行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

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無線感測網路：基本性質與具環境知覺的資料收集機制 (2/2)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC94-2213-E-216-001-

執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 中華大學資訊工程學系

計畫主持人： 嚴力行 共同主持人： 俞征武

計畫參與人員： 鄭仰民、林千惠、楊家政、陳希維、蔡威霆、闕河正

報告類型： 完整報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處理方式： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，1 年後可公開查詢

中 華 民 國 95 年 10 月 30 日

I

摘要

無線感測網路 (Wireless Sensor Networks) 乃是由若干數目的感測器透過無線通訊的方式 組成。感測器置於目標區域 (Target Region) 內，擁有收集、儲存、及處理環境資訊的能力。

無線感測網路的近年來已成為熱門研究的研究主題。本計畫為兩年期，第一年探討無線感 測網路的基本性質，第二年為第一部份所得的成果的應用。本報告總結我們這兩年的研究 成果。在感測網路基本性質部分，我們成功估算出感測器之間無線連結形成的機率、每個 感測器的期望連結數目、考慮邊界效應下個別感測器及整個感測網路的期望偵測面積、感 測網路的k-coverage期望值、感測網路群聚係數 (Clustering Coefficient)、隱藏終端機數目等 等。在成果應用方面，我們為無線感測網路設計出以鏈結構為機礎的資料收集機制，能夠 進一步節省資料收集所耗用的電力。我們也設計出不需感測器位置資訊就可以關掉多餘感 測器而不減少可偵測面積的協定。最後，我們針對感測網路追蹤移動物件的應用，提出一 個可獲得物件在感測器偵測區域間移動頻率的數學分析，此分析不以歷史統計資料為基 礎，可用於建立更有效能的資料傳遞樹。上述部分成果已發表三篇學術期刊論文與四篇國 際研討會論文，尚有後續研究成果整理中。本計畫亦已支持三位研究生獲得碩士學位。

關鍵詞：無線感測網路, 機率分析, 網路涵蓋, 隱藏終端機, 群聚係數, 鏈結構, 資料收集 機制, 省電策略, 物件追蹤.

Abstract

A wireless sensor network consists (WSN) of a number of sensor nodes communicated wirelessly. Sensor nodes deployed in target region are capable of collecting, storing, and processing environmental information. Study of WSNs is becoming a hot research topic. This is a two-year research project. In the first year, we aim to investigate fundamental properties of WSNs. In the second year, we shall apply our research results of the first year to WSN applications. This report summarizes our final results. As to fundamental properties of WSNs, we have successfully estimated the probability of link occurrence, the expected number of links of each sensor, the expected area covered by a sensor or a number of sensors with the consideration of border effects, expected k-coverage, clustering coefficient of WSNs, and the number of hidden terminals in a WSN. As to the applications of our fundamental results, we have proposed a chain-based data gathering scheme for WSNs that can minimize energy consumption. We also developed a topology control protocol that turns off redundant sensors while preserving sensory coverage. This scheme needs no location information of sensors. For mobile object tracking in WSNs, we have proposed an analytical work that generates border-crossing rates for target objects without historical statistics. This profiling facilitates tree-based tracking scheme in that it reduces message cost. Our research results have been published partially in three journals as well as in four international conferences.

Key words: Wireless Sensor Networks, Probability Analysis, Network Coverage, Hidden Terminals, Clustering Coefficient, Chain Structure, Data Gathering Scheme, Power Saving Technique, Object Tracking

II

報告內容 1-11 頁

參考文獻 12-15 頁

計畫成果自評 16 頁

附件一： Link probability, network coverage, and related properties of wireless ad hoc networks .

附件二： Clustering coefficient of wireless ad hoc networks and the quantity of hidden terminals .

附件三： Expected k-Coverage in Wireless Sensor Networks .

附件四： Computing subgraph probability of random geometric graphs: Quantitative analyses of wireless ad hoc

networks .

附件五：Energy optimization for chain-based data gathering in wireless sensor networks .

附件六：Range-based density control for wireless sensor networks .

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報告內容

一.前言

近年來，由於無線通訊及微機電領域技術 的突破，使得低成本、低耗電量、體積小 但多功能的感測器變得不再是夢想，更讓 有計算能力和無線通訊的感測器變得便宜 而 且 更 容 易 獲 得 [22] 。 無 線 感 測 網 路 (Wireless Sensor Networks) 乃是由若干數 目的感測器 (Sensor) 以某種方式建置在 目標區域 (Target Region) 內。每個感測器 均擁有收集、儲存、及處理環境資訊的能 力，並可以無線的方式與其它感測器溝 通，共同完成所賦予的偵測任務。

Internet and

satellite Sink

Task manager node 使用者

E

D C B

A

目標區域 感測器

圖一：散佈於感測區域的感測節點 [1]

無線感測網路常見的應用架構如圖 一所示。使用者透過 Task Manager 執行應 用程式，設定資料匯集點 (Sink Node) 要 收集並處理的資料。資料匯集點將要收集 的資料請求傳送給感測器。感測器將收集 到的感測資料送至資料匯集點彙整，供應 用程式應用。感測資料傳輸模式又可分為 週期性 (Periodical) 與事件驅動 (Event driven) 兩大類。

由於感測器透過它們的無線傳輸介 面可以和其他的感測器做溝通，彼此可以 自行組成一隨意感測網路，所以常被視為 隨意無線網路 (Ad Hoc Wireless Networks) 的一種。不過無線感測網路與一般學者所 考慮的隨意無線網路，還是有不同之處。

