中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

邊坡淺基礎承載力極限分析上限值之研究

Upper Bound Limit Analysis for the Bearing Capacity of Shallow Foundation on Slope

系 所 別：土木與工程資訊學系碩士班 學號姓名：M09604017 鄭俊煙 指導教授：李煜舲 博士

中華民國 九十八 年 七 月

摘 要

本研究目的為採用研發之有限元素分析程式，並考量多段式無厚 度界面元素，配合極限分析理論，藉以模擬土體間之應力-應變的傳 遞方式與其關係，探討邊坡淺基礎之極限分析上限值計算與其破壞機 制，並為解決因不同幾何機制關係所造成之位移諧和性問題。並探討 凝聚性土壤與c-φ土壤轉折區塊體數因子對淺基礎承載力之影響，且 以數值分析計算結果、理論值及數列解三者作一比較。

假設土壤破壞機制為一種多重塊體傳遞破壞機制，條形基腳下方 分為一系列速度不連續面分割的三角楔形塊體所組成，當基礎達極限 破壞時，塑性區的能量消散在兩個相鄰楔形的界面與楔形底部，因此 考慮以無厚度界面元素模擬此特性。邊坡淺基礎承載力極限分析上限 值，之主要研究內容包括: 凝聚性與c-φ土壤轉折區不同塊體數之破 壞機制；其次，探討淺基礎位於邊坡坡緣處與邊坡角度之影響，以有 限元素模擬分析其界面分佈情況及不同破壞機制情況，並以虛功原理 求得數列解。

經由計算分析結果顯示，將轉折區予以細分與Soubra（1999）所 提出當探求基礎極限承載力之近似解，其分析結果隨著轉折區塊體數 愈多而更接近理論值，此與本研究細分之結果相同。以淺基礎位於半 無限空間為例，轉折區塊體數為 5 之滑動破壞機制數值比較，數值分 析計算結果與Soubra(1999)淺基礎之數列解方程求得之解，其誤差為 9.14 %。以淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制數值比較，數值分 析計算結果與邊坡淺基礎之數列解方程求得之解，其誤差為24.47 %。

關鍵字:邊坡淺基礎、無厚度界面元素、極限分析上限值、有限元素 分析、數列解

I

ABSTRACT

The main purpose of this study is to use the self-developed finite element analysis program, with consideration of multiple zero thickness interface element and accompanied with limit analysis theory, to simulate the stress between the soil-the passing way of strain and their relation, to investigate the upper bound calculation of the limit analysis of slope-shallow foundation and its failure mechanism. Moreover, it is also to solve the displacement associate problem caused by different geometrical mechanism relationship. Furthermore, it is also to investigate the effect of cohesive soil and c-φ soil transition block factor on shallow foundation load carrying bearing capacity. Moreover, numerical analysis is used to calculate to get results and compare them with theoretical values and series solution.

Suppose the soil failure mechanism is a multi-block translation mechanism, and under the strip footing is divided into a number of triangular wedges by a series of discontinuous velocity surfaces, then when the foundation reaches the limit failure, the plastic energy dissipation occurs at the interfaces of the two adjacent wedges and at the base of wedges, hence, zero-thickness interface element is considered to be used for the simulation of this characteristic. This study includes: the failure mechanism of different block number of cohesive characteristic and c-φ soil transition zone. Secondly, the influence of shallow foundation at different slope margin and slope angle will be investigated. Furthermore, finite element will be used to simulate and analyze its interface distribution situation and situations of different failure mechanisms. Meanwhile, virtual works theory will be used to get the series solution.

According to the result obtained, it is found that when the transition zone is finely divided, the result is similar to that proposed by Soubra (1999), when the approximation solution of the ultimate bearing capacity of shallow foundation is investigated, the analysis result will better close to the theoretical value along with the increase of the block number of the transition zone. Take the shallow foundation at level ground as an example, as compared to the slide failure mechanism value when the transition block number is 5, the reduction between result calculated by numerical analysis and solution obtained by series solution formula of shallow foundation of Soubra (1999) is about 9.14 %. As compared to slide failure mechanism value when the shallow foundation is located at the margin of the slope, the reduction between

II

result calculated by numerical analysis and solution obtained by series solution formula of slope-shallow foundation is about 24.47 %.

Key words: slope-shallow foundation, zero-thickness interface element, upper bound of limit analysis, finite element analysis, series solution.

III

致 謝

本論文能如期完成，承蒙恩師 李煜舲博士給予細心的指導，研 究期間，端賴恩師在研究觀念啟發上詳盡的指導，並於論文撰寫期間 逐字斧正，使本論文得以順利完成，僅在此致上最誠摯的敬意；而恩 師淵博的學識、治學的嚴謹及實事求是的精神，更是學生終生學習的 目標。

論文審查期間，承蒙中興大學 壽克堅教授於百忙之中撥允指 正，並對其內容斟酌盡善、鉅細靡遺以及觀念的釐清，在此表達最誠 摯的敬意與謝意。同時對於本校 吳淵洵教授平日在課業上解惑及論 文審查時提供寶貴意見，使論文疏漏之處得以改進，特表至深的謝 忱。求學期間，感謝 楊朝平教授、呂志宗教授給予學識基礎之建立，

使學生受益良多。

求學期間，感謝振興、奉舉、元虎、偉志、文思、志偉、文德、

冠評、義堅、宛瑩共同切磋討論，並於生活與精神上相互提攜，同窗 共硯之誼永銘於心；另外，感謝學長姐昕煒、俊傑、峰嘉、偉志的指 導及鼓勵，在此由衷的感謝您們；學弟妹：辰聰、禮建、凱嵐、姿潔、

