中 華 大 學 碩 士 論 文
題 目 ： 單位圓上的離散動力系統分析
中 華 民 國 九 十 七 年 六 月
系 所 別 ： 應 用 數 學 學 系 碩 士 班
學 號 姓 名 ： M09509016 張 方 宣
指 導 教 授 ： 田 方 正 博 士
II
博碩士論文授權書
(國科會科學技術資料中心版本 91.2.17)
本授權書所授權之論文為本人在＿＿＿＿中華＿＿＿＿大學(學院)＿ 應用數學＿系所
＿應用統計＿組＿＿九十六 ＿學年度第＿二＿學期取得＿碩＿士學位之論文。
論文名稱：單位圓上的離散動力系統分析
□同意 □不同意 (政府機關重製上網)
本人具有著作財產權之論文全文資料，授予行政院國家科學委員會科學技 術資料中心、國家圖書館及本人畢業學校圖書館，得不限地域、時間與次 數以微縮、光碟或數位化等各種方式重製後散布發行或上載網路。
本論文為本人向經濟部智慧財產局申請專利(未申請者本條款請不予理會) 的附件之一，申請文號為：＿＿＿＿＿＿，註明文號者請將全文資料延後 半年再公開。
---
□同意 □不同意 (圖書館影印)
本人具有著作財產權之論文全文資料，授予教育部指定送繳之圖書館及 本人畢業學校圖書館，為學術研究之目的以各種方法重製，或為上述目 的再授權他人以各種方法重製，不限地域與時間，惟每人以一份為限。
上述授權內容均無須訂立讓與及授權契約書。依本授權之發行權為非專屬性發行 權利。依本授權所為之收錄、重製、發行及學術研發利用均為無償。上述同意與不同意 之欄位若未鉤選，本人同意視同授權。
指導教授姓名:田方正
研究生簽名: 學號:
(親筆正楷) (務必填寫) 日期:民國 年 月 日
1.本授權書 (得自 http: //nr.stic.gov.tw/theses/html/authorize.html 下載) 請以黑筆撰寫並影印裝訂於書名頁 之次頁。
2.授權第一項者，請確認學校是否代收，若無者，請個別再寄論文一本至台北市(106-36)和平東路二段
106 號 1702 室 國科會科學技術資料中心 王淑貞。(本授權書諮詢電話:02-27377746)
3.本授權書於民國85 年 4 月 10 日送請內政部著作權委員會(現為經濟部智慧財產局)修正定稿，89.11.21 部份修正。
4.本案依據教育部國家圖書館85.4.19 台(85)圖編字第 712 號函辦理。
III
中 華 大 學 碩 士 班 研 究 生 論 文 指 導 教 授 推 薦 書
應用數學學系碩士班張方宣君所提之論文單位 圓上的離散動力系統分析，係由本人指導撰述，
同意提付審查 。
指 導 教 授
（ 簽 章 ）中 華 民 國 九 十 七 年 六 月
IV
中 華 大 學 碩 士 班 研 究 生 論 文 口 試 委 員 會 審 定 書
應 用 數 學 學 系 碩 士 班 張 方 宣 君 所 提 之 論 文 單位圓上的離散動力系統分析，經 本 委 員 會 審 議 ， 符 合 碩 士 資 格 標 準 。
論文口試委員會 召集人 （簽章）
委 員 （簽章）
（簽章）
（簽章）
（簽章）
系所長 （簽章）
中華民國 九十七 年 六 月
V
Absetract
The discrete dynamic system on the unit circle is to observe different functions after iterations.We also observe period points,finxed points and dense orbits.