首先，由於實際應用多要求小型化的感測 器，相較一般由筆記型電腦或 PDA 組成之

隨意網路，感測網路的感測器擁有較少的 資源（電力供應、計算能力、儲存容量等）， 導致節點損壞或失去功能的機率較大。另 一點不同之處，則是其通訊模式。在一般 的隨意網路當中，任何節點都可能成為通 訊資料流向的來源或目的端。而在感測網 路上的資料，絕大多數都是由感測器傳送 到資料匯集點。

網路基本性質

無線感測網路中感測器放置的位置並不一 定要事先規劃好 [1]。這是因為感測器的 數量可能很龐大[2]；或者是目標區域的某 些特性不允許我們這麼做[1]。因為技術上 的限制，每個感測器只能偵測某個距離範 圍內的事件。這個距離稱為感測器的感測 半徑 (Sensing Radius)。同樣地，每個感測 器無線電波所能發送的距離也受限於所使 用的發射功率。由於較大的發射功率須耗 用較多的電力，通常感測器也只能與某個 距離範圍內的其他感測器通訊。這個距離 稱為感測器的通訊半徑 (Communication Radius)。

「均勻點分佈」模型考慮 n 個感測器 均勻分佈 (Uniformly Distributed) 在一個

l

許多學者已在隨意無線網路上分析 過上述某些基本性質，不過多數學者考慮 的是所謂「蒲松點程序」(Poisson Point Process) 的模型。此種模型固定節點分佈

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6]。在此種模型下，一個極小的單位面積

ds 內是否正好存在一個節點是伯努利分

如果足夠多的節點分佈在足夠大的區域內

（但維持常數），此網路的連結數目可以 用蒲松分佈 (Poisson Distribution) 來趨 近，其平均值 (Mean) 為r²[5]。許多學 者已根據此種模型研究了無線隨意網路的 一些基本性質，如整個區域皆被無線電波 涵蓋的機率 [17]、產生孤立節點的機率 [5, 3]、以及整個網路是連結的條件 [17, 16, 5, 6]。

然而，由於奠基於蒲松點程序的研究 假設系統區域趨近於無限大，它們實際上 忽略了「邊界效應」所可能造成的估計誤 差。邊界效應指的是位於目標區域邊界的 節點，其鄰居節點數目會小於位於目標區 域中間位置的節點。這是由於位於邊界的 節點其可通訊範圍只有部分會落於目標區 域內。此種效應所造成的影響大小，視通 訊半徑與系統區域邊長的比值而定。一般 而言，邊界效應的影響在合理大小的區域 即相當顯著，因此忽略此種效應所得的結 果在實際應用時會受到相當的限制。這種 模型還有另一個缺點，即節點總數並非可 控 制 的 系 統 變 數 ， 而 是 一 個 隨 機 變 數 [19]。蒲松點程序只能控制此隨機變數的 期望值。

我們認為「均勻點分佈」是較為合理 的模型。同時，在分析網路基本性質時，

邊界效應是不可以被忽略的。在相關文獻 中，我們尚未見到採用均勻點分佈模型且 考慮邊界效應的研究。

電力使用問題

電力使用是無線感測網路中最重要的議題

能搭載的電池電量有限，所以我們必須要 有效率地使用電力，來延長整個網路運作 的時間。在媒體擷取控制 (Medium Access Control; MAC) 機制的設計上，可利用睡 眠模式與衝撞預防[37]等技術來達到節省 電力的要求。也有學者[38] 提出以分時多 重擷取 (Time Division Multiple Access;

TDMA) 的方式來分配傳送時間，讓不需 要傳送的節點得以進入睡眠模式，以節省 電力。

有效率的資料傳送方式也是節電設 計的重點。因為無線傳輸的電力消耗與傳 輸距離的二到四次方成正比，因此一個簡 單的節電技巧是感測器不直接傳送資料到 資料匯集點，而是透過其它感測器以多次 轉 送 的 方 式 傳 送 。 資 料 匯 整 (Data Aggregation) [39]是另一個節省電力的資 料傳送策略。此種策略由某些感測器收集 來自於其它感測器的資料，彙整合併後再 轉送出去。由於經過彙整、合併、壓縮後 資料量便得較少，耗用在資料傳送上的電 力消耗也會減少。

雖然也有學者認為，間接多重傳送的 方式未必能節省電源，反而有更大的機率 面對節點失去功能的問題[40]，不過就現 有的文獻資料來看，「間接多重傳送」與「資 料彙整」已成為目前國內外學者研究的重 點。各式的資料傳送與彙整方式，如邏輯 鏈 (Chain) [4143]、樹 (Tree) [44, 45]、及 叢集 (Cluster) [4651]等，相繼被提出來。

另外一個較新的研究趨勢，是安排多 餘的感測器輪流進入休眠模式，以節省電 力。有些研究以處於活動 (Active) 模式的 鄰居數目多寡，作為感測器判斷自己是否 進入休眠模式的條件[52]。有些研究以較 精確的方式，安排感測涵蓋面積較小的感

3

測器進入休眠模式[53, 54, 56]。如此一來 整個感測網路的功能可以保持，又能達成 省電的效果。一般而言，無論關閉感測器 的策略為何，此項作法需滿足一個條件，

即任何時刻處於活動模式下的感測器數目 及位置，必須維持原有的感測能力，並使 網路保持連結狀態。

二.研究目的

本計畫分為兩部分。第一部分(第一年)我 們將分析並驗證「均勻點分佈」模型所具 有的一些基本性質。這些性質與均勻點分 佈模型基本參數 n, l, m, rc與 rs之間的關 係將以明確的數學關係式表達出來。我們 想要探討的性質包括下列幾項：

 任兩個感測器形成無線連結的機 率

 任 兩 個 無 線 連 結 的 聯 合 機 率 (Joint Probability)

 每個感測器的期望連結數目

 網路是連結的機率

 每個感測器的期望涵蓋面積

 一群感測器的期望涵蓋面積

 群聚係數(Clustering Coefficient)