元禹、兆祥在研究及生活上的陪伴使的論文順利完成。

最後感謝支持與關懷我的家人：爸爸、媽媽及、哥哥們對我的支 持與鼓勵，使我能順利完成學業。

謹識 中華民國九十八年八月于新竹

IV

目錄

中文摘要... I 英文摘要………...II 目錄...V 表目錄...VIII 圖目錄... IX 符號說明………...XXV

第一章 緒論...1

1.1 研究背景...1

1.2 研究動機與目的...1

1.3 研究內容與流程...2

第二章 文獻回顧 ...7

2.1 前言...7

2.2 土壤之極限分析...8

2.3 淺基礎承載力之極限平衡法 ...10

2.4 淺基腳承載力之極限分析上限值 ...13

2.5 邊坡淺基礎承載力之極限分析上限值 ...15

2.6 界面元素...19

2.6.1 無厚度界面元素...20

2.6.2 有厚度界面元素...23

2.7 其它相關極限承載力文獻 ...26

第三章 邊坡淺基礎極限分析方法 ...46

V

3.1 前言...46

3.2 理論分析...46

3.2.1 Atkinson(1981)之極限分析理論 ...46

3.2.2 Donald and Chen(1997)之邊坡極限承載力理論 ...49

3.2.3 Soubra(1999)之邊坡極限承載力理論 ...50

3.2.4 Chang(2008)之邊坡極限承載力理論 ...54

3.3 有限元素分析程式介紹 ...57

3.3.1 前處理程序的內容與步驟...57

3.3.2 中間計算分析程序的內容與步驟 ...59

3.3.3 後處理程序的內容與步驟...60

第四章 淺基礎極限承載力之數列解理論與試算表計算方法 ...75

4.1 前言...75

4.2 數列解之相關理論...75

4.2.1 Soubra(1999)淺基礎之理論 ...75

4.2.2 本研究推導邊坡淺基礎數列解分析 ...77

4.3 轉折區塊體數之案例探討 ...80

4.3.1 淺基礎位於半無限空間轉折區塊體數(n=5)之數列解探 討………..80

4.3.2 邊坡淺基礎轉折區塊體數(n=2)之數列解探討………81

4.4 數列解之試算表執行計算步驟………81

4.4.1 淺基礎於數列解之試算表執行計算步驟………..81

4.4.2 邊坡淺基礎於數列解之試算表執行計算步驟………..82

第五章 邊坡淺基礎極限承載力之解析解、數值解與數列解比較 ....92

5.1 前言...92

5.2 無破壞機制相關影響探討 ...92

VI

5.3 轉折區塊體數之探討...93

5.4 邊坡淺基礎之極限承載力分析 ...95

5.5 結果比較...97

第六章 結論與建議 ...158

6.1 結論...158

6.2 建議...160

參考文獻...161

附錄………167

附錄A 淺基礎與邊坡淺基礎極限承載力分析結果………...168

VII

表目錄

表2.1 各分析方法之基本滿足條件 ...28 表2.2 淺基礎極限承載力理論比較 ...29 表2.3 不同節理面摩擦角破壞機制下之數值計算結果與極限分析值 之比較（Ψ₁=45°+1/2φ、Ψ2=45°-1/2φ） ...30 表3.1 淺基礎位於邊坡坡緣處(b/B=0 且 β=60°)之有限元素分析輸入 檔...61 表5.1 淺基礎承載力因子 N_c與轉折區塊體數之關係(φ=0°,c=1kpa) ...99 表5.2 淺基礎承載力因子 N_c與轉折區塊體數之關係(φ=30°,c=1kpa) ...100 表5.3 淺基礎承載力因子 N_q與轉折區塊體數之關係(φ=30°,c=1kpa) ...101 表5.4 在不同邊坡坡角 β 條件下，各邊坡淺基礎承載力分析方法之比 較(b/B=0，φ=30°)...102

VIII

圖目錄

圖1.1 研究流程 ...5

圖1.2 歷屆研究發展流程………6

圖2.1 極限分析理論之上下限值示意圖 ...31

圖2.2 淺基礎極限承載力破壞機制 ...31

圖2.3 方型基礎極限承載破壞型式 (a) 傳統極限分析 (b) 加入新 速度場分析………..32

圖2.4 擋土牆破壞機制 (a) 傳統型式 (b) 對數螺旋型式…………. 33

圖2.5 半圓弧旋轉滑動破壞機制示意圖……….. 34

圖2.6 Prandtl（1920）之破壞機制...34

圖2.7 Terzaghi､Meyerhof 及 Hansen 淺基礎破壞機制 ...35

圖2.8 (a) 連續變形與不連續變形剛性塊體之破壞機制(b) 速矢端線 示意圖...36

圖2.9 基礎位於邊坡坡面上之破壞機制圖 ...37

圖2.10 邊坡上基礎位置之分佈狀況 ...37

圖2.11 緊鄰坡頂（b = 0）之承載因子N_r、 及 與 ψ 之關係..38

圖2.12 埋入土體內之基礎承載破壞機制 ...38

圖2.13 邊坡坡面上承載因子 與β之關係...39

圖2.14 邊坡坡面上承載因子 與β之關係...39 Nq N_c

Ncq

Ncq

IX

圖2.15 邊坡坡面上承載因子N_rq與β之關係...40

圖2.16 邊坡基礎承載破壞機制 ...40

圖2.17 邊坡基礎承載機制 滑動線(1)為最初估計值 (2)為隨機運算 值 (3)為最佳化程序結果...41

圖2.18 膠結不良砂岩淺基礎假設破壞機制 ...41

圖2.19 兩物體接觸面之示意圖 ...42

圖2.20 無厚度六節點等參數界面元素之局部座標示意圖 ...42

圖2.21 物體受外力影響時之接觸面示意圖 ...43

圖2.22 節理元素示意圖 ...43

圖2.23 有厚度元素示意圖 ...44

圖2.24 Schematic of Modes of Deformation at Interface：（a）Stick or No Slip；（b）Slip or Sliding；（c）Debonding；（d）Rebonding；不同條 件之界面變形圖...44