VI
摘要
單位圓上的離散動力系統是觀察不同的函數在疊代之後，觀察其 不動點、週期點與稠密軌道。
關鍵詞：離散動力系統，週期點，不動點，稠密軌道。
VII
誌謝辭
碩士學位的論文終於完成了!感謝田方正老師、蔣世中老師、李
金城老師在學業上給我的教導，也感謝有韋誠、思諺等碩士班同學的 幫忙，得以讓我在這兩年中過的順利快樂，更感謝老爸老媽在我的求 學過程中，給予我的支持與鼓勵，我完成了論文著作，這兩年我過的 很充實，謝謝這些與我相伴的朋友們，讓我順利畢業，在此，簡短的 表達，我此刻對你們的感動與感激。
VIII
目錄
摘要...5
誌謝辭...6
目錄...7
圖目錄...8
表目錄...10
第一章 前言...11
1.1 研究背景...11
1.2 研究的流程...11
第二章 離散動力系統的基本定義 ...12
2.1 函數疊代...12
2.2 不動點...12
2.2.1 不動點(Fixed points) ...12
2.3 函數的週期點、收歛軌道或循環軌道...13
2.3.1 週期點(Periodic points) ...13
第三章 Baker 函數與二進位小數...14
3.1 Baker 函數 ...14
3.1.1 Baker 函數週期點的規則 ...14
IX
3.2 二進位小數...15
3.2.1 二進位運算 ...15
3.3 Baker 函數與二進位運算 ...16
第四章 單位圓上的離散動力系統 ...9
4.1 當 a 等於 1 時的軌跡變化...9
4.1.1 當b 等於 0...9
4.1.2 當b 為有理數...9
4.2 當
a
大於1 時， x 的週期點 ...114.2.1 當 f x( )=ax，b= ...11 0 4.2.2 a 為大於 1 的整數，b ≠ ...11 0 4.3 當 a 為無理數時的軌跡變化...12
參考文獻...14
X
圖目錄
圖4-1 Baker 函數圖形...5
XI
表目錄
表3-1 Baker 函數的週期點規則 ...5
1
第一章 前言
1.1 研究背景
動力系統的主要工作，是探討函數定義在某些集合上，將其集合 上的點反覆疊代，形成一些軌道，觀察其軌道變化情形。本文主要是 探討定義域及對應域都是[0，1)區間的單位圓上，觀察其不動點、週 期點與稠密軌道等，其函數為 f x( )=ax+ (mod 1) 。 b
1.2 研究的流程
以函數 f x( )=ax+ ，分別將 a，b以有理數和無理數代入去做試b 驗，有理數的部分又可以再分為大於一、小於一、零跟一之間討論，
依疊代的結果，觀察其週期點以及 稠密軌道。
2
第二章 離散動力系統的基本定義
2.1 函數疊代
離散動力系統，是研究及觀察函數疊代的軌跡；換句話說，離散
動 力 系 統 是 研 究 一 個 函 數 f D: →D 給 定 一 個 起 始 值 (initial value)x0∈D，使得f(x0)為疊代 1 次的值，f(f(x0))為疊代 2 次的值，…
等等，稱{x0,f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))),....}的型態為x0的軌道(orbit)。
為了表示方便，將 f(f(x0))記成 f[ ]2 (x0)，f(f(f(x0)))表示為 f[ ]3(x0)，依 此 類 推 ， f[ ]n (x)表 示 函 數 f 疊 代 n 次 的 值 。 若 f D: →D， x∈D，
[ ]( ) , 0}
{ )
( = ∈Ζ ≥
+ x f x n n
O n 稱 x 為 在 函 數 f 下 的 前 進 軌 道 (forward orbit)；如果 f 具有反函數，集合O−(x)={f[ ]n (x)n∈Ζ,n≤0}稱x為在函數
( )
f x 下的後退軌道(backward orbit)。
2.2 不動點
2.2.1 不動點(Fixed points)
定義：設f D: →D是一個函數，點p經過函數 f 後，回到自己本身p 點，也就是 f(p)= p，稱p點為不動點。
2.2.2 軌道(Orbits)
定義：設f D: →D是一個函數，給一個點x0在函數 f(x)中， x R∈ ，連
3
續疊代數次後，且集合為{f[ ]n ( )}x0 n∞=0，則稱
x
為 f 的軌道。2.3 函數的週期點
2.3.1 週期點(Periodic points)
定義：f D: →D，給一個點x0在函數 f(x)中，連續疊代數次後
[ ](x0) f(x0)
f n = ，發現有含有本身x0的循環軌道，則x0有週期n，而且 稱x0有n循環(n−cycle)，其軌道為{x0，f(x0)，f 2(x0)，f3(x0)，... ，
[ ]1(x0)
f n− }，則稱x0是函數 f(x)的一個週期點(Periodic points)。
4
第三章 Baker 函數與二進位小數
點在單位圓上的情形，與 Baker 函數的情形相當接近，所以針對 Baker 函數與二進位小數，在本章作介紹。
3.1 Baker 函數
Baker 函數：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
1 2 2 ) (
x x x
B
0 1
2
1 1
2 x
x
≤ <
≤ ≤
如圖3-1
圖 3-1 Baker 函數圖形
3.1.1Baker 函數週期點的規則
B[ ]n 中不動點個數為2n若要找出B[ ]n 中週期為n的所有週期點個 數為2n-(n除了本身外的所有正因數的正因數週期點個數)，若要找出 有幾組週期為n的組數為[2n-(n除了本身外的所有正因數的正因數週
5
期點個數)]/ n。
由此可規則作出表3-1
表3-1 Baker 函數的週期點規則
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Fixed points forB[ ]n
2 4 8 16 32 64 128 256
Period-n points for
B
2 2 6 12 30 54 126 240
n-cycles for B
2 1 2 3 6 9 18 30
3.2 二進位小數 3.2.1 二進位運算
Baker 函數：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
1 2 2 ) (
x x x
B
0 1
2
1 1
2 x
x
≤ <
≤ ≤
因為 Baker 函數的定義域與對應域都是[0，1)之間，所以可以將 Baker 函數看成 f(x)= x+x，當f(x)>1時就自動減去1，將( x)10換成( )x 2 來觀察其變化，
x=0.x1x2x3...