 隱藏終端機(Hidden Terminal)數 目的期望值

我們所要探究的網路性質，與無線感 測網路的效能有相當密切的關係。無線連 結形成的機率與期望值，會影響資料延遲 與頻道競爭現象；我們也預期這兩項數值 與網路連結的機率相關。個別與整體感測 器的期望涵蓋面積，會影響關閉感測器策 略的電力節省效能。至於隱藏終端機數目 的期望值，與資料衝撞數目直接相關。

本計畫第二部分（第二年）在探討感 測網路中的省電策略，包括具電源效率的

資料傳送機制與密度控制協定。在資料傳 送機制方面，我們計畫以邏輯鏈實現「間 接多重傳送」與「資料彙整」的節電策略，

並探討如何建立較佳的鍊結構，與最佳的 鍊 首 節 點 (Header) 排 程 。 在 密 度 控 制 方 面，乃是安排多餘的感測器進入休眠模 式，以節省電力，但同時維持原有網路的 感測能力與連結性。現有的密度控制協定 多需要知道所有感測節點的位置資訊。而 獲得位置資訊的裝置（如全球定位系統）

或機制不是太耗電、體積過大，就是太耗 電，以致實用性過低。我們計畫設計出不 需位置資訊，僅需要知道訊息傳送與接收 節點間距離的協定。其終極目標是儘可能 讓多數的感測器進入休眠狀態，以延長感 測網路的運作時間。

三.文獻探討

無線感測網路中，某個連結是否會出 現取決於此連結兩端感測器的相對位置關 係。當兩個感測器距離小於其通訊半徑 時，這兩個感測器方可形成一無線連結 (Wireless Link)。理論上，n 個感測器所有 可形成的連結數目為 n(n-1)/2 個。許多學 者 [11, 7, 19] 指出，某些連結的出現會影 響其它連結出現的機率，所以某特定連結 出現事件與其它連結出現事件並非互相獨 立的。儘管如此，我們初步的實驗結果支 持每個連結出現的機率不互相獨立，但是 分 佈 是 相 同 的 (identical but not independent)。

群聚係數(Clustering Coefficient)是描 述複雜動態網路的一個重要性質[28]。以 往已有研究學者探討在隨機圖形(Random Graph) [30] 或 其 它 圖 形 中 的 群 聚 係 數 [29]。但迄今尚未有人研究過隨意無線網 路的群聚係數。

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有可能位置，都位於一群感測器中至少一 個感測器的偵測範圍內，則我們稱此塊區 域被這群感測器所「涵蓋」 (Covered)。

我們欲探討無線感測網路中的一個基本性 質：給定封閉區域，被一個或一群隨機分 佈感測器所涵蓋面積的期望值。這是屬於 所謂的「涵蓋問題」 (Coverage Problem)。

現有文獻中，涵蓋問題有數種不同的 定義。一個可能的定義是探討如何有效涵 蓋一個給定區域。例如，古典的藝廊問題 (Art Gallery Problem) 是決定守衛╱攝影 機的數目與每個守衛╱攝影機的位置，使 得一個多邊形的區域（即藝廊）沒有監視 上的視覺死角[15]。在 [21] 中，作者探討 了 n 個節點以格網 (Grid) 狀放置於正方 形區域時，整個區域皆能被涵蓋的充分必 要條件。涵蓋問題亦被定義成判斷給定的 一群感測器是否能涵蓋整個區域 [10] 或 者涵蓋的區域有多少。

有研究學者延伸涵蓋問題的定義，探 討所謂 k-coverage 的議題。給定任一封閉 區域，其 k-coverage 被定義為至少被 k 個 感測器所涵蓋的面積。

於 [14] 中，Meguerdichian 等人定義 了最差與最佳涵蓋問題，分別為找出涵蓋 度最低與最高的區域。已有學者利用諸如 Voronoi 圖及 Delaunay 三角測量等幾何技 巧來解這些問題 [14, 13]。

在上述涵蓋問題的定義中，每個感測 器的確實位置不是需要被決定（當作問題 的答案） 就是需要給定（視為問題的已知 條件）。反觀我們所要探討的問題，只將感 測器位置的機率分佈而非確切位置視為已 知條件。

有兩個因素可能使得我們的問題變

能會互相重疊。第二，位於目標區域邊界 的感測器，其感測區域會小於位於目標區 域中間位置的感測器。這是由於位於邊界 的感測器其可感測區域只有部分會落於目 標區域內。這也是邊界效應的影響。

在以往的研究中，Hall [9] 使用所謂 環面規則 (Torus Convention) 來避開邊界 效應所造成的問題。環面規則是將目標區 域視為上下邊界相接且左右邊界相臨。如 此一來，原本為二維空間平面的目標區域 即成為三維空間的環面 (Torus)，而任何一 個感測器的可感測區域均會落於目標區域 內，無論其位置為何。因此，這個研究的 結果只是漸進成立 (Asymptotically true)。

另一個避開邊界效應的作法是所謂 的邊界區域 (Border Zone) 法 [4]。這種方 法不考慮落於邊界區域的節點，只統計感 測區域全部落於目標區域內的感測器。嚴 格來講，這個方法與環面規則都只是“忽 略”了邊界效應的影響，並未真正將邊界效 應的影響計算在內。

於 [17]，作者研究了隨機分佈的圓幾 近涵蓋一個給定區域的條件。此研究所得 的結果成立的條件是建立在給定目標區域 的面積趨近於無限大。當目標區域的面積 趨近於無限大時，邊界效應所造成的影響 即變得微不足道。因此，當應用於合理大 小的目標區域時，此研究所得結果僅為實 際結果之近似值。

