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中 華 大 學 碩 士 論 文

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(1)

中 華 大 學

碩 士 論 文

題目:具隆齒修整之正齒輪對動態特性之研究 An Investigation on Dynamic Characteristics of

Crowning Spur Gear Pairs

系 所 別: 機械工程學系碩士班 學號姓名: E09408015 姜 智 展 指導教授: 黃 國 饒 博 士

中華民國 九十八 年 二 月

(2)

摘要

理想的漸開線正齒輪具有高精度、低磨耗、運轉平穩、高精密傳動與加工特性好等 優良特性,但其動態特性會受到裝配誤差、嚙合背隙、嚙合齒對數目不連續等因素的影 響而劣化,而上述之劣化因素,可利用適當的齒輪修整手段予以改善之。因此,本論文 探討具隆齒修整之正齒輪對動態特性之研究,探討齒輪修整、裝配誤差、轉速與負載之 關係。首先將採用近於連體幾何有限元素模式來探討正齒輪對動態特性,齒輪修整與裝 配誤差間之關係。採用連體幾何模式來探討正齒輪對動態特性。首先應用齒條形刀具之 輪廓方程式,以齊次座標轉換與齒輪嚙合方程式,推導出可應用於多種齒輪形式之齒形 方程式,包括漸開線、齒底圓角等輪廓方程式,然後不經CAD軟體,直接以C程式參數 化的產生廣泛形式齒輪網格元素,解決以連體模式之齒輪系統分析時,高品質網格模式 建立不易的問題,匯入至前處理器FEMB進行各項條件設定,最後再以有限元素分析軟體 LS-DYNA進行求解運算,計算出動態嚙合齒根應力及接觸力。 此外討論裝配誤差、隆 齒修整對於齒輪對動態特性之影響,本研究應用動態有限元素方法來取代傳統等效彈簧 質量的離散模式方法,並獲得齒輪動態分析之數值成果,可作為設計具隆齒修整之正齒 輪對系統之參考。

關鍵字:正齒輪,齒形修整,隆齒,裝配誤差,齒根應力

(3)

Abstract

Theoretically, spur gears has the excellent feature of high precision, low abrasion, high stable, high performance, and easy to produce. However, numerous factors, such as machining and assembly errors, backlash, and number change of meshing tooth pairs, may deteriorate the dynamic performance. Fortunately, the negative effect can be effectively improved through suitable design technique, such as profile or crowning modifications of gears during the design phase. Therefore, in this thesis, an investigation is carried on concerning the dynamic characteristics of spur gear pairs with crowning modifications. Also, relations among gear modificaiton, assembly error, rotation speed, and loading are discussed. At first, profile equations of a transverse section of a rack cutter are defined. Then, using the homogenous transformation matrix and equation of meshing for gears, equations of involute, fillet, and other curve for a gear tooth are deduced. Not using a CAD model but via C code, meshing elements of the analyzed gears are generated after calculating nodal coordinates directly from the derived tooth profile equations. After that, import the element models to the preprocessor, FEMB, in which the suitable analysis conditions for gear dynamics are assigned. Finally, solving by the software, LS-DYNA, dynamic responses which include the dynamic fillet stresses, contact forces, and contact stresses of spur gear pairs can be obtained. In addition, the influences of crowning modification, assembly error, and operation conditions are also investigated. Instead of the conventional discrete model using an equivalent mass and spring, a continuous geometrical model of the finite element method is utilized to the dynamic analysis of spur gear pairs. A number of valuable results are obtained and served to spur gear pair design with crowning modificaiton.

(4)

誌謝

三年多的研究生活即將結束,重拾書本的這段日子以來,在這段時間上

我學習良多以及讀書進修態度比起過去有很大的體認與收穫。首先感謝指導

教授黃國饒博士在這三年多研究生期間的督促與指導,並感謝家裡父母、妻

子的諒解、關心與協助,使得本論文能順利的完成。另外,亦要感謝中華大

學機械系徐永源教授及華夏科技大學機械系林文輝教授、對於學生論文上的

指正以及在觀念上的釐清與指導,使得本論文內容更加趨於完善。

感謝機航所林育立所長及師長們三年多來的關心與諄諄教誨,和感謝實

驗室的同學建羽、志傑、慶亞、守仁、景輝與冠瑋在學業及研究活上的協助

與鼓勵。

要感謝的人太多了,謹以感恩的心將此文獻給所有協助及關心我的人,

並敬祝你們事事順遂如意,身體健康。

(5)

目錄

摘要...I Abstract ... II 目錄...IV 圖目錄... VII 表目錄... XII 符號表...XIII

第一章 序論... 1

1.1 研究背景 ... 1

1.2 研究動機與目的 ... 2

1.3 文獻回顧 ... 3

1.4 內容大綱 ... 4

第二章 幾何模式... 5

2.1 齒輪傳動幾何... 5

2.2 齒輪誤差... 7

2.3 齒形修整... 12

2.3.1 隆齒修整 ... 13

(6)

2.4 齒輪輪廓方程式之創成 ... 15

2.4.1 齒條形刀具截面方程式 ... 15

2.4.2 創成齒輪之齒廓方程式 ... 18

2.5 齒輪過切... 21

2.6 齒頂導角... 23

第三章 網格模式... 24

3.1 產生齒輪網格過程... 24

3.1.1 齒形參數 ... 24

3.2 齒輪網格模式建立... 27

3.3 LS-DYNA動態分析設定與求解... 29

第四章 結果與討論... 33

4.1 LS-DYNA條件設定... 33

4.1.1 邊界與初始條件 ... 33

4.1.2 阻尼 ... 34

4.2 正齒輪對動態響應... 35

4.2.1 動態應力與傳動誤差 ... 35

4.2.2 自然頻率與諧波 ... 39

4.2.3 模態與動態關係 ... 39

4.3 裝配誤差與動態響應... 41

4.3.1 齒根應力 ... 41

4.3.2 接觸力 ... 42

4.3.3 傳動誤差 ... 44

(7)

4.4 隆齒修整與動態響應... 46

4.4.1 無裝配誤差之齒根應力 ... 46

4.4.2 裝配誤差之齒根應力 ... 47

4.4.3 隆齒修整之齒根應力 ... 49

4.4.4 最大齒根應力 ... 52

4.4.5 接觸力 ... 53

4.4.6 傳動誤差 ... 54

4.5 轉速與動態響應... 56

4.5.1 轉速與齒根動態應力 ... 56

4.5.2 諧波共振現象 ... 58

4.6 負載與動態響應... 60

4.6.1 扭矩負荷與齒根動態應力 ... 60

第五章 結論與展望... 64

5.1 結論... 64

5.2 未來展望... 65

參考文獻... 66

(8)