+x=0.x1x2x3... (二進位運算) ---
考慮x+x時第n位數，xn是1 或 0 當xn +xn是 1 或 0，對本身(第n
位數)留下 0，就看xn+1(第n+1位數)的xn+1 +xn+1是否進位，如果xn+1是 1
6
則xn位數在加法後變成1，如果xn+1是0 則加法後，xn位數也是 0，所
以x+x的二進位小數運算結果向前推進一位，也就是說小數點向右移
一位數，如果x1 =1，結果會得到1.x2x3x4...xn...，(B(x)= x2 −1)再減掉 1 ， 剩 下 0.x2x3x4...xn... 。 如 此 我 們 得 到 結 論 ： 當
...
...
.
0x1x2x3x4 xn
x= ，B(x)=0.x2x3x4...xn...，則小數點後的第一位數 字會消失，所以每疊代一次，就會消失一個位數。
3.3 Baker 函數與二進位運算
定理 3.1：在 Baker 函數中遲緩型週期性(eventually periodic)為有 理數。
證明：由二進位小數運算來探討 Baker 函數，因為遲緩型週期性 (eventually periodic)得到 f[ ]m = f[ ]n ，
所以的二進位小數值為x=0.x1x2x3Lxmxm+1Lxn的形式：
x Q x
x x
x x x x
m n n
n m
m m m m
m ∈
−
× + + +
+ +
+ + +
=
+ + −
+
−
− )
2) (1 1 ( 1 2 ) 2
(2 2 2
2 2 1 1
1 1
1 3
3 2 2
1 L L ，所以在
Baker 函數中遲緩型週期點(eventually periodic points)為有理數。
定理 3.2：在 Baker 函數中，週期點形式為 q
p ，q 為奇數或偶數，
p 為偶數。
證明：在 Baker 函數的二進位小數運算中得知，若要x= f [ ]n (x) 則x=0.x1x2x3Lxn，考慮xn =0，
7
)
2) (1 1 ( 1 2 )
0 2
2 2 ( 0 .
0 1 2 3 1 22 33
n n
x x x x
x x x
−
× + + + +
=
= L L
) 1 2 ( 2 2 )
0 2
2 (21 22 33
× − + + + +
= x x x n n n
L
) 1 2
0 2 1
2 2 1 2 2 1 2
(2 3
3 2 2 1 1
− + ⋅
− +
− +
− +
= nn− x nn− x nn− x nn L
q
= ， q 為偶數， p 為奇數。 p 考慮xn =1
)
2) (1 1 ( 1 2 )
1 2
2 2 ( 1 .