涵蓋問題也與其它無線網路的基本 性質如網路連結性 (Connectivity) 有關。

已有學者指出[12]如果涵蓋問題中的感測 半徑視為通訊半徑的一半，則由一群無線 節點所聯合涵蓋的通訊面積擁有下列性 質：如果此面積是非分割的，則這群節點

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必 屬 同 一 個 連 結 成 分 (Connected Component)。因此在直覺上，如果一塊區 域被涵蓋的比例很高，就不大可能有分割 的連結成分。最近更有學者[31, 32]進一步 指出，當通訊半徑為感測半徑的一倍時，

100%的涵蓋率會保證網路一定是連結的。

在隨意無線網路上，已有許多學者研 究過網路形成連結的機率問題 [17, 16, 5, 6]，不過他們考慮的是蒲松點程序。Santi 等 人 [1820] 曾 經 使 用 均 勻 點 分 佈 模 型，但在稍微予以簡化（假設 l = m）的情 形下，分析欲使網路連結的機率趨近於 1 時 ， n²

r 的 漸 進 式 極 限

Xue 和 Kumar [23]以實驗的方式指 出，欲讓網路成為連結的，每個節點需與 O(log n) 個最近的鄰居有連結存在。

Gupta 和 Kumar [7] 分析了當 n 趨近 於無限大時，每個節點的傳輸半徑應為多 少，方可使網路維持連結。某些研究探討 通訊半徑對網路容量的影響[11,8]。此部分 的成果指出要維持一定的傳輸效能，無線 網路的綢密度 (Density) 不能太密 [8]（因 為太密的網路會有較嚴重的頻道競爭現 象）。

部分研究嘗試在不影響連結性的前 提下，透過精確控制通訊半徑達成節省電 力的效果[12]。少數學者也注意到通訊半 徑對資料延遲與頻道競爭現象所造成的效 能影響[24]。雖然看似明顯，但尚未有學 者詳細研究過通訊半徑與資料衝撞現象間 的關係。

隱藏終端機指的是互相偵測不到對 方的無線電波、但送訊號給第三者時會互 相衝撞的兩部無線主機。對載波偵測多重

擷取 (CSMA) 機制而言，隱藏終端機的存 在是傳輸效能無法提升的主要原因之一。

直覺上，通訊半徑越大，隱藏終端機 數 目越少，也就越不容易產生資料衝撞問 題。不過我們關心的是通訊半徑與隱藏終 端機數目之間明確的數學關係式，這一部 份尚未有相關研究成果出現。

當節點有多個鄰居時，鄰居的數目與 位置分佈皆會影響該節點感測區域可被鄰 居節點感測區域所完全涵蓋的程度。由定 義可知，當節點與其鄰居節點間距離 d 小 於感測半徑 r_s時，兩節點感測區域焦點與 節點位置構成之中央角必介於 2/3 與  之間。因此若要使鄰居節點完全涵蓋節點 的感測區域，則鄰居的數量至少要為三 個，且節點感測區域邊界皆須完全被鄰居 涵蓋。利用此項性質，Tian 等人[53] 所提 出選擇休眠節點的方法可達到感測品質無 損失。

Augusto 等人[56]使用 Voronoi Diagram 將感測區域劃分為多個小區塊，每一區塊 內有一個感測節點。當劃分出來的區塊面 積小於某一個值時，就關閉位於此區塊的 節點。

上述方法皆須知道感測節點的確實位 置。若是沒有了位置相關訊息時，有學者 提出使用隨機的方式來決定節點的休息與 否[57]。休息的機率值是依照網路節點密 度來決定，當節點密度高時則休息機率就 高。決定出的機率值可以估算出最感測品 質下降程度。利用發出探測訊息[52]來計 算收到回應數的方式也不需要知道節點的 位置。如果廣播探測訊息的通訊半徑比感 測半徑小，當節點收到回應訊息時，可依 照收到訊息數的多寡來決定節點是否可以 休息。有學者[54]考慮事件被感測到的機 率隨與感測器距離增加而下降的模型。在 此模型中，某一地點的感測品質被定義為 該點被節點感測到的期望值。作者利用某 節點休眠後，該節點原先可感測區域的感

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息。

四.研究方法

在找出並驗證「均勻點分佈」模型所具有 的基本性質這部分，我們以連結機率與連 結總數期望值為著手點。

我們直接由均勻分佈的機率密度函 數 (Probability Density Function)與連結成 立的條件推導出連結機率的值。尚未見到 其他學者採取此種直接的估算方式。假設 下列「均勻點分佈」模型參數：n 個感測 器均勻分佈在一個 l m 封閉矩形區域 內；每個感測器具有通訊半徑 rc與感測半 徑 rs。令任意兩感測器 i 與 j 的位置座標分 別為 (Xi, Yi) 與 (Xj, Yj)。則 i 與 j 形成通訊 連結的機率為













2 2

0 0

2] ( , )

Pr[

c c

r

u u r

v

c h u v dvdu

r V U

其中 U = (Xi- Xj)², V = (Yi- Yj)², 且 h(u, v) 為 U 與 V 的聯合機率密度函數 (Joint Probability Density Function)。因為 U 與 V 互相獨立，上述問題變成求 U 與 V 的機率 密度函數。以 U 為例，假設 F(u)是 U 的機 率 分 佈 函 數 (Probability Distributed Function)。我們知道

] Pr[

] Pr[

] Pr[

)

( u U u Z

u Z u

F      

其中 Z = |X_i- Xj|且 0u l²。要計算 U 的 機率分佈函數，需要一些積分的技巧，但 是要特別注意邊界條件。我們相信這是一 個可以解決的問題。同理 V 的機率密度函 數也可以求得任意連結形成的機率。

