整函數的因子分解簡介
楊重駿
一 . 導言
所謂一個整函數 f (z) 是指 f 在整個複 平面 C 上為解析的 (或正則的) 複數函數。 整 函數的因子分解論是研究一個給定的整函數 能否將它表成兩個或兩個以上非線性整函數 的複合? 這方面的研究是近二、 三十年來的 事, 但其動機則與研究函數遞代 (iteration) 的不動點, 即現今的複動力系統相關的。
早在1926年法國數學家法都 (P.Fatou) 就聲稱, 任何一個非線性整數 f (z) 其二次遞 代 f (f ) 至少有一個 (有限的) 不動點 z0, 即 f (f (z0)) = z0。
直到 1952 年美數學家羅森布隆 (P.C.
Roserboom)[1]利用了著名的 Picard 定理 (任何一個整函數 f 若其在 C 上無法取得 兩個或以上的有限值時, f 必為一常數, 注意 f (z) = ez 在 C 上不取 0 值) 對 Fatou 的 聲稱作了如下的證明:
假定 f (f ) 無不動點, 即 f (f (z))−z 6=
0, 立即我們可以推知 f (z) − z 6= 0, 因 不然 f (z0) = z0 則由此導至 f (f (z0)) =
f (z0) = z0, 於是 z0 為 f (f ) 的一個不動點 的矛盾。 從而我們可知
F (z) = f (z) − z f (f (z)) − z 為一整函數, 因分母恆不為 0。
易見 F (z) 6= 0 及 F (z) 6= 1。 據 Pi- card 定理知 F (z) 必為一常數, 設為 a 且 a 6= 1 及 0, 從而
a[f (f (z)) − z] = f (z) − z 兩邊微分, 可得
a[f′(f )f′− 1] = f′(z) − 1 或
f′(z)[af′(f (z)) − 1] = a − 1 6= 0 於是 f′ 6= 0 及 f′(f (z)) 6= 1a 或 f′ 6= a1。 此導至 f′ 為一常數, 即 f 為一線性式, 與假 設不符。
在同一文 [1]中, Rosenbloom 利用了 由內伐里納 (R.Nevanlinna) 在 1920 年代 創獲的值分布論 (參看 [2]) (Value dis- tribution thery), 對 f (g) 兩個整函數
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f, g 的合成函數的不動點作了些數量性的刻 劃, 而事實上, 研究值分布論的動機也就是 想繼 Picard 定理一種存在性的成果作進 一步數量上的刻劃。 重要的是值分布論是它 能對亞純函數的探討。 所謂亞純函數 (mero- morphic function) 是指具 f /g 形式的函 數, f, g 皆為整函數, 對這樣一個函數 F (z) Nevanlinna基於 Poisson-Jensen 公式引 進了一個所謂的正實性的特徵函數 (char- acteristic function) T (r, F ), 其具有如同 log M(r, F ) (F 為整函數時) 的許多重要性 質, 如為 r 的一連續函數, r = |z| 及為 log r 的漸增凸函數等。 由此可用 T (r, F ) 來刻劃 一個亞純函數的增長。 而值分布論的第一基 本定理就是說對任何一個值 a(可為 ∞)。 方 程: F (z) = a 之解在 C 上的多少或分布 密集情況可由 T (r, F ) 來作界定, 而第二基 本定理大意說對任何一個非常數的亞純函數 F (z), 其至多有可列個 (Countable) 虧值, 且它們的虧量總和不大於 2。
這兒所謂 F 的虧值 a 是指 F (z) = a 之解的某種平均意味下所定出的計數函數 (Counting function)N(r,f −a1 ) 與 T (r, F ) 的相比的上極限小於 1, 而相應之值:
1 − lim
r→∞