0 1 2 3 1 22 33
n n
x x x x
x x x
−
× + + + +
=
= L L
) 1 2 ( 2 2 )
1 2
2 (21 22 33
× − + + + +
= x x x n n n
L
) 1 2
1 2 1
2 2 1 2 2 1 2
(2 3
3 2 2 1 1
− + ⋅
− +
− +
− +
= nn− x nn− x nn− x nn L
q
= ， p 、 q 皆為奇數。 p
定理 3.3：在 Baker 函數中，遲緩型週期點(Eventually periodic
points)形式為 q
p ， q 為奇數， p 為偶數。
證明：由二進位小數運算來探討 Baker 函數，因為遲緩型週期 (eventually periodic)得到 f[ ]m = f[ ]n ，
所以二進位小數值為x=0.x x x1 2 3Lx xm m+1Lxn 的形式 1 22 33 11 11
1
( ) ( 1 )
2 2 2 2 2 2 2 1 ( )1
2
m m m n
m m m n
n m
x x x x x x x
x −− ++
− +
= + + + + + + + + ×
L L −
1
1 2 3 1 1
2 3 1 1 1
( ) ( 2 )
2 2 2 2 2 2 2 2 1
n m
m m m n
m m m n n m
x x x x − x x + x − +
− + − +
= + + + + + + + + ×
L L −
8
設xn =1，則x為q
p ，q為奇數， p為偶數。
Baker函數與二進位換算的關係中，無論 Baker函數要疊代幾次，
其B[ ]n (x)=x的解與二進位的循環節有關。例：n=6，B6(x)=x的解從
)2
000000 .
0
( 至(0.111111)2的所有循環點有26 =64個解，從Baker函數與 二進位運算關係中可發現有2−cycle及3−cycle與6−cycle。
無理數為無限不循環小數，轉化成二進位小數也是無限不循環小
數，所以在 Baker函數中，不收斂也沒有進入循環軌道。有理數可化
成分數 p
q .的型式，分數在化成小數，可分為有限小數或循環小數，
轉化成二進位小數後也是為有限小數或循環小數，分別探討此兩種型 態之差異。有限小數部份為x=0.x x x x1 2 3 4...xn，所以在 Baker 函數 中疊代n後將收斂至 0，B[ ]n (x)=0為遲緩型固定點(Eventually fixed points)。
3-2循環小數部份
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
n n
x x x x x
x x x x x x x
L L
3 2 1
5 4 3 2 1
. 0 . 2
. 0 .
1 兩種型態
第一種型態：x=0.x1x2x3x4x5Lxn ，所以在Baker 函數中疊代幾次後，
將步入循環軌道為遲緩型週期點(Eventually periodic points)。
第二種型態：x=0.x1x2x3Lxn，所以在 Baker函數中疊代n次後，直接 步入循環軌道為週期點(Periodic points) 。
9
第四章 單位圓上的離散動力系統
這個章節主要是探討定義域及對應域都是[0，1)區間，觀察其不
動點、週期點與稠密軌道。其函數 f x( )=ax+ (mod 1)b ，0≤ <x 1， 一般 f x( )=ax+b做n次的疊代，得到：
[ ] [ ] [ ]
[ ]
1 2 3
-1 -2
( )
( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( 1)
(1- )
1-
n n n n
n n
f x ax b
f ax b a ax b b
f a ax b b a a ax b b b
f x a x a a a b
a x a b
a
= +
+ = + +
+ + = + + +
= + + + + +
= +
M
L
將a , b 分別以有理數以及無理數分開討論。
4.1 當 a 等於 1 時的軌跡變化
4.1.1 假設
a= ，1 b= ， ( )0 f x = + (mod 1)，則所有點都是不動點。 x 04.1.2 假設
a = ，且所有點都是週期點， ( )1 f x = + (mod 1) ，x b 0≤ < ，則b為有理數。 x 1定理 4.1：假設 ( )f x =ax+ (mod 1)，0b ≤ < ，當x 1 a= ，所有點都是1 週期點時，則b 為有理數。
10
證明 4.1：
假設 x 為 n 週期點，則 f[ ]n ( )x = ，又x f[ ]n ( )x = +x nb(mod 1)，對某一 k ，k =
[
x+nb]
，則 f[ ]n ( )x = +x nb k- = ，x b k= ，由此得知b為有理n 數，故得證。
定理 4.2：
假設
b 為無理數， ( )f x = + (mod 1) ，0x b ≤ < ，則週期x 1 點不存在，其軌道為無限集合。證明 4.2：
假設 a = ，b為無理數， ( )1 f x =ax+ (mod 1) ， b
[ ]n ( ) (mod 1)
f x = +x nb ， f[ ]m ( )x = +x nb(mod 1)，
如 果 f x 有 週 期 點 ，( ) f[ ]n ( )x = f[ ]m ( )x ， 對 某 一 k ， 使 得
[ ]n ( ) - [ ]m ( )
f x f x = ，即 k mb nb- = ，k
- b k
= m n(與假設 b 為無理數不 符)，所以週期點不存在，其軌道為無限集合。
而單位圓是緊緻集合，所以在 f[ ]n ( ) ax = ，存在一收斂子數列， n
a b
kj = j為一柯西序列(Cauchy sequence)，
對有一ε >0，存在 as -at <ε ，s >t， f[ ]ns ( ) -x f[ ]nt ( )x <ε ， 則 f x( )疊代ns nt- 次後移動的距離小於ε ， f[ - ]ns nt ( ) -x x <ε ，
ε可以取任意小，所以有稠密軌道。
11
4.2 當 a 大於 1 時，
x的週期點 4.2.1
a為大於1的整數，b= 0f x( )=nx
0 1
1 2
-1
2 3
( ) - 2 ...
