課程名稱:力矩與靜力平衡 課程名稱:力矩與靜力平衡
編授教師:
中興國中 楊秉鈞
轉動
影響轉動的因素探討
A B
C
轉軸 OO’
O
O’
轉動
:( 1 )影響轉動的因素探討:
A 、 B 、 C 中,在門 位置上施力,門很容易轉動 從門位置 依序至位置 施力,轉動愈不易
C
C A
影響轉動的因素探討
轉動
:( 2 )影響轉動的因素:
:施力 ,轉動效果越明顯
:施力點離轉軸 ,轉動效果越明顯
:施力方向和物體夾角越接近 度,轉動 效果越明顯
越大 施力
F
力作用點 越遠
施力方向 90
(媒體: 1
, 1’46” )
力矩 L
力矩
:力矩
( 1 )力矩:
定義: 與 的乘積,來衡量物體轉動的難易 符號: 。
力矩關係式:
力矩的單位:與 的單 位相同,但意義完全不同 :
: : 力矩的方向性:力矩是有方向性的 旋轉。
旋轉。
施力 力臂
L
d F
L 力矩 施力 力臂
順時針 逆時針
L
□ N □ m N m 牛頓 公Kgw m 公斤重 尺
公尺
L
□ Kgw □ m
L
□ gw □ cm gw cm 公克重 公分 功
力矩
:力矩
( 2 )力臂:
意義:用以說明 和 對轉動效果之影響 定義: 到 的垂直距離,符號 。 找力臂的三個程序:
a. ; b. ; c. 。 力臂性質:
a. 在施力大小相同時,力臂越 者,愈容易轉動。
b. 施力的方向與槓桿的夾角越小時,力臂 。
d
力作用點 施力方向
支點 力作用線
找支點 作力線 畫垂距
O
●
d F
愈小 大
d F
L 逆時針
力矩
:力矩
( 3 )轉動觀察:
:轉動的裝置
:轉動中位置不動的點,符號: 、 。
轉動的方向:順時針方向、逆時針方向轉動 力作用線
力臂
力矩: 。 槓桿
支點(轉軸)
d d
槓桿
O △
O
O
逆時針 順時針
Fd L
(媒體: 1 )
範例解說
1. 甲、乙、丙、丁四圖,為同一個槓桿分別以不同方向施力 F 於 P 點,
若 OP = D 公尺,則回答下列問題:
請以作圖法,求出四者力臂之大小:
甲: ;乙: 。 列出四者之力矩算式?
D
d
甲2
d
乙 D
D D 2
D
F
L
甲 L乙 F D2順時針 順時針
45 45
1 1
2
45 45
範例解說
1. 甲、乙、丙、丁四圖,為同一個槓桿分別以不同方向施力 F 於 P 點,
若 OP = D 公尺,則回答下列問題:
請以作圖法,求出四者力臂之大小:
甲: ;乙: ;丙: ;丁: 。 列出四者之力矩算式?