連結機率的估算也可以由另一個方 向著手。假設我們可以計算出每個感測器 無線電波的期望涵蓋面積（已考慮邊界效

結的機率，即為其中一個感測器落入另一 個感測器通訊範圍內的機率。這個值因為 感測器 是均 勻分 佈的 關係 ， 將會 是

 /

上述兩種計算連結機率的方法可互 相驗證。另外，也可以透過模擬實驗的方 式評量分析的準確度。

另外，我們想出一個方法，可望用來 計算一群感測器涵蓋面積的期望值。令 C_n 為 n 個均勻分佈隨機放置的感測器所涵蓋 的面積。我們可以將感測器的佈建視為一 隨機程序(Stochastic Process)，即以一個接 一個的方式隨機放置。假設已有 n - 1 個感 測器放置好，當我們放入第 n 個感測器 時，這個新放入的感測器將只有部分面積 涵蓋原先 n - 1 個感測器未涵蓋處。令為 此感測器期望感測面積（已考慮邊界效 應），且令為第 n 個感測器期望增加的涵 蓋面積占的比例。我們可以得到 E[Cn+1]=

E[C_n] +。又依據均勻分佈的假設，應 為放置 n - 1 個感測器後，尚未涵蓋面積佔 全部區域面積的比例。因此我們可以得到

A C A  E[

]

 

其中 A = lm 代表目標區域的總面積。於是 我 們 可 以 得 到 下 列 的 遞 迴 關 係 式 (Recurrence Relation)

 



 

 





A C C

C

] E[

] 1

E[

這個問題就可以化簡成解此遞迴關係式與 求出精確值的問題。同樣地，我們可以透 過模擬實驗的方式評量分析的準確度。

五.結果與討論

我們已成功定量分析出下列網路整體性質

7

與「均勻點分佈」模型基本參數之間的明 確數學關係。

 任兩個感測器形成無線連結的機 率

 任兩個無線連結成立的聯合機率

 每個感測器的期望連結數目

 個別感測器的期望涵蓋面積

 一群感測器的期望涵蓋面積

 一群感測器的 k-coverage 期望值

 感測網路的群聚係數(Clustering Coefficient)

 隱藏終端機數目的期望值

令 A = lm 為感測節點佈建區域的面 積。任兩個感測器形成無線連結的機率，

會受到邊界效應的影響。圖二為通訊半徑 400 的感測器在 10001000 目標區域內每 個 1010 大小位置的連結出現機率。很明 顯可以看出當感測器位於目標區域中央位 置時，連結形成的機率較高；當感測器位 於邊界周圍時，連結形成的機率較低。可 見連結出現機率受到邊界效應的影響。

圖二：感測器所在位置與連結形成機率的關係 (r_c= 250)

我們分析出，在不考慮邊界效應時，連結 出現的機率為 pn = rc2

/A。考慮邊界效應 時，連結出現機率的期望值為

2 2

2 3 3

4

4 3 4 3 2 1

l m

ml r mr lr

r p

c c c

c b







  . (1)

(1)式已經由上節所述述兩種計算連結機 率的方法互相驗證過。模擬實驗的結果（如 圖三）也證實我們(1)式的正確性。

0 200 400 600 800 1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Radio radius

Probability

圖三：感測器傳輸半徑與連結形成機率的關係

至於任兩個無線連結同時出現的聯合 機率，也受到邊界效應的影響。如果兩個 連結沒有共同的連接點，顯然這兩條連結 出現與否為互相獨立。當兩個連結有共同 的連接點，不考慮邊界效應時，其聯合機 率為 pn2。這是因為當不考慮邊界效應時，

任兩個無線連結成立的事件是互相獨立 的。我們已經證明了這一點[25]。

當兩個連結有共同的連接點，且考慮 邊界效應時，我們證明了此兩條連結出現 與否並不為互相獨立[25]，其理由如下。

令 E_AB表感測器 A 與感測器 B 的無線連 結，則 E_AB形成的機率與 A 所在的位置有 關。當 A 出現在目標區域中央時，E_AB形 成的機率會比 A 出現在邊界周圍時 E_AB形 成的機率來得大。因此當 E_AB形成時，感 測器 A 有較大的機率出現在目標區域中央 而非在邊界周圍，導致另一個連結 E_AC形 成的機率也會比較大。當初提出本計劃 時，我們認為可以推導出考慮邊界效應 時，任兩個無線連結成立的聯合機率。經

7

8

如想像中容易。

無線感測網路中，每個感測器的期望 連 結 數 目 為 無 線 連 結 的 形 成 機 率 乘 以

n-1 。 因 此 不 考 慮 邊 界 效 應 時 其 值 為 p

在涵蓋面積的計算方面，不考慮邊界 效應時，很顯然地個別感測器的涵蓋面積 為rs2。當考慮邊界效應時，令隨機變數 N 為個別感測器的涵蓋面積。則 N 值視感測 器所在的位置而異。我們利用簡單機率以 及微積分的技巧推導出 N 的期望值為

ml

ml r mr lr

r N E

s s s

s

2 3 3

4

4 3 4 3 2 1 ] [







  . (2)

於 計 算 一 群 感 測 器 的 涵 蓋 面 積 C_n 時，我們利用上一節所述的方法，將感測 器 的 佈 建 視 為 一 隨 機 程 序 (Stochastic Process)，順利推導出 n 個感測器涵蓋面積 的期望值為 [25,27]

A A N C E

E



 



 



 





 [ ] 1

1 ]

[ . (3)

我們在推導過程中，將兩相依事件的 聯合機率以個別發生的機率相乘替代，因 此(3)式只能算是趨近值。不過我們透過模 擬實驗發現(3)式的準確度相當高。圖四顯 示在 10001000 區域中，依照(3)式所計算 出來的感測器覆蓋率與感測器數量和感測 半徑間的關係。