EC

S

圖目錄

圖 2-1 配合齒輪對齒形的共軛嚙合 ...5

圖2-2 漸開線齒形的幾何曲線 ...6

圖2-3 標準正齒輪圖 ...8

圖2-4 齒輪偏心誤差

e

……...9

圖 2-5 齒輪裝配誤差 ...10

eA

圖2-6 齒輪裝配誤差 ...10

eA

圖2-7 齒輪背隙誤差 ...12

eB

圖2-8 標準正齒輪圖 ...13

圖2-9 包含隆齒之齒輪圖 ...14

圖2-11 平行於兩齒刀截面間之座標系 和

Sn S1

的關係 ...15

圖 2-12 齒條形刀具之橫向截面輪廓與

1

座標系 ...16

圖 2-13 齒輪創成之 和 的座標轉換圖示 ...19

S1 S2

圖 2-14 正齒輪 CAD 3D 實體模式圖 ...21

圖 2-15 發生過切的齒輪齒形 ...22

圖 2-16 有齒頂導角的齒形 ...23

圖 3-1 輪齒區域劃分與網格建立:(a)六分割區塊,(b)格點分佈 ...25

圖 3-2 以 C 程式之網格建立流程圖 …...26

圖 3-3 標準正齒輪對之網格模式 ...27

(9)

圖3-4 齒頂修整(

bj

= 0.4 ,

mn hj

= 0.1 )的正齒輪網格局部圖...28

mn

3-5 正齒輪隆齒的網格模式 (C

c

= 0.0005) ...28

圖 3-6 為所建立之齒輪寬度=30mm 之標準正齒輪...29

圖 3-7 發生過切之正齒輪網格模式 ...29

圖 3-8 LS-DYNA 後處理器可顯示模型受力變形之應力分佈...31

圖 3-9 以 LS-DYNA 之正齒輪對動態分析流程圖...32

圖 4-1 齒底圓角接近漸開線之第一個元素 ...35

圖 4-2 正齒輪齒根所受到的最大應力元素 ...36

圖 4-3 齒輪繞 y 軸方向的軸不平行度的裝配誤差

γ

...37

圖 4-4 正齒輪對的網格模式 …...38

圖 4-5 以 LS-DYNA 進行齒輪動態分析之動態 von Mises 應力分佈等高線圖...38

圖 4-6 二種模態型式之齒輪位移模式示意圖(a) 旋轉模態 (b) 平移模態 ...40

4-7 沒有隆齒(C

c

= 0.0)的不同裝配誤差正齒輪對之齒根應力...42

4-8 沒有隆齒(C

c

= 0)的不同裝配誤差正齒輪對之動

態接觸力圖 ...43

(10)

圖 4-9 含不同裝配誤差的正齒輪對之最大接觸應力曲線圖...43

4-10 沒有隆齒(C

c

= 0)的不同裝配誤差正齒輪對

與傳動誤差關係圖...44

4-11 含隆齒修整(C

c

= 0.0005)的不同裝配誤差正齒輪對

與傳動誤差關係圖...45

4-12 含隆齒修整(C

c

= 0.0009)的不同裝配誤差正齒輪對

與傳動誤差關係圖...45

圖 4-13 沒有裝配誤差( = 0°)的不同隆齒係數正齒輪對之

γ

齒根應力圖 ...46

圖 4-14 裝配誤差( = 0.05°)的不同隆齒係數正齒輪對之齒

γ

根應力圖 ...47

圖 4-15 裝配誤差( = 0.1°)的不同隆齒係數正齒輪對之齒

γ

根應力圖 ... ...48

圖 4-16 裝配誤差( = 0.15°)的不同隆齒係數正齒輪對之

γ

齒根應力圖 ...48

圖 4-17 裝配誤差( = 0.2°)的不同隆齒係數正齒輪對之

γ

齒根應力圖...49

4-18 含隆齒修整(C

c

= 0.0001)的不同裝配誤差正齒輪

對之齒根應力圖...50

(11)

4-19 含隆齒修整(C

c

= 0.0003)的不同裝配誤差正齒輪

對之齒根應力圖...50

4-20 含隆齒修整(C

c

= 0.0005)的不同裝配誤差正齒輪

對之齒根應力圖 ...51

4-21 含隆齒修整(C

c

= 0.0007)的不同裝配誤差正齒輪

對之齒根應力圖 ...51

4-22 含隆齒修整(C

c

= 0.0009)的不同裝配誤差正齒輪

對之齒根應力圖 ...52

圖 4-23 不同隆齒修整之正齒輪對的裝配誤差與齒根應

力關係圖 ...53

圖 4-24 包含不同隆齒修整的正齒輪對與動態接觸力關係圖 ...54

圖 4-25 在 = 0°時之不同隆齒係數與傳動誤差關係曲線圖 ...55

γ

圖 4-26 在 = 0.1°時之不同隆齒係數與傳動誤差關係曲線圖 ...55

γ

圖 4-27 在 = 0.2°時之不同隆齒係數與傳動誤差關係曲線圖 ...56

γ

圖 4-28 = 0˚在 102 N-m 負載下以不同轉速條件之動

γ

態齒根應力比較 ...57

圖 4-29 = 0.15°在 102 N-m 負載下以不同轉速條件之

γ

動態齒根應力比較 ...58

圖 4-30 輪齒受力產生彈性變形之情形 ...61

(12)

圖 4-31 齒輪系統於 2000rpm 轉速時不同負載之齒根

應力比較 ...61

圖 4-32 齒輪系統於 4000rpm 轉速時不同負載之齒根應力比較...62

圖 4-33 齒輪系統於 8000rpm 轉速時不同負載之齒根應力比較...62

圖 4-34 齒輪系統於 12000rpm 轉速時不同負載之齒根應力比較...63

圖 4-35 在不同負載下以不同轉速條件之動態齒根應

力最大值的比較 ...63

(13)

表目錄

表 4-1 正齒輪對分析之邊界條件設定 ...34

表 4-2 模態形式與自然頻率表 ...59

表 4-2 轉速與嚙合頻率對照表 ...59

(14)

a

0

符號表

:齒輪對之基準軸中心距離

a

x

:移位修正齒輪對之軸中心距離

C:阻尼矩陣

:動態因子

Df

E&

F

Fd

FS

Fij

d:節點穿入的量

:能量變化率張量

:作用力向量

:動態力

:靜態力

:變形梯度矩陣

:界面的接觸力

fs

I:單位矩陣

K:剛度矩陣 k

m

:移位係數

M:質量矩陣

:質量

m:齒輪模數,

(15)

e( )

N1

N2 :驅動齒輪、被動齒輪之轉速

:外力向量

R t

ij

R1

R2

:驅動齒輪、被動齒輪之節圓半徑

s :偏應力(deviatoric stress)

t

V1 2

v

:時間

V:相對體積

v:元素之體積

V

:主動/被動齒輪於輪齒接觸點在公法線之分速度

:速度

Xα

:節點

α

的位置向量

:邊界上的位移

xi

i

:速度

x&

:加速度

&&x

j

個節點在第

i

個方向的位移

j

xi

:在座標中第

y:齒輪軸距之增加係數

Z1

Z2

:驅動齒輪、被動齒輪之齒數

α

:齒條、齒輪壓力角

:標準齒輪壓力角 α

0

:齒刀壓力角

α

(16)