D D 2
2
D
d
丙d
丁 0
2
D 0
2
D
F
L
丙L
丁 F 0 0
順時針
60 30
1
2 3
30 60
點 , 線 , 重合時,力臂
= 0
範例解說
1. 甲、乙、丙、丁四圖,為同一個槓桿分別以不同方向施力 F 於 P 點,
若 OP = D 公尺,則回答下列問題:
四者力臂之大小: 。 施力與槓桿的夾角愈小時,力臂愈 。 施力與槓桿的夾角愈大時,力臂愈 。 施力與槓桿夾 度時,力臂最大。
丁 丙
乙
甲
d d d
d
小 大 90
●
O
範例解說
2. 小華欲施力將一半徑 10 公分的圓柱推上樓梯,如圖:
標示出物體轉動時的轉軸(支點)位置。
如圖的四個施力 F1 、 F2 、 F3 、 F4 ,其力臂大小請作圖求出。
力臂依序為: d1 = cm ; d2 = cm ;
d3 = cm ; d4 = cm 。依序為 。
若四個施力 F1 = F2 = F3 = F4 ,造成之力矩分別為 L1 、 L2 、 L3 、 L4 ,
則力矩大小為? 。
●
O
10
d2
d4 d1
d3 20 10 < d 4 <
20
2 1
4
3
d d d
d
2 1
4
3 L L L
L
▲ ▲
0 < d 2 < 10
d L
d F
L
逆時針
順時針 順時
針
範例解說
3. 右圖, F1 、 F2 、 F3 對槓桿施力,則:
若以 A 為轉軸,可能造成順時針轉動的施力是 。 若以 B 為轉軸,可能造成逆時針轉動的施力是 。 若以 C 為轉軸,可能造成逆時針轉動的施力是 。
A B C
F
1F
3F
2F
1F
3F
1F
2F
1F
3範例解說
4. 如圖,就其旋轉效果的大小而言,各力對支點的力矩依大小排列
如下,哪一項正確? 。(單位: F gw 、 d cm ) ( A ) F1 的力矩> F2 的力矩> F3 的力矩> F4 的力矩 ( B ) F4 的力矩> F3 的力矩> F2 的力矩> F1 的力矩 ( C ) F3 的力矩= F2 的力矩= F1 的力矩> F4 的力矩 ( D ) F4 的力矩= F3 的力矩> F1 的力矩> F2 的力矩。
逆時針 cm
gw d
F
L
1
1 1 6 1 6 .
逆時針 cm
gw d
F
L
2
2 2 3 2 6 .
順時針 cm
gw d
F
L
3
3 3 2 3 6 .
逆時針 cm
gw d
F
L
4
4 4 1 4 4 .
C
垂直施力時,桿長=力臂
範例解說
5. ( )如附圖所示,扳手上各力的大小均相同,各力皆單獨施於扳 手上,比較各力所產生的力矩,下列敘述何者正確?
(A) F1 所產生的力矩最大
(B) F1 所產生的力矩等於 F1 與 d 的乘積 (C) F4 所產生的力矩為零
(D) F2 所產生的力矩大於 F3 所產生的力矩。
0
1
0
1 1
1
F d F
d2
L
2 2
2
F d
L
d3
L
3 F
3d
3 F
3d
0
4
0
4 4
4
F d F L
4 1
2
3
L L L
L
C
支 ●
點
點 , 線 , 重合時,力臂
= 0
範例解說
6. ( )下圖為一個以 O 點為支點轉動的鐵片,而三拉力 F1 、 F2 、 F3
大小均相等,且所生成的力矩分別為 L1 、 L2 、 L3 ,試問 三力
矩大小關係為何?
(A) L1 = L2 = L3 (B) L1 > L2 > L3 。
(C) L1 > L3 > L2 (D) L2 > L1 > L3 。
D
d
1d
2d
3=02 1 3
3 2
1
3 1
2
L L
L
d L
d F
L
F F
F
d d
d
●
支點
合力矩 △ L
合力矩
:合力矩
( 1 )合力矩:
意義:當物體同時受到數個力產生的力矩時,順時針力矩和 與逆時針力矩和之 ,即得合力矩。
合力矩性質:用以判斷物體的轉動方向 ( 2 )合力矩運算:
△ L≠0 :
順時針力矩和>逆時針力矩和 物體 轉動。
順時針力矩和<逆時針力矩和 物體 轉動。
△ L = 0 :
順時針力矩和=逆時針力矩和 物體 轉動。
△ L = 0 時,又稱為 原理。
差
小 大
順 逆
逆
順
L 或 L L L L L
L
L
順時針 逆時針 不
槓桿
範例解說
1. 圖為一根長 10 公尺的木棒,左端為轉軸,右端同時受到三個不同方
向
的作用力作用,分別為 3 kgw 、 4 kgw 及 5 kgw ,則:
3 kgw 的力矩是 Kgw . m 、 時針。
4 kgw 的力矩是 Kgw . m 、 時針。
5 kgw 的力矩是 Kgw . m 、 時針。
合力矩是 Kgw . m 、 時針。
逆
順
nS
L
L ;
逆
d = 0
逆
逆 逆 X 30
0 30
60 逆
m
Kgw
L
n 3 10 5 6 60 .
