數函數與對數函數的性質及認識其圖像的特徵

(Understand the Properties of Exponential Functions and Logarithmic Functions and Recognise the Features of their Graph)

² 這是非基礎課題的課題。

(35)

3.5. 解指數方程和對數方程(Solve Exponential Equations and Logairthmic Equations)

² 這是非基礎課題的課題。

(36)

3.6. 欣賞對數在現實生活中的應用(Appreciate the Applications of Logairthms in Real-Life Situations)

² 這是非基礎課題的課題。

(37)

3.7. 欣賞對數概念的發展(Appreciate the Development of the Concepts of Logarithms)

² 這是非基礎課題的課題。

(38)

4. 續多項式(More about Polynomials)

4.0. 溫習(Revision)

4.0.1. 當用詞彙

次方 (order) : 多項式中最大嘅次方(又稱為“冪”) 項數 (no. of terms) : 多項式係由幾多個單項式組成 係數 (coefficient) : 多項式中某項嘅數字

同類項(same terms) : 兩個變數同次方都一樣嘅“項”

不同類項(different terms) : 兩個變數或次方不一樣嘅“項”

排列方法 降冪(descending order) : 次方由大至細咁排 升冪(ascending order) : 次方由細至大咁排 常數項(constant term) : 只係得數字嗰一項

例子解說1: 3x + 5 – 2y 項數 = 3;

3x 與 2y 為不同類項;

x 嘅係數 = 3;y 嘅係數 = -2;

常數項 = 5 例子解說2: 3x2 + 5 – 2x – 2x3 次方 = 3

例子解說3: 3x2 + 5 – 2x – 2x3 用降冪排列: – 2x3 + 3x2 – 2x + 5 4.0.2. 多項式的加、減法

要做好多項式嘅加、減,同學只要識得以下三樣嘢就OK:

l 同類項(same terms)

l 拆括號 l 正負數加減 同類項

l 化簡 3x + 5y + 4x

n 當中 3x 同 4x 係同類項,所以可以相加: 3x + 4x = 7x n x 與 y 唔係同類項,所以唔可以相加。

n 所以條數係咁做嘅:

3x + 5y + 4x = 7x + 5y

(39)

l 化簡 3x – 5y – 4x – 7y

n 利用“同類項”原理,先將題目中嘅項分類:

u

3x – 5y – 4x – 7y = 3x – 4x – 5y – 7y

Ø 3x – 4x = (3 – 4)x = -x; ß“3 – 4=-1”,所以最後有“–1 個 x”即“-x”

Ø – 5y – 7y = -12y ß -5 – 7 = -12, 所以最後有 -12y n 所以成條數係咁做嘅:

3x – 5y – 4x – 7y

= 3x – 4x – 5y – 7y ß熟嘅講可以跳咗依步

= -x – 12y 拆括號

l 情況1 : 括號前是“+”號

n 例子:化簡 3x + 5y + (2y – 4x)

n 係依個情形下,我哋可以當個“+”號同括號冇到,只要將每一項抄一次便可以了。

n 所以成條數係咁做嘅:

3x + 5y + (2y – 4x)

= 3x + 5y + 2y – 4x ß 留意 “2y”係 “正 2y”所以抄成 “+2y”

= 3x – 4x + 5y + 2y ß 如果你眼利,睇到所有同類項,依步可以唔寫

= -x + 7y n 另一例子:

3x + 5y + (–2x + 5y + 3a) ß 號前是“+”號 ,所以當“+”號同括號冇到

= 3x + 5y – 2x + 5y + 3a ß 拆括號

= x + 10y + 3a

l 情況2 : 括號前是“-”號

n 例子:化簡 3x + 5y – (2y – 4x)

n 係依個情形下,我哋喺拆括號嘅時候要將括號內每一項抄一次並同時將正負號倒轉。

n 所以成條數係咁做嘅:

3x + 5y – (2y – 4x)

= 3x + 5y – 2y + 4x ß “2y”抄成“-2y”;“-4x”抄成 “+4x”

= 7x + 3y

n 另一個例子(有兩個括號):

–(3x + 5y – 3a) – (–2x + 5y + 3a)

= –3x – 5y + 3a + 2x – 5y – 3a ß 留意 D 正負號點倒轉

= –x – 10y ß 3a – 3a = 0a 因為係“0a”,所以唔駛寫

(40)