圖2.25 正向應力－應變圖 ...45

圖3.1 基礎位於水平地表(兩個三角形與單一對數螺旋) (a)破壞機制 示意圖與(b)位移示意圖………63

圖3.2 基礎位於邊坡坡緣處(兩個三角形與單一對數螺旋) (a)破壞機 制示意圖與(b)位移示意圖………64

圖3.3 不考慮土體單位重之邊坡破壞機制示意圖 ...65

X

圖3.4 假設的 M1 破壞機制...65

圖3.5 (a)M1 機制下的速度場(b)速度場圖………66

圖3.6 假設的 M2 破壞機制...67

圖3.7 M2 破壞機制之自由體圖...67

圖3.8 基礎位於水平地表(a)試驗破壞照片與(b)示意圖 ...68

圖3.9 基礎位於水平地表假設破壞機制 ...68

圖3.10 基礎位於傾角小於

45 - 2 ° φ

圖3.11 基礎位於傾角小於

45 2 ° − φ

圖3.12 基礎位於傾角大於

45 - 2 ° φ

圖3.13 基礎位於傾角大於

45 - 2 ° φ

圖3.14 有限元素分析程式之執行流程 ...71

圖3.15 定義分析邊界範圍及群組分佈圖 ...72

圖3.16 獨立群組示意圖 ...72

圖3.17 有限元素分析網格圖之製作 ...73

圖3.18 產生界面元素之示意圖……… 74

圖3.19 螺旋線部分結合示意圖……….74

圖4.1 假設的 M1 破壞機制………84

XI

圖4.2 (a)M1 機制下的速度場(b)速度場圖………...84

圖4.3 邊坡淺基礎之幾何示意圖 ...85

圖4.4(a)邊坡淺基礎之速度場(b)速度場圖………...85

圖4.5 邊坡淺基礎數列解試算表計算之數據輸入步驟 ...86

圖4.6 邊坡淺基礎數列解試算表之中間計算步驟 ...87

圖4.7 邊坡淺基礎數列解試算表之計算結果步驟 ...88

圖4.8 淺基礎數列解試算表計算之數據輸入步驟 ...89

圖4.9 淺基礎數列解試算表之中間計算步驟 ...90

圖4.10 淺基礎數列解試算表之計算結果步驟 ...91

圖5.1 淺基礎承載力因子 N_c與轉折區塊體數之關係圖(φ=0°,c=1kpa) ...103

圖5.2 淺基礎承載力因子 Nc與轉折區塊體數之關係圖 (φ=30°,c=1kpa)………...104

圖5.3 淺基礎承載力因子 Nq與轉折區塊體數之關係圖 (φ=30°,c=1kpa)………...105

圖5.4 邊坡淺基礎極限承載力與開挖坡角之關係圖 (b/B=0，φ=30°)……….106

圖5.5 無破壞機制假設之彈塑性分析之(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖………..107

圖5.6 無破壞機制假設之彈塑性分析之塑性點分佈圖(φ=0°)…….108

XII

圖5.7 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移變形圖(φ=0°)….…....108 圖5.8 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移場圖(φ=0°)………….109 圖5.9 無破壞機制假設之彈塑性分析之等值位移圖(φ=0°)……….109 圖5.10 無破壞機制假設之彈塑性分析與 Atkinson(1981)極限分析理 論中之破壞機制相符合(φ=0°)………110

圖5.11 無破壞機制假設之彈塑性分析之塑性點分佈圖(φ=30°)....111 圖5.12 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移變形圖(φ=30°)…....111 圖5.13 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移場圖(φ=30°)……....112 圖5.14 無破壞機制假設之彈塑性分析之等值位移圖(φ=30°)……112 圖5.15 無破壞機制假設之彈塑性分析與 Atkinson(1981)極限分析理 論中之破壞機制相符合(φ=30°)………..113 圖5.16 淺基礎位於半無限空間轉折區塊體數各種破壞機制之幾何分 類圖(φ=0°)………....114

圖5.17 扇形塊體數為 1 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)………...115 圖5.18 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c ,φ=0°)……….116 圖5.19 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移變形圖

(N_c ,φ=0°)………...117

XIII

圖5.20 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移場圖

(N_c ,φ=0°)……….118 圖5.21 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段等值位移圖

(N_c ,φ=0°)……….119 圖5.22 扇形塊體數為 18 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖

(b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)………...120 圖5.23 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c ,φ=0°)………...121 圖5.24 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移變形圖

(N_c ,φ=0°)……….122 圖5.25 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移場圖

(N_c ,φ=0°)………...123 圖5.26 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段等值位移圖

(N_c ,φ=0°)……….124 圖5.27 淺基礎位於半無限空間轉折區塊體數各種破壞機制之幾何分 類圖(φ=30°)………...125

圖5.28 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………..126 圖5.29 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖

XIV

(N_c , φ=30°)………...127 圖5.30 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_c , φ=30°)………...128 圖5.31 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_c , φ=30°)………...129 圖5.32 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_c , φ=30°)………...130 圖5.33 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………....131 圖5.34 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_q , φ=30°)………...132 圖5.35 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移變形圖

(N_q , φ=30°)………...133 圖5.36 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移場圖

(N_q , φ=30°)………...134 圖5.37 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_q , φ=30°)………...135 圖5.38 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………....136

XV

圖5.39 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c , φ=30°)………...137 圖5.40 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_c , φ=30°)………...138 圖5.41 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_c , φ=30°)………...139 圖5.42 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_c , φ=30°)………...140 圖 5.43 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………...141 圖5.44 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_q , φ=30°)………...142 圖5.45 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_q , φ=30°)………...143 圖5.46 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_q , φ=30°)…...144 圖5.47 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_q , φ=30°)………...145 圖5.48 邊坡淺基礎各種破壞機制之幾何分類圖(φ=30°)……...146

XVI

圖5.49 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=30°)(a) 界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………..147 圖5.50 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=30°) 之各 增量階段滑動面漸進破壞圖………148 圖5.51 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=30°) 之各 增量階段位移變形圖………149 圖5.52 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=30°) 之各 增量階段位移場圖………150 圖5.53 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=30°) 之各 增量階段等值位移圖………151 圖5.54 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=60°)(a) 界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………..152 圖5.55 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=60°) 之各 增量階段滑動面漸進破壞圖………153 圖5.56 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=60°) 之各 增量階段位移變形圖………154 圖5.57 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=60°) 之各 增量階段位移場圖………155 圖5.58 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=60°) 之各

XVII

增量階段等值位移圖………156

圖5.59 邊坡穩定之邊坡坡角變化與安全係數關係(

φ

圖A6 扇形塊體數為 9 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)………...174 圖A7 扇形塊體數為 10 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)………...175 圖A8 扇形塊體數為 15 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)………...176 圖A9 扇形塊體數為 30 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖

XVIII

(b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)………...177 圖A10 螺旋形塊體數為 2 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………178 圖A11 螺旋形塊體數為 3 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………179 圖A12 螺旋形塊體數為 5 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………180 圖A13 螺旋形塊體數為 6 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………181 圖A14 螺旋形塊體數為 8 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………182 圖A15 螺旋形塊體數為 9 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………183 圖A16 螺旋形塊體數為 10 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………184 圖A17 螺旋形塊體數為 15 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………185 圖A18 螺旋形塊體數為 30 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)………186