N(r,F −a1 )
T (r, F ) = δ(a)
則稱為 a 值的虧量,(所以第二基本定理又可 表為 Pa∈ ¯Cδ(a, F ) ≤ 2; 其中 ¯C = C ∪
∞)。
特 別 若 F 不 取 值 a1, a2, a3, 則 N(r,F −a1 i) = 0, i = 1, 2, 3。 於是 δ(ai, F ), 因而 Pδ(ai, F ) ≥ 3 此為不可能, 除非
F 為一常數, 這也是 Picard 定理明顯的改 進。 值得一提的是虧值的討論可推廣到小函 數上去, 我們稱 a(z) 為 F (z) 的小函數是 指 limr→∞T (r, a(z))/T (r, F (z)) → 0。
一開始內伐里納 (Nevanlinna) 就料 想第二基本定理對小函數亦成立 (這一個 證明中國數學家庄圻泰教授很早就作了奠 基性的工作, 直到 1986 年才由史坦米茲 (N.Steinmetz) 作了完備的證明 [5]。 一個此 方面簡單的應用, 譬如我們知 ez 不取零值, 所以對任何它的小函數 (特別是任意多項式 或有理函數) a(z), 如 (z2+ z)(2z + 5)ez2− (z2+z)/(2z +5) 必有解且其解為無窮多個。
這些也大致可以用來說明為何值分布論可用 來在取值數量方面作進一步量的刻劃了, 特 別 Rosenbloom 在 [1]中得到了下面兩個有 趣的結果:
定理A: 設 f, g 為兩個超越整函數 (即 非為多項式), 則 f 或 f (g), 兩者之一必具 有無窮多個不動點。
定理 B: 設 p(z) 為一非線性多項式, f (z) 為一超越整函數, 則 p(f ) 必有無窮多 個不動點。
在 [1]中 Rosenbloom 引進入所謂 的“素函數”(Prime function) 之概念, 他 定義一個整函數 F (z) 若它表成兩個整函數 f 及 g 之複合 F = f (g) 時, 必導致 因子 f 或 g 必為線性函數。 當時他只提及 ez + z 為一素函數, 並沒給予證明, 但聲稱 證明相當繁複。 此一證明由格羅斯-貝克 (F.
Gross & I. N. Baker) 在 1968 年發布 [3]。
他們推廣並證明對任意非常數多項式 p(z), ez + p(z) 為素函數, 之後 Gross 把此概念 推廣到亞純函數的分解並引進了一個重要的 輔助概念“擬素函數””( Pseudo-prime)[4]。
為簡明起見, 我們在此只考慮整函數及因子 為整函數的情形, 我們稱一個整函數 F (z) 為 擬素的是指任何 F = f (g); f, g 整函數的分 解必導致 f 或 g 為多項式的結論。 所以如果 要證明一個整函數 F 為素函數, 首先證明其 為擬素的, 即 F 只可能有 f (p) 或 p(f ), p 為多項式的分解, 並進一步證明 p 為一次式 就得了。
現我們再回來看一下素函數 F (z) = ez+ z 有些什麼性質。(1) F 沒有不動點。(2) F′(z) = ez+ 1 具有一 Picard 例外值 1, 即 F′ 不取值 1。(3) F (z) 滿足一係數為多項式 的線性微分方程式: F′(z) − F (z) = 1 − z。
(4) F 的零點分布漸近於虛軸, 即集中在固 定的有限條的半射線旁。 (5) F (z + 2π) − F (z) = 2πi, 即 F (z) 為以多項式為模的 擬週期函數, 這幾個性質曾用來建立或建造 素函數簇及擬素函數的充分條件。 過去二十 多年來分解論的進展可說仍是在起步中, 缺 乏完備性的結果, 尤其在分解唯一性方面的 研究仍待努力, 但即使如此林林總總也有了 不少的有關論文及專者的發表及印行。 最近 在筆者及學生, 同仁的合作下也把有關的一 些現有結果推廣到多複變亞純函數或亞純映 射的分解, 參看 [6],[12],[13],[14]。 隨著這些 研究值分布論得以更加充實, 在此我們僅例 舉一些素函數或擬素函數的證明及敘述一些 重要的結果。 希望經由此介紹引起更多讀者 的研究興趣, 作出貢獻。