ε & :應變率

ε &

ij

:應變率張量

ρ

:密度(單位體積之質量)

:參考密度

ρ0

:柯西應力張量(Cauchy tensor)

σij

τ :應力張量

j

個節點形狀函數

φj

:第

ω

1

、 ω

2

:主動與被動齒輪的轉速

(17)

第一章 序論

1.1 研究背景

齒輪系統,依據用途的分類有很多種類,現在以生產量,或性能為重點,舉出代表 性如有,汽車用齒輪、車輛用齒輪、船舶用齒輪、航空機用齒輪、產業機械用齒輪、工 作母機用齒輪、農耕機械及土木機械用齒輪及家庭用機械類的齒輪等,但具有傳動確實、

高精密、高效率、體積小等優點則為機械傳動最重要的考量因子。漸開線齒輪具有設計 與加工組裝之易搭配性優良的特性,幾乎可稱為齒輪曲線之代名詞。其中漸開線正齒輪 由於具備傳動平順之優良性能,適合在精密化、高速度、低振動噪音等更嚴格的規格要 求應用場合,因此特別在汽車、航太、工具機等各種精密機械產業中被廣泛採用。

理想齒輪傳動是平順連續的,早期風力、水力及獸力之磨坊工房的應用,因不講求 齒輪的齒形、齒距等,僅能做勾拉動作的動力傳達,被動齒輪無法穩定的迴轉,只能做 汲水、起重及磨輪牽引等粗重工作,而不能有更進一步的應用。17 世紀開始有學者對齒 距、齒形作研究以克服不穩定的迴轉傳遞狀況,先確立了齒形運轉的條件─共軛,之後才 逐漸依序確定出合乎此條件的齒形,於是有擺線齒形與漸開線齒形的發展。18 世紀工業 革命之後齒輪的需求量大增,由於創成製齒法的被發明,漸開線齒輪因而成為加工最易、

且精度高的單曲線齒輪,廣泛應用於產業界各種機器設備上,其中又以正齒輪為最常被 使用[1-5]。

以往在機械的精度與速度的等級要求較低時,主要是要求齒輪之靜態性能,因此滿 足齒輪靜態強度要求即可符合齒輪設計之目標。隨著機械的精度、速度、壽命與振動噪 音的更高要求,今日除了對於齒輪靜態特性的要求,對於如動態傳動誤差、應力振動噪 音等動態性能特性之要求也更趨重要。關於傳統齒輪系統之動態特性研究,大多以等效 離散模式來簡化理論模式以減少運算時間,但是齒輪系統之嚙合過程接觸點位置隨轉動 而改變、嚙合齒對數目不連續變化、變形誤差、齒對嚙合剛性、背隙、潤滑與磨耗等時

(18)

變或非線性現象以等效離散模式來處理均極為困難,且可能導致理論模式過度簡化,而 無法準確分析齒輪動態特性,其它如齒形修整、加工與裝配誤差、受負荷彈性變形、或 者潤滑與磨耗等多物理量耦合現象,應用離散模式卻很難有效地描述之。為了更有效地 模擬齒輪系統之複雜幾何外形、各種時變非線性現象,本文將採用連續體幾何模式,並 以參數式網格建立方式,產生高品質3D 齒輪之網格元素,進行齒輪齒形修整與裝配誤差 對於正齒輪對系統的動態特性影響之分析。

隨著科技文明及自動化的應用,人們需求更高性能的機械,使得對齒輪系統之品質 要求也日趨嚴格,齒輪對接觸情形之適當與否,會影響到機械的運轉性能及效率之好壞,

而高轉速時齒輪的傳動誤差常引起齒輪振動與噪音,因此齒形設計、齒輪製造精度及組 裝誤差等,對於齒輪系統的動態影響是值得探討的。

1.2 研究動機與目的

齒輪機構是機械中最重要的傳動型式之一,其運用相當廣泛,藉由齒輪機構可將其 原動力轉換輸出為適當的扭矩及轉速和轉向。以齒輪傳輸動力的方法已使用數世紀,但 ㄧ直存有振動、噪音、能損和傳動誤差等問題須克服;為了提升齒輪之動態效能,了解 齒輪作動中之詳細應力反應狀況是有必要的。關於齒輪內部應力分析之文獻已有很多 [1-5],由於齒輪之幾何形狀與接觸性質複雜,以往之研究皆僅分析實體之靜態模式,或 以等效質量-阻尼-彈簧系統將齒輪系統離散簡化分析齒輪之動態應力,離散模式雖可簡化 其系統理論方程式,但利用等效時變系統來處理齒輪接觸點位置不斷改變之非線性時變 性質將極為麻煩,且可能導致理論模式過度簡化,也無法直接求出齒輪某些特定位置之 動態應力與應變值。因此本文將應用LS-DYNA動態分析軟體,以「連體」實體模型之方 式,就齒輪之隆齒係數

轉位

轉矩、轉速,以進行正齒輪對模擬探討。利用 LS-DYNA 有限元素分析軟體可以很容易選取所需探討的點以求得其動態應力、應變與變形位移量 等。而齒根之強度為齒輪選用上之重要依據,因此本研究將以此套裝軟體,進行正齒輪 對在各種設計參數與運轉條件下之齒根動態響應分析。

(19)

1.3 文獻回顧

關於齒輪的各種資料及理論應用已非常多[5-6],一個多世紀前 Lewis [6] 即以懸臂 樑公式,推導出靜態齒根應力計算方法,視齒輪為懸臂樑推導出齒根強度的計算公式[7]

此方法加上關於表面疲勞應力之赫茲接觸理論為目前齒輪設計與計算上最重要的兩個基 本公式。近代電腦輔助工程分析CAE 在國外應用已有相當的歷史,軟體種類繁多,其中 有限元素法應用最廣泛,國內產業由於面臨品質提昇及國際競爭,已逐漸導入CAE 軟體 的應用以提升產品競爭力。Chen 和 Tsay [1-2] 以有限元素法分析正齒輪組承受局部接觸 負荷時之輪齒變化。Huang 和 Liu [4]以齒刀創成製齒嚙合理論為基礎,建立漸開線齒輪 的數學幾何模型,並以動態勁性法進行齒輪各種應力應變響應的研究。Li、Chiou 與 Hung [5]用 I-DEAS 建立齒輪之網格元素、並以有限元素軟體 ABAQUS 模擬分析、再與最佳 化軟體 MOST 連結,以驗證利用結合有限元素分析與最佳化技術以解決問題之可行性 與效率之探討。林明慧[8]使用穿透式偏光彈性應力分析實驗,以二維方式來處理正齒輪 獲得正齒輪的應力分佈情況。施鴻文[9]則利用數值方法假設漸開線正齒輪於齒根產生裂 縫時,在最不利載荷作用點承受一集中負載,對漸開線正齒輪齒根局部應力最大點彎曲 強度以及齒面接觸強度作分析。Ozguven 和 Houser [5-6]整理眾多齒輪動態相關之研究文 獻並考慮齒型修整或加工精度等因素探討齒輪系統之傳動誤差或最大應力。Yoon 和 Rao [6]考慮齒輪變形後之外型,利用三階曲線描述齒的輪廓,以降低齒輪的傳動誤差與動態 負載。最近Arakere 和 Nataraj [10]以等效質量-阻尼-彈簧離散系統模式,用非線性之接觸 力來分析齒輪對之動態負荷。吳茂榮[12]分析正齒輪系統之潤滑條件動態影響。然而利用 連體模式分析運轉中齒輪系統之動態響應之研究,則尚未見到,因此本文以連體模式就 齒輪參數如轉速、扭矩大小、移位係數,齒輪背隙等,對於正齒輪對動態響應進行模擬,