XIX

圖A19 螺旋形塊體數為 2 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………187 圖A20 螺旋形塊體數為 3 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………....188 圖A21 螺旋形塊體數為 5 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………..189 圖A22 螺旋形塊體數為 6 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………...190 圖A23 螺旋形塊體數為 8 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………..191 圖A24 螺旋形塊體數為 9 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………192 圖A25 螺旋形塊體數為 10 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………193 圖A26 螺旋形塊體數為 15 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………..194 圖A27 螺旋形塊體數為 30 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)………..195 圖A28 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=10°)

XX

(a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………...196 圖A29 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=10°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………197 圖A30 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=10°)之各增 量階段位移變形圖………198 圖A31 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=10°)之各增 量階段位移場圖………199 圖A32 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=10°)之各增 量階段等值位移圖………200 圖A33 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=20°) (a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………201 圖A34 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=20°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………202 圖A35 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=20°)之各增 量階段位移變形圖………203 圖A36 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=20°)之各增 量階段位移場圖………204 圖A37 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=20°)之各增 量階段等值位移圖………205

XXI

圖A38 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=40°) (a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………206 圖A39 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=40°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………207 圖A40 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=40°)之各增 量階段位移變形圖………208 圖A41 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=40°)之各增 量階段位移場圖………209 圖A42 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=40°)之各增 量階段等值位移圖………210 圖A43 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=50°) (a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………211 圖A44 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=50°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………212 圖A45 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=50°)之各增 量階段位移變形圖………213 圖A46 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=50°)之各增 量階段位移場圖………214 圖A47 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=50°)之各增

XXII

量階段等值位移圖………215 圖A48 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=70°) (a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………216 圖A49 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=70°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………217 圖A50 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=70°)之各增 量階段位移變形圖………218 圖A51 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=70°)之各增 量階段位移場圖………219 圖A52 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=70°)之各增 量階段等值位移圖………220 圖A53 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=80°)(a) 界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖………..221 圖A54 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=80°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………222 圖A55 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=80°)之各增 量階段位移變形圖………223 圖A56 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=80°)之各增 量階段位移場圖………224

XXIII

圖A57 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=80°)之各增 量階段等值位移圖………225 圖A58 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝

90°）（a）界面元素分佈示意圖（b）有限元素分析網格圖………226 圖A59 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=90°)之各增 量階段滑動面漸進破壞圖………227 圖A60 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=90°)之各增 量階段位移變形圖………228 圖A61 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=90°)之各增 量階段位移場圖………....229 圖A62 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制(b/B=0 且 β=90°) 之各 增量階段等值位移圖………230

XXIV

符號說明

A : 地表覆土荷載作用下之面積 b : 與邊坡坡緣處之距離

B : 基礎寬度 c: 凝聚力

E : 土壤楊氏模數 l : BC 界面之長度 1

n : 轉折區塊體數

N_c :Terzaghi 承載力因子 N_q : Terzaghi 承載力因子 N^γ: Terzaghi 承載力因子 q : 地表覆土荷載

q_u : 基礎上方施加一均勻荷載

u : 孔隙水壓 V0 : 虛位移

α

β

β : 邊坡坡角 γ : 土壤單位重

δE : 外力所作之外功

δW : 滑動面上抵抗應力所作之內能 ζ : 主動區與水平面之夾角

η : 被動區與坡面之夾角 θ : 主動區與水平面之夾角

λ : 有限元素模擬分析各階段加壓增量 li d_i

XXV

φ : 土壤內摩擦角 Ψ : 土壤膨脹角

XXVI

1

第一章 緒論

1.1 研究背景

近年來由於人口急速增加，加上地形之限制，坡地社區之開發成 為趨勢，因此關於邊坡穩定與基礎承載力均是常見之問題。由於台灣 山坡地面積約佔全島面積的四分之三，受到地形上之限制，平原地區 之土地開發逐漸達到飽和，因此謀求山坡地之開發利用已成為趨勢。

然而綜觀目前台灣的社區發展型態，大都以別墅群社區為主，且其所 需求的基礎配置大多以淺基礎為主，所以有關坡地建築之淺基礎設 計，必須突破平地建築之設計理念，考慮邊坡開挖坡角及不同破壞機 制對整體邊坡穩定造成的影響。

在土木工程領域中存在著許多不同介質間界面(interfaces)或不 連續面(discontinuities)所引發的工程問題，例如結構間、土體間或 結構與土體間等界面問題，其界面力學行為的產生，通常發生在介質 間物理性質、空間關係與力學行為的不連續性。故在實際有關大地工 程問題中加入界面元素，以模擬結構物與土壤兩物體間之力學行為是 有其必要性的。

目前一般工程穩定分析上，大多以有限元素法配合較合理的土體 行為模式，且在一恰當之初始應力條件下進行模擬分析，並應用於實 際工程上，其影響分析結果正確性之因素，包括：採用材料之應力－

應變行為組成律、元素種類、網格細分之均勻程度、材料參數、精度 大小等。配合界面元素力學行為組成律之模式，進行界面力學行為之 模擬分析與探討。

1.2 研究動機與目的

目前一般工程穩定性分析問題上，常使用極限分析理論或有限元

2

素法。在極限分析理論中，基於彈性完全塑性理論(elastic perfectly plastic theory)之條件下，以土體內部強度抵制外來驅使力之大小，其 抵制行為能力之上限與下限，常依土體內部所假設之破壞幾何條件而 定。

在有限元素法分析中，基於連體力學所推導之數值分析法，只要 分析對象為連續體且相關參數掌握得宜，鄭惠云(2002)研究指出，其 分析結果均會合乎理想；但傳統上幾何條件之假設與極限分析理論之 計算均有其邊界條件之限制性與計算太過繁複之問題，且一般有限元 素分析無法告知確切之土體破壞面位置。如果欲分析之對象是由兩種 以上之材料所組成，其材料之界面是否會在受外力作用下產生相對位 移，而此相對位移之效應是否可忽略，且其接觸力如何傳遞等等，這 些都是傳統有限元素法所無法解決的。因此本論文採用以有限元素分 析並考慮多段式無厚度界面元素(multiple zero thickness interface elements)模擬分析，其界面力學行為遵循莫爾-庫倫破壞準則(Mohr

－Coulomb failure criterion)，並配合極限分析理論，模擬土壤破壞滑 動面力學行為與各種不同幾何之破壞機制，進而應用於凝聚性與c-φ 土壤淺基礎和邊坡淺基礎之極限承載力計算，以求得淺基礎與邊坡坡 緣淺基礎極限承載力之最小上限值，並與理論值及數列解比較，即為 本論文之主要研究目的。

