臺南市 106 年公私立國民中學數學競賽複賽試題

(1)

臺南市 106 年公私立國民中學數學競賽複賽試題

試題說明：

本試題共 22 題，分為兩部分。第一部分：第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分；

第二部分：第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分；總分 100 分。

請從每題的四個選項中選出最合乎題意的答案。

第一部分（第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分）

1.卡卡看一本書，第一天看全書的¹

3又 5 頁，第二天看了第一天看的頁數的¹

5又 6 頁，第三天看了第二天看的頁數的¹

7。第三天結束後，發現這三天剛好看完 142 頁，則此本書的總頁數為多少?

(A) 210 (B) 315 (C)420 (D)525

2.右方的圖形由兩個邊長相同的正方形 S 疊合，重疊的部分（劃有格線部分）是正 方形T。已知T的面積是整個圖形的面積的²

7，則正方形T與正方形 S 的邊長比 為何？

(A)2：3 (B)1：2 (C)3：4 (D)3：5

3.右圖中，大的長方形沿較長的一邊做垂直切割後得到兩個較小的長方形，且切割之後的兩個小長方形長寬比相同。已知切割後的兩個長方形面積比為 4：1，則原長方形的長寬比為何?

(A)2：1 (B)3：2 (C) 5：2 (D)4：3

4.一個部落每年以固定的方式遷徙，遷徙的方向是依照正東、正北、正西、正南的順序輪替，移動的距離分別是 1、2、3、 逐年增加 1 公里。那麼遷徙 105 次後的位置與初始位置的距離為多少公里? (答 案取最接近整數)

(A)74 (B)75 (C)76 (D)77

5.已知2⁵⁰除以101所得的餘數為 100,求2¹⁰¹除以101所得的餘數為何？

(A)1 (B)2 (C) 36 (D)44

6.設 ( 2,1)A  , ( 2,4)B  ,且點C D, 在直線y  x 6上，已知線段AC與線段 BD 交於原點，則線段CD的長度為何？

(A)2 (B) 2 2 (C)3 (D) 2 2

7.若 n 為小於50的正整數，且x²2nx (n 1)² 0的兩根為整數，則所有 n 可能值的總和為何?

(A)43 (B) 44 (C)67 (D)85

(2)

8.已知一個直角三角形的面積為7,周長為14,則此三角形三邊長的乘積為何?

(A)48 (B)60 (C)72 (D)84

9.已知2017x y 2017與x y k為直角坐標平面上的兩直線，且交點在第一象限，則滿足上述條件的 整數 k 共有幾個?

10.已知一個三角形的內角分別為x, , y z，且x y z z, 4x，則y的範圍為何?

(A) 0 y 80 (B) 30 y 90 (C) 0 y 90 (D) 30 y 80

第二部分（第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分）

11.假設兩正整數 a 、 b 的最小公倍數為 450；則 a b 最小值為何?

(A) 21 (B) 43 (C) 45 (D) 59

12.如右圖， ABC 為等腰三角形，底邊為 BC ，底角為 75，點B至 AC 所做的垂直

線與 AC 的交點為D。已知CD1,則 ABC 為的面積為何?

(A) 4 2 3 (B) 7 4 3 (C) 8 4 3 (D)14 4 3

13.已知500可以寫成n個連續正整數的和，則 n 的最大值為多少?

(A)24 (B)25 (C)26 (D)27

14.已知x y, 均為正數，且6x²xy15y² 0，則

2 2

30 5 72 40 7 105

x xy y

 

  的值為何?

(A)³

2 (B) ³

2 (C)²

3 (D) ²

3

15.已知a b, 為實數，線型函數 f x( )ax b 滿足 f(1) f(2)  f(63)2016，則 f(32)的值為何?

(A) 32 (B) 64 (C)16 (D) 63

16.某本書的內文頁碼以 1, 2, 3, … 編碼。打印整本書的內文頁碼共用了 852 個數字（例如三位數 223 要用 3 個數字），則這本書內文共有多少頁？

(A)215 (B)314 (C)320 (D)329

17.右圖為三個二位數直式加法的算式，已知M N L 為1, 2,, , , 9 之中的三個相異 整數，則 M N L的值為多少？

(A)19 (B)18 (C)17 (D)16

18.如右圖， ABC 中 A 110，且BCD,ACE均為正三角形，則AED的度數為多少?

(A)55 (B)50 (C)40 (D)35

M M

N N

+) L L

M N L

(3)

19.將

 

₅³

2 、  2⁵

3 、7^{ }⁷⁷ 、

 

₇⁷ ⁷四個數，由大至小排列，則哪一個數排在第三位？

(A)

 

₅³

2 (B)  2⁵

3 (C)7^{ }⁷⁷ (D)

 

₇⁷ ⁷

20.設 a 是方程式x²2017x 1 0的一個根，則 ²

2 2016 2017

1

a a

a

 

 的值為何?

21.已知n為整數且4n²32n9是一個完全平方數，則所有這些 n 值的總和為何?

(A)16 (B)8 (C)2 (D)10

22.已知 n 為正整數，且1 n 2017，若 n 可以寫成連續 3 個整數的和，也可寫成連續4個整數的和，則滿 足上述條件的 n 共有多少個?

(A)168 (B) 336 (C) 504 (D) 672