同時探討這些參數對於齒輪對動態響應之影響。

(20)

1.4 內容大綱

本文主要在建立應用連體幾何模式之正齒輪對動態的分析技術,探討齒輪修整、裝 配誤差、齒頂導角等之影響。論文內容包括第一章說明研究背景、研究動機與目的及其 相關參考文獻。第二章描述本論文正齒輪研究中相關之理論,如漸開線齒輪之理論曲線 外形、齒條形刀具截面方程式、齒輪之齒廓方程式、誤差之齒輪幾何模式等。第三章為 應用程式LS-DYNA[13]有限元素分析之理論及LS-DYNA接觸條件的定義及其演算法 則。第四章內容以FEMB產生3D網格模式,應用LS-DYNA之求解器進行正齒輪對動態分 析,包括齒輪隆齒修整、裝配誤差等因素,將獲得正齒輪對的齒根應力、接觸力、傳動 誤差及動態與模態。最後,第五章包括本文整合已完成的工作項目所得到的結論,以及 本文未來值得探討的課題。

(21)

第二章 幾何模式

本章敘述何謂齒輪修整與誤差,並推導出漸開線齒形方程式,再利用漸開線齒形方 程式來說明齒輪接觸分析。

2.1 齒輪傳動幾何

兩嚙合轉動的齒輪上需具有適當的齒形,以期望得到較大傳遞動力及正確的角速 比。如圖2-1所示,欲使一對相互嚙合的圓形齒輪傳遞一定之角速比,其相互接觸齒形曲 線需「互為共軛」,使接觸節圓處公切線之速度分量相等。共軛曲線包括擺線、漸開線、

漸開線與擺線複合之曲線等。

基圓

1

壓 力角 節圓

1

V1=V2

漸開線1

節圓

2

基圓

2

漸開線2

圖2-1 配合齒輪對齒形的共軛嚙合

(22)

如圖2-2 所示,漸開線可以想像將細線捲繞一圓柱且在線頭綁住筆端,然後拉直解 開此線往外畫弧(此外張線段長 4d =圓柱弧長dp),則線頭筆端所畫出的曲線p1234就是 漸開線,其捲繞之圓稱為齒輪的基圓。而(2-1)式為齒形之漸開線函數表示式,其中

α

為 齒形壓力角。

inv α =α−tanα (2-1)

圖2-2 漸開線齒形的幾何曲線

漸開線構成之齒形有以下的特質:

1. 漸開線的輪廓是依據基圓的尺寸而定,因此漸開線輪齒的外型曲線決定於基圓的 大小。基圓相同之漸開線齒形的曲率會相等;而漸開線齒條的齒形為直線。

2. 漸開線上任一點之法線都會與基圓相切,且兩基圓的公切線即為壓力線,兩漸開線 齒輪之輪齒將沿此公切線(壓力線)接觸傳動。

3. 通過兩基圓之公切線與其兩基圓中心連線之交點(節點),可建立兩配合漸開線齒輪 的節圓;齒輪傳動之機構及比例關係常以此節圓為估算基準,其關係如2-2式所示

1 2

N R

N = R

2 1

( 2

1

Z

= Z ) (2- 2)

(23)

1

Re

式中 N1、N2 為齒輪之轉速,R1、R2 為齒輪之節圓半徑,Z1、Z2 為齒輪之齒數;

亦就是齒輪之轉速比與節圓半徑之比值(及齒數)成反比。

4. 漸開線齒形之壓力角是齒形曲線之法線與該點半徑線垂線(切線)之銳角夾角。離基 圓越遠曲線壓力角越大。正齒輪壓力角一般有14.5度、20度、和25度三種,壓力角 大小不同,齒形也會不一樣,兩個齒輪要能夠互相嚙合,自然要有相同的壓力角。

現今大多統一採用20度壓力角正齒輪;壓力角小的齒輪其輪齒強度較弱,壓力角大 則會增加齒輪軸承負荷。

2.2 齒輪誤差

實際的齒輪幾何外形模式包括理想的齒輪外形方程式加上各種製造誤差與所設計之 齒輪修整量。實際製造完成的齒輪幾何外形 包括理論曲線外形 加上其它總偏移量 包括製造與彈性變形誤差與設計修整量。本文將齒輪誤差分為三大項:(i) 加工誤差包 含齒形誤差 、導程誤差 、節距誤差

R1

e

eF eL e 、偏心誤差 eP , (ii) 裝配誤差 則分為軸中

心距誤差、軸平行度誤差、軸偏心誤差等,以及 (iii) 受外力造成之動態彈性變形誤差

。也就是說

EC eA

eEL

1 1

e

= +

R R e (2-3)

其中e可分為各種製造與彈性變形誤差e 以及設計齒輪修整M m ,即

= M +

e e m (2-4)

M = F + L + P + EC + A+ EL + B

e e e e e e e e (2-5)

各誤差項說明如下:

(24)

(a) 齒形誤差e :漸開線齒輪的齒形誤差表示為不考慮齒輪的修整值,實際的齒形曲線與F 理想漸開線曲線之差異量。

(b) 導程誤差 :為沿齒輪寬度方向,實際的齒線與理想齒線之差異量。 eL

(c) 節距誤差e :定義為在理論節圓上,實際的周節齒線與理想周節之相臨兩齒或全部P 齒之最大差異量,如圖2-3所示。

節距

圖2-3 齒輪節距誤差e P

(d) 偏心誤差 :在此定義為齒輪之軸孔位置偏移理論節圓中心之值,如圖2-4所示,此 誤差將造成呈正弦波變化之轉動誤差,可表示為

eEC

,2 2 2

EC = EC

e M R R (2-6)

齊次座標轉換矩陣MEC, 2寫成

(25)

, 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

EC

EC EC

x y

⎡ Δ ⎤

⎢ Δ ⎥

=⎢

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M (2-7)

其中ΔxEC, ΔyEC為 x 、 軸方向之偏心量。 y

圖2-4 齒輪偏心誤差eEC

(e) 齒輪裝配誤差 :包括軸中心距離誤差與軸不平行度誤差。如圖2-5所示,齒輪對之 裝配誤差關係,圖中 為理想軸中心, 為軸距偏移軸中心,

eA

z1 z' Δc為軸距誤差, r 與x ry分 別為x軸與y軸之角度方向誤差值,z2, z3為有r 、x ry誤差之實際軸中心,其中軸距誤差並 不會影響到齒面嚙合共軛關係,因此對於齒輪靜態傳動誤差沒有影響,但不同軸距會改 變背隙量,因此對於齒輪動態分析仍需加以討論。而軸不平行度誤差則對於齒輪靜動態 傳動誤差都有影響。