1.3 研究內容與流程

本研究內容，首先回顧前人對界面力學之相關性研究，再進行探 討界面元素於有限元素法之建立與有限元素法模擬計算之分析方 式。其次，以二個研究方向分別探討非凝聚性土壤穩定性分析，與多 段式無厚度界面元素應用於鄰近邊坡基礎承載力極限分析及不連續

3

面之漸進式破壞行為，包含:探討前人所提出之極限分析法之上限 值、邊坡坡頂淺基礎之極限承載力分析及本研究所推導之邊坡淺基礎 數列解分析，其內容包括：邊坡坡頂淺基礎間之破壞機制，探討淺基 礎位於邊坡坡緣處與邊坡角度之影響；其次為淺基礎轉折區塊體數探 討。

關於土體與基礎間之力學行為模擬，本研究採用多段式無厚度界 面元素於有限元素分析程式中，並以莫爾-庫倫破壞準則模擬土體間 或土體與結構間之界面力學行為。本研究流程如圖1.1 所示，並將歷 屆研究發展之流程(如圖1.2 所示)。本論文共分成六章，分別為：

第一章 緒論：為研究背景、動機、目的及內容，說明為何要探討土 體間或土體與結構間之界面力學行為與穩定性分析。

第二章 文獻回顧：簡述前人對界面元素之相關性研究，並就土壤之 極限分析方法、淺基礎與邊坡基礎極限承載力分析、及破壞 機制作一說明，包括：考慮幾何條件與上、下限極限值之相 關研究文獻回顧，同時介紹界面元素之力學行為與破壞機 制。

第三章 邊坡淺基礎承載力上限值理論與有限元素分析：根據各學者 所提出之淺基礎與邊坡基礎極限分析法中之上限值法，探討 其邊坡淺基礎之極限承載力及其幾何破壞機制之情況。並以 有限元素分析之內容與步驟作一邊坡案例介紹。

第四章 數列解理論與試算表計算方法:根據Soubra(1999)所提出之 淺基礎數列解理論與本研究所推導之邊坡淺基礎數列解分 析，以試算表的計算過程，探討淺基礎與邊坡淺基礎之極限 分析上限值。

第五章 有限元素計算結果與相關理論分析結果比較：根據各學者所

4

提出之土體極限承載力理論及分析結果，並以多段式無厚度 界面元素模擬土體之破壞機制之數值計算結果與數列解之 計算結果作一比較。

第六章 結論與建議：為本研究之分析結果與日後研究方向之建議。

5

圖 1.1 研究流程

邊坡淺基礎承載力極限分析上限值之研究

文獻回顧 第二章

土壤極限分析方法 界面元素配合有限元

素之理論分析模式 淺基腳承載力之理論

分析

邊坡淺基礎承載 力之理論分析

邊坡淺基礎極限分析方法 第三章

邊坡淺基礎承載力極限分析上限值之理論分析 有限元素分析程式之內容與步驟

淺基礎極限承載力之數列解理論與計算方法 第四章

第六章

邊坡淺基礎承載力極限分 析上限值之數列解推導

數列解之試算表計算 步驟

淺基礎案例探 討

第五章 邊坡淺基礎極限承載力之解析解、數值解與數列解比較

轉折區塊體數之影響探討 淺基礎位於邊坡坡緣處之數值

分析

解析解、數值解與數列 解比較

結論與建議

邊坡淺基礎案 例探討

6

7

第二章 文獻回顧

2.1 前言

在大地工程的範疇裡，地質條件常伴隨著不連續面的問題，以至 於邊坡、基礎等工程，在受力範圍內，岩體之力學行為將隨著節理型 態（如節理種類、間距、組數與方向）之不同，而呈現高度非均質 (non-homogeneous)與異向性（anisotropy）行為。目前界面間力學行 為的數值分析與實際工程上的應用，大多考慮以有限元素分析法的數 值計算方式，並透過特殊界面元素力學行為之物理方程模式假設，以 完成界面力學行為的預估與模擬（Herrmann, 1978; Pande and Sharma, 1979; Bouzid et etc, 2004）。因此，考量在不同幾何破壞機制條件 下，模擬土壤界面之滑動破壞力學行為。當以極限平衡法、應力 解及極限分析法（上限及下限）之方法來探討並尋求設計出一套適用 於評估應力狀態、位移狀態、材料行為及邊界條件（如表2.1 所示），

從結果得知，只有極限分析法之上限法能滿足上述之狀態，因此可應 用極限分析上限法來做為數值模擬之方法。

在土木工程領域裡，極限承載力的計算與分析是一個普遍遇到的 問題。目前一般工程的穩定性分析問題，一般常使用極限分析理論，

基於彈性完全塑性理論之條件下，以土壤內部強度抵制外來驅使 力之大小，其抵制行為能力之上限（upper bound）與下限（lower bound），常依土壤內部所假設的破壞幾何條件而定。然而傳統上 幾何條件的假設與極限平衡的計算均有其邊界限制與計算太繁雜之 問題，本研究採用有限元素分析並考量多段式無厚度界面元素，其界 面組成律為遵循莫爾庫倫破壞準則之庫倫摩擦界面模擬土壤間之應 力-應變的傳遞方式與其關係(Lee, 2006; 李煜舲, 2008)，並應用於 不同幾何破壞機制條件下，計算邊坡基礎在非凝聚性土體之極限荷載

8

最小上限值，以及模擬土體間之滑動破壞趨勢與漸進式破壞行為。藉 以探討邊坡坡角對邊坡坡頂淺基礎極限承載力之影響分析。

2.2 土壤之極限分析

一般極限分析理論是以假設土壤破壞機制(failure mechanism)，

並利用力學平衡方程式，求出基礎下方土壤之承載力。根據土壤臨界 狀態理論(critical state theory)得知，為了解外力作用與土體間之破壞 機制間關係，乃應用塑性破壞上限與下限原理(如圖2.1 所示)，應用 此原理分析土體可承受之外力範圍。當破壞發生時，塑性應變量之向 量分量與破壞包絡線相互垂直，且任一變形增量下，此時力與應力均 保持定值。因此在彈性應變增量與塑性應變增量均為零時，所有力與 應 力 均 為 定 值 。 而 上 限 與 下 限 之 原 理 ， 則 分 別 敘 述 如 下