4.0.3. 多項式的乘法

要做好多項式嘅乘法,同學要識以下四樣嘢:

l 乘法分配性質 l 正負數相乘 l 基礎指數定律 l 多項式嘅加、減法

乘法分配性質(Distributive property of multiplication)

l 咩係“分配性質”?? 唔好俾個名嚇親…… 其實大家係小學已經學過 3 x ( 4 + 5 ) = 3 x 4 + 3 x 5

l 例子 3 ( 5a + 6 ) = 15a + 18 ß 留意數字還數字乘,即 (3) x (5a) = (3 x 5)a = 15a 正負數相乘

l 我諗唔駛多講,大家都知

3 x 4 = 12 3 x (-5) = -15 (-4) x (-5) = 20 (-5) x 2 = -10

心算唔好唔緊要,用計算機篤得快又準重緊要!

基礎指數定律

l 指數係“x2”裡面個“2”,即係我地成日講嘅“2次方”、“3次方”等 l 大家要識嘅係:

n x × x = x ß 唔該留意個 x 同 “乘”嘅寫法 n x × x = x

n a × b = ab

l 例子 (3y) × (2y) = 6y2 ß 留意數字還數字乘,英文字(即變數)還英文字乘 多項式的加、減法

唔識嘅話可以睇返 section 4.0.2 (即第 4.0.2 章)

(41)

4.0.4. 練習 Level 1

l 3 (5y + 6) = 15y + 18 ß分配性質

l (5y – 6)(4) = (5y)(4) – (6)(4) = 20y - 24 ß又係分配性質,請睇清楚點乘,Level 3 要用!

Level 2

l -3 (5y – 4) = -15y + 12

有D 書會教大家咁寫: -3 (5y – 4) = (-3) (5y) – (-3) (4) = -15y – (-12) = -15y + 12

但我就覺得只要熟分配性質,第一項即係“(-3) (5y) = -15y”; 第二項即係“(-3) (-4) = +12”。

Level 3

l 展開 (3x + 1) (2x – 5) ß 將兩個多項式相乘通常叫“展開”

先將後面括號入面嘅“2x - 5”當成一個公仔,即 (3x + 1) (2x – 5) = (3x + 1) (Δ) = 3xΔ + Δ

所以條數係咁做嘅:

(3x + 1) (2x – 5)

= 3x (2x – 5) + (2x – 5) ß “+ 1 (2x – 5)”中嘅 1 習慣唔寫

= 6x2 – 15x + 2x – 5 ß 分配性質 及 拆括號

= 6x2 – 13x – 5 ß 進一步化簡答案 (把同類項相加)

l 另一例子:

(3x – 2) (-2x + 5)

= (3x) (-2x + 5) – 2(-2x + 5) ß 分配性質,總之將後面個括號當成圖畫,每次成個抄

= -6x2 + 15x + 4x – 10 ß 分配性質,留意 “-2”乘“-2x”= +4x

= -6x2 + 19x – 10

(42)

4.1. 進行多項式除法(Perform Division of Polynomials)

² 喺文憑數學入面要用到“多項式除法”嘅地方唔多。十居其九係喺考“餘式定理”

(Remainder Theorem)時要你做埋因式分解(Factorization),所以先會用到多項式除法。

l 多項式嘅長除法同小學學除數時學嘅長除法其實差不多。

n 所以先同先請大家溫一溫“長除法”。

n 大家睇下面個“長除法”算式後最好攞張紙出嚟自己試做一次:

l 而要講多項式除法,最好就係用一個例子做示範。

n 例:以長除法計算4x3 – 2x2 + 4x – 6 ÷ 2x – 3。

答:

ß 2x

2

(2x – 3) = 4x

3

– 6x

2

ß 2x (2x – 3) = 4x

2

– 6x

ß 5 (2x – 3) = 10x – 15 ß餘數 = 9

² 希望大家都睇完上面幅“多項式除法算式”圖後可以感受到多項式除法其實同整數長除 法嘅做法係大同小異嘅。

² 除咗學長除法之外,同學亦要留意當一個多項式被 (ax + b) 除嘅時候,個餘式只會係一個 數字,所以好多時候我哋都只係叫“依個情形下嘅餘式”做“餘數”。

n 而如果一個多項式被 (ax2 + bx + c) 除嘅時候,個餘式就會係 (ax + b)。

u 留意:“ax + b”入面嘅 a 亦可以等於零。咁個餘式就只會係一個數字。

n 其實以上道理就好似數字除數字咁,個餘數一定會細過個除數。

u 而喺多項式除法入面,個餘數嘅次方一定會比除數細。

(43)

