导 数

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.1 导数及微分

2.1.1 引例 2.1.2 导数概念

2.1.3 导数的几何意义 2.1.4 可导与连续的关系 2.1.5 求导数的例题 导数基本公式表

2.1 导数及微分

2.1.1 引例 ^切线问题

速度问题

2.1.2 导数的概念

定义

左右导数定义

区间上导函数定义

用导数定义求函数导数 用定义求导步骤

用定义求导数习例1-5

2.1.3 导数的意义 ^几何意义

物理意义

2.1.4 可导与连续的关系

2.1.5 求导数的例题·导数基本公式

求导数的习例8-11

连续函数不存在导数举例 导数基本公式

内容小结

课堂思考与练习

导 数

及 微

分

一.引例 1.切线问题

. )

, (

), (

0

0 处切线的斜率 求 设曲线方程

y x

M

x f y 

割线的极限位置——切线 ^{ }

T

x0 x₀  x

o x

y

) ( x f y 

C

N

M

割线 MN 的斜率为 ( ) ( ) .

tan ^{0 0}

x

x f x

x f x

y







 



 



, 0 ,

,   

 M MN MT x

N 时

当

) . (

) lim (

lim tan

lim ^{0 0}

0 0

0 x

x f x

x f x

k y

x x

x 





 



 

  



2.速度问题

.

), ( ,

0时刻的速度 求在

它的规律为 设质点作变速直线运动

t

t s s 

: ]

,

[ _{0 0} 内的平均速度为 在时间 t t  t

) . ( )

( _{0 0}

t

t s t

t s t

v s







 



 

. ,

0时 平均速度即为 ₀ 时刻的速度 当 t  t

). ( )

lim ( lim

)

( ^{0 0}

0 0 0

t

t s t

t s t

t s v

t

t 





 



 









二、导数定义

处的导数 在 ₀

) ( .

1 f x x  x (变化率)

定义: 设y  f (x)在点x₀的某个邻域内有定义,若

x

x f x

x f x

y

x

x 





 













) (

) lim (

lim ^{0 0}

0 0

. )

(

,则称 在 ₀处可导或导数存在或具有导数 存在 y  f x x

. )

( 在 ₀处的导数 记为

且称此极限值为 y  f x x

. )

(

|

0 0

0 0

x x x

x x

x dx

df dx

x dy f

y



  

 或 或 或

. )

(

,则称 在 ₀处不导数

若这样的极限不存在 y  f x x .

) (

,则记为 f  x₀   若为无穷大

注意:

x

x f

x x

x f

f







 



) (

) lim (

)

(

0 0

0

0) (

) lim (

0 0

x x

x f x

f

x x

x x

x



 









h

x f h

x f

h x

h ( ) ( )

lim ^{0 0}

0



 







练习:1.设 f ( x) 在 x  x₀处可导，即 f (x₀ )存在，则

0 0

0

( ) ( )

lim _________________________

x

f x x f x

  x

  

 

0 0

0

( ) ( )

lim ____________________________

h

f x h f x h

 h

  



0

0 0

0

( ) ( )

lim _______________________________

x x

x f x xf x x x



 



) ) (

( ))

(

lim ( ^{0 0} ₀

0 f x

x

x f x

x f

x

 

 









 





0 0 0 0

0

( ) ( ) [ ( ) ( )]

limh

f x h f x f x h f x

 h

    

0 0 0 0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

lim{ }

2 ( )

h

f x h f x f x h f x

h h

f x



   

 



 

0

0 0

0

0( ( ) ( )) ( ) ( )

lim

0 x x

x f x x

x f x

f x

x

x 









) ( )

(

)}

) ( ( )

{ ( lim

0 0

0

0 0

0 0

0

x f x

f x

x x f

x

x f x

x f

x x

 



 

 



单侧导数 (左右导数) 左导数:

x

x f x

x f x

x y f

x

x 





 



 

      

 ( ) ( )

lim lim

)

( ^{0 0}

0 0 0

右导数:

x

x f x

x f x

x y f

x

x 





 



 

      

 ( ) ( )

lim lim

)

( ^{0 0}

0 0 0

注：单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的 可导性时碰到, 并且有结论:

).

( )

( )

(x₀ f x₀ f x₀

f  存在  _  _

在开区间I 内的导数 x

f ( )

. )

( ,

)

( 在 内每一点可导则称 在 内可导 若f x I f x I

x

x f x

x f x

x y f

x

x 





 



 

    

) ( )

lim ( lim

) (

0 0

).