（Atkinson,1981）。

（1）上限原理：

如果施加一外部荷載於一已知假設破壞機制之幾何面上，此時在 每一個位移增量下，其外部荷重所作之功等於內部應力所作之功，此 時破壞將會發生，而此時之荷載即為真實破壞荷載之上限。

（2）下限原理：

如果施與一外部荷載且其處於應力平衡狀態下，無任何材料超出 破壞準則之規範，此時破壞不會發生，此荷載即為真實破壞荷載之下 限。

若應用虛功原理（virtual works theory）可驗證上限與下限原理，

以下分別加以敘述如下。

（1）上限原理說明：

為了求得外部荷載之上限

F

9

部初始應力σ_u、邊界位移量

δ w

δε

∑

∫

v

u u u

u w dv

F

δ σ δε

此時左邊（外部所作的功）會與右邊（內部應力所作之功）相等。

所以

∑

∫

v

c c c

c w dv

F

δ σ δε

此 時

F

σ

c c u

u

δε σ δε

σ ⋅ ≥ ⋅

F

≥ F

F

F

（2）下限原理說明：

施加一外部荷載之下限F ，伴隨著外部荷載而產生之內部應力_l

σ

∑

∫

v

l l l

l w dv

F

δ σ δε

同理，

σ

⋅ δε

≤ σ

⋅ δε

≤

Atkinson（1981）以極限分析理論之上、下限原理，並將土體分 為排水土體與不排水土體，分別推求基礎土壤極限承載力及不同幾何 破壞機制。當土體達極限狀態時，所推求之土體破壞機制與極限承載 力和Vesic（1973）所提出之全面剪力破壞機制相同。

Sloan (1989) 針對平面應變情況下，假設完全塑性土壤材料條 件，以極限分析上限解法並配合有限元素分析，在機制上遵守動態容 許速度場(kinematically admissible velocity field)之不連續行為，且經 有限元素線性程序，可求其極限承載力大小。

Soubra（1999）以極限平衡理論之上限原理，探求基礎極限承載

10

力之近似解。並採用將轉折區予以細分（如圖 2.2 所示），以使分析 結果達到收斂，且分析結果隨著轉折區分割愈細而更接近理論值。

李煜舲（1999）探討以有限元素配合多段式無厚度界面元素於土 體破壞機制之應用，於土體破壞滑動面上採用界面元素進行模擬分 析。經模擬分析結果，可得到破壞機制之漸進式破壞過程，且對於計 算土體內部極限抵抗能力，且均能接近上限理論值。

Puzrin & Randolph (2003) 研究關於在極限分析上限值中，以廣 義性的角度，注入一新平面速度場，做為在上限值分析之影響因子。

由其研究分析顯示(如圖2.3 所示)，在符合運動速度場條件下，加入 新的流線形狀機制，以推動極限分析理論之發展，獲得更簡便分析方 法。

Yang (2007) 研究擋土牆之主動土壓力以非線性破壞準則為考 量 ，並配合應用極限分析之上限值法，分別假設傳統和對數螺旋之 破壞機制，最後比較各別所獲得之安全係數值。根據研究結果顯示(如 圖2.4 所示)，由對數螺旋破壞機制分析和Rankine之理論，以及分析 k_h、m、c₀、q和σt因子，所影響土壓力安全係數。

李煜舲(2008)採用自行研發之三維有限元素分析程序，同時考慮 多段式平面和曲面無厚度界面元素。由分析結果可知，數值計算結果 符合極限分析理論最小上限值，利用三維無厚度界面元素，在不同破 壞機制問題上(如圖2.5 所示)，能模擬且預估土體極限承載力。

2.3 淺基礎承載力之極限平衡法

極限平衡法(limit equilibrium method)需先假設其可能發生破壞 之滑動面在滿足破壞準則下，假設沿滑動面上之每一點均同時達到破 壞，由滑動面上之靜力平衡法及其邊界條件可求出滑動面上之安全係 數及其極限承載力，以下為不同學者之土壤承載力分析方法。

11

Prandtl（1920）研究剛性物體貫入軟弱且均質無重量（weightless , γ=0）的介質中。其破壞機制如圖 2.6 所示，土壤受條形基礎荷重作 用下達到破壞，且產生全面剪力破壞。滑動區域包括：Rankine 主動 土壓力區Ⅰ，對數螺旋線區Ⅱ及Rankine 被動土壓力區Ⅲ，其主動土 壓力區邊界與水平面夾角為^{45°+ φ}₂ ，被動土壓力區之破壞面與水平

面夾角為⁴⁵_{° −}φ₂

。

Prandtl 根據塑性理論推導出極限承載力公式，其結果如下：

q_u

=

+ γ

式中 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ °+

=eπ^tanφ tan² 45

φ

N_q （2-5）

Nc ⁼

(

)

式中 N_c與 N_q為承載因子，均為土壤內摩擦角

φ

φ

q_u

=

+ γ

Terzaghi（1943）對淺基礎之定義為基礎埋置深度小於或等於基 礎寬度（Df / B≦1）。延伸 Prandtl（1920）之塑性理論並考慮土壤自 重與超載重，當土壤受條形淺基礎之荷重作用下達到破壞，產生全面 剪力破壞，其滑動區如圖 2.7 所示，Rankine 主動土壓力區Ⅰ，對數 螺旋線區Ⅱ及Rankine 被動土壓力區Ⅲ，其中主動土壓力區之破壞面 與水平面夾角為

φ

45 φ2

° − 。

Terzaghi(1943)承載理論之假設包括：基礎深度以上土壤之抗剪 力、覆土與基礎間之附著力及覆土與支承土壤間之摩擦力不計算，覆 土由一均佈載重q=

γ

12

聚力c、超額載重 q 與土壤單位重 γ 提供之承載效應，得到破壞之承 載力：

^{qu cNc qNq} γ^BNr 2 + 1 +

= （2-8）

式中：c 為土壤凝聚力，q 為覆土均佈載重（q=γD_f ，Df為基礎埋入 深度），γ 為土壤單位重，N_c、N_q、N_r 為無因次化之承載因子（為土 壤摩擦角

φ

Meyerhof（1951）與 Hansen（1952）之承載力理論均由 Terzaghi

（1943）理論加以延伸，此兩種理論考慮基礎底部以上土壤沿著破壞 面之剪力阻抗、基礎之形狀、埋入深度與傾斜載重之情形，但兩者理 論對破壞面之假設略有不同（如圖 2.7 所示）。且提出之ㄧ般承載力 公式，將形狀、深度與傾斜載重等修正因子納入：