4.2. 理解餘式定理(Understand the Remainder Theorem)

l 餘式定理嘅用處係幫我哋計“當一個多項式被 (ax + b) 除嘅時候,嗰餘數係幾多”。

l 餘式定理所講嘅嘢(即係點計個餘數)就係:

當一個多項式 f(x) 被 (ax + b) 除嘅時候,餘數 = f(-b/a)

l 用返前面4.1 嘅例子嚟講解。當“4x3 – 2x2 + 4x – 6 ÷ (2x – 3)”嘅時候,我哋可以睇到:

n f(x) = 4x3 – 2x2 + 4x – 6 n ax + b = 2x – 3

n 所以,餘數 = f ( -(-3)/2 ) = f (3/2) = 4(3/2)3 – 2(3/2)2 + 4(3/2) – 6 = 9。

u 個餘數當然同我哋用長除法計出嚟嘅一樣。

l 好多同學都會被餘式定理個定義嚇親。

n 叫佢計4x3 – 2x2 + 4x – 6 ÷ 2x – 4 嘅餘數都唔知點計(因為冇話你知 f(x)係咩,就算有 都唔記得要代咩入個f(x)函數度)。

l 其實大家可以用以下嘅步驟去記 “點計個餘數”:

n 先喺草稿紙上寫低 “除數式 = 0” (喺例子度即係 2x – 4 = 0)

n 解方程“除數式 = 0” (即 x = 2)

n 代“方程嘅答案”(即x=2) 入“被除數”嘅多項式度。

u 計到嘅數值就係要求嘅餘數

n 以上就係個方法。而答案就可以咁寫:

根據餘式定理,

餘數 = 4(2)3 – 2(2)2 + 4(2) – 6 ß 如果題目有講被除數係 f(x), 可加多一行“ = f(2)”

= 32 – 8 + 8 – 6

= 26

² 留意我哋係唔須要寫低喺答題簿度我哋係點要知代咩數入個被除數度計餘數嘅。

(44)

4.3. 理解因式定理(Understand the Factor Theorem)

l 先喺度問大家一個問題:點解“2 係 8 嘅因數”?

n 我諗多數人都會答“因為2x4=8”。

n 但其實另一種更好嘅講法係“8 可以被 2 整除”(即“除得盡”)。

u 而“除得盡”亦即係“餘數 = 0”。

u 點解咁講好D?

Ø 如果我問你“點解2 係 15556452215456456638 嘅因數”,你會點答?

Ø 唔通你真係計一次“2 乘幾多係 15556452215456456638”?

l 同樣道理,如果 (ax + b) 係一個多項式 f(x) 嘅因式:

n 咁即係話f(x) ÷ (ax + b) 嘅時候,餘數係 0。

n 根據餘式定理,即係“ f(-b/a) = 0 ”。

u 只要明白 “點解搵因式嘅時候要用餘數係等於零”依個道理就已經可以話學識

“因式定理”!

l 因式定理所講嘅係:

對於一個多項式f(x),如 f(-b/a)=0,則 (ax + b) 是 f(x)的因式。

l 例子: f(x) = 2x3 + 3x2 - 3x – 2。求 f(1)。由此,因式分解 2x3 + 3x2 - 3x – 2。

l 解說:

n 喺會考嘅多項式因式分解題目入面,最多只會出到“三次方”。

n 而題目會先“提示你第一個因式係咩”。提示嘅方法可以喺叫你證明(x – 1)係 f(x)嘅因 式,或者叫你計f(1)。不過無論點俾提示你都好,都係講緊要用“因式定理”(因為 f(1) = 0,所以(x – 1)係 f(x)嘅因式)。

u 留意,如果你計唔到f(1)=0,99.99%係因為你計錯數。

n 個答案可以咁樣寫:

f(1) = 2(1)3 + 3(1)2 – 3(1) – 2 = 0

根據因式定理,因f(1) = 0,所以 (x-1) 是 2x3 + 3x2 - 3x – 2 的因式。

所以, 2x3 + 3x2 - 3x – 2 = (x – 1)(2x2+5x +2)

= (x – 1)(2x + 1)(x + 2)

² 註:同學喺計上面條數嘅時候,第一步就係喺草稿紙到用長除法計:

2x3 + 3x2 - 3x – 2 ÷ x – 1

大家應該計到餘數係0。但更重要係計到個商數等於 2x2+5x +2。咁就可以寫低:

2x3 + 3x2 - 3x – 2 = (x – 1)(2x2+5x +2)