(

f x

dx y df

dx

dy 或  或 或  也可记为

注意：(1) 如果 f ( x)在开区间

 

(b

f_ 都存在，就说 f ( x)在闭区间

 

(2) 速度是路程函数的导数, 即 v(t)  s(t).

; )

(

(3) f  x₀ 是一个确定的数值

. )

( ,

) ( )

(x₀ 是f x 在x₀处的导数 是f x 在x₀处的函数值

f  

. )

( )

(x0 f x x x0

f    _

注意:点导数与导函数的关系 1. ( ) ( ) .

0 f x x x0

x

f    _

先求导、后代值.

0 0

( ) [ ( )]

f x  f x 

.

), ( lim

lim )

(

), (

) (

, )

(

lim )

( ,

lim )

( :

) ( ))

( ( 0 )

( ) (

0

) ( ) (

0

) ( ) (

0

函数 即偶函数的导函数是奇

从而有 即

是偶函数 如果

则 令

证明

t f

t f

x f

x f

x f

t f

t x

x f

h

t f h

t f h h

t f h t f h

h

t f h t f h

h

x f h x f h

 









 







 





 



































. : 偶函数的导函数是奇函 数 证明

练习2

: f x ( ) , f  (0) , 练习 已知 是偶函数 且 存在

) 0 ( )

0 ( )

0 (

:因为f  存在  f_  f_ 证明

) 0 ) (

0 ( )

lim (

) ) (

0 ( )

lim ( )

0 ( )

lim ( )

0 (

0

0 0

 







 

 

 









 

 









t f f t

f

t f f t

f x

f x

f f

t

t t x x

为偶函数

又 ^令 

0 )

0 ( ,

0 )

0 ( )

0 (

), 0 ( )

0 (

 

 

 

 











f f

f

f f

即 所以

又

. 0 )

0 (

: f   证明

用定义求函数导数步骤:

) ( )

(

(1)求增量y  f x  x  f x

x

x f x

x f x

y







 



 ( ) ( )

) 2

( 算比值

x

x f x

x f x

y

x

x 





 













) ( )

lim ( lim

(3)

0 0

取极限

用导数定义求函数导数习例 ).

( ,

) ( .

1 设 f x  C 求 f  x 例

).

( ,

) (

.

2 设 f x  xⁿ 求 f  x

例

4).

( ),

( ,

cos )

(

.

3 

f x

f x

x

f  计算  并求 

设 例

).

( ,

) (

.

4 设 f x  a^x 求 f  x 例

).

0 ( ,

|

| ) (

5. 设 f x  x 求 f  例

).

( ,

) ( .

1 设 f x  C 求 f  x 例

解: 由导数定义得

x

x f x

x f x

x y f

x

x 





 



 

    

) ( )

lim ( lim

) (

0 0

. 0 lim

0 



 



 x

C C

x

. 0 )

(

 

 C

).

( ,

) (

.

2 设 f x  xⁿ 求 f  x 例

解:

x

x f x

x x f

f

x 





 

  

) ( )

lim ( )

(

0 x

x x

x ^{n n}

x 





 





) lim (

0

x

x x

x x

C x

x C

xⁿ _n ⁿ _n ^{n n n}

x 















  ^{ }





) (

) lim (

2 2

2 1

1 0



x

x x

x C x

x

C_n ⁿ _n ^{n n}

x 











 ^  ^





) (

) lim (

2 2

2 1

1 0



] )

( [

lim ^{1 1 2 2 1}

0









     

 _n ⁿ _n ^{n n}

x C x C x x  x  C_n¹x^n1  nx^n1. .

) (

  ^1

 xⁿ nxⁿ

注意: (1)(xⁿ) |_xa  na^n1 (2)(x^ ) 





) ( x  例如,

2 1 1

2

1 ^

 x .

2 1

 x

) (

1)

(   x^1  x

1

) 1

1

( ^{ }

 x 1 .

x2





, 2 )

( , 1 )

( x   x

  x

3 2

3

3 ) 1

(

x x  

牢记

4 ).

( ),

( ,

cos )

(

.