齒輪裝配誤差eA可表示為

(26)

2 2 2

A = m

e M R R (2-8)

其中Mm2為兩者齊次座標轉換矩陣。一般角度誤差值 r 、x ry數值很小,因此Mm2可寫成

m2

1 0 0 0 cos 0 sin 0 1 0 0

0 cos sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 sin cos 0 sin 0 cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

x y

x x

x x x

r r

r r

r r r r

− Δx

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡

⎢ − ⎥⎢ ⎥⎢

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

⎣ ⎦⎣ ⎦⎣

M

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎦

(2-9)

應用以上述過程可單獨個別誤差項、部分誤差項、或多項的獲得齒形幾何模式,以作為 齒輪網格模式之基礎。

圖2-5 齒輪裝配誤差eA

(27)

(f) 彈性變形誤差 :如圖2-6 所示,彈性變形誤差則是考慮齒輪承受負載所產生之靜 動態變形誤差。當應用連體幾何模式來分析正齒輪對動態時,若軟體具備優良的接觸碰 撞偵測的數值分析能力,在分析過程可自動將動態變形誤差予以包含,若使用離散模式 將很難描述之。

eEL

變形後實際齒廓外形

理論齒廓外形

圖2-6 齒輪彈性變形誤差eEL

(g) 背隙誤差 :如圖2-7 所示,嚙合齒輪對必須具有背隙,以吸收製造與彈性變形之誤 差,或溫昇、潤滑油膜等,為設計上必需予以給定。不適當背隙值所產生之非線性衝擊 之動態響應,卻也是造成齒輪系統產生振動噪音很重要原因。設計應用上,嚙合背隙可 利用齒輪加工過程調整其進刀量來產生或直接以增加中心距離來形成。

eB

(28)

圖2-7 齒輪背隙誤差eB

本文中,(a)-(c)項誤差則直接於齒形幾何模式來考慮,(d)-(e)項之齒輪偏心與裝配誤 差則直接應用網格前處器FEMB,將網格做平移或角度旋轉來形成;(g)項之背隙若於齒 輪加工產生則由前述幾何理論模式直接創成產生,若由於改變齒輪中心距而產生背隙則 將直接由FEMB之網格平移產生。

對漸開線齒輪而言,齒形位置造成的誤差如齒輪偏心誤差影響較小,而齒形大小造 成的誤差有齒形半徑大小的誤差等,本文依上述誤差,首先建立各種誤差的數學模型,

並利用齒面接觸分析原理(tooth contact analysis,簡稱TCA)分析各單一誤差造成的齒面接 觸位置偏差與傳動誤差的影響,並依據齒印的變化去分析誤差的來源。

2.3 齒形修整

齒輪修整在齒輪的設計具相當重要的考量因素,如移位修整、輪廓修整、齒線修整 等。漸開線齒形是動力傳達用齒輪中最具有代表性的齒形,使用亦最為普遍。漸開線齒 輪的的特點是製作容易,在中心距離帶有些許誤差的情形也能平穩的嚙合運轉。由於在 工程實務方面,標準齒輪在很多情況下並不適用,必須依照實際操作條件來進行適當的 調整,如移位修整即在模數及齒數不變的情況下進行調整中心距。此方法可以使工程師

(29)

在設計齒輪時,根據設計需要做出修改,使齒輪更符合適應運轉之要求。隆齒(crowning) 則是其中一種齒輪修整方法,它可以降低因加工與組裝或是設計不良時所造成的誤差之 影響,把裝配誤差所造成的影響減少到最低,也就是降低齒輪對於精密度的敏感度,使 得齒輪在受到裝配誤差的影響時依然保持較高的效率。

2.3.1 隆齒修整

齒輪有隆齒修整時,齒輪對之嚙合關係為點接觸,理想之正齒輪對其嚙合關係為線 接觸,為一條橫切過齒面的直線,而當齒輪對有組裝時,並非是組裝成理想正確的位置 或角度,即是所謂的裝配誤差。亦就是,正確組裝時的軸心之間因加工精度有些許誤差 易造成一個夾角,此時具有隆齒的齒輪在嚙合時同樣是一個點接觸且位置與沒有裝配誤 差時相差不遠,因而使得裝配誤差的影響降低,但是沒有隆齒的齒輪在嚙合時卻會因為 裝配誤差所造成的角度差,而使得接觸位置從線接觸易變成點接觸,而且接觸點會大幅 移動到邊緣,由於齒面邊緣的受力強度較差,該位置長期受力將會使得齒輪本身的使用 壽命縮短,對於齒輪強度影響頗大。因此,當設計齒輪時需考量有隆齒這個設計參數,

就可以相當程度地減少裝配誤差在運轉時的所受的影響,使得齒輪依然保持較高的效 率。圖2-8 與圖 2-9 為不含隆齒與包含隆齒之齒輪圖形,圖中顯示不含隆齒與隆齒的標準 正齒輪之齒輪差異。

不含隆齒之齒線

(30)

含隆齒之齒線

圖2-9 包含隆齒之齒輪圖

2.3.2 隆齒之分類

一般的隆齒是當齒輪創成時,由正常的齒面中間向兩旁增加切削量,形成一個中間 突岀的弧度,是本文主要所提到的隆齒,如圖2-10 還有一種隆齒是由齒面中間向上下增 加切削量,稱為齒形隆齒(profile-crowning),因為齒形本身就有弧度,所以比較不明顯;

另有一種隆齒是由齒面中間向上下左右增加切削量,比一般的隆齒更加突出,稱為雙重 隆齒(double-crowning)。

隆齒之齒線

未隆齒之齒線

圖2-10 含隆齒與不含隆齒之齒形比對

(31)

1( , , )1 1 1

S x y z

2.4 齒輪輪廓方程式之創成

2.4.1 齒條形刀具截面方程式

漸開線齒輪之齒廓外形一般是由漸開線與齒底圓角所組成,可分別由齒條形刀具之 直線部分與頂部外圓角部分來創成產生。圖2-11表示座標系 平行於齒條形刀具 之法向(normal)截面以及平行於橫向(transverse)截面之 座標系之關係。圖2-12表 示齒條形刀具之任一個橫向截面的輪廓方程式與 之關係,其中的

( , , )

n n n n

S x y z

1( , , )1 1 1

S x y z x 軸通過刀具1

齒間的中間位置,y 軸則對齊齒刀基準節線。因此齒刀橫向截面的輪廓位置齊次座標向1 量可寫成R1=[x1 y1 z1 1]T,其中T為向量轉置符號。並將齒刀橫向截面的直線I、II部分 與齒頂外橢圓曲線部分之輪廓方程式分別推導於下:

Sn座標係

S1座標係

圖2-11 平行於兩齒刀截面間之座標系 和 的關係 Sn S1

(32)

b

r d n c n

(a) 齒刀之直線I部分之輪廓方程式

由圖2-13所示,齒條形刀具橫向截面的直線I部分之輪廓方程式,可表示於座標系

1( , , )1 1 1

S x y z

1 1 1

1 1 1 1

1

cos

( sin tan )

r

r

z

x a

y a

z

α

α α

= −

= ± − −

=

I I I

l l l

(2-10)

其中

a = fm − +c E − ⋅ (2-11) ς m

/ 2 ( ) tan 1

4

t

t c n

b=πm c E − ⋅ς m α (2-12)

( / cos )2

c c z

E =C ⋅ l β (2-13)

圖2-12 齒條形刀具之橫向截面輪廓與 座標系 S1

(33)

而(2-12)式中之 則是l1 M0M1的距離(如圖2.13所示),M1為在線段I上任意一點位置。 是

齒寬距離,而

lz

fd為齒底高係數,mn為法向模數,mt為橫向模數,c 為齒底隙,而αn 為法向壓力角,α1為橫向壓力角,ρ 是齒刀法向截面之齒頂圓角半徑,b是工作節圓 之齒刀齒間, 為橫向背隙, E 是考慮齒面隆齒(crowning),Cc即為調整隆齒量之隆

齒係數,

ct

c

M 分別是直線2 I 的起終點。

M 和0

ς 是移位係數,

(b) 齒刀直線II部分之輪廓方程式部分為

1 1 2 2

1 1 1 2 2

1

cos cos

( sin tan sin )

f r

f r

z

x a

y a b

z

α α

α α α

= − +

= ± − − +

=

II

II

II

l l

l l

l

(2-14)

在(2-16)式中lf 線段I、II交點之線段I 長度, l 是圖2-13中2 M 到2 M 的距離,3 M 為在線3 段II上任意一點。而導角壓力角α2與齒頂導角修整量hjbj則可表示為

1 2

tan ( tan ) cos

j j n

j

b h

h α α

β

+ ⋅

= (2-15)

(c) 齒刀齒頂外橢圓角部分之輪廓方程式

1 1

1 1 1

1

sin sin

( tan cos cos

f r f

r f

z

x a

y a b

z

ρ α ρ θ

α ρ α ρ θ)

= − + −

= ± − − − +

= l

(2-16)

(34)

在(2-16)式中θ 是齒底圓角座標位置的角度。此外當第(2-10)、(2-14)、(2-16)式中的 ± 號為

+時表示齒刀左邊輪廓的方程式,為-時則代表右邊輪廓的方程式。

2.4.2 創成齒輪之齒廓方程式

以下將利用齊次座標轉換以及嚙合方程式,推導出漸開線齒輪的漸開線與齒底圓角 之輪廓方程式。應用圖2-13之 與 之兩座標系關係,進行齊次座標轉換,

1( , , )1 1 1

S x y z S x y z2( , , )2 2 2

(2-17)

2 = 21

R M R1

21

cos sin 0 (cos sin ) sin cos 0 (sin cos )

0 0 1

0 0 0 1

p

p

z

r r 其中齊次座標轉換矩陣

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

− +

⎡ ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M l (2-18)

其中rp是工作節圓半徑(即瞬心圓centrode)以及齒輪嚙合方程式

, ,

, ,

G G G G

r I r r I r

G G

r x r x

X x Y y

n n

= (2-19)

(35)

圖2-13 齒輪創成之S1S2的座標轉換圖示

(2-19)式中之( , 為瞬時中心的座標,而 與 為齒刀橫向截面輪廓的單位法線向量 之x與y方向分量。應用座標轉換與嚙合方程式 (2-17,2-19)式,並代入齒條形刀之輪廓方 程式,即可以得到漸開線齒輪各部之輪廓方程式如下:

, ,)

r I r I r x, r y,

1

G G

X Y nG nG

(a) 齒輪漸開線I之輪廓方程式

2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2

( cos )cos ( sin tan )sin

[( cos )sin ( sin tan )cos ]

r p r

p

r p r

p

z

x a r a

b r

y a r a

b r z

α φ α α

φ φ

α φ α

φ φ

= − + − −

− −

= ± − + + −

− −

=

I

I

I

l l

l l

l

α (2-20)

(36)

(2-19)式中角度φ 為創成漸開線I輪廓之旋轉角

1 1

1

cos tan sin

f r r

p p

a a

r r

α α b

φ α

− +

=l − (2-21)

(b) 齒輪齒頂導角之輪廓方程式

2 1 2 2

1 2 2

2 1 2 2

1 2 2

2

( cos cos )cos ( sin

tan sin )sin

[( cos cos )sin ( sin tan sin )cos ]

f r p f

r p

f r p f

r p

z

x a r

a b r

y a r

a b r

z

1

1

α α φ α

α α φ φ

α α φ α

α α φ φ

= − + + −

− + − −

= ± − + + +

− + − −

=

II

II

II

l l l

l

l l l

l l

(2-22)

其中 (2-21)式之φ 為創成齒輪齒頂導角輪廓之旋轉角

1 2 2 2 1

2

cos( ) cos tan sin

f r r

p p

a a b

r r

α α α α

φ α

− − + +

=l l −

(2-23)

(c) 齒輪齒底圓角之輪廓方程式

2

2

2

( sin sin )cos ( tan

cos cos )sin

[( sin sin )sin ( tan cos cos )cos ]

f

r n p r t

t p

f

r n p r t

t p

f z

x a r r a

r r

y a r r a

r r

z

ρ α θ φ α

ρ α θ φ φ

ρ α θ φ α

ρ α θ φ φ

= − + − + − − −

− + −

= ± − + − + + − −

− + −

= l

b

b (2-24)

(37)

在(2-23)式之φ 為創成齒底圓角輪廓之旋轉角,

( ) (

1

)

cos sin tan cos

sin

r n r

p p

a a b

r r

θ ρ α α ρ αn

φ θ

− − + +

= − (2-25)

利用上述推導方程式寫入CAD軟體之後,即可建立符合規範之各式齒輪立體圖,圖 2-14 是使用CAD軟體,所繪出之正齒輪3D實體模式圖。

圖2-14 正齒輪CAD 3D實體模式圖

2.5 齒輪過切

過切(under cutting)即齒條刀具在齒形創成過程中,齒根部份會被明顯的切掉,降低

齒根強度。齒輪過切之發生,與其齒數、齒頂高、移位係數、刀具壓力角有關其條件如 下:

(38)

2

2 sin

a min

c

Z f

α

< × (2-26)

( )

2

tan 4 0

sin

a c

c

f Z α ς

α

− − ≤ (2-27)

在過切的情況下,用原本程式推導出的漸開線齒形和齒底圓角會相交而並非端點相連,

所以在程式中接著用數值分析之牛頓法求岀漸開線與齒底圓角之交點,該點就是漸開線 和齒底圓角的新交點,圖2-15 為過切齒輪齒形及其新交點 A 點。一般情形壓力角為 20°