之後再用部計數機嘅“解一元二次方程”程式幫你做“2x2+5x +2”嘅因式分解,咁就 可以再寫到最終答案:

= (x – 1)(2x + 1)(x + 2)

(45)

4.4. 理解最大公因式和最小公倍式的概念(Understand the

Concepts of the Greatest Common Divisor and the Least Common Multiple of Polynimials)

l 雖然依課係被列入為“非基礎課題”,但我認為數學能力較差嘅同學都應該可以應付到。

n 所以大家不妨到“非基礎課題”嘅網頁度下載有關嘅教程。

(46)

4.5. 進行有理函數的加、減、乘及除(Perform Additions, Substraction, Multiplication and Division of Rational Functions)

l 雖然依課係被列入為“非基礎課題”,但我認為數學能力較差嘅同學都應該可以應付到。

n 所以大家不妨到“非基礎課題”嘅網頁度下載有關嘅教程。

(47)

5. 續方程(More about Equations)

5.1. 使用圖解法解分別為二元一次及二元二次的聯立方程(Use Graphical Method to Solve Simulataneous Equations in Two Unknowns, one Linear and one Quadratic)

l 雖然依課係被列入為“非基礎課題”,但我認為數學能力較差嘅同學都應該可以應付到。

n 所以大家不妨到“非基礎課題”嘅網頁度下載有關嘅教程。

(48)

5.2. 使用代數方法解分別為二元一次及二元二次的聯立方程(Use Algebraic Method to Solve Simulataneous Equations in Two Unknowns, one Linear and one Quadratic)

l 雖然依課係被列入為“非基礎課題”,但我認為數學能力較差嘅同學都應該可以應付到。

n 所以大家不妨到“非基礎課題”嘅網頁度下載有關嘅教程。

(49)

5.3. 解可變為二次方程的方程(Solve Equations which can be Transformed into Quadratic Equations)

² 所謂“可變為二次方程的方程”其實係指當我哋解一條方程嘅時候,原本嘅方程最終會被

“化簡”成一條二次方程。

n 而之後我哋就可以用“解二次方程”嘅方法(用計數機嘅程式)嚟計到個答案。

n 文憑課程中指明咗“可變為二次方程的方程”包括:分式方程、指數方程、對數方程 同埋三角方程。

l 雖然依課係被列入“非基礎課題”,但我認為數學能力較差嘅同學都應該可以應付部份課 題。包括:

n 分式方程(Fractional Equations)

n 指數方程(Exponential Equations)

n 三角方程(Trigonometric Equations)

n 所以大家不妨到“非基礎課題”嘅網頁度下載有關嘅教程。

(50)

5.4. 解涉及可變換為二次方程的方程之應用題(Solve Problems involving Equations which can be Transformed into Quadratic Equations)

² 這是非基礎課題的課題。

(51)

6. 變分(Variations)

² “變分”亦稱為“變數法”(英文都係Variations)。

² 簡單嚟講“變分”就係講“兩個(或以上)變數之間嘅關係”。

l 喺文憑課程入面要識嘅“變分”有四種:

n 正變 n 反變 n 聯變 n 部分變。

6.1. 理解正變和反變及其在解現實生活問題時的應用(Understand Direct Variations and Inverse Variations, and their

Applications to Solving Real-Life Problems)

6.1.1. 正變 (Direct Variations)

l 如果x 同 y 嘅關係係“正變”,咁即係話當 x 變大嘅時候,y 都會按比例咁變大。

n 用文字我哋會話: y 隨 x 正變 n 用符號可以寫成: y ∝ x

n 用方程可以寫成: y = kx (k 是一個不等於0的常數(即係數字一個))

例子: 已知 y 隨 x2正變,且當x = 2 時,y = 12。求當 x = 3 時 y 的值。

解說:

l 根據題目, y = k x2 (唔好以為y = k x)

l 計變數法嘅題目時,重點在於 “要先計出個 k”。

n 計k 嘅方法係利用題目俾你嘅實際例子“當 x = 2 時,y = 12”。

當x = 2 時,y = 12: 12 = k (2)2 k = 3 n 所以, y = 3 x2

n 搵到條式就可以計“當x = 3 時 y 的值”:

當x = 3 時, y = 3 (3)2 = 27

(52)