範例解說
2. ( )如附圖為一木尺受到各力作用,求此木尺所受的合力矩大小 為多少? (A) 32 gw . cm 順時鐘 (B) 16 gw . cm 順 時鐘
(C) 32 gw . cm 逆時鐘 (D) 8 gw . cm 逆 時鐘
B
順 順 逆
逆
順時針 cm
gw L
cm gw
L
cm gw
L
n S
. 16
56 72
. 56
4 4
2 20
. 72
2 6
6 10
垂直施力時,桿長=力臂
範例解說
3. 如圖所示, F1 、 F2 及 F3 皆為 15gw , AC = 10cm , BC = 20cm 。則:
( )對 C 點而言,哪些力會產生逆時針方向的力矩?
(A) F2 (B) F1 、 F2 (C) F2 、 F3 (D) F1 、 F2 、 F3 。
( )對 O 點而言,三力所產生的力矩大小為何?
(A) 45gw . cm (B) 150gw . cm 。
(C) 375gw . cm (D) 600gw . cm 。 C
逆時針
cm gw
L
cm gw
L
cm gw
L
n S
375 375
10 15
5 15
10 15
10 cm 10 cm
0
5cm C
●
●
逆 逆
逆
逆
逆 逆
●
槓桿原理
西元前 212 - 287阿基米德
Earth.
the move
will I
and stand
to place a
me ive
G
亞基米德曾說:「槓桿是力的放大器」
槓桿原理
:槓桿原理
( 1 )槓桿原理:
意義:
順時針力矩和 逆時針力矩和 物體不轉動。
△ L = 0 :
槓桿原理列式:已知施力 F 、抗力 W ;施力臂 d1 、抗力臂 d2
逆 順
逆
順
L L L
L
L
0
=
施力F 抗力W
d
1d
22
1
Wd
Fd
逆 順
槓桿原理
:槓桿原理
( 1 )槓桿原理:
應用:
等臂天平: 蹺蹺板:
d
1d
2W
1W
2d W d
W
1
2
gd m
gd
m
1
2
2
1
m
m
2 1
2 1
2 2 1
1
d d
W W
d W d
W
體重重的人要往內側坐些
逆 順 逆 順
▲
▲
抗力 W
施力 F
槓桿原理
:槓桿原理
( 1 )槓桿原理:
應用:
拔釘器:對拔釘器如何方向施力時,最容易將釘子拔起 可使 最大,施力 於拔釘器桿
欲將釘子拔起 :
順
逆
2
1
Wd
Fd
L L
s n
W F
d d
1 2施力臂 d1 抗力臂 d2
施力臂 垂直
(媒體: 1, 5’47” ; 2
, 4’32” )
▲
靜力平衡
靜力平衡
:( 1 )靜力平衡:
意義:物體呈現 的狀態( 且 )。
關係式:
甲關係:移動看「合力」:合力= 0
乙關係:轉動看「合力矩」:合力矩= 0 (支點可任選)
物體運動狀態討論:移動與轉動具獨立性
合力= 0 、合力矩= 0 不移動、不轉動 合力 0 、合力矩= 0 會移動、不轉動 合力 0 、合力矩 0 會移動、會轉動 合力= 0 、合力矩 0 不移動、會轉動
靜力平衡
靜止 不移 不轉
0
L
0
F
靜力平衡
:靜力平衡
( 2 )平衡討論:
如圖以中國桿秤秤魚,桿及秤鉤重量可不計,調整秤錘之位 置,當桿秤水平並為靜力平衡時:
合力關係:合力= 0 不移動:靜力平衡
2
1
F
F F
A C (媒體: 1
, 3’55” )
向下移動 合力向下,
合力0
F F 若F
向上移動 合力向上,
合力0
F F 若F