0 20

40 60

80 100

0 100 200 300 400 500

0 20 40 60 80 100

Sensing radius Number of sensors

Coverageratio(%)

係

至於 k-coverage 的計算與計算 Cn的觀 念類似。令

C

] [

) 1 ( ]

[

0

t d j

d i t t

d d

t j

i

p p E C

t C d

E



 











其中 p 是連結出現的機率。要計算 n 個感 測器的 k-coverage 期望值

E [ C

]

這項研究成果的直接應用將是，給定 目標區域、感測器的數目及可感測範圍，

我們即可明確指出預期會有多少的面積被 感測器涵蓋。同樣地，給定感測器的可感 測範圍及期望涵蓋面積，我們亦可估計需 要多少感測器方能達成。

我們推導出在「均勻點分佈」模型下，

不考慮邊界效應時，任何無線隨意網路（包 括無線感測網路）的群聚係數 c 是個常數 [26]：

 4

3 1  3



c

c 與節點密度或通訊半徑皆無關。我們也

不考慮邊界效應時隱藏終端機數目的期望 值[26]：

)

2 )(

1 2 (

1

p

n n

c n  

 



結果顯示隱藏終端機數目與節點數目的三 次方與連結機率的平方乘積成正比。

運用同樣的觀念，我們進一步推導出 在無線網路中各種拓樸子結構出現的機率 [36]。

我們的結果顯示，邊界效應是導致許 多基本性質在「均勻點分佈」模型中無法 精確估算或得到精確結果的原因。我們雖

9

有一些方法可以對付邊界效應，但得到的 結果卻只能為期望值，而非更佳的機率分 佈。

在我們的研究過程中也發現，感測器 位置隨機放置所造成的影響，可以用隨機 程序(Stochastic Process)的模型來分析，如 涵蓋面積的計算。這一方面的應用極有潛 力。目前我們正嘗試利用隨機程序模型來 估測移動物件在感測網路中感測器監視區 域間移動的頻率。

在 資 料 傳 送 機 制 的 成 果 方 面 [33,34]，我們分析出以邏輯鏈結構傳送資 料的電力耗用來自於兩大部份。第一部分 是耗在感測器之間的通訊，主要受到鏈結 構的影響。第二部份的電力耗用在 Sink 節 點與鏈首節點間的通訊，主要受鏈首排程 (Leader Scheduling)的影響。

為了減少第一部分的電力耗用，我們 利用了虛擬鏈的概念。傳統鏈結構[41, 42, 43]中的每段邊皆對應成一條直接通訊連 結。在虛擬鏈中的每段邊可以不限於直接 通訊連結，而可以用間接多重傳送來達 成。這樣做除了可以較為省電外，也較具 有彈性。當感測器通訊距離有限制時，傳 統的鏈建構演算法可能無法順利建立鏈結 構。如果以虛擬鏈處理，只要感測網路是 連結的，保證可以順利建立鏈結構。

為了建立鏈建構，我們必須計算每一 個感測節點到另一個感測節點如使用多重 傳送所需耗用的最少電力。此種計算可以 使用傳統的 all-pair 最短路徑演算法達 成，不過此演算法的計算複雜度較高。我 們也可以用另一種方法，在純為直接連結 的 網 路 拓 樸 邏 輯 上 尋 找 最 小 連 通 樹 (Minimum Spanning Tree)，再以此樹作為 任兩個感測器之間多重傳送所走的路徑藍 本。此演算法的計算複雜度較低，但不保 證任兩個感測器之間多重傳送所走的路徑 是耗用電力最少的。如再加上節點間使用 直接傳送所耗用的電力，我們就有三種方 法可評估節點間建立鏈連結所需耗用的電 力。每一種方法得出的結果都是一個成本 圖(Cost Graph)，圖中的節點代表感測器，

連結兩個節點的線段標有數字，代表此兩 個節點間建立鏈連結所需耗用的電力成 本。

我們也提出了一個新的鏈建構演算 法。傳統的鏈建構演算法[41, 42, 43]皆使 用貪婪的建構策略。差別在於每一次選擇 新的節點加入到建立中的鏈時，是附加在 鏈的最前端[41, 42]還是可以插入到目前 鏈的中間[43]。在此我們的作法是先在 Cost Graph 上尋找最小連通樹，再將此樹 全部搜尋(Traverse)一次，以節點搜尋的順 序建立鏈。這三種鏈建構演算法與三種 Cost Graph，總共可以組合成九種不同的 結果。

在 Sink 節點與鏈首節點間通訊的電 力耗用部分，我們順利推導出最佳化鏈首 排 程 問 題 其 實 是 一 個 線 性 規 劃 (Linear Programming)的問題。我們也以實驗的方 式證實，MRPF (Most Residual Power First) 此種簡單的鏈首排程策略，效能相當接近 最佳排程，而遠勝過簡單的 Round Robin 策略。

在密度控制方面，我們設計出一個分 散式密度控制協定[35]，不需要知道所有 感測節點的位置資訊，而效能接近有位置 資訊的作法。此協定將時間切割為固定長 度的 Round。每一 Round 的前半段執行此 協定，後半段感測器再根據執行的結果決 定是否要進入休眠狀態（如圖五）。

Round i Round i+1 Round i-1

Start-up test

Protocol

execution Working or sleep

圖五：Round 的結構

我們的方法需要量測訊息傳送與接 收節點間的距離。策略是仿照 OGDC[55]

的作法，設法在高節點密度的環境中找出 如圖六所示的放置模式。此模式中，感測 器 S 週遭的鄰居形成一邊長為 3 倍感測 半徑的正六邊形。此時 S 與其鄰居節點可 完全覆蓋此一區域而不會產生任何漏洞。