二 . 整函數的一些重要性質及 分解論結果
我們是用什麼規則來處理分解性的問題 呢? 一般說來探討任意一個整函數的因子分 解是非常困難的。 但注意在萬千個可能的因 子分解或合成中, 這些因子與該函數本身一 定有某種相關性。 拿整數論來看吧! 如果我們 要想看一個給定的整數 N 能否分解成 N = a × b, 則 a 與 b 的大小一定不會超過 N 是 先決條件。 同樣地在分解論當中, 任何一個因 子的增長性 (growth) 或大小也 一定受制於 它們所合成的函數。 這個構想是具關鍵性的。
下面兩個輔理對此作了具體的刻劃。
輔理1: (Polya,[7]) 設 f (z), g(z), h(z) 皆為整函數及 f (z) = g(h(z)) 及 h(0) = 0 (並不一定需要此條件), 則存在一常數 c, 0 < c < 1 使得對任何 r 值
M(r, f ) = Mf(r) ≥ Mg(cMh(r/2)) 其中 M(r, f ) = Mf(r) = max|z|≤r|f (z)|, 即f 的最大模函數。
對一 個 整 函 數 f (z), 我 們 以 值 limr→∞log log M(r, f )/ log r 定為 f 的 級, 例如 ez 的級為 1。
輔理2: (Polya[7]) 設 f (z) 及 g(z) 為 兩個整函數, 若其合成的函數 f (g(z)) 為有 限級的, 則或者 g(z) 為一多項式, f 為一有 限級的函數, 或 g 為一非多項式有限級的函 數及 f 為零級的。
由整函數的表示式定理, 我們可推知:
輔理3: 任何一個非為多項式的整函數 若其級為有限的且為非正整數, 則其必有無 窮多個零點。
特別一個零級的超越整函數必有無窮多 個零點。
當一個函數的零點分佈具有特殊的聚集 性時, 我們有如下的結果。
輔理4: (任福堯 [8]) 設 f (z) 為一整 函數, {an} 為一序列的值, |an| → ∞。 若 除了有限個點外, 所有的解: f (z) = an, n = 1, 2, . . . 聚集在 q 條半射線旁或其上, 則 f (z) 必為一多項式, 其次數 ≤ 2q。
這兒我們稱解的集合聚集在 q 條半射線 是指這些解的幅角 ∈ [0, π], 以 q 個方向為 聚點。
定理1: 設 F (z) 為一整函數其級為有 限的, 若 F (z) 的零點聚集在有限條半射線 旁或其上, 則 F 為擬素的。
證明: 設 F (z) = f (g(z)), f, g 為兩 整函數, 若 f 為一多項式, 則證明告畢。 今 設 f (z) 為超越的, 則依據輔理 2, f 必為 零級的, 因而依輔理 3, f 具有無窮多個零 點, 設其為 {an} 則 F (z) 的零點集合與集 合 S∞i=1{g(z) = ai} 相一致。
今依假設後者的幅角聚集在有限條的半 射線上, 因此依據輔理4, g 必為一多項式。 從 而證明了 F 的擬素性。
例1: sin z 及 cos z 皆為擬素函數。
現我們來證明 ez + z 為素函數。
首先我們知 ez+ z 為有限級 (級為 1)。
今證 ez+z 的零點聚集在虛軸。 設 {zn | zn= xn+iyn, xn, yn為實數 }∞n=1為 ez+z 的零點點集,
則 ezn = −zn 及 |ezn| = |zn|, 亦即 exn = (x2n+ y2n)1/2。
顯然, 除了有限個 n 外, xn 6→ −∞。
不然有一子序列 {nk}。 使得 exnk → 0 因而 x2nk + yn2k → 0。 這是不可能的! 所以 xn 終 將為正的且 → +∞ 從而 exn ∼ |yn|。 由此 可知幅角 tan−1 yxnn → +π−2。
即 zn 聚集在虛軸 (兩條半射線)。
所以依輔理 4, ez+ z 為擬素的。