^q_u ^cN_C

λ

λ

λ

λ

λ

λ

γ

λ

λ

λ

+ 1 +

= （2-9）

綜合上述之承載力理論，Terzaghi 法在

φ

Meyerhof 法適用於求基礎埋入時之承載力；而 Hansen 法適用於求黏 性土壤之承載力，並將 Terzaghi、Meyerhof 與 Hansen 三者方法之異 處列表於2-2 做比較。

Michalowski (2001) 探討在凝聚性材料之土壤性質，當處於極限 狀態下，應用極限平衡法則求得其應力解。其中利用簡單之極限承載 基礎，配合極限平衡法可求得安全係數，並不需計算速度不連續或變 形面積，即可計算能量消散比，減少在求解之複雜性。

陳 榮 河 （2001 ） 介 紹 四 種 極 限 平 衡 狀 態 之 土 壓 力 理 論 ， 即 Rankine、Boussinesq、Coulomb 及 Prandtl，並區別加以釐清，此四法

13

之差異在於：Rankine 理論忽略擋土牆之作用、Boussinesq 理論可考 慮擋土牆與土壤間之摩擦力、Coulomb 從合力之觀點考慮土壓力，而 Prandtl 理論主要針對地表載重對於擋土牆所造成之影響，且土壓力理 論亦可延伸處理基礎承載力問題。

Fox (2004) 研究以極限平衡理論應用於連續壁溝槽之穩定分 析，透過解析解可決定安全係數和臨界破壞面之角度，適用於排水情 況之有效應力及不排水之總應力條件，經由平面破壞分析，所獲得之 連續壁相關設計，可提供相當重要之設計準備。

2.4 淺基腳承載力之極限分析上限值

ιј ιј

ιј

ƒ(σ )

ε =λ , λ , ι , ј=1,2,3 σ

∂ ≥ 0

∂







 

 

式中：

ε 

σ

λ

ƒ(σ )

ι ι

* ιј

* * *

ι ι

ιј S

σ ε υ υ ι,ј=1,2,3

V

dV ≥ T dS +

X dV

∫

^

∫

∫

^

式中：

σ

ε 

X

V

T

S

υ

將會導致極限荷載大於等於實際的極限荷載。運動學上所採用的機 制，其變形遵循諧和流準則且符合運動學上的邊界條件。式子(2-11) 右邊的第一項，可分成兩項:

* *

υ

υ

υ

ι,ј 1,2,3

q

V V

i i i q

S

T dS =

p dS +

q dS =

∫ ∫ ∫ ^

(2-11)

14

式中，

S

υ

p

S

υ

因此，從式子(2-11)計算出的極限承載壓力，可以寫成式子 (2-13)，Nc^、Nq^、Nγ函數取決於破壞機制的幾何學與土壤的材料特性。

由式子(2-11)計算得出平均承載壓力上限值，假如破壞機制的幾何學 為最佳化時，則可得出承載壓力最小值，所以承載壓力可以做一個合 理的估計。

1

c q

2

p cN = + qN + γ BN

剛體機制不同於傳統上的 Prandtl 機制與其它的機制，較容易表 示的(例如Chen ,1975)，為一種不連續變形(discontinuous deformation) 區域。對於Prandtl 機制，連續變形(continuous deformation)的區域是 包含在(如圖2.8(a))的 ABD 區域。

多重塊體傳遞破壞機制的幾何關係，小於原始的 Prandtl 機制，

假設基礎由數條速度不連續面所分割的三角形塊體所組成，當基礎到 達極限破壞時，沿著塊體與塊體間或是塊體底部之接觸面產生塑性流 動。

15

結果顯示多重塊體傳遞破壞機制，當摩擦角

φ

Yang 等人(2005)研究了條形基腳極限承載力的上限值方法，並 使用修正的Hoek-Brown 破壞準則。在計算上，利用 Soubra(1999)和 Michalowski(1997)轉移的破壞機制，這種方法採用了切線(一個線性 的 Mohr-Coulomb 破壞準則)，而不是實際的非線性破壞準則，計算 功與能量消散。

2.5 邊坡淺基礎承載力之極限分析上限值

上述均為各學者針對水平地表所提出之承載力理論，而自然界之 地形在外力之作用下常呈傾斜狀態，且目前社區發展形態大都以別墅 群社區為主體，因此當建物構築於山坡地時，則需考慮坡角、坡型等 對於斜坡上基礎承載力之影響。本研究即蒐集關於斜坡承載力之文獻 做說明。

Meyerhof（1957）之淺基礎破壞理論（如圖 2.9 所示），此利用 極限平衡法提出承載力理論，以有效防止基礎沉陷及支承破壞，而邊 坡上淺基礎分佈之狀況可分為下列二大類型：

（1）淺基礎位於邊坡坡頂：

此又可分為兩種狀況，一為基礎與坡頂之距離b 為零，另一則為 b 不為零之基礎配置狀況（如圖 2.10 所示），一般階段式坡地所配置 之防砂工程及水工結構物、與社區別墅群之部分基礎均屬之，並將此 兩種配置情形分別詳述如下：

（A）淺基礎置於邊坡坡頂處（b = 0）

淺基礎若以此種方式配置於邊坡上時，Meyerhof 乃根據 Terzaghi 之承載力理論，加以考慮基礎所在之地層深度，進而延伸出一套計算

16

公式：

c q

r

u BN DN cN

q = ₁ + ₂ +

2

1γ γ （2-14）

式中：γ 與₁ γ 為兩不同土壤單位重量 ₂

N_r、N_q及N 為承載力因子（由圖 2.11 中查出） _c D 為基礎埋入深度之地層深度

此種情況下，埋入土壤內之基礎破壞機制（如圖2.12 中），假設 楔形區AFE 之剪應力

τ

σ

β

（Degree of Mobilization of Shearing）與土壤摩擦角及 D/B 有關，可 表示為：

m c

= +

′ σ φ

τ

0 tan

0 （2-15）

而 D

N D

T β σ β

τ sin , ^sin

0

0 = = ，且m′=0 適用於淺基礎；m′=1 則適用於 淺基礎

（B）淺基礎置於邊坡不同退縮距離處（b≠0）

此種狀況下，依據Meyerhof（1957）提出之估算理論，位於斜 坡上之淺基礎極限承載力可依下式求之：

cq q

u BN cN

q = γ _γ + 2

1 （2-16）

式中，N_rq必須考慮b/B（基礎距邊坡坡緣處與基礎寬度之比值），並 經由查圖2.13、2.14 得到 β、

φ

c N_{s =}γd

（2-17）

17

式中d 為斜坡高度。當 B＜d 時，N_s可忽略不計；當 B≧d 時，則N_s 必須考慮。

（2）淺基礎位於邊坡坡面

一般而言，此種情況常見於山區道路下邊坡之擋土結構基礎、社 區別墅之部分房基及河溪兩岸之橋基。對於此類基礎埋入深度D 小 於基礎寬度B 之極限承載力計算，必需考慮斜坡之坡角，並依據式子 (2-18)之淺基礎極限承載力計算之。式中N_rq及N 則必須再考慮 β、_cq