10

S A

E C F

圖六：使用最少感測器數目達到完全覆蓋的感測器 放置模式

此種設計要面臨的挑戰如下：

1. 量測誤差：信號傳遞問題如環境干擾 及多重路徑衰減都會使得現有的距 離量測技術產生誤差。誤差的程度視 通訊環境而定。在極度糟糕的通訊環 境下，量測誤差有可能高到使任何的 距離量測技術皆無法得到有效結果。

2. 工作競爭：當某個感測器徵求與其距 離為 3 倍感測半徑的鄰居節點成為 工作夥伴時，可能有超過一個以上的 鄰居符合此資格。此種情形下，如何 使這些節點不知道對方存在的情況 下 彼 此 競 爭 得 到 唯 一 的 一 個 勝 出 者，是一個設計上的挑戰。

3. 傳輸衝撞：當一個以上鄰近的節點同 時送出協定訊息時，會造成傳輸衝撞 而使得訊息無法順利收到。

以上第一點並非我們協定要克服的 困難。第二點乃是空間上節點的競爭，第 三點乃是時間上節點的競爭。我們以複雜 的計時器設計來解決最後這兩點問題。圖 七 是 我 們 設 計 協 定 的 狀 態 轉 換 圖 。

Start-up Test

Starting Node Test succeeded

& Tsexpired

Waiting Co-worker Response

scheduled

Working Sleep eligible

Tcexpired Toexpired

Sleep eligible

Co-worker Become a

co-worker

Toexpired

圖七：我們設計出的密度控制協定狀態變換圖

圖 八 顯 示 我 們 設 計 出 來 的 協 定 與 OGDC[55]與 PEAS[52]這兩個具代表性的 密度控制程式，在工作節點數的效能。此 結果是使用 ns2 模擬程式得到的結果。可 以看出用我們設計出來的協定所得到的工 作節點數略多於用 OGDC 所得到的結 果，但是少於用 PEAS 所得到的工作節點 數。這一點是因為 OGDC 擁有位置資訊，

故可以較精確決定所需的工作節點數。我 們的協定與 PEAS 皆未使用位置資訊，但 我們的協定效能表現又較 PEAS 佳。

在涵蓋率的比較方面，這三種密度控 制機制的表現恰好與他們在工作節點數的 效能表現相反（如圖九）。PEAS 有較高的 覆蓋率，其次為我們設計出來的協定，最 差的是 OGDC。可見過分強調使用較少的 工作節點，會影響到覆蓋率的表現。

由於我們設計出來的協定乃是模仿 OGDC 的運作。所以我們進一步比較我們 的協定與 OGDC 的差異。結果如圖十至圖 十一所示。

圖八：不同密度控制程式的工作節點數於(a)5050 網路與(b) 100100 網路

200 400 600 800 1000

15 20 25 30 35 40 45 50 55

Number of sensors

Numberofworkingnodes

(a)

200 400 600 800 1000

40 60 80 100 120 140 160

Number of sensors

Numberofworkingnodes

(b) Ours

OGDC

PEAS (probing range = 8) PEAS (probing range = 9) PEAS (probing range = 10)

Ours OGDC

PEAS (probing range = 8) PEAS (probing range = 9) PEAS (probing range = 10)

11

圖九：不同密度控制程式的覆蓋率於(a)5050 網路與(b) 100100 網路

200 400 600 800 1000

97.5 98 98.5 99 99.5 100

(a) Number of sensors

Coverageratio(%)

200 400 600 800 1000

80 85 90 95 100

(b) Number of sensors

Coverageratio(%)

Ours OGDC

PEAS (probing range = 8) PEAS (probing range = 9) PEAS (probing range =10)

Ours OGDC

PEAS (probing range =8) PEAS (probing range = 9) PEAS (probing range = 10)

圖十：工作節點數隨網路運作時間變化的情形(a)OGDC 與(b) 我們的協定

0 2000 4000 6000

0 5 10 15 20

(a) Time (sec.)

Workingnodepopulation

0 2000 4000 6000

0 5 10 15 20 25

(b) Time (sec.)

Workingnodepopulation

圖十一：覆蓋率隨網路運作時間變化的情形(a)OGDC 與(b) 我們的協定

0 2000 4000 6000

0 20 40 60 80 100

Time (sec.)

Coverageratio(%)

(a)

0 2000 4000 6000

0 20 40 60 80 100

Time (sec.)

Coveageratio(%)

(b)

12

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本研究計畫成果符合原先預期。計畫成果已有一部份（群聚係數與隱藏終端機數目）發 表在 2005 年 3 月份的 IEEE Communications Letters 上（見參考文獻[26]），還有一部份

（連結機率、期望連結數目、聯合連結機率、與期望涵蓋）發表在 2004 年於美國佛羅 里達舉行之 1st IEEE Int'l Conf. on Mobile Ad-hoc and Sensor Systems 會議上（見參考文獻 [25]）。我們並擴充了期望涵蓋與 k-coverage 這部分的內容，發表在 Ad Hoc Network 期刊 上（參考文獻[27]）。我們推導出的在無線網路中各種拓樸子結構出現的機率，發表在

25th IFIP WG 6.1 Int'l Conf. on Formal Techniques for Networked and Distributed Systems

（參考文獻[36]）。

在省電的資料傳送機制方面，我們探討的如何建立較佳的鍊結構，與最佳的鍊首節 點(Header)排程，成果發表在 The 2nd European Workshop on Wireless Sensor Networks（見 參考文獻[34]），後續成果並已被 International Journal of Communication Systems 期刊接 受。密度控制協定方面，我們設計出的不需位置資訊，僅需要知道訊息傳送與接收節點 間距離的協定，已發表在 The 4th Annual Communication Networks and Services Research

Conference（參考文獻[35]）

總計此二年期研究計畫已發表三篇國際期刊論文及四篇國際研討會論文，研究成果 具有一定之學術價值。但若要增加其應用價值，須將所得結果應用在感測網路的協定設 計上，這方面正是我們後續還要努力的目標。在申請專利方面，目前評估並不適合。

Link Probability, Network Coverage, and Related Properties of Wireless Ad Hoc Networks

Li-Hsing Yen and Chang Wu Yu

Dept. of Computer Science and Information Engineering Chung Hua University

Taiwan 300, Republic of China

Abstract— This paper has analyzed link probability, expected node degree, expected number of links, and expected area collectively covered by a finite number of nodes in wireless ad hoc networks. Apart from the formulation of exact mathematical expressions for these properties, we have disclosed two fundamen- tal results: (1) Every possible link has an equal probability of occurrence. (2) It is the border effects that makes two links probabilistically dependent. Simulation results show that our analysis predicts related measure with accuracy.

