2.能熟練多項式的加法、減法、乘法以及除法的運算。

(1)

◎教學目標

1. 能了解多項式是許多單項式組合而成，每一單項式皆有不定元、次數以及係數的問題。

2.能熟練多項式的加法、減法、乘法以及除法的運算。

3.能了解多項式的運算性質，如同數的運算性質，具有加法單位元素、加法反元素、結合律、乘法對加法的分配律。

4.針對除式為一次式時，能熟練使用綜合除法求商式及餘式。

5.能了解設

x1,x2,...,x_n

分別為 f(x)的因式，

又 degf(x)=n，則可直接令

f x( )a x( 1)(x2) (x _n)

,

^a 

．

6. 能了解一次因式檢驗法：設

f x( )a x_n ⁿa x_n_1 ⁿ^¹ ... a x a1  0

是一個整係數 n 次多項式，若整係數一次式 ax-b 是 f(x)的因式且 a、b 互質，則

a an

且

b a0

．（但要強調逆敘述不成立）。

（1）先要解釋「多項式」是由許多單項式由加、減號連結而成，

（2）多項式用「函數型」的命名法，f(x)不僅要指出它代表哪一個多項式，而且還強調它的不定元是「x」．如果用 y 取代 x，得到 f(y)，則 f(y)就是表 y 的多項式．例如：設 f(x)為 x 的 5 次多項式，可以問同學 f(x

³

)為 x 的幾次式呢？

（3）利用整數的除法和多項式的除法比較，要同學知道「被除數=除數×

商+餘數」的性質，更要知道「被除式=除式 x 商式+餘式」，

數 A 第一冊第三章 §3-1 多項式的四則運算四節課

數學科教學研究會

(2)

（4）舉一實例 f(x)除以 x-b，計算過程寫在黑板左邊，而綜合除法寫在黑板

右邊，好讓學生知道如何簡化過程．由長除法推導到綜合除法。

（5）綜合除法是本節最重要的部分，一定要多舉幾個例題，好讓同學到黑板上

演練。

＊教師

（1）相關教材(詳附件)。

（2）筆記型電腦、單槍投影機、Z-VOD 多媒體教材。

（3）閱讀相關參考書籍。

（4）學習評量測驗單。

＊學生

（1）課本、筆記本、紙。

教學流程時間教學資源及注意事項

（一）引起動機

1、利用代數謎語：「有一位數學家的少年時期為其壽命的1 7，再經過其壽命的 1

12後，開始蓄鬚，蓄鬚後更經過其壽命的 1

6，他結婚了，婚後5 年，得一子，子的壽命恰為其壽命的一半，而數學家在其子死後 4 年去世．請問數學家享年若干？」

說明用符號來代表數字，就是所謂的代數。笛卡爾開始使用英文前幾個字母 a、b、c…代表已知數，後幾個字母 x、y、z…

代表未知數，從此跨入「式」的四則運算，

2、教師說明若式中含 x、y、z 等這些符號，例如

x² 2xy y ²,3x yz² 1,4x z²  2xy z ²5，我們稱為多元多項式．

（二）發展活動

1、教師講解例五：兩個多項式相加、相減時，只要同次項的係數相加、相減即可．運算方式，通常有兩種，即橫式與直式，

10

20

(3)

例題 5

已知 f x( )x⁵3x7, ( ) 3g x  x³4x9, (1)求 ^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}。 (2)求^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}。並說明計算方式分成橫式計算及直式計算

(一)橫式計算：（只要同次項的係數相加，相減）

f x( )g x( ) ( x⁵3x 7) (3x³4x9) x⁵3x³  ( 3 4)x (7 9)

x⁵3x³7x16,

f x( )g x( ) ( x⁵3x 7) (3x³4x9) x⁵3x³   [ 3 ( 4)]x (7 9)

x⁵3x³ x 2。

(二)直式計算：先將多項式按降冪排列，若有缺項時以 0 替補之，

然後將兩多項式之同次項對齊在同一行，再逐項相加，相減。

5 4 3 2

3 2

5 4 3 2

0 0 0 3 7 ) 3 0 4 9 0 3 0 7 16

x x x x x

x x x

x x x x x

    

   

    

5 4 3 2

3 2

5 4 3 2

0 0 0 3 7

) 3 0 4 9

0 3 0 2

x x x x x

x x x

x x x x x

    

   

    

為了計算上的便捷，我們也可將不定元省略（若有缺項則以 0 補之），這種計算方式，稱為分離係數法。

1 0 0 0 3 7 ) 3 0 4 9 1 0 3 0 7 16

    