3 

f x

f x

x

f  计算  并求 

设 例

解: x

x f x

x f x

x y f

x

x 





 



 

    

) ( )

lim ( lim

) (

0 0

x

x x

x

x 





 





cos )

lim cos(

0 x

x x x

x 



 

 





sin 2 2 )

sin(

2 lim

0

x x x x

x 

 





  

sin 2 2 )

sin(

2 lim

0  sin x.  (cos x)  sin x.

. cos )

(sin

x   x

同理

4

) (cos 4 )

(

 ^

 

 

 f x x .

2 sin 2

4







 _^

x x

).

( ,

) (

.

4 设 f x  a ^x 求 f  x 例

解: x

x f x

x f x

x y f

x

x 





 



 

    

) ( )

lim ( lim

) (

0 0

x a a^{x x x}

x 

 ^ 



 0

lim x

a a^{x x}

x 

 ^ 





) 1 lim (

0

x a e

a x x

x



 ^ 





lim 1

ln

0 x

a a x

x x



 





lim ln

0

. ln a a ^x



. ln )

(

a^x   a^x a



. )

(e^x   e^x

).

0 ( ,

|

| ) (

5. 设 f x  x 求 f  例

解: ( ) (0) | | 0 | |. x x x

x x

f x

f    



, 1 ) lim

0 ( )

lim ( )

0 (

0 0



 

 

     

x x x

f x

f f

x x

, 1 ) lim

0 ( )

lim ( )

0 (

0 0



 

 

 



 

 

x x x

f x

f f

x x

而

. 0

) ( ,

) 0

( 不存在 即 在  处不可导

 f  f x x

x y 

x y

o

), 0 ( )

0

( _

  f  故 f

) . (

) lim (

) (

, ^{0 0}

0 0 k

x

x f x

x x f

f

x 







 

  

由引例可知

o x

y

) ( x f y 



T

x0

M

) (

, tan )

(

,

)) (

, (

) ( )

(

0

0 0

0

为倾角 即

切线的斜率

处的 在点

表示曲线





 

 

x f

x f

x M

x f

y x

f

切线方程: y  y₀  f (x₀)(x  x₀)

法线方程: ( )

) (

1

0 0

0 x x

x y f

y 

 



 几何意义

注意:

; ,

0 )

( )

1

( 当f  x₀  时 倾斜角



; ,

0 )

( ₀ 时 倾斜角 为钝角

当f  x 



; 0 ,

0 )

( ₀  

 ^{时 倾斜角}



当f x 此时切线与x轴平行;

2 ; ,

)

( ₀  





 时 倾斜角

当f x 此时切线与x轴垂直.

(2)当导数存在时, 一定能够找到切线;

反之, 当有切线时,不一定导数存在!

.

, )

3

( ₀

该点的斜率 则利用单侧导数得到在

为区间端点时 当x

. ,

, 3

1 .

6 ² _{1 2}

线平行于这条割线 问抛物线上哪一点的切

割线

作过这两点的 的两点

及 上取

在

例 y  x x  x 

解: 曲线y  x²上取的两点为(1,1)和(3,9) 割线的斜率为 4

1 3

1 9

1 



  k

2的切线斜率为

又y  x k₂  2x 4

2

, x  依题意知

4 ,

2 



 x y

所求点为 (2,4).

物理意义 (非均匀变化量的瞬时变化率)

变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.

. lim

)

( 0 dt

ds t

t s

v t 



 





交流电路:电量对时间的导数为电流强度.

. lim

)

( 0 dt

dq t

t q

i t 



 





非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.

三、函数的可导性与连续性的关系 定理: 若f (x)在 x₀可导, 则f (x)在 x₀连续.

---可导必连续 证明: 设f ( x)在x₀可导,

0 0 0

) (

) lim (

) (

0 x x

x f x

x f f

x

x 

 

 

则

)]

( )

( [

lim ₀

0

x f x

f

x

x 

 

 



  



 

 ( ) ( ) ( )

lim ₀

0 0

0

x x x

x

x f x

f

x x

) (

) lim (

)

lim ( ₀

0 0

0 0

x x x

x

x f x

f

x x

x x



 

 



  f (x₀) 0  0. ).

( )

( lim

₀

0

x f x

f

x x



  即f (x)在 x₀连续.

注意: (1)若f (x)在 x₀不连续,则f (x)在x₀一定不可导. .

) ( , )

( )

2

( 若f x 在 x₀连续 f x 在x₀不一定可导 . 0

|

| ) ( .