I. INTRODUCTION

We define an
n, r, l, m-network as a wireless ad hoc network (MANET) that possesses the following properties: (1) The network consists of n nodes placed in an l× m rectangle area. (2) The position of each node is a random variable uniformly distributed over the given area. (3) Each node has a transmission radius of r unit length, where r≤ min(l, m). (4) Any two nodes that are within the transmission range of each other will have a link connecting them¹. We are concerned with several fundamental properties in this model.

It was commonly believed that the probability of link occurrence in MANET cannot be identical. However, we found that it is not true. The expected node degree and the expected number of links in a MANET have also been obtained. Pre- vious work on degree estimate [1], [2], [3] does not take into account border effects [2], which refers to the circumstance that a node placed near the system border will cover less area (with its radio signal) than nodes placed midway. Border effects makes the conventional estimate inaccurate. In contrast, our results are not subject to border effects.

The next problem to solve is the expected area jointly covered by a finite number of nodes, which is a form of so- called coverage problem. Given the expected node coverage, which can be derived from link probability, the problem at hand is still complicated by the fact that region covered by each node may overlap one another in a stochastic way.

We also found that border effects are not only a major obstacle to precise calculations of many network properties, but also the reason behind the probabilistic dependency of two links. This implies that the occurrences of any two links are independent to each other if border effects disappear.

1This is a simplified model as only path loss is taken into account. In a practical network, different nodes would experience different shadowing, thus making the transmission radius different for different nodes.

We conducted experiments for a quantitative analysis of the impacts of border effects. The numerical results show that our analysis accurately estimates these network properties.

II. LINKPROBABILITY ANDEXPECTEDDEGREE

This section computes analytically the probability that two arbitrary nodes are within the transmission range of each other. Let the position of node i be determined by Cartesian coordinates (Xi, Y_i), where 0 ≤ Xi ≤ l and 0 ≤ Yi ≤ m.

Clearly, Xi’s are iid random variables with p.d.f. f (x) = 1/l over the range [0, l], while Yi’s are iid with p.d.f. f (y) = 1/m over [0, m].

Lemma 1: For any two distinct nodes i and j in an

n, r, l, m-network with positions (Xi, Y_i) and (Xj, Y_j), re- spectively, let Zi = |Xi − Xj| and Wi = |Yi − Yj|. We have Pr[Zi ≤ z] = (−z² + 2lz)/l², 0 ≤ z ≤ l, and Pr[Wi≤ w] = (−w²+ 2mw)/m², 0≤ w ≤ m.

Proof: We show only the result for Pr[Zi≤ z]. The result for Pr[Wi ≤ w] can be derived in a similar way. We know that Pr[Zi ≤ z] = Pr[Xi < X_j ≤ Xi+ z] + Pr[Xj < X_i ≤ Xj+z]. The value of Pr[Xi < Xj≤ Xi+z] can be calculated by taking integrals over two non-overlapping intervals and then adding them up. The first interval corresponds to when Xi + z ≤ l. We have Pr[Xi < Xj ≤ Xi + z ≤ l] =

l−z 0

x_i+z

x_i f (xi, xj)dxjdxi, where f (xi, xj) is the joint p.d.f.

of Xi and Xj. Since Xi and Xj are independent, f (xi, xj) = f (xj)f(xj) = 1/l². So Pr[Xi < Xj ≤ Xi+ z ≤ l] = z(1 − z)/l². The second interval corresponds to when Xi+ z > l.

We have Pr[l− z < Xi < X_j ≤ l] = z²/2l². Therefore, Pr[Xi < Xj ≤ Xi + z] = _l^z₂(l − z) + _2l^z22 = ^−z2_2l^+2lz₂ . Similarly, Pr[Xj < X_i ≤ Xj + z] = ^−z2_2l^+2lz₂ . It follows that Pr[Zi≤ z] = ^−z2_l^+2lz2 .

Lemma 2: For any two distinct nodes i and j in an

n, r, l, m-network with positions (Xi, Yi) and (Xj, Yj), re- spectively, let Ui = (Xi− Xj)² and Vi = (Yi− Yj)². The p.d.f. of Ui is f (u) = (√^lu− 1)/l², 0≤ u ≤ l², and the p.d.f.

of Vi is g(v) = (√^mv − 1)/m², 0≤ v ≤ m².

Proof: Let F (u) be the probability distribution function of Ui. We have F (u) = Pr[Ui ≤ u] = Pr[Zi ≤ √

u], 0 ≤ u≤ l², where Zi = |Xi−Xj|. By Lemma 1 we have Pr[Zi≤

√u] = −u + 2l√

u/l². Therefore the p.d.f. of Ui is f (u) = F^(u) = (√^lu− 1)/l², 0≤ u ≤ l². Similarly, the p.d.f. of Vi

is g(v) = (^√m_v− 1)/m², 0≤ v ≤ m². 0-7803-8815-1/04/$20.00 ©2004 IEEE 525