2 1
2 1
靜力平衡
:靜力平衡
( 2 )平衡討論:
如圖以中國桿秤秤魚,桿及秤鉤重量可不計,調整秤錘之位 置,當桿秤水平並為靜力平衡時:
合力矩關係:合力矩= 0 (支點可任選)
以 A 為支點時:
以 B 為支點時:
以 C 為支點時:
1 2
2
1
F d d
d
F
A C
2 2
1
1
d F d
F
1 2
21
d d F d
F
▲
逆
順 逆 順
▲ ▲
順
逆
合力 =0
範例解說
1. 回答下列物體的受力關係:
當我們用拇指與食指關水龍頭時: 。
一保齡球選手,擲出一個旋轉的曲球: 。 當物體處於「靜力平衡」時: 。
原地轉動的地球儀: 。 滑車受力而水平移動: 。
(A) 合力= 0 ,合力矩= 0 (B) 合力≠ 0 ,合力矩= 0 (C) 合力= 0 ,合力矩≠ 0 (D) 合力≠ 0 ,合力矩≠ 0 。
C
D A
C
2. 下列為各物體受力的情形,則哪一物體正處於靜力平衡的狀態?
。
B
向左移動
向右移動
移動(合力) 轉動(合力矩)
合力≠ 0
順時針
合力矩 ≠ 0
範例解說
3. 如附圖,兄妹二人以一根 3 公尺長的竹棒(重量忽略不計)共提一重
物,該物重 60 公斤,距兄 1 公尺,在靜力平衡時,則:
兄需施力 公斤重。 妹需施力 公斤重。
Y F
Kgw 60
2 60
3
60
F
Y F
40 20
1 60 3
Y 1
F Y
2
:
或選其他支點時 順
逆
▲
2 m
合力 = 0 合力矩 = 0
Kgw F 40
Kgw
Y 20
範例解說
4. ( )如附圖木棒的重量不計,若要撐起質量為 20 公斤的重物,
至少須施力 F 多少公斤重?
(A) 10 公斤重 (B) 12 公斤重 (C) 14 公斤重 (D) 16 公斤 重。
B
20Kgw
F 1 20 0 . 6 F 12 Kgw
EDO ABO
∾
1 6 .
0
DO
BO EO
A O
AO
B
D
E 0.6
1
順
逆
n
s
L
L
▲
範例解說
5. 如圖所示,將 400 gw 的懸吊砝碼,掛在均勻木尺上,則:
若木尺重忽略不計,則:
欲使木尺維持水平平衡,彈簧秤的讀數為 公克重。
支點的支撐力為 公克重,方向向 。 150
400 gw
▲
X gw 40 cm
15 cm
順
逆
Y gw
250 上
合力 = 0 合力矩 = 0
15 400
40
400
X
Y X
Kgw X 150
Kgw
Y 250
範例解說
5. 如圖所示,將 400 gw 的懸吊砝碼,掛在均勻木尺上,則:
若均勻木尺重 200 gw ,,則:
欲使木尺維持水平平衡,彈簧秤的讀數為 公克重。
支點的支撐力為 公克重,方向向 。 275
400 gw
▲
X gw 40 cm
15 cm Y gw
325 上
200 gw
均勻 重量畫在中央
25 cm
順
逆
順
合力 = 0 合力矩 = 0
25 200
15 400
40
600
X
Y X
Kgw X 10 15 5 25 275
Kgw
Y 600 275 325
範例解說
6. ( )一長為 5 公尺之均勻木棒,平置於地面,今施力於棒之一 端
將棒慢慢吊起,如附圖所示,當此一端提離地面 3 公尺 時,
施力大小 F 為 0.5 公斤重,則該木棒重為多少公斤重?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 公斤重。
A
0.5 Kgw