   

    

1 0 0 0 3 7 ) 3 0 4 9 1 0 3 0 1 2

    

   

    

所以 f x( )g x( )x⁵3x³7x16, f x( )g x( )x⁵3x³ x 2。

2、

請同學上台做隨堂練習：已知

3 3 2 3 2

( ) 5 2 5, ( ) 4 5 4, ( ) 2 3 1

f x  x  x g x   x  x  h x   x x  x ． (1)試求 ^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}．

(2)試求^{g x}^{( )}^ ^{f x}^{( )}．

(3)檢驗^{( ( )}^{f x} ^^{g x}^{( ))}^^{h x}^{( )}^ ^{f x}^{( ) ( ( )}^ ^{g x} ^^{h x}^{( ))}是否成立？

同學完成後由老師訂正檢討。

3、觀察加法計算，教師引導學生發現多項式的加法可以透過係

10

15

10

15 10 15

10

(4)

數

的加法來完成，那麼我們要如何進行多項式的乘法呢？

因此必須定義乘法的規則如下：

(1)兩個單項相乘之積為：ax^mbxⁿ abx^{m n}^ ． (2)乘法對加法的分配為：ax^m(bxⁿcx^k) ax^mbxⁿax^mcx^k， (bxⁿcx^k)ax^m

bxⁿax^mcx^kax^m．並舉例說明：

(3x1)(4x 5) (3x 1) 4x(3x  1) ( 5) 12x²4x15x5

12x²11x5，

4、介紹分離係數法計算(2x³4x 5) (3x²4x6)，演算如下．

直式法：

分離係數法：

所以相乘之積為6x⁵8x⁴31x²4x30．

5、教師說明在計算兩多項式乘積，欲求某項的係數時，可以不用

全部乘開，只須將 ^{f x}^{( )}中的某一項對應到g x( )的某一項即可，例如下面的例題：

例題 6

設多項式 f x( ) 4 x³5x² 2x3, g x( )  x³ 2x² x 4，試

10

15

(5)

求 ^{f x g x}^{( )}^ ^{( )}乘積中_x⁴項的係數。

答案：藉由乘法的定義，我們知道_x⁴項可能是由_x²項與_x²項相

乘得來，或是 x 項與x³項相乘而來，所以_x⁴項的係數為 4 ( 1) ( 5) 2 2 ( 1)          4 10 2  16。

6、請依位同學上台做隨堂練習：

設 f x( ) 8 x⁴7x³3x²2x9, ( ) 7g x  x³5x²3x1，試求 ^{f x g x}^{( )}^ ^{( )}乘積中_x⁴項的係數．

7、教師說明在多項式中也有除法原理，我們敘述如下：

「 ^{f x g x}^{( ), ( )}均為x 的多項式，^{g x}^{( ) 0}^ ，則恰有兩個x 的多項式 q(x)與 r(x)使得 ^{f x}^{( )}^^{g x q x}^{( ) ( )}^ ^^{r x}^{( )}，其中r(x)=0 或 r(x)的次數小於^{g x}^{( )}的次數．」式中，q(x)稱為 ^{f x}^{( )}除以 ^{g x}^{( )}所得的商式，r(x)稱為餘式．

8、教師說明多項式的除法常用的方法有「長除法」與「綜合除法」．

首先說明長除法，舉例如下．

設 f x( )x⁴8x³20x²8x2, ( )g x x²4x4．求q(x)和 r(x) 使 f x( )g x q x( ) ( ) r x( )，計算過程如下：

首先以^{g x}^{( )}的最高次項_x²除 f x( )的最高次項_x⁴得_x²，令

2

1( ) ( ) ( )

f x  f x g x x

x⁴8x³20x²8x 2 (x⁴4x³4 )x²  4x³16x²8x2，

其次，以g x( )的最高次項_x²除 f x( )的最高次項__4x³得4x，然後令

2( ) 1( ) ( ) ( 4 ) f x  f x g x   x

 4x³16x²8x 2 (x²4x  4) ( 4 )x 24x2

由於 f x2( )次數已經低於g x( )的次數，所以除法就此停止．將上述計算過程整理一下得到

2

( ) ( ) 1( ) f x g x x  f x

10

10 30 附件一

(6)

g x x( ) ² g x( ) ( 4 )  x  f x₂( )