時,不產生過切下限齒數為17 齒,即齒數 17 齒以上就不會產生過切。

漸開線與齒底圓角之交點

A

圖2-15 發生過切的齒輪齒形

(39)

2.6 齒頂導角

應用齒頂導角方法來避免齒頂與齒腹產生干涉,亦可降低齒輪振動噪音等動態效應 之重要手法,但是最適當齒頂導角的尺寸隨著運轉與負載條件而有不同,視情況而定。

本文在此將齒頂導角包含的齒輪建模的過程中,使用數值分析之牛頓法計算出齒頂導角 在漸開線上的起點,即可加上齒頂導角,圖2-16 齒頂導角的齒形。

齒頂導角

圖2-16 有齒頂導角的齒形

(40)

第三章 網格模式

本章主要在說明應用 LS-DYNA 之正齒輪對動態分析時,單個正齒輪的 FEMB 模型 網格建立過程,以及齒輪對分析模式與模態與動態求解所需要之參數設定。

3.1 產生齒輪網格過程

將前述之漸開線齒形方程式,以C程式撰寫,達到只要輸入齒輪種類與各種設計參數 如齒數、模數等、移位係數、隆齒係數等,還有網格尺寸大小等,即可建立齒輪之格點 分佈以及高品質分析網格模式。

3.1.1 齒形參數

本文可以產生高品質網格模式,因此將以對應網格(mapped mesh)方式進行,利用前 述之C 程式,按照流程設定以下參數建模:

(a) 齒形建模參數:

漸開線齒輪的外型建立所需的齒形建模參數,如齒數、模數、齒底圓角、齒頂導角、

隆齒係數、內圈比例齒寬、漸開線壓力角等。漸開線壓力角是單一齒左右齒形分別設定,

就是說亦可以建立兩邊齒形有不同壓力角的齒輪。其中齒數、模數、齒寬、內圈比例皆 可以按照需求來設定。隆齒係數為齒形修整係數,並包括漸開線壓力角、齒底圓角和齒 頂導角可依齒輪修整而設定,但在設定上有一定的邏輯,因此,在建模時除非特別需要,

一般則較少去改變。

(41)

(b) 輪齒之區域劃分:

將齒輪之一個輪齒區域劃分為數個網格較規則一致的四邊形區塊,因此必需在齒輪 中間或附近設一個參考點 A,如圖 3-1(a)所示,點 A 的位置可以調整,配合漸開線與齒 底圓角的連接點,以作為齒輪區塊分割依據,圖3-1(a)即是將一個齒輪區域分成適當大小 的六個分佈區塊。

(c) 各區域之網格點大小或數目:

接下來給予漸開線齒輪內部網格分布的設定參數,決定各區域之網格點大小或數 目,即可建立如圖3-1(b)所示可調整疏密之網格點分佈,將所建好的一個齒輪範圍區域之 格點分佈,然後以C 程式作成旋轉陣列,即可完成一個齒輪寬度位置之截面之格點建立,

以相同方法依次作出數層平行的齒輪截面。

漸開線齒形和齒底圓角上的點數目決定漸開線齒形和齒底圓角的曲線精密度,加上 齒寬方向的水平分層數目即是齒輪模型之齒線方向的精密度,齒輪外圍、內部網格大小 比例則可以調整元素的數量,減少執行動態分析的時間,以達到提高研究效率的目的。

A:參考點

(a) (b)

圖3-1 輪齒區域劃分與網格建立:(a)六分割區塊,(b)格點分佈

(42)

(d) 齒輪網格模式

接著再把各相關截面上的點連結成 3D 網格元素,並且以 C 程式輸出成可被網格前 處理器FEMB 讀取的 *.dyn 檔案格式,最後完成包含各種設計或修整參數之多種齒輪形 式之齒輪網格模式,可以作為連體模式進行靜/動態分析。並將網格產生過程整理於圖 3-2 之流程圖。

圖3-2 以C程式之網格建立流程圖

(43)

3.2 齒輪網格模式建立

圖3-3表示一組標準正齒輪對之網格模式,而以下利用前述過程來產生齒輪網格模 式。首先齒輪數據皆設定為模數mn= 3.175、壓力角αn= 20°、齒數為28。圖3-4包含齒頂 修整正齒輪之網格之局部表示,其齒頂修整分別為 bj= 0.4mnhj= 0.1 。另外圖3-5則 是有隆齒修整的正齒輪之網格模式,隆齒係數Cc = 0.0005。 圖3-6為所建立之齒輪寬度

=30mm 之標準正齒輪。最後圖3-7則表示含有過切之正齒輪圖其數據模數 = 3.175、壓 力角

mn

mn

αn= 20°、齒數為28。

3-3 標準正齒輪對之網格模式

(44)

齒頂導角

圖3-4 齒頂修整(bj= 0.4mnhj= 0.1mn)的正齒輪網格局部圖

圖3-5 正齒輪隆齒的網格模式 (Cc = 0.0005)

(45)

圖3-6 為所建立之齒輪寬度=30mm 之標準正齒輪

漸開線與齒底圓角之交點

圖3-7 發生過切之正齒輪網格模式

3.3

LS-DYNA 動態分析

設定與求解

步驟1:材料性質的給定:

LS-DYNA 擁有彈性、彈塑性、發泡材料、橡膠、玻璃等 140 多種的材料模式,本 文齒輪模型之材料模式與材料參數選用LS-DYNA 內 Type 1 的彈性材料(elasctic ),

而中心軸則以Type 20─剛體材料(rigid) 來作為各種運轉參數的控制。

(46)

步驟2:元素特質給定:

在LS-DYNA有相當多的元素類型可供選擇使用,包含有(1)純量元素:阻尼元素 (damping)和彈簧元素(spring)。(2)一維元素:樑(beam),(3)二維元素:殼元素(shell);

(4)三維元素:實體元素(solid)及(5)其它元素:關節元素(joint)、銲接元素(spotweld)、

安全帶(seatbelt)等。由於正齒輪的截面完全相同,假設作用於齒面寬上的力為均勻 分佈,因此正齒輪的應力分析可以視為2D有厚度的殼元素來處理,可比3D實體更方 便快速得到精確的結果。

步驟3:接觸模式設定:

在現實生活中的物體受力變形行為往往是由於和其它結構體「接觸」所引發,在 Contact 選單中有多種內定接觸模式可選用,包括單向、雙向、自動、非自動、2D、

3D、點對面、面對面、單面自動、車輛輪胎…..等等。輪齒之接觸傳動有各種不同 的碰觸設定可選擇,在LS-DYNA 內只要設定 Auto Contact,系統就會以內部運算做 好ㄧ般設定,模擬現實狀況的接觸碰撞行為,減少繁雜非不定性方向之選擇失誤。

步驟4:邊界條件設定:

物體轉動運動是針對節點或剛體來設定,齒輪旋轉可先將內孔面相關節點對軸(rigid beam)設定約制關聯(Constrain_Extra Node)以嚴密關聯,再以此軸作為運動拘束、齒 輪驅動、轉動速度和扭力負荷等運轉條件設定的目標。