現設 F (z) = ez + z = ρ(g(z)), ρ 為一多項式, g 為一超越的整函數。 於是 p(g(z)) − z = ez 這與定理 B 不符, 除非 p(z) 為一線性函數。
所以我們現來討論 F (z) = ez + z = g(p(z)), 其中 p 為一多項式, g 為一超越整 函數, 則由於 ez+ z 有無窮多個零點的事實, 我們可推知 g(z) 必有無窮多個零點, 設為 {an} 則依據輔理 4, p 的次數 ≤ 2 × 2 = 4, 但次數為 3 或 4 時 ∪{p(z) = an} 的幅角不 可能聚集在 2 條半射線 (即虛軸上), 所以 p 的次數 ≤ 2, 因而
F = g(az2+bz+c) = g(a(z− b
2a)2+c−b2 4a) 作變數變換 z → −z + ab, 則上式右邊項不 變, 但左邊變成 e−z+b/a− z + b/a,
所以有
ez+ z = e−z+b/a− z + b/a 或
ez + 2z = e−z+b/a− z + b/a
今考慮令 z 沿正實軸趨向無窮大, 則左方趨 向正無窮大, 而右邊趨向於 b/a, 此為不可能 除非 a = 0, 即 p(z) = bz + c 為一次式。 總 結不論如何, 當 ez + z = f (g) 時, f 或 g 非得為一次式, 即 ez+ z 為素的。
下面一個結果把不動點的研究與分解論 作了很密切的結合, 也是分解論中較重大的 成果之一。
定理2: 設 f (z) 及 g(z)為兩個非線性 整函數, 且 f (g) 為超越的, 則 f (g) 必有無 窮多個不動點。
上 式 另一 個 說 法 是 對 任 何 多 項 式 p(z)(6≡ 0) 及整函數 α(z)(6≡常數) 則 p(z)eα(z) + z 為素的。
上面的結果最早是由 Gross 以臆測提 出, 經過他與筆者及其它不少複分析家的努 力, 先證明了定理 2 對有限級整函數為真, 最 後由 W. Bergweilen[9]配合古典的複分析理 論中的 Wiman-Valiron定理對一般性 (無窮 級函數) 作了證明。
下面我們介紹的是二個有關擬素性的判 斷準則。
定理3: (Steinmetz[10]) 設 F (z) 為一 整函數其滿足下列線性微分方程:
p0(z)ω(n)(z) + p1(z)ω(n−1)(z) + · · · +pn(z)ω(z) = q(z),
其中 p0(6≡ 0), p1, · · · pn 及 q 皆為多項式, 則 F (z) 為擬素的。
例2: sin z, sin z + z2, ez+ z4 皆為擬 素的。
定理4: (Ozawa[11]) 設 F (z) 為一有 限級整函數, 其導數 F′(z) 具有無窮多個零 點, 若對任何常數 d, 聯立方程:
(F (z) = d F′(z) = 0
解的個數為有限的, 則 F 為擬素的。
例3: ez+ z2 為擬素的。
三 . 結論
分解 的 概 念 及 定 義 已 推 廣 到 複 流 型 (complex manifolds) 間或多變數亞純 函 數上 去 並 得 到 有關 上 面 定 理 2,3,4 的結 果,[12],[13],[14]。 最近筆者和 Lee Rubel 等人在有關兩個函數的最大 (右) 因子, 或最 小公倍式方面的問題開啟了此方面研究之端, 得到了一些初步的結果。 希望以後有時間及 機會再作此方面研究進展之報導。
為了方便讀者的參考及閱讀有關分解論 研究及進展在此開列下面二本中文專著。
1. 庄圻泰, 楊重駿, 亞純函數的不動點與分 解論, 北京大學出版社,1988 年 (此書已 由 World Scientific Publishing Co.
1990 年發行英文版)
2. 楊重駿, 宋國棟, 複變函數分解論, 凡異 書局, 新竹, 台灣。
參考目錄
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—本文作者任教於香港科技大學—