g x( ) ( x²4 )x  f x₂( ) g x( ) ( x²4 ) 24x  x2，因此商式為_x²_₄_x，餘式為24x2

9、教師講解例題 7

設2x³ax²bx6能被₂_x²_{ }_x ₃整除，試求實數

a, b 之值。

答案：利用分離係數法

10、教師說明在多項式的除法計算中，遇到除式為一次式且首項係數為 1，如 x-c 的形式，我們有一種簡捷的運算方法可求商式及餘式，叫做綜合除法．並舉例說明如下：

設多項式 f x( )a x₄ ⁴a x₃ ³a x₂ ²a x a₁  ₀，除式為x-c，

依除法原理知存在商式q x( )b x₃ ³b x₂ ²b x b₁  ₀及餘式r，

使得 ^{f x}^{( ) (}^ ^{x c q x}^ ^{) ( )}^^r，即 a x₄ ⁴a x₃ ³a x₂ ²a x a₁  ₀

(x c b x )( ₃ ³b x₂ ²b x b₁  ₀)r

b x₃ ⁴(b₂cb x₃) ³(b cb x₁ ₂) ²(b₀cb x₁)  (r cb₀)，比較各次項係數得

(7)

右式中b3, b2, b1, b0, r 之求法，可寫成如下的方法：

這種演算法就叫做綜合除法，再化簡如下：

À將被除式 f x( )之最高次係數a4直接寫到商式的最高次係數b3

（因為b3a4）．

Á其次將b c3 加到 f x( )的次高次項係數a3，其和寫到商式的次高次項係數b2（因為

b2a3cb3）．

®同樣的方法可得b1a2cb2， b0  a1 cb1，

r a 0cb0．

11、請同學分別利用長除法及綜合除法做例題 8，並比較其異同例題 8

3 2

( ) 5 8, ( ) 2

f x x  x  g x  x ，試分別利用長除法與綜合除法，

求 f x( )g x( )的商式和餘式，並請比較其間的係數關係。

其結果相同。

所以商式__x²_₇_x_₁₄，餘式20。

12、請一位同學上台做隨堂練習

試利用綜合除法求2x⁴7x³14x4除以x2的商式和

(8)

餘式．

13、利用學習單測驗卷評量同學對於多項式的四則運算是否熟練。

規定回家作業：習題 §3-1

(一) 依學生發言或提問次數與內容評量。

(二) 依學生上台演示內容評量。

(三) 依學習單測驗卷評量。

（一）三民版高中數學第一冊課本

（二）三民版高中數學第一冊教師手冊

班級：姓名：_ 座號：_

1.設

^{f x}^{( )}^^ax⁴^^bx³^^cx²^^{dx e}^

，其中

^{a b c d e}^{, , , ,}

皆為整數，且已知

²^a ^³^b^{ }² ⁰

，試求

^{deg ( )}^{f x}

。

2.

^{f x}^{( ) (}^ ^x⁵^⁴^x⁴^²^x²^⁵^x^⁴⁾⁽³^x⁶^²^x⁴^³^x³^²^x^⁶⁾

展開式中

x⁶

項的係數為何？

3.設兩多項式

^{f x}^{( )}

和

^{g x}^{( )}

分別為

f x( ) 3 x4x²5, g x( ) 2 5  x²3x³x

，試求

^{f x}^{( )}^^{g x}^{( )}

和

^{f x g x}^{( )}^ ^{( )}

。

4.求

x⁵

除以

x² x 1

的商式及餘式。

5.試利用綜合除法分別求下列各題之商式及餘式：

(9)

(1)

3x⁴2x³4x5

除以

x2

。 (2)

3x⁴8x³5x² 3x3

除以

3x2

。

6.設

^{f x}^{( ) 48}^ ^x⁴^⁹⁶^x³^⁷²^x²^²⁰^x^⁶

，試求

^f^{( 0.4999)}^

之值到小數點後第四位（第五位四捨五入）。

7.化簡

2(¹ ³)⁴ 2(¹ ³)³ (¹ ³)² 6(¹ ³) 4

2 2 2 2

       

。提示：令

^{f x}^{( ) 2}^ ^x⁴^²^x³^^x²^⁶^x^⁴

，則

^{f x}^{( )}^^{a x}⁽² ^¹⁾⁴^^{b x}⁽² ^¹⁾³^⁽²^{c x}^¹⁾²^^{d x}⁽² ^{ }¹⁾ ^e

2.能熟練多項式的加法、減法、乘法以及除法的運算。

◎教學目標

1. 能了解多項式是許多單項式組合而成，每一單項式皆有不定元、次數以及 係數的問題。