W
順 逆
Kgw W
W 2 . 5 1 5
5 . 0
:
乙合力矩關係
畫在木中央 木棒重量
均勻
W :
2.5 m
向上 地面支撐力
Kgw
0.5
0.5 Kgw
▲
相似形關係
範例解說
7. 如附圖所示,用起釘桿將鐵釘拔起,若施力至少為 20 kgw ,則:
抗力所產生的力矩量值為 kgw m‧ 。 施力的力臂為 m 。
鐵釘的抗力為 kgw 。
逆
順
Kgw F
F L
L
n s160
8 05
. 0 4
. 0 20
:
乙合力矩關係
F
8 0.4
160
▲
範例解說
8. 在長 1 公尺的輕木桿(質量可忽略不計)兩端分別放置 A 60 公克和 B 100 公克的物體,結果如圖,若 OA : OB = 3 : 2 ,當系統達到平衡 時,則:
地面給物體的支撐力為 gw 。 木桿支架的支撐力為 gw 。
100gw 60gw
X
Y 60 100 160 :
X Y
甲合力關係
gw Y
gw X
X
10 150
160
150 5
60 2
:
乙合力矩關係
150 10
▲
順
逆
相似形關係
5 100
5
3
X Y
延伸討論 以 A 為支點
地面給物體的支撐力為 gw 。
木桿支架的支撐力為 gw 。
100gw 60gw
X
Y
150 10
▲
順 逆
逆
gw Y
Y
Y 10
200 2
180
2 100
2 3
60
延伸討論 以 O 為支點
地面給物體的支撐力為 gw 。
木桿支架的支撐力為 gw 。
100gw 60gw
X
Y
150 10
▲
逆 順
逆
5 100 5
3 X Y
2 100
2 3
60 Y
若選 A 為支點:
若選 O 為支點:
範例解說
9. ( )如圖所示,蹺蹺板呈靜止狀態。假設不考慮蹺蹺板的重量,
支點也無摩擦,對於蹺蹺板支點,小孩的重量形成甲力矩,
父親的重量形成乙力矩。有關兩力矩的敘述,下列何者正 確?
( A )甲力矩小於乙力矩 ( B )甲力矩等於乙力矩。
( C )甲力矩大於乙力矩 ( D )條件不足,無法判斷。
C
L 乙 L 甲
甲 乙
甲 地面
乙
乙合力矩關係 L
L
L L
L
:
順 順
逆
L 地面 L 支架
▲
範例解說
10. ( )附圖中之數字比為桿長比,設桿質量可忽略不計且達靜力 平衡。關於甲、乙、丙、丁之質量比,下列何者錯誤?
(A) 甲:乙= 1 : 1 (B) 乙:丙= 3 : 1 (C) 丙:丁= 1 : 2 (D) 甲:丁= 3 : 4
B
乙 甲
乙
甲 1 1
甲 丙
丙
甲 3
3 2 1
2
甲 丁
丁
甲 3
2 4 3 1
8 甲 甲
甲 丙
甲 3
8 3
2 2
2
4 : 2 : 3 : 3
3 : 4 3
: 2 :
: :
:
甲 甲 甲 甲 丁
丙 乙
甲 甲
2 3 甲
8
簡易列式討論
假設 6Kgw
1 1
乙
甲
6Kgw 12Kgw
Kgw 4
1 1
丙
丙 3
2
Kgw 16
4 12
Kgw 8
1 16
丁
丁
2
範例解說
11. ( )小鈞欲施力 F 將一均質圓柱(圓心 O )推上樓梯,若均 質圓柱重 60 kgw ,半徑 50 cm ,樓梯的階高 20 cm ,則 以 F 為施力的方向,則至少需要多少公斤重,才可將這 圓柱推上樓梯? (A) 40 (B) 50 (C) 80 (D) 90 kgw 。
C
●
d1
50 cm
順
= 30 cm
W 60Kgw
逆
3050
d2 = 40 d2