6.1.2. 反變 (Inverse Variations)

l 如果x 同 y 嘅關係係“反變”,咁即係話當 x 變大時,y 會變細。

n 用文字我哋會話: y 隨 x 反變 n 用符號可以寫成:

y ∝

n 用方程可以寫成:

y =

(k 是一個不等於0的常數(即係數字一個))

l 喺反變度另一點要留意嘅就係: x y = k n 即“x 乘 y 的值是不會改變的”。

6.1.3. 解現實生活問題時的應用(Applications to Solving Real-Life Problems)

l 所謂“解現實生活問題時的應用”即係“文字題”。

l 做有關變分嘅文字題嘅技巧就離唔開:

n 根據題目嘅內容設立變分嘅公式(例如 y = kx)。

u 留意喺依個時候公式中會有一個未知數k。

u 而x 同 y 係變數(即 x 同 y 有佢哋嘅意思,例如 x = 買汽水的數量、y = 總金額)。

n 題目應該會俾一個實際例子俾你(即係講明當x 等於某一個數值時,y 嘅相應數值係 幾多)。

u 我哋只要將依個例子代入剛設立嘅公式就可以計到個k。

u 例如題目話“當x=2 時,y=8”,即:

8 = k(2) k = 4

u 計到個k 之後為免混亂,我哋最好將變分嘅公式寫返一次(即 y = 4x)。

n 有咗依條公式,我哋就可以根據題目嘅要求計落去。

u 通常題目係會叫你計“求當x 等於咩時的 y 值”。

(53)

6.2. 理解正變和反變的圖像(Understand the Graphs of Direct Variations and Inverse Variations)

6.2.1. 正變的圖像

l 前面已經講過正變嘅公式係:

y = kx (k 係非零常數)

n 例子: y = 3x

l 正變“y = 3x”嘅圖像就 show 咗係右邊。

n 圖像冇咩特別,只係直線一條。

n 其實從條式y=3x 度,大家都應該可以諗到 個圖像根本係一條直線。

² 留意有時因為x 同 y 係有實際意思(例如係數 量、金錢等),所以x 係冇負數嘅。而幅圖只會 畫x 係正嗰部份。

6.2.2. 反變的圖像

l 前面已經講過反變嘅公式係:

y = k (1/x) (k 係非零常數)

n 反變嘅另一種寫法係:

xy = k (k 係非零常數)

n 例子: xy = 10

l 反變“xy = 10”嘅圖像就 show 咗係右邊。

n 圖像比較特別,係一條曲線。

n 好多同學喺考試時都以為幅圖係一條“由 左上方伸至右下方”嘅直線(即“\”)。

(54)

6.3. 理解聯變和部分變及其在解現實生活問題時的應用

(Understand Joint Variations and Partial Variations, and their Applications to Solving Real-Life Problems)

6.3.1. 聯變 (Joint Variations)

l “聯變”可以話係兩個或以上嘅“正變、反變”結合之後嘅關係。

l 變數嘅數目由之前正變、反變嘅“一對一”(即y 隨 x 正變)變成“一對幾”(例如 y 隨 x 正變及隨 z2正變)。

n 而亦因為“結合”嘅形式可以千變萬法,所以冇一定嘅數式。

l 大家要學嘅係 “將文字描述嘅關係變成一條數式”。例如:

n 文字描述: y

隨 x 正變且隨 z

2

正變

(留意每一個顏色代表一個關係)

n 數式: y = kxz2 (k 為非零常數)

u 留意x 同 z2係用“乘”連埋嘅。

l 另一個例子:

n 文字描述: y

隨 x 正變及隨 r

2

反變

n 數式: y = kx / r2 (k 為非零常數)

u 留意因為y 隨 r2反變,所以數式入面會出現1/ r2。 u 而最後x 同 1/ r2都係用“乘”連埋嘅。

u 大家亦可以睇成“有反變關係嘅變數會放喺分母度、而有正變關係嘅變數就會放 喺分子度”。

l 喺會考度聯變通常會連埋百分數一齊考。照計喺文憑數學度都應該係咁。

例子: 已知 y 隨 x 正變且隨 r2反變。當r 增加 10%,x 減少 5%時,求 y 的改變百分數。

解說: 先寫條數式出嚟:

y = k x r

當r 增加 10%時,r 的新值 = r ( 1 + 10%) = r (1.1) = 1.1r 當x 減少 5%時,x 的新值 = x ( 1 - 5%) = x (0.95) = 0.95x

所以,y 的新值 = k( . )( . ) = . . k = 0.79(y 的舊值) 因為y 由“1y”變成“0.79y”,所以 y 減少了 21%。

數據

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參考文獻

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