7 考虑 在 处的连续性与可导性 例 f x  x x 

解: ,

0

,

0

) ,

( 





 

x x

x x x

 f

, 0 )

0

( 

f (0 0) lim ( ) lim 0

0 0







   f x   x f

x x

. 0 )

( lim )

( lim

) 0 0

(

0 0









   f x   x f

x x

).

0 ( 0

) ( lim

0 f x f

x





  即f (x)在x  0处连续. .

) 0

( 不存在

但我们知道 f 









 

0

0

cos 1 )

( .

8

2

x x

x x x x

讨论f 例

. 0 与可导性

处的连续性 在x 

四、求导数的习例

1,

1

) ( .

9

2









 

x b

ax

x x x

设f 例

. 1

) ( ,

, 为何值时 在 处连续且可导 问a b f x x 

? 2 ?

| cos

| ) ( .

10 问 在 处是否连续 是否可导

例 _{ }



x x

x f

).

0 ( ,

,

) ,

( )

( ),

( )

( )

( .

11

f a

x

x bx

a bx

a x

f

 













求 处可导

且在 内有定义

在 其中

设

例

  









 

0

0

cos 1 )

( .

8

2

x x

x x x x

讨论f 例

解: (1) f (0)  0,

, 1 0

cos lim

) ( lim

) 0 0

( ²

0 0







   f x   x x f

x x

, 0 lim

) ( lim

) 0 0

(

0 0







   f x   x f

x x

), 0 ( 0

) ( lim

0

f x

f

x  

故 

所以 f (x) 在 x=0 处连续.

. 0 与可导性

处的连续性 在x 

0

) 0 ( )

lim ( )

0 ( )

2 (

0 

 

  

 x

f x

f f

x

 x

x x

x

1 0 cos lim

2

0

 

 

, 1 0

cos lim

0



   x x

x

0

) 0 ( )

lim ( )

0 (

0 

 

  

 x

f x

f f

x

).

0 ( )

0 (

f_  f_ 故

. 0

) ( .

) 0

( 不存在 即 在  处不可导

 f  f x x

, 0 1

lim

0

 

   x x

x

1,

1

) ( .

9

2









 

x b

ax

x x x

设f 例

. 1

) ( ,

, 为何值时 在 处连续且可导 问a b f x x 

解:  f (1)  1,

) ( lim

) 0 1

(

1

x f f

x ^





) ( lim

) 0 1

(

1

x f f

x ^





因为 f(x) 在 x=1处连续,可得 .

 1

 b a

, 1 lim ²

1



   x

x

, )

( lim

1

b a

b ax

x







  

1 lim 1

1

) 1 ( )

lim ( )

1 (

1

1 



 



 

    

 x

b ax

x

f x

f f

x x

又

1 , lim

1 1

x a

a ax

x b

a 



 

 





. 2 )

1 (

1 lim lim 1

1

) 1 ( )

lim ( )

1 (

1 2

1 1





 

 



 

      

 x

x x x

f x

f f

x x

x

由 f (x)在 x=1处可导,可得 )

1 ( )

1

( _

  f  f

. 1 ,

2  



a b

? 2 ?

| cos

| ) ( .

10 问 在 处是否连续 是否可导

例 _{ } 

x x

x f

解: | 0,

cos 2

| 2 )

(

(1)





 f

| cos

| lim )

( lim

2 2

x x

f

x x



 



 



| cos

| lim )

( lim

2 2

x x

f

x x



 



 



2), ( 0

) ( lim

2



 f x f

x







 .

| 2 cos

| )

( 在 处连续

即 _{ } 

x x

x f

2 2) ( )

( lim

2) ( )

2 (

2



 

 

 

 





x

f x

f f

x

又

, 2 0

cos )

cos (

lim

2









 





 x

x

. 2 0

cos cos

lim

2





 





 x

x

, 2 lim cos

2

 



 

  x

x

x

, sin 1

lim 2 )

cos(

lim

0 0

2    





 







t t t

t

t t

t

x ^



2 2) ( )

( lim

2) (

2



 

 

 

 





x

f x

f f

x

, sin 1

lim 2 )

cos(

lim

0 0

2     





 







t t t

t

t t

t

x ^



2), ( 2)

(

 



  f 

由于 f ) .

(



 2 .

| cos

| )

( _ 在 _



 f x x x

2 lim cos

2

 



 

 x

x

x