- ( -1) -1 1
nx x
n
nx x
n n
f x nx x
n n
nx n n x
n
⎧ ≤ <
⎪⎪
⎪ ≤ <
⎪⎪⎪
=⎨ ≤ <
⎪⎪
⎪⎪ ≤ <
⎪⎪⎩
不動點0、 1 -1
n 、
2 -1
n 、…、
- 2 -1 n
n 為x的週期。且當 ...
...
.
0x1x2x3x4 xn
x= ，f x( ) 0.= x x x2 3 4... ...xn ，則小數點後的第一位 數字會消失，所以每疊代一次，就會消失一個位數。
4.2.2
a為大於1的整數，b≠ 0[ ] [ ] [ ]
[ ]
1 2 3
n n n - 1 n - 2
n n
f ( x ) = a x + b
f ( a x + b ) = a ( a x + b ) + b
f ( a ( a x + b ) + b ) = a ( a ( a x + b ) + b ) + b . . . .
f ( x ) = a x + ( a + a + . . . + a + 1 ) b ( 1 - a ) b
= a x +
1 - a
12
[ ]n n n n n
n
( a - 1 ) b b - b
i f a > 1 f ( x ) = a x + = a x + a +
a - 1 a - 1 a - 1
b b
= a ( x + ) - a - 1 a - 1
，
發現最後需要討論的式子，竟是f (x)=a (x+[ ]n n b ) - b
a-1 a-1 所以對f (x)=a x+b[ ]n n 做探討即可。因為an為一實數，即f(x)=nx 的結論即是我們要的解。
4.3.4 f(x)= ax+b a=n，b為有理數，因為b為無理數時並沒有週期
點(1.3已證明)，所以針對 b為有理數 ，a=n，找尋其週期點。 此時
b可以對函數產生b單位的橫移效果。
4.3 當 a 為無理數時的軌跡變化
a為無理數時有小數的部份，而小數的部份在圖形上是一段不與 1有
交點的線段。因此在無理數中，小數的部份並不會影響到函數的週 期，所以函數的週期則可以取高斯。
如圖4-1
圖4-1 2 的圖形
13
因此，f(x)=nx，n 為無理數，n 為有任意大於零的無理數，則取高斯 (n)=p，即週期為 p-2(與上述相同)，而 n 本身後面的小數部分，因為 不大於1，所以可以視 n 的小數部分是沒有影響，即 0、 1 2 ... n-2 n-1 n-1、 、 、n-1
為不動點，n-2 為 f(x)的週期。
14
參考文獻：
1. Barnsley, M.F(1988).Fractals Everywhere. Devaney, R(1986).
Introduction to Chaotic Academic Press, Orlando, FL.
2. Menlo Park, CA.Dynamica Systems. Benjamin Cummings.
3. Devaney. R(1992).A First Course in Chaotic Dynamical Systems：
Theory and Experiment Addison Wesley. Reading, MA.
4. Devaney, R, Keen, L., eds(1989).Chaos and Fractals：The mathematics behind the computer graphics. American Mathematical Society,
Providence, RI.
5. Devaney, R. and Nitecki, Z(1979).Shift automorphisms in the Henon mapping . Commun. Math.Phys. , 67:137-148.
6. McGraw-Hill,Gulick, D(1992).Encounters with Chaos. New York, NY.
7. Hirsch, M. and Smale, S(1974).Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, New York.