φ

qu

γ

2

= 1 (2-18)

Kusakabe 等人 (1981) 利用模型試驗檢驗上限值的正確性。利 用上限值理論，作者所提出的破壞機制(如圖 2.16)與 α、β 值組合而 成的實際破壞面所得到的上限值，顯示出好的一致性。

Graham 等人（1988）以應力特性之研究分析法來探討非凝聚性 土壤於邊坡基礎之承載力關係。從變化土壤摩擦角

φ

其 趨 勢 與 前 人 研 究 所 得 都 相 符 ， 並 得 知 基 礎 須 位 於 邊 坡 坡 緣 為

5

/

0 ≤ H B ≤

Saran 等人(1989)以極限平衡與極限分析法，來求得鄰近邊坡基 腳之承載力。兩者獲得的值近似，此結果決定於

φ

B、^Df

B 及β，且

使用承載力係數N_c、N_q及N_γ之形式表示，結果並與模擬試驗值一致，

但 由 於 Saran 提出在三角楔形塊兩側之被動土壓不同，因此與 Meyerhof 等先前研究值來的高。

祝錫智（1993）利用與 Tezaghi 相同的破壞模式，並應用 Rankine 被動土壓力理論，發展出一套計算土壤承載力係數N 、_c N 及_q N 的方_r 法。利用 Milovic 及 Muhs 的大型現地承載力試驗結果來驗證計算結

18

果。結果顯示，低凝聚性土體並假設基底為粗糙之情況，最為接近實 驗值。

Donald & Chen (1997) 研究在傳統可塑性問題上，將土體分割 成數個不連續滑動塊，應用功能原理，並藉由最佳化之處理程序，計 算其極限承載力，以求得最小之安全係數。由其分析結果顯示 (如圖 2.17 所示)，在邊坡淺基礎承載力計算上，先假設破壞滑動線，再根 據極限分析理論，經由最佳化之數值模擬結果，求得最小安全係數。

Chen 等人 (2001) 以極限分析之上邊界理論，研究三維的邊坡 分析，探討其速度場和安全係數穩定問題。由其研究分析結果顯示，

假設二種不同形式之破壞機制，藉由非常簡單方法，不需加入複雜之 應力平衡分析，所求得之相對安全係數結果，經由試驗證明其可能性。

Michalowski (2002) 根據運動學上的極限分析法，提出一系列圖 表來評估邊坡的穩定性。這一系列圖表可在當邊坡受到孔隙水壓力與 地震力時使用，不需經過反覆的計算過程，就可評估出安全係數。

李煜舲與鄭惠云（2002）探討邊坡角度與基礎距離邊坡坡緣破壞 機制間之關係。經由分析結果顯示，當邊坡坡角越大時，土體極限分 析值越小，而在相同邊坡坡角下，隨著L/B（基礎距邊坡坡緣處與基 礎寬度之比值）越大，則基礎極限承載力越大。

徐景祥（2004）研究當基礎設計在邊坡上、坡頂或坡趾附近時必 定受邊坡效應之影響。假設承載力之破壞發展趨勢沿用Terzaghi 的破 壞機制，則極限承載力的大小取決於坡角β 及基礎距坡緣距離 b，並 對於輻射狀剪力區及被動土壓力區之承載力因子 Nc､Nq 及 Nγ 做調 整，以估算在邊坡效應下基礎的承載能力。

李煜舲(2007)以研發之有限元素分析程序，同時考慮多段式無厚 度界面元素，探討邊坡坡角與坡緣距離對邊坡坡頂淺基礎極限承載力

19

上限值之影響因子分析，由數值計算結果顯示，淺基礎位於坡緣處且 坡角為垂直開挖時，結果導致淺基礎極限承載力值約降低50%。

張振成 (2008) 根據模型承載試驗結果提出一接近真實之假設 破壞模式(如圖2.18)，其可分為基腳下方主動區、地表側之被動區以 及介於主動區與被動區之轉折區，轉折區假設由三個楔形塊體所組成 並且轉折區夾角隨坡角及基腳退縮距離變化。透過極限分析法上限解 定理提出基腳置於邊坡穩定條件下之不同坡角及退縮距離之膠結不 良砂岩基礎極限承載力分析方法。

Chang 等人(2008) 研究了膠結不良砂岩淺基礎的破壞機制，並 且對基礎承載力提出一個上限值。膠結不良砂岩為土壤與岩石間過渡 性之材料，因此目前各承載力分析理論方法未能全盤應用。試驗結果 與各分析理論計算結果比較顯示，若其假設的破壞模式能正確接近真 實基礎者，則可預測出較為正確之理論基礎承載力，並藉由極限分析 法上限解定理提出一合適之理論分析公式。

Chang 等人(2008) 研究邊坡的模型是由主動區、轉折區、被動 區所組成，結果顯示破壞區域最終無法傳遞到邊坡坡緣。邊坡角度和 退縮距離會影響破壞區的形狀和範圍，明顯影響了極限承載力，模型 試驗結果指出，極限承載力會隨著坡角的增大而減少，退縮距離的增 加而增加。

2.6 界面元素

有限元素法對於破裂面在數值分析上為許多奇異點之集合，易產 生應力集中現象，且土壤並非為連續體，常產生張力裂縫或滑動現 象。因此數值模擬專家發展出界面元素之概念，以模擬許多由不同材 料接合而組成之施工構件，如樁基礎、地錨、岩栓及擋土工程等；亦 或在相同材料中存在著不連續面，如岩體之斷層、劈理及節理等弱面