步驟5:系統控制輸出設定:

定義欲觀察分析之運算時程、時步比及動態影像、元素結果、節點結果等各種數據 輸出的間隔時間、顯性/隱性運算等控制設定。

步驟6:求解器計算分析核心:選用 ANSYS 點選求解器以執行分析計算。

步驟7:後處理器看分析結果:

(47)

LS-DYNA 強 調 只需建立一次有限元素模型,利用其核心求解程式,即可求解各式 不同的物理現象;LS-PREPOST 為 LS-DYNA 專屬之後處理軟體,可以任意的透過 畫面中的按鈕指令,點選所要的零件,即可任意顯示或隱藏各個零件;透過此功能 即可,了解內部構造元件的相關物理現象。亦可以透過部分網格元素隱藏的功能,

任意隱藏各個零件的部分網格元素,觀看需要探討的零件之變化情形,以及相關的 物理特性(如圖3-8)。

圖3-8 LS-DYNA 後處理器可顯示模型受力變形之應力分佈

(48)

以LS-DYNA 動態分析設定與求解以流程圖表示,如圖 3-9 LS-DYNA 之正齒輪對動態分 析流程圖。

圖3-9 以 LS-DYNA 之正齒輪對動態分析流程圖

(49)

第四章 結果與討論

本章節將應用FEMB建立正齒輪對3D網格模式與各種條件之設定,再以LS-DYNA進 行齒輪動態分析,來獲得正齒輪對之動態齒根應力、接觸力和傳動誤差。

4.1 LS-DYNA 條件設定

將所建構之正齒輪系統的FE 模型,設定所需材料參數與模型元素特性,在此所有元 件材料皆設定為鋼材;由於本研究著重於探討齒輪於系統中之動態特性,因此不考慮齒 輪內部輸入軸、輸出軸與固定座變形之影響,故材料性質設定為剛體材料(rigid body)。

利用前述可產生高品質網格模式之程式,本文給予基本的外形參數有:法向模數 = 3.175、法向壓力角

mn

αn= 20°和齒數為 28 等的基本齒輪參數;接著給予要探討的參數值:

裝配誤差值、隆齒係數等可建立本文所需要之正齒輪對模型,並進行各項設定。

4.1.1 邊界與初始條件

將主動齒輪設定為主件(master),將從動齒輪設定為從件(slave);再給定輸出入軸與 齒輪的連接關係,此連接限制關係是選定相關連的節點組;將輸入軸與輸出軸分別與主 動齒輪與從動齒輪內圈節點之節點組以extra node 做連結。再設定輸入軸扭矩與而輸出 軸為轉速,初始條件(initial condition)設定輸出、入軸轉速,上述設定整理於表 4-1。接著 設定CONTACT_AUTOMATIC_SURFACE_TO_ SURFACE 為正齒輪對之接觸條件。最後 輸入計算時間與輸出條件,最後載入LS-DYNA 求解器進行正齒輪對動態與模態分析。

(50)

表4-1 正齒輪對分析之邊界條件設定

輸入軸

1 建立限制關係(constraint):

輸入軸與主動齒設定為extra node.

2 給定初始速度(initial condition):

給定負載(load).

輸出軸

1 建立限制關係(constraint):

輸出軸與從動齒設定為extra node.

2 給定速度(prescribed motion).

4.1.2 阻尼

阻尼係數也是影響正齒輪對動態分析結果的重要因素。在 LS-DYNA 設定中有

GLOBAL、PART MASS、PART STIFFNESS、RELATIVE 和 FREQUENCY RANGE 這五 種模式。本文利用GLOBAL 模式,其理論如下:

1(

n n n n

a =M PFFdamp) mv

(4-1)

n

damp s

F =D (4-2)

s 2 min

D = ω (4-3)

其中 是加速度,M 是質量反矩陣, 是外部負載, 是內部負載, 是系統阻尼 力,

an Pn Fn Fdampn

D 是阻尼係數,s m 是質量, 是速度,而v ωmin是最小頻率。

在完成建模和LS-DYNA 設定之後,即可進行動態分析運算來分析正齒輪對就齒輪 之隆齒係數、轉位、扭矩、轉速改變各種裝配誤差對於動態齒根應力特性之影響,以進 行正齒輪對模擬探討。

(51)

以下章節開始依據LS-DYNA 正齒輪對動態分析產生之數據做說明,並使用後處理 器進行分析資料的整理,包括正齒輪對之各種不同齒輪修整參數設計,裝配誤差主要改 變正齒輪對之隆齒係數、轉位係數、扭矩增量及轉速等所進行探討,並找出裝配誤差造 成正齒輪對齒根之最大應力、接觸力以及齒輪對之傳動誤差等。

4.2 正齒輪對動態響應

4.2.1 動態應力與傳動誤差

本小節將先說明本研究探討之齒輪對動態應力與傳動誤差,分別計算齒根應力、接 觸力和傳動誤差並加以說明,主要分析內容將以不同隆齒系數進行正齒輪對動態響應進 行齒輪修整包含裝配誤差和齒頂導角的動態結果,以討論具隆齒之正齒輪對裝配誤差和 齒頂導角對於改變轉速、扭矩、轉位傳動誤差之動態特性的影響。

(a) 齒根應力:指齒底圓角附近所受到的彎矩應力,為齒輪強度設計的重要依據。在此將 選擇接近漸開線第一個元素,如圖4-1。此元素與 Hofer 的 30°最大應力理論相符合。

齒底圓角接近漸開線 之第一個元素

圖4-1 齒底圓角接近漸開線之第一個元素

(52)

齒根最大應力元素,係指正齒輪對嚙合齒根所受到的最大應力,元素編號(H508021)如圖 4-2所示,正齒輪齒對嚙合最大齒根應力元素在沒有傳動誤差的影響下的最大應力元素,

在考慮傳動誤差如圖4-3 齒輪繞y軸方向的軸不平行度的裝配誤差 ,觀察後結果找出最 大齒根應力元素則顯示在編號(H1108021)如圖4-2所示。

γ

齒根元素編號

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

圖4-2 正齒輪齒根所受到的最大應力元素與齒根10個元素編號

(b) 接觸力與接觸應力:接觸力為齒輪嚙合的傳動負荷,而在嚙合面處之 Hertz 面壓稱為 接觸應力。本文之接觸力利用LS-DYNA 的前處理器設定 DATABASE_RCFORC,運 算後即可從後處理器輸出本文所需之接觸力。在理想齒輪對之幾何裝配關係下,兩齒 輪軸為平行,其裝配誤差為零。正齒輪對的嚙合點位置會均勻分布在齒線上,包括靠 近齒輪邊緣內外的接觸點,其齒面接觸力沿齒寬方向呈較均勻分配,因此接觸應力較 小;但是當齒輪對包含裝配誤差的情形下,尤其沒有隆齒修整之正齒輪對的接觸位置 會偏向齒面最外側邊緣,會使得接觸力集中在齒面最外側(edge contact),接觸應力較

參考文獻

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